2024北京匯文中學初三（上）期中數(shù)學（教師版）

第1頁/共1頁2024北京匯文中學初三（上）期中數(shù)學本試卷共8頁，試卷總分100．考試時長120分鐘．請考生務必答案答在答題卡上，在試卷上作答無效．一、選擇題：本題共8小題，每小題2分，共16分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1.下列四個品牌圖標中，是中心對稱圖形的是（）A.B.C.D.2.將拋物線先向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度，所得拋物線的解析式為（）A. B.C. D.3.的半徑為3，點P到圓心O的距離為2，點P與的位置關(guān)系是（）A.無法確定 B.點P在外 C.點P在上 D.點P在內(nèi)4.對于二次函數(shù)，下列說法錯誤的是（）A.它的圖象的開口向下 B.它的圖象的對稱軸是直線C.當時，y取最大值 D.當時，y隨x的增大而減小5.一元二次方程的根的情況是（）A.有兩個不相等的實數(shù)根 B.沒有實數(shù)根C.有兩個相等的實數(shù)根 D.無法確定6.如圖，在平面直角坐標系中，一條圓弧經(jīng)過，B4,0，O三點，那么這條圓弧所在圓的圓心為圖中的（）A.點 B.點 C.點 D.點7.如圖，在長為，寬為的矩形耕地上，修筑同樣寬的三條道路（其中有兩條縱向和一條橫向，橫向與縱向道路互相垂直），把耕地分成六塊作為試驗田，要使試驗田總面積為，問道路應為多寬？若設(shè)道路寬為，則下列方程正確的是（）A. B.C. D.8.興趣小組同學借助數(shù)學軟件探究函數(shù)的圖象，輸入了一組a，b的值，得到了它的函數(shù)圖象，借助學習函數(shù)的經(jīng)驗，可以推斷輸入的a，b的值滿足（）A.， B.， C.， D.，二、填空題：本題共8小題，每小題2分，共16分．9.點關(guān)于軸對稱的點的坐標是______．10.若關(guān)于x的一元二次方程有一個根為1，則t的值為______．11.已知扇形的圓心角為，半徑為2，則扇形的弧長為__（結(jié)果保留．12.如圖，已知圓心角的度數(shù)為，則圓周角的度數(shù)是_______．13.已知二次函數(shù)圖像上部分點橫坐標、縱坐標的對應值如下表：x…01234…y…?3?4?305…直接寫出該二次函數(shù)的圖像與x軸的交點坐標______．14.已知二次函數(shù)，當時，y隨x的增大而增大，則m的值可以是______（寫出一個即可）．15.如圖，AB為⊙O的直徑，點P在AB的延長線上，PC，PD分別與⊙O相切于點C，D，若∠CPA=40°，則∠CAD的度數(shù)為______°．16.如圖，在8個格子中依次放著分別寫有字母a～h的小球．甲、乙兩人輪流從中取走小球，規(guī)則如下：①每人首次取球時，只能取走2個或3個球：后續(xù)每次可取走1個，2個或3個球；②取走2個或3個球時，必須從相鄰的格子中取走；③最后一個將球取完的人獲勝．（1）若甲首次取走寫有b，c的兩個球，乙又取走g，h兩個球，接著甲又取走兩個球，則______（填“甲”或“乙”）一定獲勝；（2）若甲首次取走寫有g(shù)，h的兩個球，乙想要一定獲勝，則乙首次取球的方案是______．三、解答題：本題共12小題，共68分．17.解方程：．18.在《阿基米德全集》中的《引理集》中記錄了古希臘數(shù)學家阿基米德提出的有關(guān)圓的一個引理．如圖，已知，C是弦AB上一點（1）尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）；①作線段的垂直平分線DE，交于點D，垂足為E；②以點D為圓心，長為半徑作弧，交于點F（F，A兩點不重合），連接．（2）引理的結(jié)論為：．證明：連接∵DE為的垂直平分線∴∴又∵四邊形內(nèi)接于圓∴（______）①（填推理的依據(jù)）又∵∴____________…②又∵∴____________…③∴∴∴．19.如圖，在平面直角坐標系中，．（1）將點B向上平移4個單位長度，得到點C，則點C的坐標是___________．（2）將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到，其中點A與點D對應，點D在線段上，請在圖中畫出；（3）經(jīng)過A，B，E三點___________確定一個圓．（填寫“能”或“不能”）20.已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，求：（1）點A、B、C的坐標；（2）的面積．21.如圖，內(nèi)接于，高AD經(jīng)過圓心O．