專題07 分式（方程）運(yùn)算中4種常見(jiàn)壓軸題型全攻略（解析版）

專題07分式（方程）運(yùn)算中4種常見(jiàn)壓軸題型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一分式運(yùn)算中整式與分式的加減運(yùn)算類型】 1【考點(diǎn)二“整體代入法”在分式計(jì)算中的應(yīng)用】 2【考點(diǎn)三分式方程中有關(guān)增根（有無(wú)解）問(wèn)題的計(jì)算】 2【考點(diǎn)四常見(jiàn)工程（效率）問(wèn)題在分式方程中的應(yīng)用】 3【過(guò)關(guān)檢測(cè)】 4【典型例題】【考點(diǎn)一分式運(yùn)算中整式與分式的加減運(yùn)算類型】【例題1】化簡(jiǎn)的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先通分，再根據(jù)同分母分式的加減法法則計(jì)算．【詳解】故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減運(yùn)算，同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減；異分母的分式相加減，先把它們通分，變?yōu)橥帜阜质?，再加減．分式運(yùn)算的結(jié)果要化為最簡(jiǎn)分式或者整式．【變式1】計(jì)算的值等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)分式混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式化簡(jiǎn)計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算．【變式2】化簡(jiǎn)的結(jié)果是【答案】【分析】先通分，再用平方差公式計(jì)算，再合并同類項(xiàng)即可求出最終結(jié)果．【詳解】解：故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的加減混合運(yùn)算，平方差公式等知識(shí)，熟練掌握運(yùn)算法則和公式是解題的關(guān)鍵．【變式3】化簡(jiǎn)的結(jié)果等于．【答案】/【分析】原式括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的加減法則計(jì)算，約分即可得到結(jié)果．【詳解】解：．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了分式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)二“整體代入法”在分式計(jì)算中的應(yīng)用】【例題2】若，則的值是（

）A．3 B．2 C．1 D．4【答案】A【分析】將已知等式化為，再將所求式子利用完全平方公式變形為，代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用完全平方公式變形．【變式1】若，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：∵，∴，即，∴，∴，即，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．【變式2】已知，則的值為（

）A． B． C．7 D．4【答案】C【分析】先由得到，即，再根據(jù)完全平方公式可求的值；【詳解】故選C【點(diǎn)睛】此題主要考查了分式的值，關(guān)鍵是要熟練掌握完全平方公式【變式3】若，則的值為（

）A． B．1 C．2 D．【答案】B【分析】先根據(jù)分式混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，然后再代整體代入求值即可．【詳解】∵，∴，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是掌握運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．【考點(diǎn)三分式方程中有關(guān)增根（有無(wú)解）問(wèn)題的計(jì)算】【例題3】若關(guān)于的方程無(wú)解，則的值為（

）A．2 B．1 C．0 D．【答案】B【分析】分式方程無(wú)解，增根滿足的條件：①增根是化簡(jiǎn)后對(duì)應(yīng)整式方程的根，②使最簡(jiǎn)公分母的值為零；據(jù)此進(jìn)行求解即可．【詳解】解：方程兩邊同乘以（）得，，原方程無(wú)解，，解得：，；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程增根所滿足的條件，理解條件是解題的關(guān)鍵．【變式1】若解分式方程時(shí)產(chǎn)生增根，則m的值是（）A．0 B．1 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)增根定義求得的值，代入即可求得．【詳解】解：有增根，是原方程的增根，解方程：，，把代入得：，解得：，故C正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程無(wú)解的問(wèn)題，理解增根的概念是解題的關(guān)鍵．【變式2】若分式方程有增根，則k為（

