理論力學典型解題方法

理論力學典型解題方法

〔內部資料，僅供重慶理工大學本課堂學生參考〕

第1章靜力學公式和物體的受力分析

一問題

問題1:有哪五大公理，該注意哪些問題？

答：五大公理（靜力學）

（1）平行四邊形法那么

（2）二力平衡公理（一個剛體）

（3）力系加減平衡原理（一個，剛體）

力的可傳遞性（一個剛體）

（4）作用與反作用力（運動學、變形體）

（5）剛化原理

問題2：畫受力圖步驟及應注意的問題？

答：畫受力圖方法

原那么：盡量減少未知力個數(shù)，使得在做題的第一步就將問題簡化，以后根據(jù)力學原理所列的方程

數(shù)目就少一些，求解就方便一些。

步驟：

a）根據(jù)要求，選取研究對象，去掉約束，先畫主動力

b）在去掉約束點代替等效的約束反力

c）用二力軒、三力匯交，作用力與反作用力方法減少未知量個數(shù)，應用三力匯交時從整體到局部

或從局部到整體來思考C

d）用矢量標識各力，注意保持標識的一致性。對于未知大小，方向的力將它設為Fx,Fy再標識出。

問題3：約束與約束力及常見的約束（詳見課本）

物體［系）受到限制就為非自由體，這種限制稱為約束，進而就有約束力（約束反力）。

一般，一處約束就有一處約束力。

二典型習題

以下通過例題來演示上述介紹的方法。

［例1］由哈工大1-2（k）改編；如圖，各處光滑，不計自重。

1）畫出整體，AC（不帶銷仃C）,BC（不帶銷釘C）,銷釘C的受力圖；

2）畫出整體，AC（不帶銷釘出，BC（帶銷釘C）的受力圖；

3）畫出整體，AC1帶銷釘C）,BC（不帶銷釘C）的受力圖。

［解法提示］:應用三力匯交時從整體到局部或從局部到整體來思考，盡到減少未知力個數(shù)。1）由

整體利用三力匯交確定3方向，那么AC（不帶銷釘C）可用三力匯交。BC（不帶銷釘C）也三力匯交。

（a）（b）（c）（d）

2）由整體利用三力匯交確定R方向，那么AC（不帶銷釘C）可用三力匯交。BC（帶銷釘C）不能

用二力匯交。具體參考1）

3）由整體利用三力匯交確定K方向，BC［不帶銷釘C）可用三力匯交。AC（帶銷釘C）不能用三力

匯交。

［例2］如圖，各處光滑，不計自重。

1）畫出整體，AB（不帶銷釘B）,BC（不帶銷釘B）,銷釘B的受力圖；

2）畫出整體，AB（不帶銷釘B）,BC（帶銷釘B）的受力圖；

3）畫出整體，AB（帶銷釘畫,BC（不帶銷釘B）的受力圖。

［解法提示］：1）由B點的特點，可用三力匯交確定R方向。同樣，由C點的特點，可用三力匯交

確定FB方向。

（a）（b）（c）（d）

2）,3）當銷釘處沒有集中力時，帶不帶銷釘都一樣，可把銷釘處AB和BC間的力當作作用力與反

作用力。注意，當銷釘處有集中力時，那么不能如此。

［例3］如圖，求靜平衡時，AB對圓盤c的作用力方向。各處不光滑，考慮自重，圓盤c自重為P。

［解法提示］：1）由E點的特點，可用三力匯交確定為DE方向。

［例4］如圖.各處光滑，不計自重。

畫受力圖：構架整體、桿力8、AC.以〔均不包括銷釘4銷釘力、銷釘。

［解法提示］：先對整體用用三力匯交確定地面對銷釘C的力方向。依次由a廣f）作圖。

（a）（b）

（c）（d）

（e）（f）

第2章平面力系的簡化和平衡

-問題

問題1：本章注意問題有哪些？

1）找出二力軒

2）約束力畫正確

3）①平面匯交力系：2個方程二>能且只能求得2個未知量（以下“未知量”用？表示）

平面力偶系：1個方程=2個？n2

平面平行力系：2個方程=>2個？％

平面任意力系：3個方程=>3個？％

=一個系統(tǒng)總的獨立方程個數(shù)為：

2々+%+2%+3〃4=>能且只能求得相應數(shù)目？

②任意力學列方程方法a）一矩式

b）二矩式43不_1），（力投影軸）

c）三矩式A8C不共線

注：a）,b）,c）可以相互推導得出，在推導的過程中會發(fā)現(xiàn)這些限制條件，應注意，

否那么會線性相關。

③具體對一個問題分析時注意

（1）所列方程必須線性無關，局部：方程1；局部：方程2

方程1+方程2=整體方程是不行的

（2）因此盡顯選擇一個對象列所有的方程，看未知力與方程數(shù)差數(shù)目再找其他物體列時應方程

說明：方程1+方程2=整體方程，局部1,與局部2為整體的別離體，其中包含了兩者間的內力，相

加后消除內力，就推導出整體方程。

問題2：如何取研究對象，如何列方程

答：（?）、原那么：11）盡量列最少數(shù)目的方程

