2024年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編(全國(guó)版)專題34動(dòng)點(diǎn)綜合問題（33題）含答案及解析

專題34動(dòng)點(diǎn)綜合問題（33題）一、單選題1．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖1，矩形中，為其對(duì)角線，一動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)，沿著的路徑行進(jìn)，過點(diǎn)作，垂足為．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程為，為，與的函數(shù)圖象如圖2，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．2．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，在等腰中，，，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，分別沿射線和射線的方向勻速運(yùn)動(dòng)，且速度大小相同，當(dāng)點(diǎn)E停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)F也隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接，以為邊向下做正方形，設(shè)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路程為，正方形和等腰重合部分的面積為下列圖像能反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的是（

）A． B． C． D．3．（2024·四川瀘州·中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，與交于點(diǎn)O，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，G是邊上的點(diǎn)，，則的最小值是（

）

A．4 B．5 C．8 D．104．（2024·甘肅·中考真題）如圖1，動(dòng)點(diǎn)P從菱形的點(diǎn)A出發(fā)，沿邊勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為x，的長(zhǎng)為y，y與x的函數(shù)圖象如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，的長(zhǎng)為（）A．2 B．3 C． D．5．（2024·湖南長(zhǎng)沙·中考真題）如圖，在菱形中，，，點(diǎn)E是邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接，，過點(diǎn)A作于點(diǎn)P．設(shè)，，則y與x之間的函數(shù)解析式為（不考慮自變量x的取值范圍）（

）A． B． C． D．二、填空題6．（2024·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，已知兩條平行線、，點(diǎn)A是上的定點(diǎn)，于點(diǎn)B，點(diǎn)C、D分別是、上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，連接交線段于點(diǎn)E，于點(diǎn)H，則當(dāng)最大時(shí)，的值為．7．（2024·四川廣安·中考真題）如圖，在中，，，，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．8．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，的圓心為，半徑為，是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線，切點(diǎn)為，則的最小值為9．（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，已知，點(diǎn)為內(nèi)部一點(diǎn)，點(diǎn)為射線、點(diǎn)為射線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，則．10．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，過點(diǎn)作軸的垂線，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，，則的最小值為．11．（2024·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，在中，，，是邊上一點(diǎn)，且，點(diǎn)是的內(nèi)心，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，是上一動(dòng)點(diǎn)，連接、，則的最小值為．

12．（2024·山東煙臺(tái)·中考真題）如圖，在中，，，．E為邊的中點(diǎn)，F(xiàn)為邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將沿翻折得，連接，，則面積的最小值為．13．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為1，M、N是邊、上的動(dòng)點(diǎn)．若，則的最小值為．14．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，在平行四邊形中，，E、F分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，且．當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，則．

三、解答題15．（2024·江蘇蘇州·中考真題）如圖，中，，，，，反比例函數(shù)的圖象與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)E．

(1)求m，k的值；(2)點(diǎn)P為反比例函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P在D，E之間運(yùn)動(dòng)，不與D，E重合），過點(diǎn)P作，交y軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)P作軸，交于點(diǎn)N，連接，求面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．16．（2024·四川自貢·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)．(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；(2)P是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，的面積為21，求點(diǎn)P坐標(biāo)；(3)點(diǎn)Q在反比例函數(shù)位于第四象限的圖象上，的面積為21，請(qǐng)直接寫出Q點(diǎn)坐標(biāo)．17．（2024·四川瀘州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，且關(guān)于直線對(duì)稱．(1)求該拋物線的解析式；(2)當(dāng)時(shí)，y的取值范圍是，求t的值；(3)點(diǎn)C是拋物線上位于第一象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)C作x軸的垂線交直線于點(diǎn)D，在y軸上是否存在點(diǎn)E，使得以B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出該菱形的邊長(zhǎng)；若不存在，說明理由．18．（2024·四川南充·中考真題）已知拋物線與軸交于點(diǎn)，．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），直線，分別交拋物線于點(diǎn)，，設(shè)面積為，面積為，求的值；(3)如圖，點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸與軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)的直線（不與對(duì)稱軸重合）與拋物線交于點(diǎn)，，過拋物線頂點(diǎn)作直線軸，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)．求的最小值．19．（2024·吉林·中考真題）如圖，在中，，，，是的角平分線．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以的速度沿折線向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)P作，交于點(diǎn)Q，以為邊作等邊三角形，且點(diǎn)C，E在同側(cè)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，與重合部分圖形的面積為．

