2024北京燕山初三（上）期中數學（教師版）

第1頁/共1頁2024北京燕山初三（上）期中數學考生須知1．本試卷共7頁，三道大題，28道小題．滿分100分．考試時間120分鐘．2．在試卷、答題卡上準確填寫學校名稱、班級、姓名和考號．3．選擇題、作圖題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色字跡筆作答．4．所有試題均在答題卡上作答，在試卷上作答無效．一、選擇題（本題共16分，每小題2分）下面各題均有四個選項，其中只有一個是符合題意的．1.下列圖形中，既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形的是（）A. B. C. D.2.二次函數的頂點坐標是（）A. B. C. D.3.如圖，將繞點O逆時針旋轉30°得到，則＝（）A.30° B.60° C.70° D.90°4.一元二次方程的解是（）A. B.C. D.5.已知，則代數式的值為（）A.2 B. C.3 D.6.用配方法解方程，下列配方正確的是（）A. B. C. D.7.已知拋物線，其中，．下列說法正確的是（）A.該拋物線經過原點B.該拋物線的對稱軸在軸左側C.該拋物線的頂點可能在第一象限D.該拋物線與軸必有公共點8.如圖，在中，，，，動點，分別從，兩點同時出發(fā)，點從點開始沿邊向點以每秒1個單位長度的速度移動，點從點開始沿向點以每秒2個單位長度的速度移動，設運動時間為，點，之間的距離為，的面積為，則與，與滿足的函數關系分別是（）A.正比例函數關系，一次函數關系 B.正比例函數關系，二次函數關系C.一次函數關系，正比例函數關系 D.一次函數關系，二次函數關系二、填空題（本題共16分，每小題2分）9.點關于原點的對稱點的坐標為________．10.若關于的一元二次方程有實數根，寫出的一個值可以是________．（寫出一個即可）11.在函數中,當x＞1時,y隨x的增大而___．（填“增大”或“減小”）12.寫出一個二次函數，使其滿足：開口向下且過點，這個二次函數的解析式可以是________．（寫出一個即可）13.已知拋物線上有兩點和，則________．（用“”，“”，“”填寫）14.如圖，在平面直角坐標系中，四邊形是矩形，點，，將矩形繞點逆時針旋轉，則旋轉后點的對應點坐標為________．15.如圖，直線與拋物線交于，兩點，其中點，點，當時，的取值范圍是________．16.某企業(yè)有兩條加工相同原材料的生產線．在一天內，生產線共加工噸原材料，加工時間為小時；在一天內，生產線共加工噸原材料，加工時間為小時．第一天，該企業(yè)將5噸原材料分配到兩條生產線，兩條生產線都在一天內完成了加工，且加工時間相同，則分配到生產線的噸數與分配到生產線的噸數的比為______________．第二天開工前，該企業(yè)按第一天的分配結果分配了5噸原材料后，又給生產線分配了噸原材料，給生產線分配了噸原材料．若兩條生產線都能在一天內加工完各自分配到的所有原材料，且加工時間相同，則的值為______________．三、解答題（本題共68分，第17題~第22題，每題各5分；第23題~第26題，每題各6分；第27題~第28題，每題7分）17.解方程：．18.如圖，在中，，將繞點C順時針旋轉得到，點A與點D對應，點B與點E對應．（1）依題意補全圖形；（2）直線AB與直線DE的位置關系為___________．19.已知是方程的根，求代數式的值．20.已知二次函數．（1）在下圖所示的平面直角坐標系中畫出該二次函數的圖象；（2）點____________該函數的圖象上（填“在”或“不在”）．21.如圖，在中，，將繞點A順時針旋轉得到，交于點F．若，求的長．22.在平面直角坐標系中，拋物線經過和兩點．（1）求該拋物線的解析式；（2）求該拋物線的對稱軸和頂點坐標．23.已知關于x的一元二次方程．（1）求證：該方程總有兩個實數根；（2）若該方程有一個實數根小于2，求m的取值范圍．