高中排列組合問題的解答技巧及記憶方法

...wd......wd......wd...排列組合問題的解題策略關(guān)鍵詞：排列組合,解題策略一、相臨問題——捆綁法例1．7名學(xué)生站成一排，甲、乙必須站在一起有多少不同排法解：兩個元素排在一起的問題可用“捆綁〞法解決，先將甲乙二人看作一個元素與其他五人進(jìn)展排列，并考慮甲乙二人的順序，所以共有種。評注：一般地:個人站成一排,其中某個人相鄰,可用“捆綁〞法解決，共有種排法。二、不相臨問題——選空插入法例2．7名學(xué)生站成一排，甲乙互不相鄰有多少不同排法解：甲、乙二人不相鄰的排法一般應(yīng)用“插空〞法，所以甲、乙二人不相鄰的排法總數(shù)應(yīng)為：種.評注：假設(shè)個人站成一排，其中個人不相鄰，可用“插空〞法解決，共有種排法。三、復(fù)雜問題——總體排除法在直接法考慮比較難，或分類不清或多種時，可考慮用“排除法〞，解決幾何問題必須注意幾何圖形本身對其構(gòu)成元素的限制。例3.(1996年全國高考題)正六邊形的中心和頂點(diǎn)共7個點(diǎn)，以其中3個點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形共有多少個.解：從7個點(diǎn)中取3個點(diǎn)的取法有種，但其中正六邊形的對角線所含的中心和頂點(diǎn)三點(diǎn)共線不能組成三角形，有3條，所以滿足條件的三角形共有－3＝32個.四、特殊元素——優(yōu)先考慮法對于含有限定條件的排列組合應(yīng)用題，可以考慮優(yōu)先安排特殊位置，然后再考慮其他位置的安排。例4．(1995年上海高考題)1名教師和4名獲獎學(xué)生排成一排照像留念，假設(shè)教師不排在兩端，則共有不同的排法種．解：先考慮特殊元素〔教師〕的排法，因教師不排在兩端，故可在中間三個位置上任選一個位置，有種，而其余學(xué)生的排法有種，所以共有＝72種不同的排法.例5．〔2000年全國高考題〕乒乓球隊的10名隊員中有3名主力隊員，派5名隊員參加比賽，3名主力隊員要安排在第一、三、五位置，其余7名隊員選2名安排在第二、四位置，那么不同的出場安排共有種.解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力隊員，有種排法，而其余7名隊員選出2名安排在第二、四位置，有種排法，所以不同的出場安排共有＝252種.五、多元問題——分類討論法對于元素多，選取情況多，可按要求進(jìn)展分類討論，最后總計。例6．〔2003年北京春招〕某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為〔A〕A．42B．30C．20D．12解：增加的兩個新節(jié)目，可分為相臨與不相臨兩種情況：1.不相臨：共有A62種；2.相臨：共有A22A61種。故不同插法的種數(shù)為：A62+A22A61=42，應(yīng)選A。例7．〔2003年全國高考試題〕如圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰地區(qū)不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有多少種〔以數(shù)字作答〕解：區(qū)域1與其他四個區(qū)域相鄰，而其他每個區(qū)域都與三個區(qū)域相鄰，因此，可以涂三種或四種顏色．用三種顏色著色有=24種方法,用四種顏色著色有=48種方法,從而共有24+48=72種方法,應(yīng)填72.六、混合問題——先選后排法對于排列組合的混合應(yīng)用題，可采取先選取元素，后進(jìn)展排列的策略．例8．〔2002年北京高考〕12名同學(xué)分別到三個不同的路口進(jìn)展車流量的調(diào)查，假設(shè)每個路口4人，則不同的分配方案共有〔〕A．種B．種C．種D．種解：本試題屬于均分組問題。則12名同學(xué)均分成3組共有種方法,分配到三個不同的路口的不同的分配方案共有：種，應(yīng)選A。例9．〔2003年北京高考試題〕從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上，其中黃瓜必須種植，不同的種植方法共有〔〕A．24種B．18種C．12種D．6種解:先選后排,分步實施.由題意，不同的選法有:C32種,不同的排法有:A31·A22,故不同的種植方法共有A31·C32·A22=12，故應(yīng)選C.七．一樣元素分配——檔板分隔法例10．把10本一樣的書發(fā)給編號為1、2、3的三個學(xué)生閱覽室，每個閱覽室分得的書的本數(shù)不小于其編號數(shù)，試求不同分法的種數(shù)。請用盡可能多的方法求解，并思考這些方法是否適合更一般的情況此題考察組合問題。