河北省十縣聯(lián)考2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題 含解析

2025年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬試題數(shù)學(xué)（三）本試卷共4頁(yè)，19題．全卷滿分150分．考試用時(shí)120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、考號(hào)等填寫在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效．3．填空題和解答題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效．4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算，得到，再利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式，即可求解.【詳解】因?yàn)椋玫?，即，所以，得到，故選：D.2.的展開式中，的系數(shù)為（）A. B. C.80 D.160【答案】A【解析】【分析】求出二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)公式，再由給定冪指數(shù)求解即得.【詳解】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，由，得，所以的展開式中的系數(shù)為.故選：A3.若命題“，”為假命題，則a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】轉(zhuǎn)化為“，”為真命題，再利用判別式即可得到答案.【詳解】由題意得命題“，”為真命題，則對(duì)恒成立，則對(duì)恒成立，則，解得.故選：A.4.已知向量，，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到，再利用向量垂直的坐標(biāo)表示，得到，即可求解.【詳解】因?yàn)?，，得到，又，所以，解得，故選：B.5.某企業(yè)五個(gè)部門年第三季度的營(yíng)業(yè)收入占比和凈利潤(rùn)占比統(tǒng)計(jì)如下表所示：第一部門第二部門第三部門第四部門第五部門營(yíng)業(yè)收入占比凈利潤(rùn)占比若該企業(yè)本季度的總營(yíng)業(yè)利潤(rùn)率為（營(yíng)業(yè)利潤(rùn)率是凈利潤(rùn)占營(yíng)業(yè)收入的百分比），則（）A.各部門營(yíng)業(yè)收入占比的極差為B.各部門營(yíng)業(yè)收入占比的第百分位數(shù)為C.第二部門本季度的營(yíng)業(yè)利潤(rùn)為正D.第三部門本季度的營(yíng)業(yè)利潤(rùn)率大約為【答案】D【解析】【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)計(jì)算極差、百分位數(shù)、營(yíng)業(yè)利潤(rùn)率，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，各部門營(yíng)業(yè)收入占比的極差為，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，各部門營(yíng)業(yè)收入占比由小到大依次為、、、、，且，所以，各部門營(yíng)業(yè)收入占比的第百分位數(shù)為，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，第二部門本季度的營(yíng)業(yè)利潤(rùn)率，故第二部門本季度的營(yíng)業(yè)利潤(rùn)為負(fù)，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，第三部門本季度的營(yíng)業(yè)利潤(rùn)率為，D對(duì).故選：D.6.已知圓，點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，線段的中垂線與交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件得到，從而點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，焦距為的橢圓，即可求解.【詳解】如圖，易知，所以，由橢圓的定義知，點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，焦距為的橢圓，而焦點(diǎn)在上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，焦距為的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，又點(diǎn)軌跡的中心為，所以的軌跡方程為，故選：C.7.已知四邊形的外接圓半徑為，若，四邊形的周長(zhǎng)記為，則當(dāng)取最大值時(shí)，四邊形的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】利用余弦定理和基本不等式可確定當(dāng)且時(shí)，取得最大值；根據(jù)此時(shí)為四邊形外接圓直徑和解三角形的知識(shí)，可求得此時(shí)四邊形的面積.【詳解】在中，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），；，，在中，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），；；當(dāng)取得最大值時(shí)，且，為弦的垂直平分線，為四邊形外接圓的直徑，，，又此時(shí)，，，當(dāng)取得最大值時(shí)，四邊形的面積.故選：A.8.當(dāng)時(shí)，，則正數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件，利用同構(gòu)思想，得到，構(gòu)造函數(shù)，利用的單調(diào)性得到在區(qū)間上恒成立，再構(gòu)造函數(shù)，求出在區(qū)間上的最大值，即可求解.【詳解】因?yàn)?，由，得到，即，令，則，因?yàn)椋栽趨^(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，所以，可得，即在區(qū)間上恒成立，令，則，由，得到，由，得到，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，得到，故選D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵在于利用“同構(gòu)”思想，將條件變形成，構(gòu)造函數(shù)，利用的單調(diào)性，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成在區(qū)間上恒成立，再構(gòu)造函數(shù)，求出在區(qū)間上的最大值，即可求解.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知，是兩個(gè)不重合的平面，是兩條不重合的直線，則（）A.若，，則B.若，，，則C.若，，，則D.