只包含待求未知量（優(yōu)先）

盡量讓每個方程能解出一個未知量

㈡、解題思路（重要）：

a）先整體，看能從3個方程中列幾個有用方程，把能求出的未知量當作，方便以后分析，但不必具

體求出其中的未知量的大小，以后須用到某個未知量，再回頭求。

b）從待求量出發(fā)，向其周圍前后左右，由近及遠，延伸到光滑較鏈連接點D處，對點I）取矩，依次類

推。假設碰到其他不待求未知量，說明很可能此路不通，不要再從此處突破。一般常用此方法。（本書

稱為順藤摸瓜法）。

c）假設存在n個閉合回路，一般至少要多補充n個多余的方程，其中圖中那些方向的力的信息必須

加以利用，比方向我垂線投影。假設不用此信息，此題一般無法求解，因為止是此信息才決定該結構不

是其他結構，只有解題時表達其特殊性問題才能求解。

㈢、如何用一個方程解一個未知量：

（1）向不待求未知量垂線投影

（2）在不待求未知量交點處取矩

問題3：平面桁架關鍵問題有哪些？

答：解題方法

、「節(jié)點法：匯交力系--能且只能列2個獨立方程°

1

I截面法：平面任意力系?--能且只能列3個獨立方程

2）先找出零力桿。

3）（從整體到局部）先看整體能求出幾個未知量（備用），找出零力桿

4）再從局部出發(fā)，一般先采用截面法。采用截面法應從以下原那么入手：

a）??次截出3個未知量（國為平面任意力系最多只能列出3個方程），并最大限度包含待求未知量

〔目的是使方程個數(shù)最少）.

b）在使用截面法，截出3個未知量后，假設求其中一個未知量，那么另2個未知量要么平行，要

么相交。那么可

5）注意零力桿判別

①②\\F

二典型習題A/\

以下通過例題來演示上述介紹的方法。以

（一）平面任意力系例題

【例1】如圖.各處光滑，不計自重。結構尺寸如圖，C、￡處為較接；：10kN,J/=12kNmo求力、

B、〃處的支座反力。

［解法提示］:總共5個？，先對整體3個方程，再從局部（順藤摸瓜）補充2個方程：

【龐桿】XME=0,【BC桿】ZMc=0。

答案：FD=12K$FAX=-6KN,FAY=1KN,FBX=2KN,FBY=5KN

【說明】何鋒課后習題2.14與比類似解法。

【例2】如圖.各處光滑，不計自重。靜定剛架尺寸如下圖，作用有分布力和集中力，集中力作用在俏釘

C上。

1）求銷釘。對〃'桿的約束力。

［解法提示］:總共2個？，先對整體3個方程沒用，故從局部〔順藤摸瓜）補

充2個方程即可：【銷釘C+BC桿】ZMB=°，【AC桿不帶銷釘C】^MA=0O

答案：FCAX=TOKN,FCAY=-!OKN

2）假設僅求銷釘C對BC桿的約束力。與上述類似，【銷釘C+AC桿】^MA=0,

【BC桿不帶銷釘C】^MB=0O

3）假設僅求A約束力?！続C桿】^Mc=0,［AC+BC］工乂產。。

4）假設僅求B約束力?！綛C桿】^Mc=（）,［AC+BC］＞｝乂人=（）。

4）假設同時求A、B約束力?？偣?個？，先對整體3個方程，再從局部（順藤摸

瓜）補充1個方程即可:如【BC桿】ZMc=O.

或【AC桿】XMc=0*有人問，那為什么不可將這幾個方程同時列出呢？因為那樣將有5個方程解4

個未知量，沒必要。

［說明］哈工大第6版課后習題3-12,3-13,3-26,3-29與此類似解法。

［3-29改編］:巳知q、°、M=x'P作用在箱釘B上，］）僅求A的約束反力。

［解法提示］:總共3個？，按順藤摸瓜法，盡量不引入不待求未知量，補充3個方程即可：先整體,【ABCD】

M

5＞口=0，再局部［AB］XMB=（）,［ABC］Xc=O.

2）假設僅求B對AB約束力。局部，取【AB】將引入不待求未知量MA,故【帶銷釘B+BC桿】^Mc=0,

【帶銷釘B+BCD桿】ZMD=O-

【例3】由何鋒例2.7改編；如圖.均質小車重尸，如下圖放在組合梁上，劭桿上作用形狀為直角三

角形、強度為。的分布力：桿重不計，求支座力、〃的反力。

［解法提示］:總共5個？，先對整體3個方程，再從局部（順藤摸瓜）補

充2個方程，但因為小車與AC、CB形成閉合回路，不可防止引入CB與小車間A,故需補充3個方程：【BD

桿】2MB=°，【CBD】ZM（=°。【小車】2MH=0。

答案：MA二GL-Ga,FAX=ql/3+Ga/（2L）,FDX=ql/6+Ga/（2L）,FDY=Ga/（2L）

【說明】哈工大第6版課后習題371;何程課后習題2.11與此類似解法。

【例4】結構及其尺寸、載荷如圖。Q=1000N,〃=500N,力偶矩/〃=150N-m.