(1)當(dāng)點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，判斷的形狀（不必證明），并直接寫出的長(zhǎng)（用含t的代數(shù)式表示）．(2)當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，求t的值．(3)求S關(guān)于t的函數(shù)解析式，并寫出自變量t的取值范圍．20．（2024·四川德陽(yáng)·中考真題）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)時(shí)，求的函數(shù)值的取值范圍；(3)將拋物線的頂點(diǎn)向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．21．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊三角形的邊在x軸上，點(diǎn)A在第一象限，的長(zhǎng)度是一元二次方程的根，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，相遇時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（），的面積為S．(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)求S與t的函數(shù)關(guān)系式；(3)在（2）的條件下，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M在y軸上，坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使得以點(diǎn)O、P、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．若存在，直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．22．（2024·江西·中考真題）綜合與實(shí)踐如圖，在中，點(diǎn)D是斜邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D與點(diǎn)A不重合），連接，以為直角邊在的右側(cè)構(gòu)造，，連接，．特例感知（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，與之間的位置關(guān)系是______，數(shù)量關(guān)系是______；類比遷移（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，猜想與之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明猜想．拓展應(yīng)用（3）在（1）的條件下，點(diǎn)F與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱，連接，，，如圖3．已知，設(shè)，四邊形的面積為y．①求y與x的函數(shù)表達(dá)式，并求出y的最小值；②當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)度．23．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）綜合與探究：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，過A，C兩點(diǎn)的拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線位于第四象限圖象上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作x軸和y軸的平行線，分別交直線于點(diǎn)E，點(diǎn)F．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)D是x軸上的任意一點(diǎn)，若是以為腰的等腰三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(4)在（3）的條件下，若點(diǎn)N是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)N作拋物線對(duì)稱軸的垂線，垂足為M，連接，則的最小值為______．24．（2024·四川廣元·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線F：經(jīng)過點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)在直線上方拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)C，連接交于點(diǎn)D，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)；(3)作拋物線F關(guān)于直線上一點(diǎn)的對(duì)稱圖象，拋物線F與只有一個(gè)公共點(diǎn)E（點(diǎn)E在y軸右側(cè)），G為直線上一點(diǎn)，H為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，若以B，E，G，H為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求G點(diǎn)坐標(biāo)．25．（2024·天津·中考真題）將一個(gè)平行四邊形紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，且．(1)填空：如圖①，點(diǎn)的坐標(biāo)為______，點(diǎn)的坐標(biāo)為______；(2)若為軸的正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作直線軸，沿直線折疊該紙片，折疊后點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在軸的正半軸上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為．設(shè)．①如圖②，若直線與邊相交于點(diǎn)，當(dāng)折疊后四邊形與重疊部分為五邊形時(shí)，與相交于點(diǎn)．試用含有的式子表示線段的長(zhǎng)，并直接寫出的取值范圍；②設(shè)折疊后重疊部分的面積為，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）．26．（2024·湖南·中考真題）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，是此二次函數(shù)的圖像上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)．(1)求此二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖1，此二次函數(shù)的圖像與x軸的正半軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)P在直線的上方，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)C，交AB于點(diǎn)D，連接．若，求證的值為定值；(3)如圖2，點(diǎn)P在第二象限，，若點(diǎn)M在直線上，且橫坐標(biāo)為，過點(diǎn)M作軸于點(diǎn)N，求線段長(zhǎng)度的最大值．27．（2024·廣東·中考真題）【問題背景】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B，D是直線上第一象限內(nèi)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以線段為對(duì)角線作矩形，軸．反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A．【構(gòu)建聯(lián)系】（1）求證：函數(shù)的圖象必經(jīng)過點(diǎn)C．（2）如圖2，把矩形沿折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E．當(dāng)點(diǎn)E落在y軸上，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為時(shí)，求k的值．【深入探究】（3）如圖3，把矩形沿折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E．當(dāng)點(diǎn)E，A重合時(shí)，連接交于點(diǎn)P．以點(diǎn)O為圓心，長(zhǎng)為半徑作．若，當(dāng)與的邊有交點(diǎn)時(shí)，求k的取值范圍．28．（2024·四川達(dá)州·中考真題）如圖1，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2，連接，，直線交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)，若點(diǎn)是直線上方拋物線上一點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上位于點(diǎn)上方的一動(dòng)點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，若存在，請(qǐng)直接寫出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．29．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過原點(diǎn)和點(diǎn)．經(jīng)過點(diǎn)的直線與該二次函數(shù)圖象交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)是二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．①為何值時(shí)線段的長(zhǎng)度最大，并求出最大值；②是否存在點(diǎn)，使得與相似．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．30．（2024·四川廣安·中考真題）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為．

(1)求此拋物線的函數(shù)解析式．(2)點(diǎn)是直線上方拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)骄渴欠裼凶畲笾?？若有最大值，求出最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若沒有最大值，請(qǐng)說明理由．(3)點(diǎn)為該拋物線上的點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．31．（2024·山東煙臺(tái)·中考真題）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，，，對(duì)稱軸為直線，將拋物線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后得到新拋物線，拋物線與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為，對(duì)稱軸為直線．(1)分別求拋物線和的表達(dá)式；(2)如圖，點(diǎn)的坐標(biāo)為，動(dòng)點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作軸與直線交于點(diǎn)，連接，．求的最小值；(3)如圖，點(diǎn)的坐標(biāo)為，動(dòng)點(diǎn)在拋物線上，試探究是否存在點(diǎn)，使？若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．32．（2024·甘肅·中考真題）如圖1，拋物線交x軸于O，兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為．點(diǎn)C為的中點(diǎn)．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)過點(diǎn)C作，垂足為H，交拋物線于點(diǎn)E．求線段的長(zhǎng)．(3)點(diǎn)D為線段上一動(dòng)點(diǎn)（O點(diǎn)除外），在右側(cè)作平行四邊形．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)F落在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；②如圖3，連接，，求的最小值．33．（2024·重慶·中考真題）在中，，，過點(diǎn)作．(1)如圖1，若點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．若點(diǎn)是的中點(diǎn)，求證：；(2)如圖2，若點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接．過點(diǎn)作交于點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，求證：；(3)若點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，且．點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，．在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)取得最小值時(shí)，在平面內(nèi)將沿直線翻折得到，連接．在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，直接寫出的最大值．

專題34動(dòng)點(diǎn)綜合問題（33題）一、單選題1．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖1，矩形中，為其對(duì)角線，一動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)，沿著的路徑行進(jìn)，過點(diǎn)作，垂足為．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程為，為，與的函數(shù)圖象如圖2，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象得出信息是解題的關(guān)鍵．根據(jù)函數(shù)的圖象與坐標(biāo)的關(guān)系確定的長(zhǎng)，再根據(jù)矩形性質(zhì)及勾股定理列方程求解．【詳解】解：由圖象得：，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)P在邊上，設(shè)此時(shí)，則，，在中，，即：，解得：，，故選：B．2．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，在等腰中，，，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，分別沿射線和射線的方向勻速運(yùn)動(dòng)，且速度大小相同，當(dāng)點(diǎn)E停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)F也隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接，以為邊向下做正方形，設(shè)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路程為，正方形和等腰重合部分的面積為下列圖像能反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查動(dòng)態(tài)問題與函數(shù)圖象，能夠明確y與x分別表示的意義，并找到幾何圖形與函數(shù)圖象之間的關(guān)系，以及對(duì)應(yīng)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，根據(jù)題意并結(jié)合選項(xiàng)分析當(dāng)與重合時(shí)，及當(dāng)時(shí)圖象的走勢(shì)，和當(dāng)時(shí)圖象的走勢(shì)即可得到答案．【詳解】解：當(dāng)與重合時(shí)，設(shè)，由題可得：∴，，在中，由勾股定理可得：，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，，∵，∴圖象為開口向上的拋物線的一部分，當(dāng)在下方時(shí)，設(shè)，由題可得：∴，，∵，,∴，∴，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，，∵，∴圖象為開口向下的拋物線的一部分，綜上所述：A正確，故選：A．3．（2024·四川瀘州·中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，與交于點(diǎn)O，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，G是邊上的點(diǎn)，，則的最小值是（

）

A．4 B．5 C．8 D．10【答案】B【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等等，先證明得到，進(jìn)而得到，則由直角三角形的性質(zhì)可得，如圖所示，在延長(zhǎng)線上截取，連接，易證明，則，可得當(dāng)H、D、F三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即此時(shí)有最小值，最小值即為的長(zhǎng)的一半，求出，在中，由勾股定理得，責(zé)任的最小值為5．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，又∵，∴，∴，∴，∵點(diǎn)M是的中點(diǎn)，∴；如圖所示，在延長(zhǎng)線上截取，連接，

