江蘇2018高三數(shù)學一輪復習圓錐曲線

橢圓

考試要求1.橢圓的實際背景，橢圓在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用，

A級要求；2.橢圓的定義，幾何圖形，標準方程及簡單幾何性質(zhì)，B級要求.

知識梳理

1.橢圓的定義

⑴第一定義：平面內(nèi)與兩個定點22的距離的和等于定2氐(大于QF2)的點的

軌跡叫作橢圓.這兩個定點叫作橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫作橢圓的焦距.

用符號表示為PFi+PF2=2a(2a>FiF2).

(2)第二定義：平面內(nèi)到定點F和定直線RF不在定直線I上)的距離之比是一個

常數(shù)e(O<e<l)的點的軌跡叫作橢圓.

2.橢圓的標準方程及簡單的幾何性質(zhì)

?2,

橢圓，+$=1(?！??〉0)的離心率e=^(O<e<l),離心率e等于橢圓上任意一點M

到焦點尸的距離與M到尸對應的準線的距離的比.橢圓越扁，離心率e越大；

橢圓越圓，離心率越小.

222

條件2a>2c,a=b-\-c,a>Ofb>09c>0

方=13匕>0)力+方=l(a>0>0)

標準方程

6

及圖形

cy，M

范圍|y|W〃

對稱性曲線關于原點、x軸、y軸對稱

長軸頂點(±4,0)短軸頂點(0,長軸頂點(0,±。)短軸頂點

頂點

±b)(土員0)

隹占

八、、八、、(土c,0)(0,土c)

長、短軸的長度長軸長2a,短軸長2b

焦距F\F2=2c(/=a2—b1)

a2a2

準線方程-

x=±c產(chǎn)±7

離心率e=1e（oj）,e越大，橢圓越扁，e越小，橢圓越圓

診斷自測

1.判斷正誤（在括號內(nèi)打"J"或"X"）

（1）平面內(nèi)與兩個定點尸1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓.（）

（2）橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓.（）

（3）橢圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.（）

⑷方程如2+〃y2=lO>0,〃>0,表示的曲線是橢圓.（）

（5點+方=1（。隊>0）與%+方=13>。>0）的焦距一樣.（）

解析（1）由橢圓的定義知，當該常數(shù)大于為仍時，其軌跡才是橢圓，而常數(shù)等

于尸1尸2時，其軌跡為線段凡22,常數(shù)小于凡尸2時，不存在這樣的圖形.

（2）因為e=1l一件,所以e越大，則￡越小，橢圓就越扁.

JW,

C4Ct\i\~*7L4-

答案（l）x（2）X（3）V（4）V（5）V

22

2.（2015.廣東卷改編）橢圓:+%=1（心0）的左焦點為Fi（—4,0）,則m=.

解析依題意有25—川=16,\'/n>0,???加=3.

答案3

3.橢圓C：，+/=13>40）的左、右焦點分別為F\,F2,離心率為坐過

F2的直線/交C于A,8兩點.假設△ABB的周長為4小,則C的方程為.

解析由橢圓的定義可知AAFiB的周長為4a,所以4a=4小，故。=小，又由

c\[3fy2

e=a=3,得c=l，所以〃=/—<?=2,則C的方程為了+5=1.

答案f+f=1

72

4.（2016?江蘇卷）如圖，在平面直角坐標系g中，尸是橢圓，+$=1（。>匕>0）

的右焦點，直線y=?與橢圓交于8,C兩點，且N8FC=90。，則該橢圓的離心

率是.

解析聯(lián)立方程組jb解得8,。兩點坐標為

卜=5，

《-余目，小華,野，又取。），

則而=（一與—c,2,而=（華—C,2,

又由N5FC=90。，可得西,危=0,代入坐標可得：

3b2

C2-1+w=0，①

又因為b2=a2—c2.

代入①式可化簡為5=*則橢圓離心率為

答案坐

5.點P是橢圓上y軸右側(cè)的一點，且以點P及焦點￡,尸2為頂點的

三角形的面積等于1,則點P的坐標為.

