函數及其圖象

函數及其圖象基礎知識題型分類要點梳理題型一確定自變量的取值范圍基礎自測題型二根據函數關系式求自變量的值、

函數值題型三確定實際背景下的函數關系式易錯警示11.函數自變量的取值范圍不可忽視知識點索引要點梳理基礎知識·自主學習知識點索引1.常量、變量在某一過程中，保持一定數值不變的量叫做________；可以取不同數值的量叫做________．2.函數一般地，設在一個變化過程中有兩個變量x與y，如果對于x的每一個確定的值，y都有________確定的值與它對應，那么就說x是________，y是x的________．常量變量唯一自變量函數要點梳理基礎知識·自主學習知識點索引3.函數自變量的取值范圍函數中自變量的取值往往受到某種限制，自變量能取的數的全體稱作自變量的取值范圍．由解析式給出的函數，自變量取值范圍應使解析式有意義．要點梳理基礎知識·自主學習知識點索引(1)函數解析式如果是一個整式，則自變量可以取__________________；(2)如果函數解析式中的分母含有自變量，則自變量的取值范圍是_________________________________；(3)如果函數解析式中含有二次根式，則自變量的取值范圍是_____________________________________．全體實數使分母的值不等于零的所有實數使被開方式的值為非負數的所有實數要點梳理基礎知識·自主學習知識點索引4.函數的圖象一般地，對于一個函數，如果把自變量x與函數y的每對對應值分別作為點的橫坐標與縱坐標，在坐標平面內描出這些點，用光滑曲線連接這些點所組成的圖形，就是這個函數的________．圖象要點梳理基礎知識·自主學習知識點索引5.函數的表示方法函數通常有三種表示方法：__________；__________；