解：先讓2、3號閱覽室依次分得1本書、2本書；再對余下的7本書進(jìn)展分配，保證每個閱覽室至少得一本書，這相當(dāng)于在7本一樣書之間的6個“空檔〞內(nèi)插入兩個一樣“I〞〔一般可視為“隔板〞〕共有種插法，即有15種分法?？傊帕?、組合應(yīng)用題的解題思路可總結(jié)為：排組分清，加乘明確；有序排列，無序組合；分類為加，分步為乘。具體說，解排列組合的應(yīng)用題，通常有以下途徑：〔1〕以元素為主體，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素?！?〕以位置為主體，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置?！?〕先不考慮附加條件，計算出排列或組合數(shù)，再減去不合要求的排列組合數(shù)。排列組合問題的解題方略湖北省安陸市第二高級中學(xué)張征洪排列組合知識，廣泛應(yīng)用于實際，掌握好排列組合知識，能幫助我們在生產(chǎn)生活中，解決許多實際應(yīng)用問題。同時排列組合問題歷來就是一個老大難的問題。因此有必要對排列組合問題的解題規(guī)律和解題方法作一點(diǎn)歸納和總結(jié)，以期充分掌握排列組合知識。首先，談?wù)勁帕薪M合綜合問題的一般解題規(guī)律:1〕使用“分類計數(shù)原理〞還是“分步計數(shù)原理〞要根據(jù)我們完成某件事時采取的方式而定，可以分類來完成這件事時用“分類計數(shù)原理〞，需要分步來完成這件事時就用“分步計數(shù)原理〞；那么，若何確定是分類，還是分步驟“分類〞表現(xiàn)為其中任何一類均可獨(dú)立完成所給的事件，而“分步〞必須把各步驟均完成才能完成所給事件，所以準(zhǔn)確理解兩個原理強(qiáng)調(diào)完成一件事情的幾類方法互不干擾，相互獨(dú)立，彼此間交集為空集，并集為全集，不管哪類方法都能將事情單獨(dú)完成，分步計數(shù)原理強(qiáng)調(diào)各步驟缺一不可，需要依次完成所有步驟才能完成這件事，步與步之間互不影響，即前步用什么方法不影響后面的步驟采用的方法。2〕排列與組合定義相近，它們的區(qū)別在于是否與順序有關(guān)。3〕復(fù)雜的排列問題常常通過試驗、畫“樹圖〞、“框圖〞等手段使問題直觀化，從而尋求解題途徑，由于結(jié)果的正確性難于檢驗，因此常常需要用不同的方法求解來獲得檢驗。4〕按元素的性質(zhì)進(jìn)展分類，按事件發(fā)生的連續(xù)性進(jìn)展分步是處理排列組合問題的基本思想方法，要注意“至少、至多〞等限制詞的意義。5〕處理排列、組合綜合問題，一般思想是先選元素〔組合〕，后排列，按元素的性質(zhì)進(jìn)展“分類〞和按事件的過程“分步〞，始終是處理排列、組合問題的基本原理和方法，通過解題訓(xùn)練要注意積累和掌握分類和分步的基本技能，保證每步獨(dú)立，到達(dá)分類標(biāo)準(zhǔn)明確，分步層次清楚，不重不漏。6〕在解決排列組合綜合問題時，必須深刻理解排列組合的概念，能熟練地對問題進(jìn)展分類，牢記排列數(shù)與組合數(shù)公式與組合數(shù)性質(zhì)，容易產(chǎn)生的錯誤是重復(fù)和遺漏計數(shù)?？傊鉀Q排列組合問題的基本規(guī)律，即：分類相加，分步相乘，排組分清，加乘明確；有序排列，無序組合；正難則反，間接排除等。其次，我們在抓住問題的本質(zhì)特征和規(guī)律，靈活運(yùn)用基本原理和公式進(jìn)展分析解答的同時，還要注意講究一些解題策略和方法技巧，使一些看似復(fù)雜的問題迎刃而解。下面介紹幾種常用的解題方法和策略。一．特殊元素〔位置〕的“優(yōu)先安排法〞：對于特殊元素〔位置〕的排列組合問題，一般先考慮特殊，再考慮其他。例1、用0，2，3，4，5，五個數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有〔〕。A．24個B.30個C.40個D.60個[分析]由于該三位數(shù)為偶數(shù)，故末尾數(shù)字必為偶數(shù)，又因為0不能排首位，故0就是其中的“特殊〞元素，應(yīng)該優(yōu)先安排，按0排在末尾和0不排在末尾分兩類：1〕0排末尾時，有A42個，2〕0不排在末尾時，則有C21A31A31個，由分?jǐn)?shù)計數(shù)原理，共有偶數(shù)A42+C21A二．總體淘汰法：對于含否認(rèn)的問題，還可以從總體中把不合要求的除去。如例1中，也可用此法解答:五個數(shù)字組成三位數(shù)的全排列有A53個，排好后發(fā)現(xiàn)0不能排首位，而且數(shù)字3，5也不能排末位，這兩種排法要排除，故有A53--3A42+C21A31=30個偶數(shù)。三．合理分類與準(zhǔn)確分步含有約束條件的排列組合問題，按元素的性質(zhì)進(jìn)展分類，按事情發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到分類標(biāo)準(zhǔn)明確，分步層次清楚，不重不漏。