∵，∴，∴，∴，∴當(dāng)H、D、F三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即此時(shí)有最小值，最小值即為的長(zhǎng)的一半，∵，，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴的最小值為5，故選：B．4．（2024·甘肅·中考真題）如圖1，動(dòng)點(diǎn)P從菱形的點(diǎn)A出發(fā)，沿邊勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為x，的長(zhǎng)為y，y與x的函數(shù)圖象如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，的長(zhǎng)為（）A．2 B．3 C． D．【答案】C【分析】結(jié)合圖象，得到當(dāng)時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，，根據(jù)菱形的性質(zhì)，得，繼而得到，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，的長(zhǎng)為，解得即可．本題考查了菱形的性質(zhì)，圖象信息題，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】結(jié)合圖象，得到當(dāng)時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，，根據(jù)菱形的性質(zhì)，得，故，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，的長(zhǎng)為，故選C．5．（2024·湖南長(zhǎng)沙·中考真題）如圖，在菱形中，，，點(diǎn)E是邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接，，過點(diǎn)A作于點(diǎn)P．設(shè)，，則y與x之間的函數(shù)解析式為（不考慮自變量x的取值范圍）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查菱形的性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，利用相似三角形的性質(zhì)求解x、y的關(guān)系式是解答的關(guān)鍵．過D作，交延長(zhǎng)線于H，則，根據(jù)菱形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到，，，進(jìn)而利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)，證明得到，然后代值整理即可求解．【詳解】解：如圖，過D作，交延長(zhǎng)線于H，則，∵在菱形中，，，∴，，，∴，，在中，，∵，∴，又，∴，∴，∵，，∴，∴，故選：C．二、填空題6．（2024·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，已知兩條平行線、，點(diǎn)A是上的定點(diǎn)，于點(diǎn)B，點(diǎn)C、D分別是、上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，連接交線段于點(diǎn)E，于點(diǎn)H，則當(dāng)最大時(shí)，的值為．【答案】【分析】證明，得出，根據(jù)，得出，說明點(diǎn)H在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，取線段的中點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，為半徑畫圓，則點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，說明當(dāng)與相切時(shí)最大，得出，根據(jù)，利用，即可求出結(jié)果．【詳解】解：∵兩條平行線、，點(diǎn)A是上的定點(diǎn)，于點(diǎn)B，∴點(diǎn)B為定點(diǎn)，的長(zhǎng)度為定值，∵，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴點(diǎn)H在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，如圖，取線段的中點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，為半徑畫圓，則點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)與相切時(shí)最大，∴，∵，∴，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡．7．（2024·四川廣安·中考真題）如圖，在中，，，，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【分析】如圖，作關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于，則，，，當(dāng)重合時(shí)，最小，最小值為，再進(jìn)一步結(jié)合勾股定理求解即可.【詳解】解：如圖，作關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于，則，，，∴當(dāng)重合時(shí)，最小，最小值為，∵，，在中，∴，，∴，，∵，∴，故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)，求最小值問題，正確理解各性質(zhì)及掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．8．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，的圓心為，半徑為，是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線，切點(diǎn)為，則的最小值為【答案】【分析】記直線與x，y軸分別交于點(diǎn)A，K，連接；由直線解析式可求得點(diǎn)A、K的坐標(biāo)，從而得均是等腰直角三角形，由相切及勾股定理得：，由，則當(dāng)最小時(shí)，最小，點(diǎn)P與點(diǎn)K重合，此時(shí)最小值為，由勾股定理求得的最小值，從而求得結(jié)果．【詳解】解：記直線與x，y軸分別交于點(diǎn)A，K，連接，當(dāng)，，當(dāng)，即，解得：，即；而，∴，∴均是等腰直角三角形，∴，∴，∵與相切，∴，∴，∵，∴當(dāng)最小時(shí)即最小，∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，即點(diǎn)P與點(diǎn)K重合，此時(shí)最小值為，在中，由勾股定理得：，∴，∴最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，勾股定理，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題，垂線段最短，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．9．（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，已知，點(diǎn)為內(nèi)部一點(diǎn)，點(diǎn)為射線、點(diǎn)為射線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，則．【答案】/度【分析】本題考查了軸對(duì)稱最短路線問題，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用；作點(diǎn)P關(guān)于，的對(duì)稱點(diǎn)．連接．則當(dāng)，是與，的交點(diǎn)時(shí)，的周長(zhǎng)最短，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：作關(guān)于，的對(duì)稱點(diǎn)．連接．則當(dāng)，是與，的交點(diǎn)時(shí)，的周長(zhǎng)最短，連接，關(guān)于對(duì)稱，∴，同理，，，，，是等腰三角形．，故答案為：．10．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，過點(diǎn)作軸的垂線，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，，則的最小值為．【答案】5【分析】本題考查軸對(duì)稱—最短問題以及勾股定理和軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)．先取點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連交直線于點(diǎn)C，連，得到，，再由軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短，得到當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的最小值為，再利用勾股定理求即可．【詳解】解：取點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連交直線于點(diǎn)C，連，則可知，，∴，即當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的最小值為，∵直線垂直于y軸，∴軸，∵，，∴，∴在中，，故答案為：511．（2024·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，在中，，，是邊上一點(diǎn)，且，點(diǎn)是的內(nèi)心，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，是上一動(dòng)點(diǎn)，連接、，則的最小值為．

【答案】【分析】在取點(diǎn)F，使，連接，，過點(diǎn)F作于H，利用三角形內(nèi)心的定義可得出，利用證明，得出，則，當(dāng)C、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為，利用含的直角三角形的性質(zhì)求出，利用勾股定理求出，即可．【詳解】解：在取點(diǎn)F，使，連接，，過點(diǎn)F作于H，