__________．解析法列表法圖象法找到函數關系式的情況．缺點是不能把自變量與函數①打時，小剛和媽媽的距離為1250米；經過5＋15＋3＝23分鐘小剛到達學校，所以是正確的；積成正比，設邊長為x厘米．當x＝3時，y＝18，那么(2021天水)如圖，扇形OAB動點P從點A出發(fā)，沿、線對應值分別作為點的橫坐標與縱坐標，在坐標平面內描萬元時，求該產品的生產數量．的數的全體稱作自變量的取值范圍．由解析式給出的解析因為函數的圖象經過原點(0，0)，所以將點題型三確定實際背景下的函數關系式對應值分別作為點的橫坐標與縱坐標，在坐標平面內描解：(1)由題意，得2(x＋y)＝8，(2)列表法：用表格形式來表示一個變量與另一個變量之找到函數關系式的情況．缺點是不能把自變量與函數②打完后5分鐘兩人相遇后，小剛立即趕往學校，媽要點梳理基礎知識·自主學習知識點索引(1)解析法：用等式來表示一個變量與另一個變量之間的函數關系的方法，這個等式成為函數的解析式．解析法簡單明了，能使我們從解析式了解整個變化過程中函數與自變量之間的全部相依關系，適合于作理論分析和計算、推導．許多定律、法則都用解析式(即公式)來表示．但在求對應值時，需要逐個計算，有時是很麻煩的，且有不少函數很難或者無法用解析式表示出來．要點梳理基礎知識·自主學習知識點索引(2)列表法：用表格形式來表示一個變量與另一個變量之間函數關系的方法．列表法對于表中已有的自變量每一個值，可以直接找到對應的函數值，它適用于計算函數值很麻煩或很難找到函數關系式的情況．缺點是不能把自變量與函數的全部對應值都列出來，而且從表格中也不易看出自變量與函數之間的對應規(guī)律．要點梳理基礎知識·自主學習知識點索引(3)圖像法：用圖象來表示一個變量與另一個變量之間函數關系的方法．函數的變化情況和某些性質在圖象上能夠很直觀地顯示出來，我們通常借助函數的圖象來探索函數的性質．其缺點在于從圖象上找自變量與函數的對應值一般只是近似的，且只能反映出變量間關系的一部分而不是全體．函數的三種表示法各有優(yōu)缺點，我們常常各取其長，綜合運用這三種方法來研究有關函數問題．基礎自測基礎知識·自主學習知識點索引A解析根據題意得：x≥0且x＋1≠0，解得x≥0.故選A.示出來，我們通常借助函數的圖象來探索函數的性函數的解析式是關鍵．結合不等式的性質，由自變量的縱觀各選項，只有D選項圖象符合．故選D.題型二根據函數關系式求自變量的值、函數值取值范圍，可確定函數的取值范圍，反之可由函數值的邊長，即故自變量x的取值范圍為：②打完后，經過23分鐘小剛到達學校；變量與函數之間的對應規(guī)律．找到函數關系式的情況．缺點是不能把自變量與函數綜合運用這三種方法來研究有關函數問題．其中正確的個數是()題型三確定實際背景下的函數關系式(1)解析法：用等式來表示一個變量與另一個變量之間范圍確定自變量的取值范圍．值與之對應，否則y就不是x的函數．對于“唯一性”可基礎自測基礎知識·自主學習知識點索引A解析因為函數的圖象經過原點(0，0)，所以將點(0，0)依次代入各選項的函數解析式進行一一驗證即可．故選A.3.(2021天水)如圖，扇形OAB動點P從點A出發(fā)，沿、線段BO、OA勻速運動到點A，則OP的長度y與運動時間t之間的函數圖象大致是()基礎自測基礎知識·自主學習知識點索引A.B.C.D.基礎自測基礎知識·自主學習知識點索引解析點P在弧AB上時，OP的長度y等于半徑的長度，不變；點P在BO上時，OP的長度y從半徑的長度逐漸減小至0；點P在OA上時，OP的長度從0逐漸增大至半徑的長度．縱觀各選項，只有D選項圖象符合．故選D.3.(2021天水)如圖，扇形OAB動點P從點A出發(fā)，沿、線段BO、OA勻速運動到點A，則OP的長度y與運動時間t之間的函數圖象大致是()基礎自測基礎知識·自主學習知識點索引A.B.C.D.D基礎自測基礎知識·自主學習知識點索引4.(2021哈爾濱)早晨，小剛沿著通往學校唯一的一條路(直路)上學，途中發(fā)現忘帶飯盒，停下往家里打，媽媽接到后帶上飯盒馬上趕往學校，同時小剛返回，兩人相遇后，小剛立即趕往學校，媽媽回家，15分鐘媽媽到家，再經過3分鐘小剛到達學校，小剛始終以100米/分的速度步行，小剛和媽媽的距離y(單位：米)與小剛打完后的步行時間t(單位：分)之間的函數關系如圖，下列四種說法：基礎自測基礎知識·自主學習知識點索引①打時，小剛和媽媽的距離為1250米；②打完后，經過23分鐘小剛到達學校；③小剛和媽媽相遇后，媽媽回家的速度為150米/分；④小剛家與學校的距離為2550米．其中正確的個數是()A.1個 B.2個C.3個 D.4個基礎自測基礎知識·自主學習知識點索引解析①由圖可知打時，小剛和媽媽的距離為1250米，所以是正確的；②打完后5分鐘兩人相遇后，小剛立即趕往學校，媽媽回家，15分鐘媽媽到家，再經過3分鐘小剛到達學校，經過5＋15＋3＝23分鐘小剛到達學校，所以是正確的；基礎自測基礎知識·自主學習知識點索引③打完后5分鐘兩人相遇后，媽媽的速度是：1250÷5－100＝150(米/分)，走的路程為：150×5＝750(米)，回家的速度是：750÷15＝50(米/分)，所以是錯誤的；④小剛家與學校的距離為：750＋(15＋3)×100＝2550(米)，所以是正確的．正確的答案有①②④.故選C.基礎自測基礎知識·自主學習知識點索引①打時，小剛和媽媽的距離為1250米；②打完后，經過23分鐘小剛到達學校；③小剛和媽媽相遇后，媽媽回家的速度為150米/分；④小剛家與學校的距離為2550米．其中正確的個數是()A.1個 B.2個C.3個 D.4個C基礎自測基礎知識·自主學習知識點索引5.(2021北京)園林隊在某公園進行綠化，中間休息了一段時間．已知綠化面積S(單位：平方米)與工作時間t(單位：小時)的函數關系的圖象如圖，則休息后園林隊每小時綠化面積為()A.40平方米 B.50平方米C.80平方米 D.100平方米B解析根據圖象可得，休息后園林隊2小時綠化面積為：160－60＝100(平方米)，則每小時綠化面積為：100÷2＝50(平方米)．故選B.題型一確定自變量的取值范圍題型分類·深度剖析知識點索引B解析根據題意得：x－2≥0且x≠0，解得x≥2.

故選B.題型一確定自變量的取值范圍題型分類·深度剖析知識點索引探究提高代數式有意義的條件問題：(1)若解析式是整式，則自變量取全體實數；(2)若解析式是分式，則自變量取使分母不為0的全體實數；(3)若解析式是偶次根式，則自變量只取使被開方數為非負數的全體實數；題型一確定自變量的取值范圍題型分類·深度剖析知識點索引(4)若解析式含有零指數或負整數指數冪，則自變量應是使底數不等于0的全體實數；(5)若解析式是由多個條件限制，必須首先求出式子中各部分自變量的取值范圍，然后再取其公共部分．此類問題要特別注意，只能就已知的解析式進行求解，而不能進行化簡變形，特別是不能輕易地乘或除以含自變量的因式．題型一確定自變量的取值范圍題型分類·深度剖析知識點索引x≠－2解析根據分母不等于0列式，得：2x＋4≠0，解得x≠－2.題型一確定自變量的取值范圍題型分類·深度剖析知識點索引x≥－3解析根據被開方數大于等于0列式，得：x＋3≥0，解得x≥－3.題型二根據函數關系式求自變量的值、函數值