若，的半徑為5，求的面積．22.已知關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）若m為符合條件的最大整數(shù)，求方程的解．23.已知拋物線，（1）畫出它的圖象；（2）求該拋物線的頂點坐標；（3）當時，直接寫出y的取值范圍．24.如圖，是的外接圓，為直徑，弦，過B做的切線，交的延長線于點E．（1）求證：；（2）求證：．25.如圖1是某條公路的一個具有兩條車道的隧道的橫斷面．經(jīng)測量，兩側(cè)墻和與路面垂直，隧道內(nèi)側(cè)寬米，為了確保隧道的安全通行，工程人員在路面上取點E，測量點E到墻面的距離，點E到隧道頂面的距離．設(shè)米，米．通過取點、測量，工程人員得到了x與y的幾組值，如下表：x（米）02468y（米）4.05.56.05.54.0（1）根據(jù)上述數(shù)據(jù)，直接寫出隧道頂面到路面AB的最大距離為___________米，并求出滿足的函數(shù)關(guān)系式；（2）請你幫助工程人員建立平面直角坐標系．描出上表中各對對應值為坐標的點，畫出可以表示隧道頂面的函數(shù)的圖像．（3）若如圖2的汽車在隧道內(nèi)正常通過時，汽車的任何部位需到左側(cè)墻及右側(cè)墻的距離不小于1米且到隧道頂面的距離不小于0.35米．按照這個要求，隧道需標注的限高應為多少米（精確到0.1米）？26.在平面直角坐標系xOy中，拋物線經(jīng)過點，（1）求a的值；（2）求拋物線的對稱軸（用含m的式子表示）；（3）點，在拋物線上，若，求m的取值范圍．27.如圖，等腰直角中，將邊繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，過點C作交于E，連接．（1）依題意補全圖1；（2）求的度數(shù)；（3）作點A關(guān)于直線的對稱點M，連接，用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．28.在平面直角坐標系中，的半徑為1，點A在上，點P在內(nèi)，給出如下定義：過點P作x軸的垂線交與點B（點B位于x軸上方），交x軸于點D，D，B的距離記為，A，D的距離為，若，則點P與點A關(guān)于的“特征距離”為，若，則點P與點A關(guān)于的“特征距離”為．（1）點A的坐標為1,0．①若點P的坐標為，則點P與點A關(guān)于的“特征距離”為______；②若點Q與點A關(guān)于的“特征距離”為1，求點Q縱坐標的取值范圍______；③點Q在直線上，點Q與點A關(guān)于的“特征距離”為，求點Q的坐標；（2）若當d取某個值時，對于函數(shù)的圖象上任意一點M，在上都存在點N，使得點M與點N關(guān)于的特征距離為d，直接寫出d的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題2分，共16分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1.【答案】B【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義，即可進行解答．【詳解】解：A、C、D找不到一個點，使A、C、D繞該點旋轉(zhuǎn)后能與原來的圖形重合，故A、C、D不是中心對稱圖形，不符合題意；B能找不到一個點，使B繞該點旋轉(zhuǎn)后能與原來的圖形重合，故B是中心對稱圖形，符合題意；故選：B．【點睛】本題考查了中心對稱圖形的識別，解題的關(guān)鍵是掌握中心對稱圖形：在平面內(nèi)，把一個圖形繞著某個點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形．2.【答案】D【分析】本題主要考查的是二次函數(shù)圖象與幾何變換，解題的關(guān)鍵是掌握用平移規(guī)律“左加右減，上加下減”直接代入函數(shù)解析式求得平移后的函數(shù)解析式．根據(jù)二次函數(shù)圖象左加右減，上加下減的平移規(guī)律進行求解即可．【詳解】解∶拋物線先向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度，所得拋物線的解析式為，故選∶D．3.【答案】D【分析】本題考查了點與圓的位置關(guān)系．注意若半徑為r，點到圓心的距離為d，則有：當時，點在圓外；當時，點在圓上，當時，點在圓內(nèi)．據(jù)此判斷即可．【詳解】解：∵的半徑為3，點P到圓心O的距離為2，∴，∴點P在內(nèi)，故選：D．4.