數(shù)學(xué)優(yōu)化訓(xùn)練：6棱柱、棱錐、棱臺(tái)和球的表面積

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1.1。6棱柱、棱錐、棱臺(tái)和球的表面積5分鐘訓(xùn)練（預(yù)習(xí)類訓(xùn)練，可用于課前）1。在一個(gè)長(zhǎng)方體上鉆一個(gè)圓柱形的孔，鉆孔后得到的幾何體與原長(zhǎng)方體相比,其表面積(）A.變大了B。變小了C.相等D。不一定解析:當(dāng)鉆的孔即圓柱底面面積之和等于側(cè)面積時(shí)，相等;當(dāng)?shù)酌婷娣e之和小于側(cè)面積時(shí),變大；當(dāng)?shù)酌婷娣e之和大于側(cè)面積時(shí)，變小.答案：D2.一個(gè)正三棱臺(tái)的上下底面邊長(zhǎng)為3cm和6cm，高為cm，則此三棱臺(tái)的側(cè)面積是（)A。B。C。D.以上都不對(duì)解析：雖然根據(jù)正三棱臺(tái)的側(cè)面是等腰梯形，可以求出這個(gè)等腰梯形的高,進(jìn)而可求得側(cè)面積，但這里的選項(xiàng)Ａ、Ｂ、Ｃ中皆沒(méi)有單位cm，所以選D.答案：D3.若棱長(zhǎng)為3的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為_(kāi)___________。解：正方體的對(duì)角線即為球的直徑，直徑d=，由d=R=S=4πR2=27π.答案：27π10分鐘訓(xùn)練(強(qiáng)化類訓(xùn)練,可用于課中)1。已知正六棱柱的高為h，底面邊長(zhǎng)為a，則它的全面積為（）A。B。C。D。解析:柱體的全面積是側(cè)面積加上底面積，據(jù)正六棱柱的性質(zhì),得其全面積為S側(cè)+2S底=6ah+a2.答案：A2.如果圓臺(tái)的母線與底面成60°角，那么這個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面積與軸截面面積的比為(）A.2πB。C.D。解析：可以把母線的長(zhǎng)設(shè)為1,根據(jù)已知求出圓臺(tái)的高,進(jìn)而根據(jù)公式分別求出圓臺(tái)的側(cè)面積和軸截面的面積.答案：C3。側(cè)面都是直角三角形的正棱錐，底面邊長(zhǎng)為a，則此棱錐的全面積是(）A.B。C。D.都不對(duì)解析:首先要搞清楚這個(gè)正棱錐只能是正三棱錐,這是因?yàn)檎忮F的同一個(gè)頂點(diǎn)上的各側(cè)面頂角之和小于360°,則易得答案為A。答案：A4。過(guò)球的一條半徑的中點(diǎn)，作垂直于該半徑的平面，則所得截面的面積與球的表面積的比為（)A。B。C。D。解：如圖所示,設(shè)球半徑為R，由題意知OO′=，OF=R,S∴r=R。S截面=πr2=π(R）2=πR3,S球=4πR2?！?答案：A5。圖1—1—6—1所示的是由18個(gè)邊長(zhǎng)為1cm的小正方體拼成的幾何體，求此幾何體的表面積是多少？圖1—1-6-1解析:從圖中可以看出,18個(gè)小正方體一共擺了三層，第一層2個(gè)，第二層7個(gè)，因?yàn)?8—7—2=9，所以第三層擺了9個(gè).另外，上、下兩個(gè)面的表面積是相同的,同樣，前、后、左、右兩個(gè)面的表面積也是分別相同的。解:因?yàn)樾≌襟w的棱長(zhǎng)是1cm，所以上面的表面積為12×9=9（cm2）；前面的表面積為12×8=8（cm2)；左面的表面積為12×7=7（cm2），幾何體的表面積為9×2+8×2+7×2=48。30分鐘訓(xùn)練（鞏固類訓(xùn)練，可用于課后)1.長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱分別是3、4、5,且它的8個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上,則這個(gè)球的表面積是()A.25πB。50πC.125πD。都不對(duì)解析：由于長(zhǎng)方體的對(duì)角線的長(zhǎng)是球的直徑.所以可求得這個(gè)球的直徑是,然后代入球的表面積公式S=4πR2即可。答案:B2.若正三棱錐的斜高是高的倍，則棱錐的側(cè)面積是底面積的（）A.倍B.2倍C。倍D.3倍解析：由已知易求側(cè)棱與高的夾角是60°，進(jìn)而求得對(duì)于同一底邊,側(cè)面三角形和底面三角形的高的比為2∶3,由此易得答案。答案：B3.現(xiàn)要建造一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的倉(cāng)庫(kù)，其內(nèi)部的高為3m,長(zhǎng)和寬的和為20m，那么倉(cāng)庫(kù)的容積的最大值是(）A。