∵I是的內(nèi)心，∴平分，∴，又，∴，∴，∴，當(dāng)C、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為，∵，，∴，∴，∴，，∴，∴的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)心，全等三角形的判定與性質(zhì)，含的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，明確題意，添加合適輔助線，構(gòu)造全等三角形和含的直角三角形是解題的關(guān)鍵．12．（2024·山東煙臺(tái)·中考真題）如圖，在中，，，．E為邊的中點(diǎn)，F(xiàn)為邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將沿翻折得，連接，，則面積的最小值為．【答案】/【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，，，由折疊性質(zhì)得到，進(jìn)而得到點(diǎn)在以E為圓心，4為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，如圖，過E作交延長(zhǎng)線于M，交圓E于，此時(shí)到邊的距離最短，最小值為的長(zhǎng)，即此時(shí)面積的最小，過C作于N，根據(jù)平行線間的距離處處相等得到，故只需利用銳角三角函數(shù)求得即可求解．【詳解】解：∵在中，，，∴，，則，∵E為邊的中點(diǎn)，∴，∵沿翻折得，∴，∴點(diǎn)在以E為圓心，4為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，如圖，過E作交延長(zhǎng)線于M，交圓E于，此時(shí)到邊的距離最短，最小值為的長(zhǎng)，即面積的最小，過C作于N，∵，∴，在中，，，∴，∴，∴面積的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、折疊性質(zhì)、圓的有關(guān)性質(zhì)以及直線與圓的位置關(guān)系、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，綜合性強(qiáng)的填空壓軸題，得到點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路線是解答的關(guān)鍵．13．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為1，M、N是邊、上的動(dòng)點(diǎn)．若，則的最小值為．【答案】/【分析】將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，再證明，從而得到，再設(shè)設(shè)，，得到，利用勾股定理得到，即，整理得到，從而利用完全平方公式得到，從而得解．【詳解】解：∵正方形的邊長(zhǎng)為1，∴，，將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則，∴，，，，∴點(diǎn)P、B、M、C共線，∵，∴，∵，，，∴，∴，∴，設(shè)，，則，，∴，∵，∴，即，整理得：，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即，也即時(shí)，取最小值，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，二次根式的運(yùn)算，完全平方公式等知識(shí)，證明和得到是解題的關(guān)鍵．14．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，在平行四邊形中，，E、F分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，且．當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，則．

【答案】【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)．延長(zhǎng)，截取，連接，，證明，得出，說明當(dāng)最小時(shí)，最小，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，得出當(dāng)A、E、G三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即最小，再證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，求出結(jié)果即可．【詳解】解：延長(zhǎng)，截取，連接，，如圖所示：

∵四邊形為平行四邊形，∴，，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴當(dāng)最小時(shí)，最小，∵兩點(diǎn)之間線段最短，∴當(dāng)A、E、G三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即最小，且最小值為的長(zhǎng)，

∵，∴，∴，即，解得．故答案為：．三、解答題15．（2024·江蘇蘇州·中考真題）如圖，中，，，，，反比例函數(shù)的圖象與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)E．

(1)求m，k的值；(2)點(diǎn)P為反比例函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P在D，E之間運(yùn)動(dòng)，不與D，E重合），過點(diǎn)P作，交y軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)P作軸，交于點(diǎn)N，連接，求面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)，(2)最大值是，此時(shí)【分析】本題考查了二次函數(shù)，反比例函數(shù)，等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是：（1）先求出B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出直線的函數(shù)表達(dá)式，把D的坐標(biāo)代入直線的函數(shù)表達(dá)式求出m，再把D的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達(dá)式求出k即可；（2）延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)Q，交于點(diǎn)L．利用等腰三角形的判定與性質(zhì)可得出，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，，則可求出，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：，，．又，．，點(diǎn)．設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，將，代入，得，解得，∴直線的函數(shù)表達(dá)式為．將點(diǎn)代入，得．．將代入，得．（2）解：延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)Q，交于點(diǎn)L．

，，．軸，，．，，，．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，，則，．．．當(dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí)．16．（2024·四川自貢·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)．(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；(2)P是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，的面積為21，求點(diǎn)P坐標(biāo)；(3)點(diǎn)Q在反比例函數(shù)位于第四象限的圖象上，的面積為21，請(qǐng)直接寫出Q點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)，(2)點(diǎn)P坐標(biāo)為或；(3)Q點(diǎn)坐標(biāo)為或【分析】（1）先求出，再代入，得出，再運(yùn)用待定系數(shù)法解一次函數(shù)的解析式，即可作答．（2）先得出直線與直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)求不規(guī)則面積運(yùn)用割補(bǔ)法列式化簡(jiǎn)得，解出，即可作答．（3）要進(jìn)行分類討論，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右邊時(shí)和點(diǎn)在點(diǎn)的左邊時(shí)，根據(jù)求不規(guī)則面積運(yùn)用割補(bǔ)法列式，其中運(yùn)用公式法解方程，注意計(jì)算問題，即可作答．【詳解】（1）解：依題意把代入，得出解得把代入中，得出∴則把和分別代入得出解得∴；（2）解：記直線與直線的交點(diǎn)為∵∴當(dāng)時(shí)，則∴∵P是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴設(shè)點(diǎn)，∵的面積為21，∴即∴解得或∴點(diǎn)P坐標(biāo)為或；（3）解：由（1）得出∵點(diǎn)Q在反比例函數(shù)位于第四象限的圖象上，∴設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為如圖：點(diǎn)在點(diǎn)的右邊時(shí)∵的面積為21，和∴整理得解得（負(fù)值已舍去）經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為如圖：點(diǎn)在點(diǎn)的左邊時(shí)∵的面積為21，和∴整理得解得，符合題意，，不符合題意，則，故綜上：Q點(diǎn)坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，幾何綜合，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，割補(bǔ)法求面積，公式法解方程，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．17．（2024·四川瀘州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，且關(guān)于直線對(duì)稱．(1)求該拋物線的解析式；(2)當(dāng)時(shí)，y的取值范圍是，求t的值；(3)點(diǎn)C是拋物線上位于第一象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)C作x軸的垂線交直線于點(diǎn)D，在y軸上是否存在點(diǎn)E，使得以B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出該菱形的邊長(zhǎng)；若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在點(diǎn)以B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，邊長(zhǎng)為或2【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，菱形的性質(zhì)，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．（1）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）分和，兩種情況，結(jié)合二次函數(shù)的增減性進(jìn)行求解即可．（3）分為菱形的邊和菱形的對(duì)角線兩種情況進(jìn)行討論求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，且關(guān)于直線對(duì)稱，∴，解得：，∴；（2）∵拋物線的開口向下，對(duì)稱軸為直線，∴拋物線上點(diǎn)到對(duì)稱軸上的距離越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，∵時(shí)，，①當(dāng)時(shí)，則：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，即：，解得：或，均不符合題意，舍去；②當(dāng)時(shí)，則：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，即：，解得：；故；（3）存在；當(dāng)時(shí)，解得：，當(dāng)時(shí)，，∴，，設(shè)直線的解析式為，把代入，得：，∴，設(shè)，則：，∴，，，當(dāng)B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，分兩種情況：①當(dāng)為邊時(shí)，則：，即，解得：（舍去）或，此時(shí)菱形的邊長(zhǎng)為；②當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，則：，即：，解得：或（舍去）此時(shí)菱形的邊長(zhǎng)為：；綜上：存在以B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，邊長(zhǎng)為或2．18．（2024·四川南充·中考真題）已知拋物線與軸交于點(diǎn)，．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），直線，分別交拋物線于點(diǎn)，，設(shè)面積為，面積為，求的值；(3)如圖，點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸與軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)的直線（不與對(duì)稱軸重合）與拋物線交于點(diǎn)，，過拋物線頂點(diǎn)作直線軸，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)．求的最小值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（）利用待定系數(shù)法即可求解；（）設(shè)，直線為，求出，直線為，求出，聯(lián)立方程組得，，再根據(jù)，即可求解；（）設(shè)直線為，由得，得，設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物，得，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得：，，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，則有，過點(diǎn)作于F，則，則，，根據(jù)勾股定理得，即可求出最小值．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點(diǎn)，，，