1）求銷釘3對桿優(yōu)'的作用力。

［解法提示］:總共2個？，先對整體3個方程沒用，故從局部（順藤摸瓜）補

充2個方程即可?【不帶銷釘R的BC桿】ZMc=0，【不帶銷釘R的用：桿+輪C+繩+Q+M桿】=00

答案:FBCX=500N,FBCY=500N.

2）假設僅求夕對桿胡的作用力。與上述類似，但須引入FA,【整體】^MB=O局部（順藤摸瓜）

補充2個方程。【不帶銷釘B的3A桿】ZMD=。，【不帶銷釘B的BA桿+DC桿】'XMc=0?為了得

到FA,o一—

3）假設僅求銷釘。對桿DC的作用力。與上述D類似，總共2個？，先對整體3個方程沒用故從局部

〔順藤摸瓜）補充2個方程?！綛D桿】VMD=01BC桿+

輪C+繩+Q］ZMB=°。

4）假設僅求銷釘C對桿BC的作用力。與上述1）類似，總共2個？，先對整體3個方程沒用故從局部

（順藤摸爪）補充2個方程。【BC桿】2LMB=01DC桿+

輪O繩Z”XMD=°V

5）假設僅求銷釘D對桿DC的作用力。與上述1）類似，總共2個？，先對整體3個方程沒用，故從局部

（順藤摸瓜）補充2個方程。【DC桿】ZM（：=0,1BC桿+輪C+繩+Q+DC桿】^MB=0

【例5】如圖.構架力旗由三桿48、然和小組成，桿分'上的銷子E可在桿力8光滑槽內滑動，構架尺

寸和載荷如圖示，/z?=2400Nm,P=200N,試求固定支座8和。的約束反力。

［解法提示］:總共4個？，先對整體3個方程，再從局部（順藤摸瓜）補充1個方程，但因為AEG形成

閉合回路，不可防止引入FE,故需補充2個方程：【BA桿】^MA=0,［DF+AC］^MG=0?共5個

方程即可。

答案：FBX=-325N,FBY=-400N,FCX=325N,FCY=600N

假設僅求G對EF的作用力？

總共2個？，【DF】3個方程，三個？，故不需對整體，局部【EF桿】ZMG=°沿AB方向，EF=0.

【說明】1）哈工大第6版課后習題3-20與此類似解法。'

2）何鋰課后習題2.21.與此類似解法。

［2.21］物體重Q=12kN,由桿月〃、4。和成組成的支架和滑輪〃支持如圖示，AD=BD=2m,

CD=DE=\.5m,不計桿與滑輪的重量，求支座力的約束力以及施、的內力。

［解法提示］：總共3個？，先對整體2個有用方程，盡量不引入“，【整體】ZMB=°，ZX=0,

再從局部（順藤摸瓜）補充1個方程，【CE】^MD=0,共3個方程即可。

假設僅求D對CE的作用力？用兩個方程。

【例6】哈工大第6版課后習題3T9:

［解法提示］:總共6個？，先整體列2個方程.順藤摸瓜，局部，［AB］可列3個獨立方程，再補充1

個，【DF】ZME=（）。思考：如下解法正確嗎？為什么？總共6個？，因為AB包含所有未知力，取

［AB］可列3個獨立方程，還差3個。按順藤摸瓜法，【整體】2Mc=0,［DF+AC］^Mc=0,［DF］

VME=OO共6個方程即可,

答案:FAX=0,FAY=-M/2a,FD案0,FDY;M/a,FBX=0,FBY=-M/2a.

【說明】1）哈工大第6版課后習題3-24與此類似解法：

［解法提示］:總共5個？，因為AB包含所有未知力，?。跘B］可列3個獨立方程，還差2個。按順藤

摸瓜法，【整體】^ME=0,［DB］^MD=0O共5個方程即可。

【例7】AB.AC.和、用9四桿連接如圖示。水平桿仍上有鉛垂向下的力P作用。求證不管P的位置如

何，力。桿總是受到大小等于〃的壓力。（只允許列三個方程求解）。

［解法提示］:求Re,但FM與［AD］、［AB］相關,單獨分別?。跘D］或［AB］,必將引入A點AD或AB的作用

力，不能直接求出%。按順藤摸瓜法，為了不引入A點AI）或AB的作用力，故取［DAB］,那么將在點B、

1）、E引入未知力。而E點力最多，故【DAB】ZME=°。對引入的R、FD,再次把其當作待求量，按

順藤摸瓜法，

得到【BA桿】ZMA=。，【整體】XMc=°o共3個方程即可。

【補充】如何用4個方程求E處作用力？【解】除了上述2個外，補充【AD】：2MA=0.⑵

［BC）;^Mc=0一

【思考】：（1）如何用4個方程求［CB］的C處作用力？（2）如何用4個方程求［AD］的A處作用力？（3）

為什么需要4個？答：假設僅BC那么1個閉合回路，再加上AD,那么2個閉合回路，外加待求的2個未

知力。故需要4個方程.