）A．2 B．1 C．3 D．【答案】B【分析】增根是化為整式方程后產(chǎn)生的不適合分式方程的根．所以應(yīng)先確定增根的可能值，讓最簡(jiǎn)公分母，求出增根，然后代入分式方程轉(zhuǎn)化成的整式方程中求解即可．【詳解】解：原方程有增根，最簡(jiǎn)公分母，解得，∴去分母得，將代入得，解得．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程的增根，增根問(wèn)題可按如下步驟進(jìn)行：①讓最簡(jiǎn)公分母為0確定增根；②化分式方程為整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．【變式3】已知關(guān)于的分式方程無(wú)解，則滿足條件的所有的和為（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】若關(guān)于的分式方程無(wú)解，則最簡(jiǎn)公分母為零或所化成的整式方程無(wú)解，據(jù)此求解即可．【詳解】解：方程兩邊乘，得，整理可得，當(dāng)，即時(shí)，整式方程無(wú)解，即分式方程無(wú)解；當(dāng)時(shí)，有或時(shí)，分式方程無(wú)解，此時(shí)或，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)均為該方程的解，綜上所述，或0或滿足條件，所以．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程無(wú)解問(wèn)題，解題關(guān)鍵是要考慮到了最簡(jiǎn)公分母為零的情況，同時(shí)還要注意化為整式方程后，整式方程無(wú)解這一情況．【考點(diǎn)四常見(jiàn)工程（效率）問(wèn)題在分式方程中的應(yīng)用】【例題4】一項(xiàng)工程甲單獨(dú)做天完成，乙單獨(dú)做天完成，兩人合作可比乙單獨(dú)做提前（）天完成A． B． C． D．【答案】C【分析】可求甲的工作效率為天，乙的工作效率為天，從而可求兩人合作完成工作的天數(shù)，即可求解．【詳解】解：由題意得；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了工程問(wèn)題，分式運(yùn)算，理解工作效率，列出分式是解題的關(guān)鍵．【變式1】某工廠現(xiàn)在平均每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)50臺(tái)機(jī)器，現(xiàn)在生產(chǎn)600臺(tái)機(jī)器所需時(shí)間與原計(jì)劃生產(chǎn)450臺(tái)機(jī)器所需時(shí)間相同．設(shè)原計(jì)劃平均每天生產(chǎn)x臺(tái)機(jī)器，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)現(xiàn)在生產(chǎn)臺(tái)機(jī)器的時(shí)間與原計(jì)劃生產(chǎn)臺(tái)機(jī)器的時(shí)間相同，所以可得等量關(guān)系為：現(xiàn)在生產(chǎn)臺(tái)機(jī)器時(shí)間原計(jì)劃生產(chǎn)臺(tái)時(shí)間．【詳解】解：設(shè)原計(jì)劃平均每天生產(chǎn)x臺(tái)機(jī)器，根據(jù)題意，列方程得：，故選A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了列分式方程應(yīng)用，利用本題中“現(xiàn)在平均每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)臺(tái)機(jī)器”這一個(gè)隱含條件，進(jìn)而得出分式方程是解題關(guān)鍵．【變式2】某班第一次用元買若干資料，第二次用元在同一家店買同樣的資料，這一次商家每件資料優(yōu)惠元，結(jié)果比上一次多買件，求第一次購(gòu)買時(shí)每件資料多少元？設(shè)第一次購(gòu)買時(shí)每件資料元，則列方程正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)第一次購(gòu)買時(shí)每件資料元，根據(jù)題意列出分式方程，即可求解．【詳解】解：設(shè)第一次購(gòu)買時(shí)每件資料元，根據(jù)題意得，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了列分式方程，找到等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．【變式3】師傅和徒弟兩人每小時(shí)共做40個(gè)零件，在相同時(shí)間內(nèi)，師傅做了300個(gè)零件，徒弟做了100個(gè)零件．師傅每小時(shí)做了多少個(gè)零件？若設(shè)師傅每小時(shí)做了個(gè)零件，則可列方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)工作量工作效率工作時(shí)間，表示兩者各自完成零件所用的時(shí)間，時(shí)間相等構(gòu)建方程．【詳解】解：師傅所用時(shí)間為，徒弟所用時(shí)間為，于是；故選：A【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的應(yīng)用；理解工程問(wèn)題中：工作量工作效率工作時(shí)間的基本關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．計(jì)算的結(jié)果為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)分式的減法運(yùn)算法則即可求解．【詳解】解：，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的減法運(yùn)算，熟練掌握其運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．2．圖是小明計(jì)算的過(guò)程，每步相對(duì)于上一步，計(jì)算不正確的是（）原式①②③④A．① B．①② C．③ D．②③【答案】C【分析】由分式加減法則，通分化為同分母分式再相加減，即可得到答案．【詳解】解：，∴第③步錯(cuò)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查分式的加減，通分化為同分母分式相加減，同分母分式相加減時(shí)分母不變，分子相加，解題的關(guān)鍵是掌握分式加減的法則．3．若，則代數(shù)式的值為（