【答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)逐項判斷即可得出答案，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、∵，∴它的圖象的開口向下，故該選項正確，不符合題意；B、它的圖象的對稱軸是直線，故該選項錯誤，符合題意；C、當時，y取最大值，故該選項正確，不符合題意；D、當時，y隨x的增大而減小，故當時，y隨x的增大而減小，故該選項正確，不符合題意；故選：B．5.【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程無實數(shù)根．根據(jù)一元二次方程的根的判別式得到，即可得出答案．【詳解】解：∵，∴一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根．故選：A．6.【答案】B【分析】本題考查了垂徑定理，線段垂直平分線性質(zhì)，坐標與圖形性質(zhì)的應用．根據(jù)圖形作線段的垂直平分線，與的垂線平分線的交點即為圓心，根據(jù)圖形得出即可．【詳解】解：如圖：作線段的垂直平分線，與的垂線平分線交于點E，即為弧的圓心，故選：B．7.【答案】C【分析】設(shè)道路寬為，分別表示出除去道路之后矩形的長和寬，然后根據(jù)試驗田總面積為，列方程即可．本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，解答本題的關(guān)鍵是看清圖形，讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程．【詳解】解：由題意得，．故選：C．8.【答案】A【分析】本題考查函數(shù)的圖象；能夠通過已學的反比例函數(shù)自變量的取值范圍確定b的取值是解題的關(guān)鍵．由圖象可知，當時，，可知；由函數(shù)自變量的取值范圍可得，結(jié)合函數(shù)圖象可得；從而可得答案.【詳解】解：由圖象可知，當時，，∴；由函數(shù)自變量的取值范圍可得，結(jié)合函數(shù)圖象可得；故選：A．二、填空題：本題共8小題，每小題2分，共16分．9.【答案】【分析】本題考查了點坐標規(guī)律探索，熟練掌握點坐標關(guān)于y軸對稱的變換規(guī)律是解題關(guān)鍵．根據(jù)點坐標關(guān)于y軸對稱的變換規(guī)律即可得．【詳解】∵關(guān)于y軸對稱的兩個點，橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標不變，∴點關(guān)于軸對稱的點的坐標是．故答案為：．10.【答案】3【分析】本題考查了方程根的定義即使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，轉(zhuǎn)化求解是解題的關(guān)鍵．把代入，轉(zhuǎn)化為的方程求解即可．【詳解】解：把代入，得，解得：，故答案為：3．11.【答案】【分析】已知扇形的圓心角為，半徑為2，代入弧長公式計算．【詳解】解：依題意，，，扇形的弧長．故答案為：．【點睛】本題考查了弧長公式的運用．關(guān)鍵是熟悉公式：扇形的弧長=．12.【答案】【分析】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，應在優(yōu)弧上取D點，連接，再進行解答即可．【詳解】解：如圖，在優(yōu)弧上取D點，連接，∵點C在的圓周上，∵的度數(shù)為，∴．∴．故答案為：．13.【答案】，【分析】利用表中數(shù)據(jù)和拋物線的對稱性得到拋物線的對稱軸為直線，再利用拋物線的對稱性寫出點關(guān)于直線的對稱點即可．【詳解】解：∵拋物線經(jīng)過點，∴拋物線的對稱軸為直線，∵拋物線與x軸的一個交點坐標為，∴拋物線與x軸的另一個交點坐標為，即該二次函數(shù)圖象與x軸的交點坐標為，．故答案為：，．【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)（a，b，c是常數(shù)，）與x軸的交點坐標問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．14.【答案】（答案不唯一）【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．由拋物線解析式可得拋物線開口方向及對稱軸，由當時，y隨著x的增大而增大可得m的取值范圍．【詳解】解：∵，∴拋物線開口向上，對稱軸為直線，∴時，y隨x增大而增大，∵當時，y隨x的增大而增大，∴，則m的值可以是，故答案為：（答案不唯一）．15.【答案】50【分析】連接OC、OD，利用切線的性質(zhì)得到OC⊥CP，OD⊥DP，利用四邊形內(nèi)角和定理得到∠COD，根據(jù)圓周角定理即可求得到∠CAD．