24.某校“研學”活動小組在一次野外實踐時，發(fā)現一種植物的主干長出若干數目的支干，每個支干又長出同樣數目的小分支，主干、支干和小分支的總數是43，求這種植物每個支干長出的小分支個數25.已知在平面直角坐標系中的位置如圖所示．（1）作出關于原點對稱的；（2）求出的面積．26.在平面直角坐標系中，點，在拋物線上，設拋物線的對稱軸為．（1）若，求的值；（2）若，求的取值范圍．27.如圖，在中，為的中點，點在上，以點A為中心，將線段順時針旋轉得到線段，連接．（1）比較與的大?。挥玫仁奖硎揪€段之間的數量關系，并證明；（2）過點作的垂線，交于點，用等式表示線段與的數量關系，并證明．28.定義：在平面直角坐標系中，有一條直線，對于任意一個函數，作該函數自變量大于的部分關于直線的軸對稱圖形，與原函數中自變量大于或等于的部分共同構成一個新的函數圖象，則這個新函數叫做原函數關于直線的“鏡面函數”．例如：圖①是函數的圖象，則它關于直線的“鏡面函數”的圖像如圖②所示，且它的“鏡面函數”的解析式為，也可以寫成．圖①圖②圖③（1）在圖③中畫出函數關于直線的“鏡面函數”的圖象；（2）函數關于直線的“鏡面函數”與直線有三個公共點，直接寫出的值．

參考答案一、選擇題（本題共16分，每小題2分）下面各題均有四個選項，其中只有一個是符合題意的．1.【答案】D【分析】根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念，對各選項分析判斷即可得解．把一個圖形繞某一點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形；如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形．本題考查了中心對稱圖形和軸對稱圖形，熟練掌握中心對稱圖形和軸對稱圖形的概念是解題的關鍵．【詳解】解：A．不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；B．是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；C．不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故本選項符合題意；D．既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形，故本選項合題意．故選：D．2.【答案】D【分析】本題主要考查二次函數的性質，解題的關鍵是掌握二次函數的頂點式，頂點坐標為．由拋物線的頂點坐標式可求得答案．【詳解】解：二次函數頂點坐標為．故選：D．3.【答案】B【分析】根據旋轉圖形的定義，可得，結合已知條件，算得．【詳解】解：∵繞點O逆時針旋轉30°得到，∴，∵，∴．故選：B．【點睛】本題考查了旋轉角的定義，確定相關的旋轉角是解題的關鍵．4.【答案】A【分析】本題考查解一元二次方程，利用因式分解法求出方程的解，即可．【詳解】解：∵，∴或，∴；故選A．5.【答案】B【分析】本題考查了因式分解，代數式求值，將變形為，再代入到進行計算即可得．【詳解】解：∴∴則，故選：B．6.【答案】C【分析】本題考查了配方法解一元二次方程．熟練掌握配方法解一元二次方程是解題的關鍵．根據，配方得進行作答即可．【詳解】解：，，，故選：C．7.【答案】C【分析】根據函數的圖象與系數的關系，需要對題中所給的，，進行分類討論，也可以畫出它的草圖，然后根據圖象解答即可．【詳解】解：A、∵，∴該拋物線與軸的交點在軸上方，不經過原點，∴此選項說法錯誤，不符合題意；B、∵，∴與異號，∴，∴該拋物線的對稱軸在軸右側，∴此選項說法錯誤，不符合題意；C、由已知可得拋物線頂點為，已知，所以頂點可能在第一象限，第四象限或者軸上，∴此選項說法正確，符合題意；D、令，則，∴，而無法判斷其正負情況，∴不能判斷拋物線與軸必有公共點，∴此選項說法錯誤，不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了二次函數的性質，考查了二次函數各項系數對其圖象的影響，對已知條件進行分類討論是解決問題的關鍵．