300m3B.400m3解：設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為x,則寬為20-x,所以V=3x（20-x）=—3（x—10)2+300≤300。故最大容積為300m3答案：A4.下列四個(gè)結(jié)論中，錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為（)①經(jīng)過(guò)球面上任意兩點(diǎn),可以作且只可以作一個(gè)球的大圓；②球面積是它大圓面積的四倍；③球面上兩點(diǎn)的球面距離,是這兩點(diǎn)所在截面圓上以這兩點(diǎn)為端點(diǎn)的劣弧的長(zhǎng).A。0B。1C。2解析：當(dāng)球面上的兩點(diǎn)與球心共線時(shí)可作無(wú)數(shù)個(gè)球的大圓,①錯(cuò);S球=4πR2,S大圓=πR2.所以S球=4S大圓，②正確;球面上兩點(diǎn)的球面距離是球面上的兩點(diǎn)之間的最短距離,就是經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長(zhǎng)度，并非任意截面圓上，所以③錯(cuò).答案：C5.如圖1—1-6—2所示,正方體棱長(zhǎng)為3cm，在每個(gè)面正中央有個(gè)入口為正方形的孔道通到對(duì)面,孔的邊長(zhǎng)為1cm，孔的各棱平行于正方體各棱。則所得幾何體的總表面積為（)圖1-1-6-2A.54cm2B。76cm2C。72cm2解:由題意知該幾何體的表面積包含外部表面積與內(nèi)部表面積。S外=6×32-6×12=48(cm2）,S內(nèi)=4×6=24（cm2）.∴S總=48+24=72(cm2).答案:C6.正方體ABCD—A1B1C1D1中，以頂點(diǎn)A、C、B1、D1為頂點(diǎn)的正三棱錐的全面積為，則正方體的棱長(zhǎng)為()A.B。2C.4D.解:設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，側(cè)面的對(duì)角線長(zhǎng)為,∴正三棱錐ACB1D1的棱長(zhǎng)為,它的表面積為4··(）2=。∴a2=2,即a=.答案：A7。正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中,有4個(gè)恰為正三棱錐的頂點(diǎn),則正方體與正三棱錐的表面積之比是()A。B。C.D.解：不妨設(shè)正四面體的頂點(diǎn)為A、C、B1、D1,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則正四面體棱長(zhǎng)為。∴正方體的表面積為6,正四面體的表面積為。∴它們的表面積之比為.答案：B8。一個(gè)圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)正方形,則這個(gè)圓柱的全面積與側(cè)面積的比是(）A。B。C.D.解:設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h,則由題設(shè)知h=2πr.∴S全=2πr2+(2πr）2=2πr2(1+2π）,S側(cè)=h2=（2πr）2=4π2r2.∴.答案:A9。在球內(nèi)有相距1cm的兩個(gè)平行截面,截面面積分別是5πcm2和8πcm2，球心不在截面內(nèi)，求球的表面積。解:軸截面如圖所示。圓O是球的大圓，A1B1、A2B2分別是兩個(gè)平行截面圓的直徑，過(guò)O作OC1⊥A1B1于C1，交A2B2于C2，由于A1B1∥A2B2，∴OC2⊥A2B2。由圓的性質(zhì)可得C1和C2分別是A1B1和A2B2的中點(diǎn).設(shè)兩平行截面的半徑分別為r1和r2且r2＞r1,依題意πr12=5π,πr22=8π，∴r12=5,r22=8?！逴A1和OA2都是球的半徑R,∴OC1=,OC2=。∴=1.解這個(gè)方程得R2=9?！郤球=4πR2=4π·32=36π(cm2）。10。如圖1-1-6—3，一個(gè)容器的蓋子用一個(gè)正四棱臺(tái)和一個(gè)球焊接而成，球的半徑為R，正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為2。5R和3R，斜高為0.6R。圖1—1—6—3（1）求這個(gè)容器蓋子的表面積(用R表示,焊接處對(duì)面積的影響忽略不計(jì)）；(2）若R=2cm，為蓋子涂色時(shí)，所用的涂料每0.4kg可以涂1m2，計(jì)算為100個(gè)這樣的蓋子涂色約需涂料多少千克（精確到0。1kg解：（1）S正四棱臺(tái)=4××（2。5R+3R