【詳解】解：連接OC、OD，如圖，∵PC，PD與⊙O相切，切點分別為C，D，∴OC⊥CP，OD⊥DP，∵OP=OP，OC=OD，∴△POC≌△POD(HL)，∴∠CPO=∠DPO，∵∠CPA=40°，∴∠CPD=80°，∴∠COD=360°-80°-90°-90°=100°，∵∠CAD=∠COD=50°，故答案為：50．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，四邊形內(nèi)角和定理，熟練掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．16.【答案】①.甲②.c，d【分析】本題考查了邏輯推理，關(guān)鍵是明確最后一個將球取完的人獲勝．（1）由取法可知，余下兩個相鄰，根據(jù)規(guī)則即可判斷結(jié)果；（2）根據(jù)規(guī)則可知，要想自己獲勝必須保證自己倒數(shù)第二次時，最后余下2個不相鄰的球，由此設(shè)計方案即可．【詳解】解：（1）∵甲首次取走寫有b，c的兩個球，乙又取走g，h兩個球，剩下a，，，d，e，f，，，接著甲又取走兩個球，它們是d，e，或e，f，只剩下a，，f或a，，d，∵它們不相鄰，∴乙只能拿走一個，故甲拿走最后一個，故甲勝；枚答案為：甲；（2）∵甲首次取走g，h二個球，還剩下a，b，c，d，e，f，，乙取c，d，余下a，b，，，e，f，，此時甲取a，b或e，f，余下兩個相鄰，乙可取完，乙勝；若甲取a或b，那么乙取e或f，那么剩下兩個不相鄰，則乙勝；若甲取e或f，那么乙取a或b，那么剩下2個球不相鄰，則乙勝；因此，乙一定要獲勝，那么它首次取c，d，故答案為：c，d．三、解答題：本題共12小題，共68分．17.【答案】，．【分析】利用因式分解法解方程．此題考查解一元二次方程，掌握解方程的方法：直接開平方法、公式法、配方法、因式分解法，根據(jù)每個一元二次方程的特點選用恰當?shù)慕夥ㄊ墙忸}的關(guān)鍵．【詳解】解：∴或，∴，．18.【答案】（1）①見解析；②見解析（2）見解析【分析】本題考查了垂直平分線的基本作圖，三角形全等的判定和性質(zhì)，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．（1）①根據(jù)基本作圖的基本步驟畫圖即可；②按照步驟畫圖即可．（2）根據(jù)三角形全等的判定，等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等推理證明即可．【小問1詳解】解：①根據(jù)基本作圖的基本步驟畫圖如下：則即為所求．②根據(jù)題意，畫圖如下：

則即為所求．【小問2詳解】證明：連接，，，．∴為的垂直平分線，∴，∴．又∵四邊形內(nèi)接于圓∴．（

圓的內(nèi)接四邊形，對角互補）．又∵，∴．又∵，∴，（同圓或等圓中，等弧所對圓周角相等）．∴，∴．

19.【答案】（1）；（2）見解析；（3）不能．【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)可得答案；（2）先作出，由旋轉(zhuǎn)后點D在線段上可知繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)確定點D、E的位置，然后順次連接即可；（3）根據(jù)A、B、E三點共線可得答案．【小問1詳解】解：∵，∴點B向上平移4個單位長度，得到點C，點C的坐標是，故答案為：；【小問2詳解】解：如圖，即為所求；【小問3詳解】解：由圖可得，A、B、E三點共線，∴經(jīng)過A，B，E三點不能確定一個圓，故答案為：不能．【點睛】本題考查了平移的性質(zhì)，畫旋轉(zhuǎn)圖形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，確定圓的條件等知識，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，作出旋轉(zhuǎn)后的圖形，得出A、B、E三點共線是解答本題的關(guān)鍵．20.【答案】（1）；；（2）6【分析】（1）根據(jù)題意得出求出圖象與x軸以及y軸交點坐標；（2）根據(jù)A，B，C的坐標求出，長，即可求出的值．【小問1詳解】解：令，則，∴；令，則，解得：，，∴；．【小問2詳解】解：∵，，∴，，∴．【點睛】本題主要考查了求二次函數(shù)與坐標軸的交點坐標，三角形面積的計算，解題的關(guān)鍵熟練進行計算．21.【答案】【分析】本題考查了垂徑定理，弧與弦的關(guān)系，勾股定理，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．