四．相鄰問題用捆綁法：在解決對于某幾個元素要求相鄰的問題時，先整體考慮，將相鄰的元素“捆綁〞起來，看作一“大〞元素與其余元素排列，然后再考慮大元素內(nèi)部各元素間順序的解題策略就是捆綁法．例2、有8本不同的書；其中數(shù)學(xué)書3本，外語書2本，其它學(xué)科書3本．假設(shè)將這些書排成一列放在書架上，讓數(shù)學(xué)書排在一起，外語書也恰好排在一起的排法共有()種．(結(jié)果用數(shù)值表示)解：把3本數(shù)學(xué)書“捆綁〞在一起看成一本大書，2本外語書也“捆綁〞在一起看成一本大書，與其它3本書一起看作5個元素，共有A55種排法；又3本數(shù)學(xué)書有A33種排法，2本外語書有A22種排法；根據(jù)分步計數(shù)原理共有排法A55A33A注：運(yùn)用捆綁法解決排列組合問題時，一定要注意“捆綁〞起來的大元素內(nèi)部的順序問題．五．不相鄰問題用“插空法〞：不相鄰問題是指要求某些元素不能相鄰，由其它元素將它們隔開．解決此類問題可以先將其它元素排好，再將所指定的不相鄰的元素插入到它們的間隙及兩端位置，故稱插空法．例3、用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求1與2相鄰，2與4相鄰，5與6相鄰，而7與8不相鄰。這樣的八位數(shù)共有()個．(用數(shù)字作答)解：由于要求1與2相鄰，2與4相鄰，可將1、2、4這三個數(shù)字捆綁在一起形成一個大元素，這個大元素的內(nèi)部中間只能排2，兩邊排1和4，因此大元素內(nèi)部共有A22種排法，再把5與6也捆綁成一個大元素，其內(nèi)部也有A22種排法，與數(shù)字3共計三個元素，先將這三個元素排好，共有A33種排法，再從前面排好的三個元素形成的間隙及兩端共四個位置中任選兩個，把要求不相鄰的數(shù)字7和8插入即可，共有A42種插法，所以符合條件的八位數(shù)共有A22A22A33A42＝288(種)．注：運(yùn)用“插空法〞解決不相鄰問題時，要注意欲插入的位置是否包含兩端位置．六．順序固定用“除法〞：對于某幾個元素按一定的順序排列問題，可先把這幾個元素與其他元素一同進(jìn)展全排列，然后用總的排列數(shù)除于這幾個元素的全排列數(shù)。例4、6個人排隊，甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙〞順序排的排隊方法有多少種分析：不考慮附加條件，排隊方法有A66種，而其中甲、乙、丙的A33種排法中只有一種符合條件。故符合條件的排法有A66÷A33=120種。(或A63種)例5、4個男生和3個女生，高矮不相等，現(xiàn)在將他們排成一行，要求從左到右女生從矮到高排列，有多少種排法。解：先在7個位置中任取4個給男生，有A74種排法，余下的3個位置給女生，只有一種排法，故有A74種排法。(也可以是A77÷A33種)七．分排問題用“直排法〞：把幾個元素排成假設(shè)干排的問題，可采用統(tǒng)一排成一排的排法來處理。例6、7個人坐兩排座位，第一排3個人，第二排坐4個人，則不同的坐法有多少種分析：7個人可以在前兩排隨意就坐，再無其它條件,故兩排可看作一排來處理，不同的坐法共有A77種。八．逐個試驗法：題中附加條件增多，直接解決困難時，用試驗逐步尋找規(guī)律。例7.將數(shù)字1，2，3，4填入標(biāo)號為1，2，3，4的方格中，每方格填1個，方格標(biāo)號與所填數(shù)字均不一樣的填法種數(shù)有〔〕A．6B.9C.11D.23解：第一方格內(nèi)可填2或3或4，如第一填2，則第二方格可填1或3或4，假設(shè)第二方格內(nèi)填1，則后兩方格只有一種方法；假設(shè)第二方格填3或4，后兩方格也只有一種填法。一共有9種填法，應(yīng)選B九、構(gòu)造模型“隔板法〞對于較復(fù)雜的排列問題，可通過設(shè)計另一情景，構(gòu)造一個隔板模型來解決問題。例8、方程a+b+c+d=12有多少組正整數(shù)解分析：建設(shè)隔板模型：將12個完全一樣的球排成一列，在它們之間形成的11個間隙中任意插入3塊隔板，把球分成4堆，每一種分法所得4堆球的各堆球的數(shù)目，對應(yīng)為a、b、c、d的一組正整解，故原方程的正整數(shù)解的組數(shù)共有C113.又如方程a+b+c+d=12非負(fù)整數(shù)解的個數(shù),可用此法解。十.正難則反——排除法對于含“至多〞或“至少〞的排列組合問題，假設(shè)直接解答多需進(jìn)展復(fù)雜討論，可以考慮“總體去雜〞，即將總體中不符合條件的排列或組合刪除掉，從而計算出符合條件的排列組合數(shù)的方法．例9、從4臺甲型和5臺乙型電視機(jī)中任意取出3臺，其中至少要甲型與乙型電視機(jī)各一臺，則不同的取法共有()種．A．140種B．80種C．70種