解得，∴拋物線的解析式為；（2）設(shè)，直線為，據(jù)題意得，，解得，∴，聯(lián)立得，解得或，∴，設(shè)，直線為，據(jù)題意得，，解得，∴，聯(lián)立得，解得或，∴，

，

，∴；（3）設(shè)直線為，由得，∴，∴，

設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物線，得，，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得：，，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，

由題意得直線，則，∴，過點(diǎn)作于F，則．則，，

在中，，

即當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，解一元二次方程，根的判別式，勾股定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．19．（2024·吉林·中考真題）如圖，在中，，，，是的角平分線．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以的速度沿折線向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)P作，交于點(diǎn)Q，以為邊作等邊三角形，且點(diǎn)C，E在同側(cè)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，與重合部分圖形的面積為．

(1)當(dāng)點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，判斷的形狀（不必證明），并直接寫出的長(zhǎng)（用含t的代數(shù)式表示）．(2)當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，求t的值．(3)求S關(guān)于t的函數(shù)解析式，并寫出自變量t的取值范圍．【答案】(1)等腰三角形，(2)(3)【分析】（1）過點(diǎn)Q作于點(diǎn)H，根據(jù)“平行線+角平分線”即可得到，由，得到，解得到；（2）由為等邊三角形得到，而，則，故，解得；（3）當(dāng)點(diǎn)P在上，點(diǎn)E在上，重合部分為，過點(diǎn)P作于點(diǎn)G，，則，此時(shí)；當(dāng)點(diǎn)P在上，點(diǎn)E在延長(zhǎng)線上時(shí)，記與交于點(diǎn)F，此時(shí)重合部分為四邊形，此時(shí)，因此，故可得，此時(shí)；當(dāng)點(diǎn)P在上，重合部分為，此時(shí)，，解直角三角形得，故，此時(shí)，再綜上即可求解．【詳解】（1）解：過點(diǎn)Q作于點(diǎn)H，由題意得：

∵，，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴為等腰三角形，∵，∴，∴在中，；（2）解：如圖，

∵為等邊三角形，∴，由（1）得，∴，即，∴；（3）解：當(dāng)點(diǎn)P在上，點(diǎn)E在上，重合部分為，過點(diǎn)P作于點(diǎn)G，

∵，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，由（2）知當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，，∴；當(dāng)點(diǎn)P在上，點(diǎn)E在延長(zhǎng)線上時(shí)，記與交于點(diǎn)F，此時(shí)重合部分為四邊形，如圖，

∵是等邊三角形，∴，而，∴，∴，∴，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，在中，，∴，∴；當(dāng)點(diǎn)P在上，重合部分為，如圖，