若，，，，，則【答案】ACD【解析】【分析】選項(xiàng)A，利用面面平行的性質(zhì)，即可判斷；選項(xiàng)B，在正方體中，通過(guò)取特例，即可求解；選項(xiàng)C，根據(jù)條件，即可判斷；選項(xiàng)D，利用面面垂直的性質(zhì)，得到，即可判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，，由面面平行的性質(zhì)可知，所以選項(xiàng)A正確，對(duì)于選項(xiàng)B，如圖，在正方體中，取平面為平面，平面為平面，直線為直線，直線為直線，顯然滿足，，，但不平行，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?，，，顯然有，所以選項(xiàng)C正確，對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)?，，，，則，又，則，所以選項(xiàng)D正確，故選：ACD.10.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象，的導(dǎo)函數(shù)為，則（）A.的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B.函數(shù)的最小正周期為C.區(qū)間上單調(diào)遞減D.在區(qū)間內(nèi)的所有零點(diǎn)之和為【答案】BC【解析】【分析】確定的解析式，借助三角函數(shù)性質(zhì)逐個(gè)判斷即可.【詳解】由已知條件可知：，易知其為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故A錯(cuò)誤；由于的最小正周期為，而的圖象可由的圖象，把軸下方圖象翻折上去，軸上方圖象不變，故函數(shù)的最小正周期為，B正確；，所以，由，可得：，由于余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在區(qū)間上單調(diào)遞減，C正確；由，令，，得到：，，分別令可得對(duì)應(yīng)零點(diǎn)為，所以在區(qū)間內(nèi)的所有零點(diǎn)之和為，D錯(cuò)誤；故選：BC11.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，與以為圓心，為半徑的圓交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限內(nèi)），則（）A. B.的最小值為1C.（為原點(diǎn)）的最大值為 D.的最小值不可能為6【答案】AC【解析】【分析】選項(xiàng)A，將點(diǎn)代入，即可求解；選項(xiàng)B，分斜率存在和不存在兩種情況，聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理即可求解；選項(xiàng)C，結(jié)合選項(xiàng)B中的結(jié)論，利用正切函數(shù)的倍角公式得到關(guān)于的表達(dá)式，從而得解；選項(xiàng)D，利用選項(xiàng)B中結(jié)果，可得，即可求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以，得到，所以，故選項(xiàng)A正確，對(duì)于選項(xiàng)B，易知直線斜率不為，設(shè)，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，由，消得到，由韋達(dá)定理得，又，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，所以，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，則，又，由選項(xiàng)B知，，所以，易知，時(shí)，，時(shí)，，又的兩根為或，可得，所以，所以選項(xiàng)C正確，對(duì)于選項(xiàng)D，，由選項(xiàng)B知，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)斜率存在，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：AC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴，本題的關(guān)鍵在選項(xiàng)C，設(shè)，再分直線斜率存在和不存在兩種情況，斜率不存在時(shí)，可求得，當(dāng)斜率存在時(shí)，利用選項(xiàng)B中結(jié)果，將表示成，再利用，得到，即可求解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件，利用與間的關(guān)系，得到，即可求解.【詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，滿足，所以，得到，所以，故答案為：.13.已知，均為銳角，，，則____________．【答案】【解析】【分析】首先求出，，再利用兩角差的余弦公式和二倍角公式即可.【詳解】因?yàn)?，均銳角，則，,因?yàn)椋?，則，，,，則.故答案為：．14.已知全集，集合是的非空子集，且，定義為中的一對(duì)“子群”關(guān)系，則滿足這種“子群”關(guān)系的共有____________個(gè)．【答案】【解析】【分析】利用組合求出符合條件的集合的個(gè)數(shù)，再求出相應(yīng)集合的非空真子集個(gè)數(shù)，利用分步計(jì)算原理，即可求解.【詳解】因?yàn)?，集合是的非空子集，，若中有個(gè)元素，此時(shí)符合條件的集合有個(gè)，又中有個(gè)元素時(shí)，集合的非空真子集個(gè)數(shù)有個(gè)，若若中有個(gè)元素，此時(shí)符合條件的集合有個(gè)，又中有個(gè)元素時(shí)，集合的非空真子集個(gè)數(shù)有個(gè)，若中有個(gè)元素，此時(shí)符合條件的集合有個(gè)，又中有個(gè)元素時(shí)，集合的非空真子集個(gè)數(shù)有個(gè)，若中有個(gè)元素，此時(shí)符合條件的集合有個(gè)，又中有個(gè)元素時(shí)，集合的非空真子集個(gè)數(shù)有個(gè)，所以滿足條件的共有，故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）由條件可得，，故可證明數(shù)列為等比數(shù)列.（2）表示數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法可得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】∵，∴當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，，整理得，即，令得，，，，∴是以為首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列.【小問(wèn)2詳解】由（1）得，，，∴.，，兩式相減得，，∴.16.如圖，在平面五邊形中，，，，，將沿翻折，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，得到如圖所示的四棱錐，且，為的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）若，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）推導(dǎo)出平面，可得出，利用等腰三角形三線合一可得出，利用線面垂直的判定定理可證得平面，再利用線面垂直的性質(zhì)可證得；（2）推導(dǎo)出，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得平面與平面夾角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】翻折前，在平面五邊形中，，，，，則，翻折后，在四棱錐，且，，所以，，則，所以，，又因?yàn)?