連接，勾股定理求得，繼而得出，根據(jù)三角形面積公式進行計算即可求解．【詳解】解：如圖，連接，∵，且AD經(jīng)過圓心O，，∴，∵的半徑為．∴，在中，，∴，∴，∴．22.【答案】（1）（2）【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式的意義，解一元二次方程；（1）根據(jù)有實數(shù)根可得，據(jù)此列式求解即可；（2）根據(jù)m的取值范圍可知，則該方程為，解方程即可．【小問1詳解】解∶∵一元二次方程有實數(shù)根，∴，解得；【小問2詳解】解：∵m為符合條件的最大整數(shù)，，∴，∴原方程為，解方程得．23.【答案】（1）見解析（2）（3）【分析】本題考查了二次函數(shù)的交點式，頂點式，畫函數(shù)圖象，二次函數(shù)與不等式等知識，會畫函數(shù)圖象，并利用函數(shù)圖象解決問題是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)列表，描點，連線即可畫出函數(shù)圖象；（2）把拋物線化為頂點式，即可解答；（3）結(jié)合二次函數(shù)的圖象，以及，即可作答．【小問1詳解】解：列表如下：描點并畫圖如下：【小問2詳解】解：∵，∴該拋物線的頂點坐標為；【小問3詳解】解：由（2）知：，且，則拋物線開口向上，x=1時，拋物線有最小值；當時，；當x=2時，；∴當時，．24.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【分析】本題考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點．（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，再根據(jù)同弧所對的圓周角相等，即可得到結(jié)論；（2）連接，，證明，推出，由是的切線可得，繼而判斷．【小問1詳解】證明：，，∵，．【小問2詳解】連接，，在和中，，，，（），，∵，∴，，∵，∴，，是的切線，，．25.【答案】（1）6，．（2）見解析（3）隧道需標注的限高應為4.5米【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可知在時y取得最大值，然后運用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)題意，以點A為原點，為x軸，為y軸建立平面直角坐標，畫出函數(shù)圖像即可；

（3）令，求得相應的y值，結(jié)合到隧道頂面的距離不小于0.35米,可得汽車最高點距地面的距離即可解答．【小問1詳解】解：根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可知，當時，y有最大值6，設(shè)∵D的坐標為∴，解得∴．故答案為：6，．【小問2詳解】解：根據(jù)題意，以點A為原點，為x軸，為y軸建立平面直角坐標,畫出圖像如圖所示：【小問3詳解】解：令，可得隧道需標注的限高應為（米）．答：隧道需標注的限高應為4.5米．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)在實際問題中的應用、數(shù)形結(jié)合、待定系數(shù)法等知識點，理清題中的數(shù)量關(guān)系、求得函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．26.【答案】（1）（2）（3）或【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．（1）將點代入拋物線解析式計算即可；（2）結(jié)合（1）中的結(jié)果，將拋物線解析式化為頂點式即可求解；（3）由（2）可得，拋物線對稱軸為，由得到拋物線開口向上，則拋物線上的點離對稱軸越近，函數(shù)值越小，得到，分和兩種情況討論即可．【小問1詳解】解：∵拋物線經(jīng)過點，∴，∴；【小問2詳解】解：由（1）得拋物線的表達式為，即，∴拋物線的對稱軸為；【小問3詳解】解：由（2）可得，拋物線對稱軸為，∵，拋物線開口向上，∴拋物線上的點離對稱軸越近，函數(shù)值越小，∵點，在拋物線上，，∴即①當時，，解得，∴，②當時，，解得，∴，綜上，m的取值范圍為或．27.【答案】（1）見解析（2）（3），理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意作出圖形即可；（2）由，可得可得點B、C、D在以A為圓心，為半徑的圓上，根據(jù)圓周角定