∵，由上知，∴，∴此時(shí)，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，∴，∵，∴，∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，，解得：，∴，綜上所述：．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，解直角三角形的相關(guān)計(jì)算，等腰三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，正確添加輔助線是解決本題的關(guān)鍵．20．（2024·四川德陽(yáng)·中考真題）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)時(shí)，求的函數(shù)值的取值范圍；(3)將拋物線的頂點(diǎn)向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．【答案】(1)(2)(3)的最小值為：【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式即可；（2）求解的對(duì)稱軸為直線，而，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案；（3）求解，，可得，求解直線為，及，證明在直線上，如圖，過作于，連接，過作于，可得，，證明，可得，可得，再進(jìn)一步求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點(diǎn)，∴，解得：，∴拋物線的解析式為：；（2）解：∵的對(duì)稱軸為直線，而，∴函數(shù)最小值為：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)值的范圍為：；（3）解：∵，當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，解得：，，∴，∴，設(shè)直線為，∴，∴，∴直線為，∵拋物線的頂點(diǎn)向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，而頂點(diǎn)為，∴，∴在直線上，如圖，過作于，連接，過作于，∵，，∴，，∵對(duì)稱軸與軸平行，∴，∴，∴，由拋物線的對(duì)稱性可得：，，∴，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，∴，∴，∴，即的最小值為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)求解線段和的最小值，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，做出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．21．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊三角形的邊在x軸上，點(diǎn)A在第一象限，的長(zhǎng)度是一元二次方程的根，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，相遇時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（），的面積為S．(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)求S與t的函數(shù)關(guān)系式；(3)在（2）的條件下，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M在y軸上，坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使得以點(diǎn)O、P、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．若存在，直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【答案】(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2)(3)存在，，，，【分析】（1）運(yùn)用因式分解法解方程求出的長(zhǎng)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，過點(diǎn)A作軸，垂足為C，求出的長(zhǎng)即可；（2）分，和三種情況，運(yùn)用三角形面積公式求解即可；（3）當(dāng)時(shí)求出，得，分為邊和對(duì)角線兩種情況可得點(diǎn)N的坐標(biāo)；當(dāng)和時(shí)不存在以點(diǎn)O、P、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形【詳解】（1）解：，解得，的長(zhǎng)度是的根，∵是等邊三角形，∴，過點(diǎn)A作軸，垂足為C，在中，∴，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2）解：當(dāng)時(shí)．過P作軸，垂足為點(diǎn)D，∴，，∴∴，；當(dāng)時(shí)，過Q作，垂足為點(diǎn)E∵∴又∴，又，當(dāng)時(shí)，過O作，垂足為F∴，同理可得，，∴；綜上所述（3）解：當(dāng)時(shí)，解得，∴，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)G，則∴∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；當(dāng)為邊時(shí)，將沿軸向下平移4個(gè)單位得，此時(shí)，四邊形是菱形；將沿軸向上平移4個(gè)單位得，此時(shí)，四邊形是菱形；如圖，作點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，四邊形是菱形；當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，設(shè)的中點(diǎn)為T，過點(diǎn)T作，交y軸于點(diǎn)M，延長(zhǎng)到,使連接,過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則∴∴,即，解得，,∴，∴；當(dāng)，解得，，不符合題意，此情況不存在；當(dāng)時(shí)，解得，，不符合題意，此情況不存在；綜上，點(diǎn)N的坐標(biāo)為，，，【點(diǎn)睛】本題主要考查運(yùn)用因式分解法解一元二次方程，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，三角形的面積，菱形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線和分類討論是解答本題的關(guān)鍵22．（2024·江西·中考真題）綜合與實(shí)踐如圖，在中，點(diǎn)D是斜邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D與點(diǎn)A不重合），連接，以為直角邊在的右側(cè)構(gòu)造，，連接，．特例感知（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，與之間的位置關(guān)系是______，數(shù)量關(guān)系是______；類比遷移（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，猜想與之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明猜想．拓展應(yīng)用（3）在（1）的條件下，點(diǎn)F與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱，連接，，，如圖3．已知，設(shè)，四邊形的面積為y．①求y與x的函數(shù)表達(dá)式，并求出y的最小值；②當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)度．【答案】（1），（2）與之間的位置關(guān)系是，數(shù)量關(guān)系是；（3）①y與x的函數(shù)表達(dá)式，當(dāng)時(shí)，的最小值為；②當(dāng)時(shí)，為或.【分析】（1）先證明，，，可得；再結(jié)合全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）先證明，，結(jié)合，可得；再結(jié)合相似三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；（3）①先證明四邊形為正方形，如圖，過作于，可得，，再分情況結(jié)合勾股定理可得函數(shù)解析式，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)可得最小值；②如圖，連接，，，證明，可得在上，且為直徑，則，過作于，過作于，求解正方形面積為,結(jié)合，再解方程可得答案.【詳解】解：（1）∵，∴，，∵，∴，，∴；∴，，∴，∴，∴與之間的位置關(guān)系是，數(shù)量關(guān)系是；（2）與之間的位置關(guān)系是，數(shù)量關(guān)系是；理由如下：∵，∴，，∵，∴；∴，，∴，∴，∴與之間的位置關(guān)系是，數(shù)量關(guān)系是；（3）由（1）得：，，，∴，都為等腰直角三角形；∵點(diǎn)F與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱，∴為等腰直角三角形；，∴四邊形為正方形，如圖，過作于，∵，，∴，，當(dāng)時(shí)，∴，∴，如圖，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，同理可得：，∴y與x的函數(shù)表達(dá)式為，當(dāng)時(shí)，的最小值為；②如圖，∵，正方形，記正方形的中心為，∴，連接，，，∴，∴在上，且為直徑，∴，過作于，過作于，∴，，∴，∴，∴正方形面積為,∴，解得：，，經(jīng)檢驗(yàn)都符合題意，如圖，綜上：當(dāng)時(shí)，為或.【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，圓的確定及圓周角定理的應(yīng)用，本題難度大，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.23．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）綜合與探究：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，過A，C兩點(diǎn)的拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線位于第四象限圖象上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作x軸和y軸的平行線，分別交直線于點(diǎn)E，點(diǎn)F．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)D是x軸上的任意一點(diǎn)，若是以為腰的等腰三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(4)在（3）的條件下，若點(diǎn)N是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)N作拋物線對(duì)稱軸的垂線，垂足為M，連接，則的最小值為______．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題主要考查了求函數(shù)解析式、二次函數(shù)與幾何的綜合等知識(shí)點(diǎn)，掌握數(shù)形結(jié)合思想成為解題的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)題意確定點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，然后運(yùn)用待定系數(shù)法求解即可；（2）分三種情況分別畫出圖形，然后根據(jù)等腰三角形的定義以及坐標(biāo)與圖形即可解答；（3）先證明可得，設(shè)，則,可得，即，求得可得m的值，進(jìn)而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；（4）如圖：將線段向右平移單位得到,即四邊形是平行四邊形，可得,即，作關(guān)于對(duì)稱軸的點(diǎn),則，由兩點(diǎn)間的距離公式可得，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得即可解答．【詳解】（1）解：∵直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，∴當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即；∵，∴設(shè)拋物線的解析式為，把代入可得：，解得：，∴，∴拋物線的解析式為：．（2）解：∵，，∴,∴，如圖：當(dāng)，∴,即；如圖：當(dāng)，∴,即；如圖：當(dāng)，∴,即；綜上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為．（3）解：如圖：∵軸，∴，∵軸，∴，∵，∴,∴,∵設(shè)，則,∴，∴，解得：（負(fù)值舍去），當(dāng)時(shí)，，∴．（4）解：∵拋物線的解析式為：，∴拋物線的對(duì)稱軸為：直線，如圖：將線段向右平移單位得到,∴四邊形是平行四邊形，∴,即,作關(guān)于對(duì)稱軸的點(diǎn),則∴,∵，∴的最小值為．故答案為．24．（2024·四川廣元·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線F：經(jīng)過點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)在直線上方拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)C，連接交于點(diǎn)D，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)；(3)作拋物線F關(guān)于直線上一點(diǎn)的對(duì)稱圖象，拋物線F與只有一個(gè)公共點(diǎn)E（點(diǎn)E在y軸右側(cè)），G為直線上一點(diǎn)，H為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，若以B，E，G，H為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求G點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)最大值為，C的坐標(biāo)為；(3)點(diǎn)G的坐標(biāo)為，，．【分析】（1）本題考查了待定系數(shù)法解拋物線分析式，根據(jù)題意將點(diǎn)坐標(biāo)分別代入拋物線解析式，解方程即可；（2）根據(jù)題意證明，再設(shè)的解析式為，求出的解析式，再設(shè)，則，再表示出利用最值即可得到本題答案；（3）根據(jù)題意求出，再分情況討論當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，當(dāng)為邊時(shí)繼而得到本題答案．【詳解】（1）解：，代入，得：，解得：，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．（2）解：如圖1，過點(diǎn)C作x軸的垂線交于點(diǎn)M．∴軸，∴，∴，設(shè)的解析式為，把，代入解析式得，解得：，∴．設(shè)，則，∴，∵，，∴當(dāng)時(shí)，最大，最大值為．∴的最大值為，此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為．