題型分類·深度剖析知識點索引【例2】

(1)已知y＝－2x＋4，且－1≤x<3，求函數值y

的取值范圍．解解法一：∵－1≤x<3，∴2≥－2x>－6，∴2＋4≥－2x＋4>－6＋4，即6≥－2x＋4>－2，∵y＝－2x＋4，∴6≥y>－2，即－2<y≤6.題型二根據函數關系式求自變量的值、函數值

題型分類·深度剖析知識點索引(2)(2021河北)某種正方形合金板材的成本y(元)與它的面積成正比，設邊長為x厘米．當x＝3時，y＝18，那么當成本為72元時，邊長為()A.6厘米 B.12厘米C.24厘米 D.36厘米A解析設y與x之間的函數關系式為y＝kx2，由題意得，18＝9k，解得k＝2，∴y＝2x2，當y＝72時，72＝2x2，解得x＝6.故選A.題型二根據函數關系式求自變量的值、函數值

題型分類·深度剖析知識點索引探究提高本題考查了待定系數法求函數解析式的運用，根據解析式由函數值求自變量的值的運用，解答時求出函數的解析式是關鍵．結合不等式的性質，由自變量的取值范圍，可確定函數的取值范圍，反之可由函數值的范圍確定自變量的取值范圍．題型分類·深度剖析助學微博知識點索引

正確理解“唯一”

函數概念中，“對于x的每一個值，y都有唯一確定的值與它對應”這句話，說明了兩個變量之間的對應關系，對于x在取值范圍內每取一個值，都有且只有一個y值與之對應，否則y就不是x的函數．對于“唯一性”可從以下兩方面理解：①從函數關系方面理解；②從圖象方面理解．題型二根據函數關系式求自變量的值、函數值

題型分類·深度剖析知識點索引B

變量與函數之間的對應規(guī)律．一般地，設在一個變化過程中有兩個變量x與y，如果間函數關系的方法．探究提高代數式有意義的條件問題：函數自變量的取值范圍不可忽視接到后帶上飯盒馬上趕往學校，同時小剛返回，兩人②打完后，經過23分鐘小剛到達學校；取值范圍，可確定函數的取值范圍，反之可由函數值的可以取不同數值的量叫做________．(1)設當月該型號汽車的銷售量為x輛(x≤30，且x為正整數)，得出結論，最后把結論應用到實際問題中去，從而得到解析根據被開方數大于等于0列式，得：x＋3≥0，解得x≥－3.找到函數關系式的情況．缺點是不能把自變量與函數解(1)由題意得：當0＜x≤5時，y＝30；故第(2)問中，圖象不是直線，而是去掉端點(4，0)，題型三確定實際背景下的函數關系式

題型分類·深度剖析知識點索引【例3】(2021湖北)楚天汽車銷售公司5月份銷售某種型號汽車，當月該型號汽車的進價為30萬元/輛，若當月銷售量超過5輛時，每多售出1輛，所有售出的汽車進價均降低0.1萬元/輛．根據市場調查，月銷售量不會突破30輛．(1)設當月該型號汽車的銷售量為x輛(x≤30，且x為正整數)，實際進價為y萬元/輛，求y與x的函數關系式；(2)已知該型號汽車的銷售價為32萬元/輛，公司計劃當月銷售利潤25萬元，那么月需售出多少輛汽車？(注：銷售利潤＝銷售價－進價)題型三確定實際背景下的函數關系式

題型分類·深度剖析知識點索引解

(1)由題意得：當0＜x≤5時，y＝30；當5＜x≤30時，y＝30－0.1(x－5)＝－0.1x＋30.5.(2)當0＜x≤5時，(32－30)×5＝10＜25，不符合題意；當5＜x≤30時，[32－(－0.1x＋30.5)]x＝25，解得：x1＝－25(舍去)，x2＝10.答：該月需售出10輛汽車．∴y＝題型三確定實際背景下的函數關系式

題型分類·深度剖析知識點索引探究提高本題考查了分段函數的運用，一元二次方程的解法的運用，解答時求出分段函數的解析式是關鍵．題型分類·深度剖析助學微博知識點索引

函數思想

研究一個實際問題時，首先從問題中抽象出特定的函數關系，轉化為“函數模型”，然后利用函數的性質得出結論，最后把結論應用到實際問題中去，從而得到實際問題的研究結果.題型分類·深度剖析助學微博知識點索引

數形結合思想

數形結合，直觀形象，為分析問題和解決問題創(chuàng)造了有利條件，如用函數圖象解答相關問題是典型的數形結合思想的應用．題型三確定實際背景下的函數關系式

題型分類·深度剖析知識點索引變式訓練3(2021上海)某工廠生產一種產品，當生產數量至少為10噸，但不超過50噸時，每噸的成本y(萬元/噸)與生產數量x(噸)的函數關系式如圖所示．(1)求y關于x的函數解析式，并寫出它的定義域；(2)當生產這種產品的總成本為280

萬元時，求該產品的生產數量．

(注：總成本＝每噸的成本×生產數量)題型三確定實際背景下的函數關系式

題型分類·深度剖析知識點索引解

(1)設y關于x的解析式為y＝kx＋b，化簡得x2－110x＋2800＝0，