【例8】已知不計各桿件自重，受力及尺寸如圖；求校鏈D受的力。

［解法提示］:總共2個？，但因為DGC形成1個閉合回路，K可防止引入用,故需列3個方程:按順藤

摸瓜法，【DCB［^Mc=（）,［DCB+FC］【整體】^MA=0,共3個方程即可。

答案：FDX=37.5N,FDY=75N

注：一般串聯(lián)結構可以幾個？就列幾個方程：并聯(lián)結構那么可能引入不待求量。

【例9】組合結構的荷載及尺寸如圖，長度單位為m,求支座反力及二力桿1,2,3,4的內力。

:解法提示］:總共7個？，先對整體3個方程，可求出支座反力。再從局部（順藤摸瓜）補充4個方

程。因為二力桿1,2,3,4與DE相關，故取【DE桿】可列3個方程，再補充一個即可。同樣，順藤摸

瓜，取［3,4+CB桿】：ZMc=O.

（二）平面桁架例題

已知ABC為等邊三角形，AO=DB,E、F為兩腰中點；

［例1】求8桿的內力

［解法提示］:按解題套路，先去除［CE］上部所有的的0桿，進一步確定［DE］為。桿（去掉）。【切斷AD、

CDsCF,取右邊局部】：^MB=0O答案:F產一6/2F

【例2】桁架由邊長為々的等腰直角三角形為根本單元構成，外力￡=10kN,乙=八=20kN。求4、

5、7、10各桿的內力。

［解法提示］:按解題套路，先由整體得到盡量用最少方程求解。故

［整體；2〃八=0］

【切斷4、5、6,取右邊局部】：ZMK=。得到皿，ZY=O得到F5.

【切斷6、7、8,取右邊局部】：工丫=0得到F7.【切斷8、9、10,取右邊局部】：得到

F10.一一

答案：F4=21.83KN,F5=16.73KN,F7=-ll.83KN,Fl0=51.83KN.

【例3】哈工大第6版課后習題3-38。求1、2、3桿的內力

［解法提示］:按解題繆薩［AE］左邊所有的的0桿，再盡量用最少方程（3個）求解。故【切斷

AB、3、FB,取上邊】：>"!<=°得到尸2,由點F得到F1,F2.

答案：Fl=-4F/9,F2=-2F/3,F3=0.

【說明】1）哈工大第6版課后習題3-37與此相同。3-34,3-36類似解法：

2）假設求FAB,%,F3,（何何課后習題2.17（b））,與此類似:求出F防和地面對B點的力后，用節(jié)點法即可

求得FAR,FIK

【例2。18何程】

（三）其他題型

答：應用合力矩定理求合力作用線方程?！纠?】何鋰例題2.2.如圖平衡系統(tǒng)中，大小相同的矩形

物塊/畝和比上分別作用力偶加2，M1="2=M。不計重力，求支座/、。的約束力。

［解法提示］：1）假設按一般常規(guī)方法,A、C點總共4個？，先對整體3個方程，再對【AB桿】：^MB-OO

此方法與以前方法一樣，思路清晰，故本書推薦此法。一

2）方法2:利用二力平衡，確定F-%方向，再用力偶平衡理論作v此方法不易想到，僅對特殊題目適

用。

［例2］合力作用線方程，何程例題2.4.如圖的平面一般力系由力耳『2，4和力偶"組成，各力

4=73N,6=100N,Fy=200N,匯交點力的坐標為（5,5）,單位為m,力偶矩M=40（）Nm.

求該力系的合力作用線方程。

解略。

三其他類似典型習題〔假設讀者對上述方法已很熟練，可跳過此局部〕

（一）平面任意力系〔來自哈爾濱工業(yè)大學理論力學（第七版）課后題）

3-19構架山桿AB,AC和DF較接而成，如圖3-19a所示，在桿DEF上作用1力偈矩

［1］為M的力偶。各桿重力不計，求桿AB上校鏈4D和B受力.

3-19構架由桿AB,4c和DF較接而成，如圖3-19a所示，在桿DEF上作用1力偶矩為M的

力偶。各桿重力不計，求桿上較鏈A,。和4受力。

［解法提示］:求桿AB上較鏈A,D和B的共6個未知力,故需列6個方程。按解題套路，

【先整體：3個方程,未引入新的未知量一個Fc可奉獻2個方程,^Mc=0.^X=f）l.

【再AB:3個方程包含所有待求力，未引入新的未知量，均可月】，

【再DF：Z"E=O】

3-20構架山桿AB,ACDF組成，如圖120a所不。桿DF上的銷子E可在桿.4C

的光滑槽內滑動，不計各桿的重量。在水平桿DF的一端作用鉛直力F,求鉛直桿AB上較

［2］

3-20構架由桿ABfAC和DF組成，如圖3-20a所示。桿DF上的銷子E可在桿AC的光滑槽

內滑動，不計各桿的重量。在水平桿DF的一端作用鉛直力F,求鉛直桿AB上較鏈A,D和B受

力。

［解法提示］;求桿AB上鐵鏈A,Z）和"的共6個未知力,故需歹46個方程。按解題套路，

【先整體：3個方程，未引入新的未知量2個（C處），可奉獻1個方程，EMC=O,】，

【再AB:3個方程包含所有待求力，未引入新的未知量，均可月工

【再DF：未引入新的未知量1個舊），可奉獻2個方程：ZME=（）,

【說明】：E處力的方向已給，一般必須利用此信息，否那么，題目信息缺乏，無法求解（在【方法中已

提到】）

3-21圖3-21a所示構架中，物體重P=1200N,由細繩跨過滑輪E而水平系于墻上，

［2］尺寸如圖.不計桿和滑輪的重力.求支承d和3的約束力，以及桿BC的內力FBC.