（3）解：由中心對(duì)稱可知，拋物線F與的公共點(diǎn)E為直線與拋物線F的右交點(diǎn)，∴，∴（舍），，∴．∵拋物線F：的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線．如圖2，當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，由題知，∴，∴．如圖3，當(dāng)為邊時(shí)，由題知，∴，∴．如圖4，由題知，∴，∴，綜上：點(diǎn)G的坐標(biāo)為，，．25．（2024·天津·中考真題）將一個(gè)平行四邊形紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，且．(1)填空：如圖①，點(diǎn)的坐標(biāo)為______，點(diǎn)的坐標(biāo)為______；(2)若為軸的正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作直線軸，沿直線折疊該紙片，折疊后點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在軸的正半軸上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為．設(shè)．①如圖②，若直線與邊相交于點(diǎn)，當(dāng)折疊后四邊形與重疊部分為五邊形時(shí)，與相交于點(diǎn)．試用含有的式子表示線段的長(zhǎng)，并直接寫出的取值范圍；②設(shè)折疊后重疊部分的面積為，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得出結(jié)合勾股定理，即可作答．（2）①由折疊得，，再證明是等邊三角形，運(yùn)用線段的和差關(guān)系列式化簡(jiǎn)，，考慮當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，和當(dāng)與點(diǎn)B重合時(shí)，分別作圖，得出的取值范圍，即可作答．②根據(jù)①的結(jié)論，根據(jù)解直角三角形的性質(zhì)得出，再分別以時(shí)，時(shí)，，分別作圖，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思路列式計(jì)算，即可作答．【詳解】（1）解：如圖：過點(diǎn)C作∵四邊形是平行四邊形，，∴∵∴∴∴∴∵∴∴故答案為：，（2）解：①∵過點(diǎn)作直線軸，沿直線折疊該紙片，折疊后點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在軸的正半軸上，∴，，∴∵∴∴∵四邊形為平行四邊形，∴，，∴是等邊三角形∴∵∴∴；當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)與的交點(diǎn)為E與A重合，如圖：當(dāng)與點(diǎn)B重合時(shí)，此時(shí)與的交點(diǎn)為E與B重合，∴的取值范圍為；②如圖：過點(diǎn)C作由（1）得出，∴，∴當(dāng)時(shí)，∴，開口向上，對(duì)稱軸直線∴在時(shí)，隨著的增大而增大∴；當(dāng)時(shí)，如圖：∴，隨著的增大而增大∴在時(shí)；在時(shí)；∴當(dāng)時(shí)，∵當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)E作，如圖：∵由①得出是等邊三角形，∴，∴，∴∵∴開口向下，在時(shí)，有最大值∴∴在時(shí)，∴則在時(shí)，；當(dāng)時(shí)，如圖，∴，隨著的增大而減小∴在時(shí)，則把分別代入得出，∴在時(shí)，綜上：【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形的性質(zhì)，折疊性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．26．（2024·湖南·中考真題）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，是此二次函數(shù)的圖像上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)．(1)求此二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖1，此二次函數(shù)的圖像與x軸的正半軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)P在直線的上方，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)C，交AB于點(diǎn)D，連接．若，求證的值為定值；(3)如圖2，點(diǎn)P在第二象限，，若點(diǎn)M在直線上，且橫坐標(biāo)為，過點(diǎn)M作軸于點(diǎn)N，求線段長(zhǎng)度的最大值．【答案】(1)(2)為定值3，證明見解析(3)【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出直線的解析式，，則，，表示出，，代入即可求解；（3）設(shè)，則，求出直線的解析式，把代入即可求出線段長(zhǎng)度的最大值．【詳解】（1）∵二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，∴，∴，∴；（2）當(dāng)時(shí)，，∴，∴，設(shè)直線的解析式為，∴，∴，∴，設(shè)，則，，∴，．∴，∴的值為定值；（3）設(shè)，則，設(shè)直線的解析式為，∴，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，線段長(zhǎng)度的最大值．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)與幾何綜合，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．27．（2024·廣東·中考真題）【問題背景】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B，D是直線上第一象限內(nèi)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以線段為對(duì)角線作矩形，軸．反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A．【構(gòu)建聯(lián)系】（1）求證：函數(shù)的圖象必經(jīng)過點(diǎn)C．（2）如圖2，把矩形沿折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E．當(dāng)點(diǎn)E落在y軸上，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為時(shí)，求k的值．【深入探究】（3）如圖3，把矩形沿折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E．當(dāng)點(diǎn)E，A重合時(shí)，連接交于點(diǎn)P．以點(diǎn)O為圓心，長(zhǎng)為半徑作．若，當(dāng)與的邊有交點(diǎn)時(shí)，求k的取值范圍．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）【分析】（1）設(shè)，則，用含的代數(shù)式表示出，再代入驗(yàn)證即可得解；（2）先由點(diǎn)B的坐標(biāo)和k表示出，再由折疊性質(zhì)得出，如圖，過點(diǎn)D作軸，過點(diǎn)B作軸，證出，由比值關(guān)系可求出，最后由即可得解；（3）當(dāng)過點(diǎn)B時(shí)，如圖所示，過點(diǎn)D作軸交y軸于點(diǎn)H，求出k的值，當(dāng)過點(diǎn)A時(shí)，根據(jù)A，C關(guān)于直線對(duì)軸知，必過點(diǎn)C，如圖所示，連，，過點(diǎn)D作軸交y軸于點(diǎn)H，求出k的值，進(jìn)而即可求出k的取值范圍．【詳解】（1）設(shè)，則，∵軸，∴D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，∴將代入中得：得，∴，∴，∴，∴將代入中得出，∴函數(shù)的圖象必經(jīng)過點(diǎn)C；（2）∵點(diǎn)在直線上，∴，∴，∴A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，∵函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，C，∴，，∴，∴，∵把矩形沿折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，∴，，∴，如圖，過點(diǎn)D作軸，過點(diǎn)B作軸，∵軸，∴H，A，D三點(diǎn)共線，∴，，∴，∵，∴，∴,∵，∴，，∴，由圖知，，∴，∴；（3）∵把矩形沿折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，當(dāng)點(diǎn)E，A重合，∴，∵四邊形為矩形，∴四邊形為正方形，，∴，，，∵軸，∴直線為一，三象限的夾角平分線，∴，當(dāng)過點(diǎn)B時(shí)，如圖所示，過點(diǎn)D作軸交y軸于點(diǎn)H，∵軸，∴H，A，D三點(diǎn)共線，∵以點(diǎn)O為圓心，長(zhǎng)為半徑作，，∴，∴，∴，，，∵軸，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，當(dāng)過點(diǎn)A時(shí)，根據(jù)A，C關(guān)于直線對(duì)軸知，必過點(diǎn)C，如圖所示，連，，過點(diǎn)D作軸交y軸于點(diǎn)H，∵,∴為等邊三角形，∵，∴，∴，，∴，，∵軸，∴，∴，∴,∴，∴，∴，∴,∴當(dāng)與的邊有交點(diǎn)時(shí)，k的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，一次函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，圓的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握其性質(zhì)，合理作出輔助線是解決此題的關(guān)鍵．28．（2024·四川達(dá)州·中考真題）如圖1，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2，連接，，直線交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)，若點(diǎn)是直線上方拋物線上一點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上位于點(diǎn)上方的一動(dòng)點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，若存在，請(qǐng)直接寫出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)或；(3)或或或【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式，即可求解；（2）先求得的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理的逆定理得出是等腰三角形，進(jìn)而根據(jù)得出，連接，設(shè)交軸于點(diǎn)，則得出是等腰直角三角形，進(jìn)而得出，則點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)符合題意，，過點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，得出直線的解析式為，聯(lián)立拋物線解析式，即可求解；（3）勾股定理求得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分類討論解方程，即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，∴解得：∴拋物線的解析式為；（2）由，當(dāng)時(shí)，，則∵，則，對(duì)稱軸為直線設(shè)直線的解析式為，代入，∴解得：∴直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，則∴∴∴是等腰三角形，∴連接，設(shè)交軸于點(diǎn)，則∴是等腰直角三角形，∴，，又∴∴∴點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)符合題意，如圖所示，過點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，設(shè)直線的解析式為，將代入得，解得：∴直線的解析式為聯(lián)立解得：，∴綜上所述，或；（3）解：∵，，∴∵點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上位于點(diǎn)上方的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)其中∴，①當(dāng)時(shí)，，解得：或②當(dāng)時(shí)，，解得：③當(dāng)時(shí)，，解得：或（舍去）綜上所述，或或或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，待定系數(shù)法求解析式，面積問題，特殊三角形問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．29．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過原點(diǎn)和點(diǎn)．經(jīng)過點(diǎn)的直線與該二次函數(shù)圖象交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)是二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．①為何值時(shí)線段的長(zhǎng)度最大，并求出最大值；②是否存在點(diǎn)，使得與相似．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)，(2)①當(dāng)時(shí)，有最大值為；②當(dāng)P的坐標(biāo)為或時(shí)，與相似【分析】（1）把，，代入求解即可，利用待定系數(shù)法求出直線解析式，然后令，求出y，即可求出C的坐標(biāo)；（2）①根據(jù)P、D的坐標(biāo)求出，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；②先利用等邊對(duì)等角，平行線的判定與性質(zhì)等求出，然后分，兩種情況討論過，利用相似三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等求解即可．【詳解】（1）解：把，，代入，得，解得，∴二次函數(shù)的解析式為，設(shè)直線解析式為，則，解得，∴直線解析式為，當(dāng)時(shí)，，∴；（2）解：①設(shè)，則，∴，∴當(dāng)時(shí)，有最大值為；②∵，，∴，又，∴，又軸，∴軸，∴，當(dāng)時(shí)，如圖，∴，∴軸，∴P的縱坐標(biāo)為3，把代入，得，解得，，∴，∴，∴P的坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，如圖，過B作于F，則，，又，∴，∴，∴，∴，∴，解得，（舍去），∴，∴P的坐標(biāo)為綜上，當(dāng)P的坐標(biāo)為或時(shí)，與相似．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，明確題意，添加合適輔助線，合理分類討論是解題的關(guān)鍵．30．（2024·四川廣安·中考真題）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為．