8.【答案】D【分析】本題考查一次函數和二次函數的幾何應用，根據題意，結合圖形，列出與，與滿足的函數關系式，根據一次函數和二次函數的定義判斷即可．【詳解】解：由題意，，，則，則，，∴與滿足一次函數關系，與滿足二次函數關系，故選：D．二、填空題（本題共16分，每小題2分）9.【答案】【分析】此題主要考查關于原點對稱的點的坐標特點，掌握“關于原點對稱時，橫縱坐標都為相反數”是解題的關鍵．【詳解】解：關于原點的對稱點的坐標為，故答案為：．10.【答案】1（答案不唯一）【分析】本題主要考查了一元二次方程的解法，正確理解題意、掌握非負數的性質是關鍵．根據非負數的性質可得當時，一元二次方程有實數根，于是只要使c的值為負數即可．【詳解】解：∵關于x的一元二次方程有實數根，∴，∴的值可以是1（答案不唯一）．故答案為：1（答案不唯一）．11.【答案】增大【分析】根據其頂點式函數可知，拋物線開口向上，對稱軸為，在對稱軸右側y隨x的增大而增大，可得到答案．【詳解】由題意可知:函數,開口向上，在對稱軸右側y隨x的增大而增大，又∵對稱軸為，∴當時，y隨的增大而增大，故答案為：增大．【點睛】本題主要考查了二次函數的對稱軸及增減性，掌握當二次函數開口向上時，在對稱軸的右側y隨x的增大而增大，在對稱軸的左側y隨x的增大而減小是解題的關鍵．12.【答案】（答案不唯一）【分析】本題考查構造二次函數．根據開口向上，得到，與y軸交于點，得到，進行構造即可．【詳解】解：設拋物線的解析式為，∵拋物線的開口向下，與y軸交于點，∴，，∴二次函數可以為：；故答案為：（答案不唯一）13.【答案】【分析】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，求出相應的函數值是解題的關鍵．分別把A、B點的橫坐標代入拋物線解析式求解即可．【詳解】解：將和代入得，，∴．故答案為：．14.【答案】【分析】本題考查了矩形的性質、旋轉的性質，熟練掌握矩形的性質、旋轉的性質，是解題的關鍵．利用矩形的性質以及旋轉變換的性質得到，，進而求解即可．【詳解】解：如圖：四邊形是矩形，點，，，，由旋轉變換的性質可得：，，在第二象限，，即旋轉后點的對應點坐標為-2,3．故答案為：-2,3．15.【答案】【分析】本題考查了根據直線和拋物線交點確定不等式的解集．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與數形結合．由題意知，當時，則的取值范圍是拋物線圖象在直線圖象下方對應的所有的的取值，然后數形結合求解即可．【詳解】解：由題意知，當時，則的取值范圍是拋物線圖象在直線圖象下方對應的所有的的取值，∵圖象交于點，點，∴當時，，故答案為：．16.【答案】①.2∶3②.【分析】設分配到生產線的噸數為x噸，則分配到B生產線的噸數為（5-x）噸，依題意可得，然后求解即可，由題意可得第二天開工時，由上一問可得方程為，進而求解即可得出答案．【詳解】解：設分配到生產線的噸數為x噸，則分配到B生產線的噸數為（5-x）噸，依題意可得：，解得：，∴分配到B生產線的噸數為5-2=3（噸），∴分配到生產線的噸數與分配到生產線的噸數的比為2∶3；∴第二天開工時，給生產線分配了噸原材料，給生產線分配了噸原材料，∵加工時間相同，∴，解得：，∴；故答案為，．【點睛】本題主要考查一元一次方程、二元一次方程的應用及比例的基本性質，熟練掌握一元一次方程的應用及比例的基本性質是解題的關鍵．三、解答題（本題共68分，第17題~第22題，每題各5分；第23題~第26題，每題各6分；第27題~第28題，每題7分）17.【答案】【分析】用因式分解法求解即可．