3-21圖31la所示構架中，物體重P=1200N,由細繩跨過滑輪E而水平系于墻上，

尺寸如圖。不計桿和滑輪的重力，求支承A和3的約束力，以及桿BC的內力。

［解法提示］:求四個個關切力，故需列4個方程。按解題套路，

【先整體：3個方程】

【再CE+輪E:3個方程包含D處2個新的未知量，可奉獻1個方程：2加/）二0】

3-26圖3-26a所示結肉由食用彎桿DAB與真桿BC、CD校鏈而成，并在乂處與3處

用固定校支座和可動校支座固定。桿DC受均布我荷q的作用，桿BC受矩為力的力

［3］偶作用。不計各構件的自重。求較銃D受力。

3-26圖3-26a所示結構由直角彎桿。八A與直桿RC\CD錢鏈而成，并在4處與R處用固定較

支座和可動較支座固定。桿DC受均布載荷q的作用，桿BC受矩為M=qa的力偶作用。不計各構

件的自重。求較鏈D受力。

［解法提示］:求^個個未知力,故需列2個方程。按解題套路，

【先整體：3個方程，自身有3個未知力，無用】

【再DC：ZMC=O】，【再DCB：Z〃8=O】

*3-28圖3-28a所示結構位丁?鉛垂面內，由桿AB.CD及斜T形桿BCE組成,不計各

桿的H重。已知載荷Fi,Fi和尺寸a,且M=F^a.F2作用于銷釘B上，求：（1）司定

［4］端X處的約束力：（2）用燈B對桿及T形桿的作用力.

3-28圖3?28a所示結構位于鉛垂面內，由桿ABtCD及斜T形桿BCE組成，不計各桿的自重。

載荷Fl,F2和尺寸a,且必=尸1〃,F2作用于銷釘B上，求：（1）固定端A處的約束力；（2）

銷釘8對桿A5及T形桿的作用力。

［解法提示］:（1）假設僅求固定端A處的約束力，3個個未知力，故需列3個方程。按解題套路，【AB：

VMfl=o］,［再ABC：ZM「=O】，【再ABCD：ZM/）=。］

⑵假設僅求銷釘B對桿AB桿的作用力，2個未知力,故需列2個方程。按解題套路，順藤摸瓜。

［AB：ZMA=°，不行，因為A處有無法消除的未知力偶矩陽，故【俏釘B+BC：ZMc=（）】，【再俏

rB+BC+CD:^A/D=01一

⑶假設僅求銷釘〃對T形桿的作用力，2個未知力,故需列2個方程。按解題套路，【BC（無銷釘

B）:=°】，【再BC+CD（無銷釘B）:=°】

_*3-29圖3-29a所示構架，由直桿BC,CD及直角彎桿AB組成，各桿H重不計，載

荷分布及尺寸如圖。銷釘Bn選AB反BC兩構件.在銷釘B上作用1鉛垂力尸。已知q?

