2024-2025學年高中數(shù)學第二章圓錐曲線與方程單元質量評估一課時作業(yè)含解析新人教A版選修2-1

其次章單元質量評估(一)eq\o(\s\up7(時限：120分鐘滿分：150分),\s\do5())一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的)1．若橢圓以兩條坐標軸為對稱軸，一個頂點是(0,13)，另一個頂點是(－10,0)，則焦點坐標為(D)A．(±13,0) B．(0，±10)C．(0，±13)D．(0，±eq\r(69))解析：由題意知橢圓的焦點在y軸上，且a＝13，b＝10，則c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(69)，故焦點坐標為(0，±eq\r(69))．2．已知焦點在y軸上的橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,m＋9)＝1的離心率為eq\f(1,2)，則m＝(A)A．3B．3或－eq\f(9,4)C．－eq\f(9,4)D．6eq\r(3)－9解析：依據(jù)題意，eq\f(1,2)＝eq\f(\r(m),\r(m＋9))，解得m＝3.3．若△ABC的兩個頂點坐標為A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周長為18，則頂點C的軌跡方程為(A)A.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0) B.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,25)＝1(y≠0)C.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0) D.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,16)＝1(y≠0)解析：由題意得|CA|＋|CB|＝10>|AB|，所以頂點C的軌跡是以A，B為焦點，且a＝5的橢圓．又因為A，B，C三點不共線，所以頂點C的軌跡方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0)．4．若雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的一條漸近線經(jīng)過點(3，－4)，則此雙曲線的離心率為(D)A.eq\f(\r(7),3)B.eq\f(5,4)C.eq\f(4,3)D.eq\f(5,3)解析：由已知可得雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，點(3，－4)在漸近線上，∴eq\f(b,a)＝eq\f(4,3)，又a2＋b2＝c2，∴c2＝a2＋eq\f(16,9)a2＝eq\f(25,9)a2，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,3).5．雙曲線eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(mn≠0)的離心率為2，有一個焦點與拋物線y2＝4x的焦點重合，則mn的值為(A)A.eq\f(3,16)B.eq\f(3,8)C.eq\f(16,3)D.eq\f(8,3)解析：拋物線y2＝4x的焦點F(1,0)，故雙曲線eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1中，m>0，n>0且m＋n＝c2＝1①，又e＝eq\f(c,\r(m))＝eq\r(\f(m＋n,m))＝2②，聯(lián)立方程①②，解得m＝eq\f(1,4)，n＝eq\f(3,4).故mn＝eq\f(3,16).6．已知F1，F(xiàn)2為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的兩個焦點，過F2作橢圓的弦AB，若△AF1B的周長為16，橢圓的離心率e＝eq\f(\r(3),2)，則橢圓的方程是(D)A.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1B.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,3)＝1C.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1D.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1解析：由橢圓的定義知|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a＝16，∴a＝4.又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，∴c＝2eq\r(3)，∴b2＝42－(2eq\r(3))2＝4，∴橢圓的方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1.7．已知F是拋物線y＝eq\f(1,4)x2的焦點，P是該拋物線上的動點，則線段PF中點的軌跡方程是(A)A．x2＝2y－1B．x2＝2y－eq\f(1,16)C．x2＝y(tǒng)－eq\f(1,2)D．x2＝2y－2解析：焦點為F(0,1)，設P(p，q)，則p2＝4q.設Q(x，y)是線段PF的中點，則x＝eq\f(p,2)，y＝eq\f(q＋1,2)，即p＝2x，q＝2y－1，代入p2＝4q得，(2x)2＝4(2y－1)，即x2＝2y－1.8．已知A，B為雙曲線E的左、右頂點，點M在E上，△ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則E的離心率為(D)A.eq\r(5)B．2C.eq\r(3)D.eq\r(2)解析：設雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，不妨設點M在雙曲線的右支上，如圖所示，|AB|＝|BM|＝2a，∠MBA＝120°，過點M作MH⊥x軸于點H，則∠MBH＝60°，|BH|＝a，|MH|＝eq\r(3)a，所以M(2a，eq\r(3)a)．將點M的坐標代入雙曲線方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，得a＝b，所以e＝eq\r(2).9．橢圓4x2＋9y2＝144內(nèi)有一點P(3,2)，設某條弦過點P，且以P為中點，那么這條弦所在直線的方程為(B)A．3x＋2y－12＝0 B．2x＋3y－12＝0C．4x＋9y－144＝0 D．9x＋4y－144＝0解析：設滿意題意的直線與橢圓交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x\o\al(2,1)＋9y\o\al(2,1)＝144，,4x\o\al(2,2)＋9y\o\al(2,2)＝144.))兩式相減得4(xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2))＋9(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2))＝0，即eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(4x1＋x2,9y1＋y2)＝－eq\f(2,3).