）A． B． C．3 D．4【答案】A【分析】由可得，代入分式，化簡(jiǎn)即可．【詳解】解：由可得將代入可得：原式故選：A【點(diǎn)睛】此題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的四則運(yùn)算．4．一項(xiàng)工程甲單獨(dú)做天完成，乙單獨(dú)做天完成，兩人合作可比乙單獨(dú)做提前（）天完成A． B． C． D．13．關(guān)于的方程的解是負(fù)數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】將分式方程化為整式方程，根據(jù)分式方程有解、解為負(fù)數(shù)，得到關(guān)于a的不等式，即可求解．【詳解】解：，等號(hào)兩邊同時(shí)乘以，得，解得，分式方程有解，，即，解得；解是負(fù)數(shù)，，解得，實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解和解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是注意隱含條件．5．化簡(jiǎn)的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)分式的乘法進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的乘法，熟練掌握分式的乘法的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．6．A、兩地相距，兩輛汽車從地開(kāi)往地，大汽車比小汽車早出發(fā)小時(shí)，小汽車比大汽車晚到分鐘，已知小汽車與大汽車的速度之比為：，求兩車的速度．設(shè)大汽車的速度為，小汽車的速度為，所列方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分別求出兩輛汽車從A地到B地的時(shí)間，然后找出等量關(guān)系：大汽車的行駛時(shí)間小汽車的行駛時(shí)間，據(jù)此列方程．【詳解】設(shè)大汽車的速度為，小汽車的速度為，根據(jù)題意可得：，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題列分式方程，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出等量關(guān)系，列出分式方程．7．解分式方程時(shí)，去分母正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分式方程兩邊乘以最簡(jiǎn)公分母，去分母得到結(jié)果，即可做出判斷．【詳解】解：方程兩邊乘以最簡(jiǎn)公分母，去分母得：整理得：故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想是解題的關(guān)鍵，解分式方程注意要檢驗(yàn)．8．若方程有增根，則k的值為（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】先將分式方程去分母，再把代入整式方程中，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：，去分母，得，整理得，方程有增根，把代入中，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的增根，把的值代入整式方程中進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．9．若關(guān)于的分式方程有增根，則的值為（

）A． B．1 C．1或2 D．3或【答案】D【分析】先去分母可得整式方程，再把分式方程的增根或分別代入整式方程，再解整式方程即可．【詳解】解：∵，去分母得：，∵關(guān)于的分式方程有增根，∴增根為或，把代入，解得：，把代入，解得：，綜上m的值為3或．故選D【點(diǎn)睛】本題考查的是分式方程的增根問(wèn)題，熟練的判定分式方程的增根是解本題的關(guān)鍵．10．化簡(jiǎn)的結(jié)果是（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的分式的減法運(yùn)算，再把除法化為乘法，約分后可得答案．【詳解】解：；故選D【點(diǎn)睛】本題考查的是分式的混合運(yùn)算，熟記分式的混合運(yùn)算的運(yùn)算順序是解本題的關(guān)鍵．二、填空題11．如果，那么代數(shù)式的值為．【答案】/0.5【分析】先算括號(hào)里，再算括號(hào)外，然后把的值代入化簡(jiǎn)后的式子進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：，，，原式，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握因式分解是解題的關(guān)鍵．12．已知，則代數(shù)式的值為．【答案】【分析】由已知可得出．再將代數(shù)式變形為，最后整體代入化簡(jiǎn)即可．【詳解】解：∵，∴，即．，將代入，得：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值．利用整體代入的思想是解題關(guān)鍵．13．若，則分式的值為．【答案】5【分析】根據(jù)，可得，再代入求值即可．【詳解】解：∵，∴，∴，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值，根據(jù)分式的性質(zhì)把變形得出是解題的關(guān)鍵．14．若，則代數(shù)式的值為．【答案】【分析】先將分式化簡(jiǎn)，即可求解．【詳解】解：，∵∴代數(shù)式的值故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值．注意化簡(jiǎn)的準(zhǔn)確性．15．若分式方程無(wú)解，則的值是．【答案】【分析】根據(jù)題意，將分式方程化為整式方程，根據(jù)方程無(wú)解，可得，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：，解得，∵分式方程無(wú)解，∴∴，解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵．16．若關(guān)于x的方程有增根，則．【答案】【分析】將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，根據(jù)方程有增根，得到的值，代入整式方程進(jìn)行求解．【詳解】解，去分母，得：，整理，得：，∵方程有增根，∴，∴，∴，∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查含參數(shù)的分式方程．解題的關(guān)鍵是掌握增根的定義：使整式方程成立，分式無(wú)意義的未知數(shù)的值，是解題的關(guān)鍵．17．若關(guān)于x的分式方程無(wú)解，則．【答案】1或【分析】先去分母，將原方程化為整式方程，根據(jù)一元一次方程無(wú)解的條件看能否得出一類a值，再根據(jù)分式方程無(wú)解的條件看能否得出另外一類a值即可．【詳解】解：，去分母得：，整理得：，當(dāng)，即時(shí)，方程無(wú)解；由分式方程無(wú)解有增根時(shí)，可得，解得或，把代入，不存在，把代入，得，解得，綜上，若要關(guān)于x的分式方程無(wú)解，a的值為1或．故答案為：1或．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解，熟練掌握分式方程及整式方程無(wú)解的條件是解題的關(guān)鍵．18．已知關(guān)于的方程無(wú)解，則實(shí)數(shù)的值為．【答案】或2或【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出得值，再由分式方程無(wú)解確定出m的值即可．【詳解】