，，、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，所以，，因?yàn)?，，則四邊形為平行四邊形，則，所以，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，因?yàn)椋?、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋?，所以，，則，因?yàn)槠矫?，，則平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A0,0,0、、、，設(shè)平面的法向量為m=x1,y1則，取，可得，設(shè)平面的法向量為n=x2,y2則，取，可得，所以，，因?yàn)椋矫媾c平面夾角的余弦值為.17.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，曲線在點(diǎn)（）處的切線記為．①求的方程；②設(shè)的交點(diǎn)構(gòu)成，試判斷的形狀（銳角、鈍角或直角三角形）并加以證明．（2）討論的極值．【答案】（1）①；②為鈍角三角形，證明見(jiàn)解析；（2）答案見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)條件，得到，①利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解；②利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出（）的方程，再求出三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得，即可求解；（2）對(duì)求導(dǎo)，得到，再分三種情況，利用極值的定義，即可求解.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，①因?yàn)?，，所以的方程?②為鈍角三角形，證明如下:由①知的方程為，又，，所以的方程為，即，又，，所以的方程為，即，由，得到，所以，由，得到，所以，由，得到，所以，得到，，則，注意到，所以，得到，又B∈0,π，所以，即為鈍角三角形.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，，由，得到，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，此時(shí)是的極小值點(diǎn)，極小值為，無(wú)極大值，當(dāng)時(shí)，由，得到或，又，若，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，此時(shí)，是的極大值點(diǎn)，極大值為，是的極小值點(diǎn)，極小值為，若，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，此時(shí)，是的極大值點(diǎn)，極大值為，是的極小值點(diǎn)，極小值為.綜上，當(dāng)時(shí)，極小值為，無(wú)極大值，當(dāng)時(shí)，極大值為，極小值為.18.某商場(chǎng)將年度消費(fèi)總金額不低于萬(wàn)的會(huì)員稱為尊享會(huì)員，超過(guò)萬(wàn)不足萬(wàn)的會(huì)員稱為星級(jí)會(huì)員．該商場(chǎng)從以上兩種會(huì)員中隨機(jī)抽取男、女會(huì)員各名進(jìn)行調(diào)研統(tǒng)計(jì)，其中抽到男性尊享會(huì)員名，女性尊享會(huì)員名．（1）完成下面的列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷是否可以認(rèn)為會(huì)員類型與性別有關(guān)？會(huì)員類型會(huì)員性別合計(jì)男性會(huì)員女性會(huì)員尊享會(huì)員星級(jí)會(huì)員合計(jì)（2）該商場(chǎng)在今年店慶時(shí)將舉辦尊享與星級(jí)會(huì)員消費(fèi)返利活動(dòng)，該活動(dòng)以抽獎(jiǎng)的形式進(jìn)行，參與抽獎(jiǎng)的會(huì)員從放有個(gè)紅球和個(gè)白球（每個(gè)球除顏色不同外，其余完全相同）的抽獎(jiǎng)箱中抽獎(jiǎng)．抽獎(jiǎng)規(guī)則：①每次抽獎(jiǎng)時(shí)，每名會(huì)員從抽獎(jiǎng)箱中隨機(jī)摸出個(gè)球，若摸出的個(gè)球顏色相同即為中獎(jiǎng)，若顏色不同即為不中獎(jiǎng)；②每名會(huì)員只能選一種抽獎(jiǎng)方案進(jìn)行抽獎(jiǎng)．抽獎(jiǎng)方案如下：方案一：共進(jìn)行兩次抽獎(jiǎng)，第一次抽獎(jiǎng)后將球放回抽獎(jiǎng)箱，再進(jìn)行第二次抽獎(jiǎng)；方案二：共進(jìn)行兩次抽獎(jiǎng)，第一次抽獎(jiǎng)后將球不放回抽獎(jiǎng)箱，直接進(jìn)行第二次抽獎(jiǎng)．會(huì)員甲欲參加本次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，請(qǐng)從中獎(jiǎng)次數(shù)的期望與方差的角度分析，會(huì)員甲選擇哪種方案較好？附：，其中．【答案】（1）列聯(lián)表答案見(jiàn)解析，有（2）方案一，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題中信息完善列聯(lián)表，計(jì)算出的觀測(cè)值，結(jié)合臨界值表可得出結(jié)論；（2）設(shè)會(huì)員甲按照方案一、方案二抽獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)次數(shù)分別為、，分別計(jì)算出、、、，比較與、與的大小關(guān)系，可得結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)題中信息得到如下列聯(lián)表：會(huì)員類型會(huì)員性別合計(jì)男性會(huì)員女性會(huì)員尊享會(huì)員星級(jí)會(huì)員合計(jì)由表格中的數(shù)據(jù)可得，所以，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為會(huì)員類型與性別有關(guān).【小問(wèn)2詳解】設(shè)會(huì)員甲按照方案一、方案二抽獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)次數(shù)分別為、，對(duì)于方案一，則隨機(jī)變量的可能取值有、、，會(huì)員甲每次中獎(jiǎng)的概率為，則，所以，，，對(duì)于方案二，則隨機(jī)變量的可能取值有、、，，，，所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：所以，，，所以，會(huì)員甲選擇方案一較好.19.已知雙曲線C上的所有點(diǎn)構(gòu)成集合，若坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，則稱直線為雙曲線C關(guān)于點(diǎn)N