由此可得所求的直線方程為y－2＝－eq\f(2,3)(x－3)，即2x＋3y－12＝0.10．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(3),2)，雙曲線x2－y2＝1的漸近線與橢圓C有四個交點，以這四個交點為頂點的四邊形的面積為16，則橢圓C的方程為(D)A.eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,2)＝1B.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,6)＝1C.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1D.eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,5)＝1解析：因為橢圓的離心率為eq\f(\r(3),2)，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，c2＝eq\f(3,4)a2＝a2－b2，所以b2＝eq\f(1,4)a2，即a2＝4b2.雙曲線的漸近線方程為y＝±x，代入橢圓方程得eq\f(x2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1，即eq\f(x2,4b2)＋eq\f(x2,b2)＝eq\f(5x2,4b2)＝1，所以x2＝eq\f(4,5)b2，x＝±eq\f(2,\r(5))b.所以y＝±eq\f(2,\r(5))b.則在第一象限，雙曲線的漸近線與橢圓C的交點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(5))b，\f(2,\r(5))b))，所以四邊形的面積為4×eq\f(2,\r(5))b×eq\f(2,\r(5))b＝eq\f(16,5)b2＝16，所以b2＝5，所以橢圓C的方程為eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,5)＝1，故選D.11．設O是坐標原點，F(xiàn)是拋物線y2＝2px(p>0)的焦點，A是拋物線上的一點，eq\o(FA,\s\up6(→))與x軸正向的夾角為60°，則|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝(B)A.eq\f(21,4)pB.eq\f(\r(21),2)pC.eq\f(\r(13),6)pD.eq\f(13,36)p解析：易知Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0)).設A(x0，y0)，則eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(p,2)，y0)).x軸方向上的單位向量為i＝(1,0)，由夾角為60°，得cos60°＝eq\f(\o(FA,\s\up6(→))·i,|\o(FA,\s\up6(→))||i|)＝eq\f(x0－\f(p,2),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(p,2)))2＋y\o\al(2,0)))，將yeq\o\al(2,0)＝2px0代入上式并化簡，得eq\f(x0－\f(p,2),x0＋\f(p,2))＝eq\f(1,2)，解得x0＝eq\f(3p,2)，yeq\o\al(2,0)＝3p2.故|eq\o(OA,\s\up6(→))|2＝xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝eq\f(9p2,4)＋3p2＝eq\f(21p2,4)，|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(21)p,2).12．已知F為拋物線y2＝x的焦點，點A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝2(其中O為坐標原點)，則△ABO與△AFO面積之和的最小值是(B)A．2B．3C.eq\f(17\r(2),8)D.eq\r(10)解析：設AB所在直線方程為x＝my＋t.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝my＋t，,y2＝x，))消去x，得y2－my－t＝0.設A(yeq\o\al(2,1)，y1)，B(yeq\o\al(2,2)，y2)(不妨令y1>0，y2<0)，故y1＋y2＝m，y1y2＝－t.而eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝y(tǒng)eq\o\al(2,1)yeq\o\al(2,2)＋y1y2＝2.解得y1y2＝－2或y1y2＝1(舍去)．所以－t＝－2，即t＝2.所以直線AB過定點M(2,0)．而S△ABO＝S△AMO＋S△BMO＝eq\f(1,2)|OM||y1－y2|＝y(tǒng)1－y2，S△AFO＝eq\f(1,2)|OF|×y1＝eq\f(1,2)×eq\f(1,4)y1＝eq\f(1,8)y1，故S△ABO＋S△AFO＝y(tǒng)1－y2＋eq\f(1,8)y1＝eq\f(9,8)y1－y2.由eq\f(9,8)y1－y2＝eq\f(9,8)y1＋(－y2)≥2eq\r(\f(9,8)y1×－y2)＝2eq\r(\f(9,8)×2)＝3，得S△ABO＋S△AFO的最小值為3，故選B.二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，請把答案填寫在題中橫線上)13．已知以原點O為中心，F(xiàn)(eq\r(5)，0)為右焦點的雙曲線C的離心率e＝eq\f(\r(5),2)，則雙曲線C的標準方程為eq\f(x2,4)－y2＝1，漸近線方程為x－2y＝0和x＋2y＝0.解析：設雙曲線C的標準方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，則由題意知c＝eq\r(5)，又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),2)，因此a＝2，b＝eq\r(c2－a2)＝1.故雙曲線C的標準方程為eq\f(x2,4)－y2＝1，雙曲線C的漸近線方程為y＝±eq\f(1,2)x，即x－2y＝0和x＋2y＝0.14．如圖，過直線y＝2與拋物線x2＝8y的兩個交點，并且與拋物線的準線相切的圓的方程為x2＋(y－2)2＝16.解析：依題意，拋物線x2＝8y的焦點(0,2)即為圓心，準線y＝－2與圓相切，圓心到切線的距離等于半徑，所以半徑為2－(－2)＝4，故圓的方程為x2＋(y－2)2＝16.15．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)與雙曲線eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)有相同的焦點(－c,0)和(c,0)，若c是a與m的等比中項，n2是2m2與c2的等差中項，則橢圓的離心率是eq\f(1,2).