解析設P（x,y）,由題意知d=。2—〃=5—4=1,

所以c=l,則尸|（一1,0）,F2（l,0）,由題意可得點尸到x軸的距離為1,所以y=

±1,把y=±l代入^■+；=：!,得尤又x>0,所以x=曰3,...P點坐標

娉1）或婚,t）

答案當,1）或建,一1）

考點一橢圓的定義及其應用

【例1】（1）如圖，圓。的半徑為定長r,A是圓O內(nèi)一個定點，P是圓上任意一

點，線段AP的垂直平分線/和半徑。尸相交于點。,當點P在圓上運動時，點

Q的軌跡是.

92

（2）Fi，尬是橢圓C：的兩個焦點，尸為橢圓C上的一點，且

ZF1PF2=60°,S/\PFIF2=35,貝i」b=.

解析(1)連接QA

由得QA=QP.

所以QO+QA=QO+QP=OP=r.

又因為點A在圓內(nèi)，所以，OAVOP,根據(jù)橢圓的定義，點。的軌跡是以。，A

為焦點，r為長軸長的橢圓.

(2)由題意得PFi+P尸2=2。，又NFIPF2=60°,

所以「舟+PFi-2PFiPF2cos60°=F\F2L,

所以(PFi+PF?—3PF\=4/,

所以3PF\PFi=4a2-4c2=4b2,

所以PFIPF2=%,

114

所以PF\Fi=&PFiPFisin60。=]X求2X看=

坐廿=3小，所以o=3.

答案⑴橢圓(2)3

規(guī)律方法(1)橢圓定義的應用主要有兩個方面：一是判定平面內(nèi)動點與兩定點

的軌跡是否為橢圓；二是利用定義求焦點三角形的周長、面積、弦長、最值和離

心率等.

(2)橢圓的定義式必須滿足2a>FiFi.

【訓練1】(1)橢圓?+f=1的兩個焦點是尬，點尸在該橢圓上，假設PFi

-PF2=2,則△PQB的面積是.

222

(2)(2017?保定一模)與圓Ci：(x+3)+y=l外切，且與圓C2：(%-3)+/=81

內(nèi)切的動圓圓心尸的軌跡方程為.

解析(1)由橢圓的方程可知a=2,c=V2,且PFi+PF2=2a=4,又PFLPF?

=2,所以PB=3,PF2=1.又FR=2c=2取,所以有PK=PF3+FIFZ,即4

尸￡尸2為直角三角形，且NPB尸為直角，

所以SAPFiF2=；FiF2PF2=gx2小義1=巾.

(2)設動圓的半徑為r,圓心為P(x,y),則有PG=r+l,PC2=9-r.

>

所以PCi+/C2=10>CiC2,

即「在以Cl（一3,0）,。2（3,0）為焦點,長軸長為10的橢圓上，

?2

得點P的軌跡方程為*'+汽=1.

答案⑴啦⑵號+汽=1

考點二橢圓的標準方程

【例2】（1）橢圓的中心在原點，以坐標軸為對稱軸，且經(jīng)過兩點（一|，|）,他,

?。?，則橢圓方程為.

⑵過點（小，一小），且與橢圓號+5=1有一樣焦點的橢圓標準方程為.

解析（1）設橢圓方程為加/+〃>2=1（6，〃>0,

由卜|）2租+如1,

[3m+5n=1,

解得加=3，M=JQ.

二橢圓標準方程為2F^=l.

27

（2）法一橢圓標+方=1的焦點為（0,—4）,（0,4）,即c=4.

由橢圓的定義知，2a=叱?-0）2+（一小+4>+q（小一0）2+（一小—4）2,解得

a=2小.

由/=/一序可得〃=4.

所以所求橢圓的標準方程為為+『=1.

法二設所求橢圓方程為馬三+生=1伙<9）,將點（小，一小）的坐標代入可

ZJ—K9—K

得（呼+嚼=1,解得仁5/=21舍去），所以所求橢圓的標準方程為磊+?

25—Z9—kzu4

=1.

答案（唔+?=1Q備+（=1

規(guī)律方法求橢圓標準方程的基本方法是待定系數(shù)法，先定形，再定量，即首

先確定焦點所在位置，然后根據(jù)條件建設關于。，的方程組，如果焦點位置不

確定，可設橢圓方程為1(m>0,H>0,m#n),求出機，〃的值即可.

【訓練2】(1)(2017.常州監(jiān)測)橢圓的中心在原點，離心率e=T，且它的一個焦

點與拋物線尸=一4犬的焦點重合，則此橢圓標準方程為.