【詳解】解：或∴【點睛】本題考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接開平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟練掌握各種方法是解答本題的關鍵．18.【答案】（1）見解析（2）AB⊥DE【分析】（1）直接根據旋轉的性質作圖即可；（2）如圖：延長交于點F，然后根據旋轉的性質可得，然后根據對頂角相等并結合即可解答．【小問1詳解】解：如圖即為所求：．【小問2詳解】解：延長交于點F由旋轉可得:,∵,∵∵，∴,∴，即．故答案為：．【點睛】本題主要考查了旋轉作圖和旋轉的性質等知識點，靈活運用旋轉的性質成為解答本題的關鍵．19.【答案】7【分析】根據方程解的定義得到，再根據進行求解即可．【詳解】解：∵是方程的根，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了代數式求值，一元二次方程解的定義，熟知一元二次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數的值是解題的關鍵．20.【答案】（1）作圖見解析（2）不在【分析】（1）利用五點法作圖即可；（2）把代入函數解析式求得函數值即可判斷．【小問1詳解】解：如圖，x0123y3003【小問2詳解】解：把代入函數解析式得，，∴不在函數圖象上，故答案為：不在．【點睛】本題考查畫二次函數圖象及二次函數圖象上點的坐標，利用描點法作出函數圖象是解題的關鍵．21.【答案】【分析】利用旋轉的性質，得到，為等腰直角三角形，利用勾股定理進行求解即可．【詳解】解：∵繞點A順時針旋轉得到，∴．∵，∴．∵，∴．∵，∴是等腰直角三角形．∴．【點睛】本題考查旋轉的性質，勾股定理．熟練掌握旋轉的性質和勾股定理是解題的關鍵．22.【答案】（1）（2）對稱軸為直線，頂點為【分析】本題考查了待定系數法求二次函數解析式，以及頂點坐標和對稱軸，熟練掌握知識點是解題的關鍵．（1）運用待定系數法求解即可；（2）配方成即可求解．【小問1詳解】解：∵拋物線經過和兩點，，解得：，∴解析式為：；【小問2詳解】解：，∴對稱軸為直線，頂點為．23.【答案】（1）見解析（2）【分析】（1）求得該一元二次方程根的判別式大于等于零即可證明結論；（2）先求出該方程的解，然后令一個實數根小于2，然后求解不等式即可解答．【小問1詳解】證明：由題意，．∴該方程總有兩個實數根．【小問2詳解】（2）解：解方程，得：，．∵方程有一個實數根小于2，∴．∴．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式、解一元二次方程等知識點，當一元二次根的判別式大于等于零，則該方程有兩個不相等的實數根或相等的實數根．24.【答案】6【分析】設這種植物每個支干長出的小分支個數是x，根據主干、支干和小分支的總數是43，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論．【詳解】解：設這種植物每個支干長出的小分支個數是x，依題意得：，整理得：，解得：（不合題意，舍去），．故答案為：6．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．25.【答案】（1）圖形見解析（2）【分析】本題考查了關于原點對稱的點的坐標的特征，能夠利用關于原點對稱的點的坐標的特征作出，并靈活運用‘割補法’求出其面積是解決本題的關鍵．（1）利用關于原點對稱的點的坐標特征：在平面直角坐標系中，點關于原點對稱的點的坐標為．求得，，即可作出．（2）利用“割補法”構造梯形，則的面積梯形的面積，即可求出的面積．【小問1詳解】如圖，即為所求．【小問2詳解】解：如圖，構造梯形．由平面直角坐標系中圖形可知：，，，．．26.【答案】（1）（2）【分析】本題主要考查了二次函數的性質（1）依據題意，若，從而對稱軸是直線，進而可以得解；（2）把，代入解析式，根據得出的取值范圍．【小問1詳解】解：由題意，若