解析：由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c2＝am，,2n2＝2m2＋c2，,c2＝m2＋n2，))消去m，n得4c2＝a2，故橢圓的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2).16．已知橢圓C的中心在坐標原點，對稱軸為坐標軸，其一個焦點與拋物線y2＝8x的焦點重合；過點M(1,1)且斜率為－eq\f(1,2)的直線交橢圓C于A，B兩點，且M是線段AB的中點，則橢圓C的方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.解析：焦點坐標為(2,0)．設橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,a2－4)＝1，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),a2)＋\f(y\o\al(2,1),a2－4)＝1，①,\f(x\o\al(2,2),a2)＋\f(y\o\al(2,2),a2－4)＝1，②))②－①得，eq\f(x2＋x1x2－x1,a2)＝－eq\f(y2＋y1y2－y1,a2－4).③∵eq\f(y2＋y1,x2＋x1)＝1，eq\f(y2－y1,x2－x1)＝－eq\f(1,2)，∴代入③式解得a2＝8.∴b2＝a2－c2＝4，∴所求橢圓方程為：eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．(10分)已知橢圓的一個頂點為A(0，－1)，焦點在x軸上，若右焦點到直線x－y＋2eq\r(2)＝0的距離為3，求橢圓的標準方程．解：依題意，設橢圓的方程為eq\f(x2,a2)＋y2＝1.設右焦點為(c,0)，則eq\f(|c＋2\r(2)|,\r(2))＝3，∴c＝eq\r(2)，a2＝b2＋c2＝3，∴橢圓方程為eq\f(x2,3)＋y2＝1.18．(12分)拋物線y＝－eq\f(x2,2)與過點M(0，－1)的直線l相交于A，B兩點，O為坐標原點，若直線OA和OB的斜率之和為1，求直線l的方程．解：設直線方程為y＝kx－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,y＝－\f(x2,2)，))得x2＋2kx－2＝0，∴Δ＝(2k)2－4×(－2)＝4k2＋8>0，∴x1＋x2＝－2k，x1x2＝－2，又1＝eq\f(y1,x1)＋eq\f(y2,x2)＝eq\f(kx1－1,x1)＋eq\f(kx2－1,x2)＝2k－eq\f(x1＋x2,x1x2)＝2k－k＝k，即k＝1，故所求直線方程為y＝x－1.19．(12分)設F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點，M是C上一點且MF2與x軸垂直．直線MF1與C的另一個交點為N.(1)若直線MN的斜率為eq\f(3,4)，求C的離心率；(2)若直線MN在y軸上的截距為2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.解：(1)依據(jù)c＝eq\r(a2－b2)及題設知Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，eq\f(\f(b2,a),2c)＝eq\f(3,4)，2b2＝3ac.將b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，eq\f(c,a)＝－2(舍去)．故C的離心率為eq\f(1,2).(2)由題意，原點O為F1F2的中點，MF2∥y軸，所以直線MF1與y軸的交點D(0,2)是線段MF1的中點，故eq\f(b2,a)＝4，即b2＝4a.①由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|，設N(x1，y1)，由題意知y1<0，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－c－x1＝c，,－2y1＝2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝－\f(3,2)c，,y1＝－1，))代入C的方程，得eq\f(9c2,4a2)＋eq\f(1,b2)＝1.②將①及c＝eq\r(a2－b2)代入②得eq\f(9a2－4a,4a2)＋eq\f(1,4a)＝1.解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2eq\r(7).20．(12分)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(2),2)，點(2，eq\r(2))在C上．(1)求C的方程；(2)直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M.證明：直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值．解：(1)由題意，得eq\f(\r(a2－b2),a)＝eq\f(\r(2),2)，又點(2，eq\r(2))在C上，所以eq\f(4,a2)＋eq\f(2,b2)＝1，兩方程聯(lián)立，可解得a2＝8，b2＝4.所以C的方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)證明：設直線l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．將y＝kx＋b代入eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1，得(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0.故xM＝eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(－2kb,2k2＋1)，yM＝kxM＋b＝eq\f(b,2k2＋1).所以直線OM的斜率kOM＝eq\f(yM,xM)＝－eq\f(1,2k)，所以kOM·k＝－eq\f(1,2).故直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值．21．(12分)設拋物線y2＝4ax(a>0)的焦點為A，以點B(a＋4,0)為圓心，|AB|為半徑，在x軸上方作半圓，設拋物線與半圓交于不同的兩點M，N，P為線段MN的中點．(1)求|AM|＋|AN|的值；(2)試問：是否存在實數(shù)a，恰使|AM|，|AP|，|AN|成等差數(shù)列？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．解：(1)如圖所示，設M，N，P在拋物線的準線上的射影分別為M1，N1，P1，則由拋物線的定義，得|AM|＋|AN|＝|MM1|＋|NN1|＝xM＋xN＋2a.因為拋物線y2＝4ax(a>0)的焦點為A，所以點A的坐標為(a,0)．又B(a＋4,0)，所以|AB|＝4.所以圓的方程為[x－(a＋4)]2＋y2＝16，將y2＝4ax