a,M?且0求固定端乂的約束力及銷釘B對桿CB,桿AB的作用力。

［5］

3-29圖3-29a所示構架，由直桿BC,CD及直角彎桿AB組成，各桿自重不計，載荷分布及尺寸

如圖。銷釘B穿透AB及BC兩構件，在銷釘B上作用I鉛垂力Foq,a,M,且M=qa2。

求固定端A的約束力及銷釘B對桿CB,桿AB的作用力。

［解法提示〕：（1）假設僅求固定端A處的約束力，3個個未知力,故需列3個方程。按解題套路，LAB：

￡加8=0］,【再ABC:>Mu=0］，【再ABCD:>,M/）=0］

⑶假設僅求銷釘B對桿AB桿的作用力，2個未知力,故需列2個方程。按解題套路，順藤摸瓜。

［AB：八=0,不行，因為A處有無法消除的未知力偶矩M］,故【銷釘B+BC：Z/c=0】，【再銷

釘B+BC+C1）:23?！恳?/p>

⑵假設僅求銷釘8對CB形桿的作用力，2個未知力,故需列2個方程。按解題套路，【BC（無銷釘

B）：ZMZ=0】，【再BC+CD（無銷釘B）：Z〃o=（）］

｛說明｝:可以看出，按本文的解題思路，此題解法與上題幾乎完全一樣。

3-30山直角曲桿ABC,DE,直桿CD及滑輪組成的結構如圖3-30a所示，桿45上作

用有水平均布投荷qo不計各構件的重力，在D處作用1鉛垂力F,在滑輪上懸吊一重為P

［6］的重物，滑輪的半件r=a,且P=2F.CO=pD。求支座E及固定端A的約束力。

3-30由直角曲桿ABCfDE,直桿CD及滑輪組成的結構如圖3-30a所示，桿AB上作用有水平

均布載荷qo不計各構件的重力，在。處作用1鉛垂力F,在滑輪上懸吊一重為P的重物，滑輪的

半徑r=a,且P=2F,CO=OD。求支座E及固定端A的約束力。

｛說明｝:可以看出，該題實際上就是前文【例3】演變而來。方法自然同【例3,實際上，讀者只需作

幾道典型問題，其他題目進圖形外表不同而已，按本文的托分析思路，將發(fā)現(xiàn)其實際是相同的。如上述

幾題。

前文例3圖

3-31構架尺寸如圖3-31a所示（尺寸單位為m）,不計各桿的自重，載荷尸=60kN.

［7］求較鏈4E的約束力和桿BD.BC的內力.

3-31構架尺寸如圖3?31a所示（尺寸單位為m）,不計各桿的自重，載荷/=60kN。

求較鏈A,E的約束力和桿RD,BC的內力。

［解法提示］:6個未知力，列6個方程即可?！菊w】、【AB】、【EC】，每個均可列3個方程，3選2即可。

【說明】（D假設僅求桿BD,BC忸為力,2個未知力，故需列2個方程。按解題套路,【AB：ZMA=（）］，

【再EC：ZME=O】

3-32構架尺寸如圖3-32a所示（尺寸單位為m）,1、計各構件fl屯.載荷Fi=120kN.

［8］A=75kN?求桿AC及AD所受的力.

3-32構架尺寸如圖3-32a所示（尺寸單位為m）,不計各構件自重，載荷F1=120kN,

F2=75kNo求桿AC及AD所受的力。

［解法提示〕：2個未知力，列2個方程，但因為閉合回路，且D處力方向一致，一般需利用，故列3個方

程。【整體：2〃八=°】，【AD+AC+CD：^Mc=0］,［AD*AC+CD+BC：,

3-32構架尺寸如圖3-32a所示（尺寸單位為m）,1、計各構件自重，載荷Fi=120kN.

［9］A=75kN?求桿XC及AD所受的力。

3-32構架尺寸如圖3-32a所示（尺寸單位為m）,不計各構件自重，載荷F1=120kN,

F2=75kNo求桿AC及AD所受的力。

［解法提示］:2個未知力，列2個方程，但因為閉合回路，且D處力方向一致，一般需利用，故列3個方

程?！菊w：2加八二°】，（AD+AC+CD：ZM、=°】，［AD-AC+CD+BC：=01,

（二）平面桁架〔來自哈爾濱工業(yè)大學理論力學（第七版）課后題）

3-19構架山桿AB,AC和DF較接而成，如圖3-19a所示，在桿DEF上作用1力偈矩

［1］為M的力偶。各桿重力不計，求桿AB上校鏈/D和5受力.

3-19構架由桿A8,AC和DF較接而成，如圖3-19a所示，在桿DEF上作用I力偶矩為M的

力偶。各桿重力不計，求桿AB上較鏈A,。和B受力。

［解法提示］:求桿AB上校鏈A,D和B的共6個未知力,故需列6個方程。按解題套路，

【先整體：3個方程，未引入新

第3章空間力系的簡化和平衡

一問題

問題1：本章應注意問題有哪嗎？

答：①力偶的合成方法：

②空間力系最終簡化結果；

③力螺旋；

④如何選取適宜的軸對其取矩

問題2：一般解題方法是什么？

答：a）對軸而不是對點取矩（說明：平面問題的對點取矩實際上也是對軸取矩）

b）選取軸AB的原那么

廠先選取A點；未知力最多的匯交點,

①B點為其他未知力最多的匯交點

3選取B點:

②或AB,使其他未知力最多的與AB平行

二典型習題

以下通過例題來演示上述介紹的方法。

【例1】力對任意軸的矩問題。何鋰例題3.3.

長方體各邊長分別為。=8=0.2m,c=0.1m,沿對角線力夕作用的力尸=1N。求力F對軸

之矩。

解：因為軸通過。點，因此我們先求力F對。點之矩M（）（F）。

F=F-=10V6x-^(-0.2i+0.1j+0.1k)

ABV6

=-20i+10j+I0k

力F對。點之矩為

因此，力F對軸之矩為

【例2】求合力偶問題問題。何鋒課后習題3.7.

將圖示三力偶合成。耳尼=片=外=100N,/尹

［解法提示］；1）假設按一般萬能方法，無論力偶在何任意畫上，通過平面3點坐標，得到立面的平面

方程，由此得到該平面的法向單位矢量無，那么該平面的力偶

矩訊=±同同。再將各而i的各分量相加即可。

比方OAB平面，由

得到OAB平面方程Ax+By+Cz+D=O,那么ni=（Ai+Bj+Ck）/,方向由平面方程中OAB的順序,

用右手安培定那么確定。

2）具體針對此題，用空間解析幾何的其他方法將更簡單。但因為上述方法對任意力偶合成均適用，故

推薦使用此法。

【說明】何程課后習題3.8,3.113.13,解法與此類似。

【例3】空間力系平衡問題。哈工大第6版例題4T0.