(1)求此拋物線的函數(shù)解析式．(2)點(diǎn)是直線上方拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)骄渴欠裼凶畲笾?？若有最大值，求出最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若沒有最大值，請(qǐng)說明理由．(3)點(diǎn)為該拋物線上的點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)的最大值為，點(diǎn)的坐標(biāo)為(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為或【分析】（1）直接利用拋物線的交點(diǎn)式可得拋物線的解析式；（2）先求解，及直線為，設(shè)，可得，再建立二次函數(shù)求解即可；（3）如圖，以為對(duì)角線作正方形，可得，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)即為，如圖，過作軸的平行線交軸于，過作于，則，設(shè)，則，求解，進(jìn)一步求解直線為：，直線為，再求解函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)即可.【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為．∴；（2）解：當(dāng)時(shí)，，∴，設(shè)直線為，∴，解得：，∴直線為，設(shè)，∴，∴；當(dāng)時(shí)，有最大值；此時(shí)；（3）解：如圖，以為對(duì)角線作正方形，∴，∴與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)即為，如圖，過作軸的平行線交軸于，過作于，則，∴，∴，∴，∵，∴，∴，，設(shè)，則，∴,∴，由可得：∴，解得：，∴，設(shè)為：，∴，解得：，∴直線為：，∴，解得：或，∴，∵，，，正方形，∴，同理可得：直線為，∴，解得：或，∴，綜上：點(diǎn)的坐標(biāo)為或.【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式，拋物線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.31．（2024·山東煙臺(tái)·中考真題）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，，，對(duì)稱軸為直線，將拋物線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后得到新拋物線，拋物線與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為，對(duì)稱軸為直線．(1)分別求拋物線和的表達(dá)式；(2)如圖，點(diǎn)的坐標(biāo)為，動(dòng)點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作軸與直線交于點(diǎn)，連接，．求的最小值；(3)如圖，點(diǎn)的坐標(biāo)為，動(dòng)點(diǎn)在拋物線上，試探究是否存在點(diǎn)，使？若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)，(2)(3)存在，或【分析】（1）先求出點(diǎn)A、B、C坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出拋物線的表達(dá)式，求出其頂點(diǎn)坐標(biāo)，由旋轉(zhuǎn)可知拋物線的二次項(xiàng)系數(shù)為原來的相反數(shù)，頂點(diǎn)坐標(biāo)與拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即可求解；（2）將點(diǎn)F向右平移2個(gè)單位至，則，，過點(diǎn)D作直線的對(duì)稱點(diǎn)為，連接，則四邊形為平行四邊形，則，，因此，即可求解；（3）當(dāng)點(diǎn)P在直線右側(cè)拋物線上時(shí)，可得，作H關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則點(diǎn)在直線上，可求直線的表達(dá)式為，聯(lián)立，解得：或（舍），故；當(dāng)點(diǎn)P在直線左側(cè)拋物線上時(shí)，延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)N，作的垂直平分線交于點(diǎn)Q，交y軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作軸于點(diǎn)K，則，可得，可證明出，由，得，設(shè)，則，，在和中，由勾股定理得，解得：或（舍），所以，可求直線表達(dá)式為：，聯(lián)立，解得：或（舍），故．【詳解】（1）解：設(shè)對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)G，由題意得，∵對(duì)稱軸為直線，∴，∴，∴，將A、B、C分別代入，得：，解得：，∴，∴，頂點(diǎn)為∵拋物