各尺寸,求F4,F5,F6.Fl,F2,F3.

［解法提示］：1）根據(jù)解題方法，因為A點不待求未知量最多，故先確定A點，那么1,2,3的力矩為0。

再確定B點，4,5的力矩為0,故對AB：ZMAB=。得到F6.類似找到AE,^MAE=O,得到F5。

VMW=O,得到F6。盡量依次選用x,y,z三個方向，這樣不容易遺漏，且計算力臂簡單，盡量防止

對AF之類取矩，那樣力臂計算復雜。

2）A點使用完后，再找不待求未知量第2多點，有幾個，選取F點，盡量依次選用x,y,z三個方向，即

可求得F1,F2,F3.

實際求得3個力后，用x,y,z三個方向力的投影即可求得另外3個力。不過，本書推薦全部使用對軸取

矩法。

【說明】何程課后習題3.16,哈工大第6版課后習題4-18,4-19,4-20.解法與此類似。

4-202個均質桿期和3C分別重Pi和A,其端點4和C用球較固定在水平面上，另

1端B由球校鏈相連接，靠在光滑的鉛食墻上，墻面與AC平行,如圖冬20a所示。如AB

[]與水,；.一再為45。,BAC-90。求/和C的支座約束力以及單上點B所受的壓力.

4-202個均質桿AB和BC分別重P1和02,其端點A和。用球較固定在水平面上，另1端〃

由球較鏈相連接，靠在光滑的鉛直墻上，墻面與AC平行，如圖4-20a所示。如AB與水平線交角為

45。，B4C=90。求4和C的支座約束力以及墻上點B所受的壓力

第4章摩擦

一問題

問題1：本章難點是什么？

答：1）自鎖問題

2）解題方法

①對非臨界狀態(tài)，把摩擦力當未知力，用任意力力系方法求解即可

②先排除不可能的臨界狀態(tài)

③列出僅有的即將動的臨界狀態(tài)

4可能

根本

④對每一種根本組合，在假設的運動狀態(tài)下確定到達臨界狀態(tài)的面的摩擦力的方向和大小，其他的

未假設的面上摩擦力大小及指向與正壓力無關，當作未知量（大小，指向均未知）

問題2：解摩擦問題的解題思路是什么？

解題步驟：

一、假設選取對象只在3點處受力（結合三力匯交定理），那么可用幾何法（應用摩擦角），否那么用

解析法；

二、用解析法解題步驟

1.先看系統(tǒng)總共有多少個未知量m,及能列出多少個獨立方程m

2.假設%=%=非臨界狀態(tài)，用任意力系方法做（把摩擦力當作與正壓力FN無關的量）

3.假設々—〃2=1，那么需補充一個方程（能且只能）（即使存在多個摩擦面）

補充方程來源

所有

一個摩擦面

n列出可能的臨界狀態(tài)組合

兩個摩擦面

4.其中一個摩擦面到達臨界存在4種可能1摩擦力向左、右，滾阻為逆時針、順時針）。

考慮4種可能之前，排除不可能情形{、

5.差2個方程時，列出所有根本，可能的兩?后，

先「a）排除不可能組合

九Jr摩擦力方向

U滾阻

9.再對剩下的組合根據(jù)假設，在假設的摩擦力方向下，一一求解即可。

二典型習題

以下通過例題來演示上述介紹的方法。

【例1】利用摩擦角解題。哈工大第6版課后習題5-6.何鋰課后習題4.1.3。

假設楔子兩側面與槽之間的摩擦角均為，，那么欲使楔子被打入后而不致自動滑出，a角應為多大？

［解法提示］:利用摩擦角。答案：a4純

【說明】何鋰課后習題4.7解法與此類似。

【例2】應用解析法解題。何鋰課后習題4.9。

均質長方體凡寬1m、高2m、重10kN,置于30°的斜面上，摩擦系數(shù)/=（）.8,在長方體上系一與斜

面平行的繩子，繩子繞過一光滑圓輪，下端掛一重。的重物C求平衡時重量。的范圍。

［解法提示］:按照上述解析法解題步驟

1.先看系統(tǒng)總共有多少個未知量m,及能列出多少個獨立方程m

A處：2個，繩：1個，粒B：2個，+恥，共計6個。方程：A處:2個，輪B：3個。故盡管有2個摩

擦面，但僅需由摩擦條件補充1個臨界方程。

2.補充1個臨界方程來源：

A處：〔E處摩擦力任意，A摩擦力到臨界，但只能向左，有鼠=fFG.（第1種可能）

E處：（A處摩擦力任意，E摩擦力到臨界，可能向左，可能向右。FELfFM.（2種可能）

在這3種可能中，第1種可能已包含了：E摩擦力到臨界，向左。故知討論2種根本的可能臨界了。在

所假設的臨界條件下，補充一個摩擦力與正壓力關系方程即可求解了。其求解方法仍同靜力學，盡量不

耍引入新的未知量，盡量用1個方程即可求出個木知量。

3)至于B可能脫離地面情況，對［B］通過對K取矩，即可排除這是不可能的。

4)A、E處摩擦力同時到達臨界的情形，必然包含于上述2種根本情形之中。不用單獨討論。

【具體解法】：1)A摩擦力到臨界，向左，有Fh=fF."(1)

［整體］:ZME=。?在對A求出FAX.即可求得心

2)E摩擦力到臨界，向右，有FH=fFa

［整體］:ZMA=O.

［整體除去A的剩余局部］:工乂卜=0.即可求得Q。

3)比擬大小，得到范圍。

【說明】1)何鋒課后習題4.10解法與此類似。［何鋰課后習題4.10］圓柱重G,放在傾角a=3O°的斜

面上，由一直角彎桿擋住，如下圖。圓柱各處摩擦系數(shù)均為f不計桿重。求向上拉動彎桿所需的最小

力匕in

［解法提示］:按照上述解析法解題步驟

1.系統(tǒng)僅需由摩擦條件補充1個臨界方程。

2.補充1個臨界方程來源：

A處：(B處摩擦力任意，A摩擦力到臨界，依題意只能向上，有限=fFM.(第1種可能)

B處：(A處摩擦力任意，B摩擦力到臨界，只能向下?！缚?打飛).(笫2種可能)

在這2種可能中，互不完全包含。故要分別討論。其求解方法仍同靜力學，盡量不要引入新的未知量，

盡量用1個方程即可求出一個未知量。

【具體解法】：1)A摩擦力到臨界,向上，有Fvf小(1)

［輪C］：ZMB=O.(2)

［AD》X=O.⑶得到P1.

2)B摩擦力到臨界，向下，有Fg=fF戰(zhàn)(1)

［輪C］：EMA=O.(2)

［整體］:Ex=0.(3)得到Pl.

3)比擬大小，得到范圍。

2)哈工大第6版課后習題5T5,對輪C,分別利用對?地面、AB與C的接觸面取矩，從而確定出各摩擦

面的摩擦力方向后，剩下的臨界可能性就少多了。哈工大第6版課后習題5T8,解法與此類似。

【例3】應用解析法解題。何鋰課后習題4.9。

*5-15重為P1=450N的均質梁AB.梁的A端為固定較支座，另1端擱置在重

642FeFs*1=240NW2=343N的線圈架的芯軸上，輪心C為線圈架的重心。線圈架與AB梁

和地面間的靜滑動摩擦因數(shù)分別為/sl=0.4,fs2=0.2,不計滾動摩阻，線圈架的半徑R=0.3m,

芯軸的半徑r=0.1m。在線圈架的芯軸上繞1不計重量的軟繩，求使線圈架由靜止而開始運動的水平

拉力F的最小值。

［解法提示］:按照上述解析法解題步驟

1.先看系統(tǒng)總共有多少個未知量m,及能列出多少個獨立方程也

盡管有2個摩擦面，但僅需由摩擦條件補充1個臨界方程。

2.補充1個臨界方程來源：

D處：（E處摩擦力任意，D摩擦力到臨界2種可能）.但對輪C:對E點取矩，排除了摩擦力向左。（第1

種要討論的情形）

E處：（D處摩擦力任意，E摩擦力到臨界2種可能）.但對輪C:對D點取矩，排除了摩擦力向右。［第2

種要討論的情形）

3.故只需討論2種情形。在第1種要討論的情形中，為了不引入E處2個未知力，【輪C：EME=0】

【AB：ZMA=0］，再補充D處摩擦條件方程即可。在第1種要討論的情形中，為了不引入）處2個未

知力，【輪C：ZM/）=0】【整體：2加八二0］，再補充E處摩擦條件方程即可。

第5章點的運動學和剛體的根本運動

一問題

問題1：點的運動的主要知識點是什么？

x=x(t)匕

答：直角：=>

y=y(t)Vy

A-，rcdr

矢徑：V=——

dt

弧坐標：V=-a,-""",an-=>a=

dt1dt"p'"'

問題2：點的運動難點是什么？

答：⑴如何由X（t）,Y（t）求t時刻曲率半徑。

⑵切向加速度，全加速度

問題3剛體簡單運動

1）平動：在同瞬時，各點口a?樣，且印=0,￡=（）,在其他任意時刻，盡管五可能與上?時

刻小同，但在同一時刻，各點以M一樣，Kvv=O,￡=(),機構特點為平行四邊形。

而瞬時平動，僅在此瞬時，各點D一樣，且卬=()。機構特點:只要此時某一剛體上有兩點的速度平行,

巨與兩點連線不垂直。

V=R-w

2)定軸：?q=Rs

%=Rw2

矢量表示法京4=WxfA(rA起點必須為為而雇:上任一點)

二典型習題

以下通過例題來演示上述介紹的方法。

【例1】由X(t),Y(t)求t時刻曲率半徑。哈工大第6版例題6-5.

［解法提示］:利用全速度和加速度在直角和弧坐標下均相等的橋梁即可。

、1*dv(t)