(2)橢圓的長軸長是短軸長的3倍，且過點A(3,0),并且以坐標軸為對稱軸，則橢

圓的標準方程為.

解析(1)依題意，可設橢圓的標準方程為也+否=15>b>0),由可得拋物線的

z?1

焦點為(-1,0),所以c=l,又離心率e=Z=],解得a=2,b2=a2—c2=?),所以

橢圓標準方程為。+1=1.

(2)法一假設橢圓的焦點在x軸上，設方程為奈及

⑵z=3X2b,一、

f所以橢圓的標準方程為看+產(chǎn)1.

由題意得2+?.=1解得

?9

假設焦點在y軸上，設方程為方+*1(心心0).

'2a=3X2b,

。=9,

由題意得，2_旦_解得，

二5+L2=1，b=3.

綜上所述，橢圓的標準方程為看+戶1或5+gi.

法二設橢圓的方程為\+亍=1(加>0,n>0,mW”)，則由題意知

[9,C9,

—=]—=1

-m,或加，

.2"\/nj=3X2^/H2y[n—3'X2y[tn,

m=9,

解得

/?=81.

二.橢圓的標準方程為5+尸=1或《■+言=1.

7o1y

答案(U=l(2備+戶1或若+.=1

考點三橢圓的幾何性質(zhì)

【例3】⑴(2016?全國川卷改編)0為坐標原點，尸是橢圓C：，+/=1(。>?！?)

的左焦點，A,B分別為C的左、右頂點.P為C上一點，且PFLx軸.過點A

的直線/與線段PF交于點M,與y軸交于點E.假設直線BM經(jīng)過OE的中點，

則C的離心率為.

(2)橢圓$+/=l(a>b>c>0,/=/+才)的左、右焦點分別為R,Fi,假設以

仍為圓心，匕一。為半徑作圓/2,過橢圓上一點尸作此圓的切線，切點為T,且

IP7］的最小值不小于坐(a—c),則橢圓的離心率e的取值范圍是.

解析(1)設M(—c,m),則40,-J,OE的中點為。，

則。9,2(a-c)r又&D,M三點共線，

,77mI

所以號----所以a=3c,所以e=Q.

2(a—c)a+cJ

(2)因為PT=^PFi-(b-c^(b>c),

而PFi的最小值為a-c,所以PT的最小值為"\/(。一，)2—(/?—.依題意,有

.____________、八

q(a—c)2—?(》-c)2?^-(a—c),所以(a—c)224S—c>,所以a—c22(〃一c),所

以a+c22/7,所以(a+c)22%/—/),所以5/+2ac—3a220,所以5e2+2e—32o.

①

又b>c,所以從><?,所以/—/>，，所以2e2<l.②

聯(lián)立①②，得卜e(當.

答案嗎⑵E■

規(guī)律方法(1)求橢圓離心率的方法

①直接求出dc的值，利用離心率公式直接求解.

②列出含有a,b,c的齊次方程（或不等式），借助于序=層一,2消去仇轉(zhuǎn)化為

含有e的方程（或不等式）求解.

（2）利用橢圓幾何性質(zhì)求值或范圍的思路

求解與橢圓幾何性質(zhì)有關的參數(shù)問題時，要結合圖形進展分析，當涉及頂點、焦

點、長軸、短軸等橢圓的基本量時，要理清它們之間的關系.

【訓練3】（2017.鹽城模擬）橢圓：，+方=l（0VY2）的左、右焦點分別為Fi，

Fi，過R的直線/交橢圓于A,B兩點,假設3尬+4尸2的最大值為5,則8的值

是.

解析由橢圓的方程可知a=2,由橢圓的定義可知，AF2+8F2+A8=4a=8,所

以AB=8-（AF2+BF2）^3,由橢圓的性質(zhì)可知過橢圓焦點的弦中，通徑最短，

則工-=3.所以〃=3,即/?=小.

答案事

考點四直線與橢圓的位置關系

[例4]（2015?江蘇卷）如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓，+方=1（4。

>0）的離心率為勺，且右焦點F到左準線/的距離為3.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過尸的直線與橢圓交于A,8兩點，線段的垂直平分線分別交直線/和AB

于點P,C,假設PC=2AB,求直線A8的方程.

解（1）由題意，得§=坐且c+（-=3,

解得a=啦，c=l,則b=l,

所以橢圓的標準方程為曰+尸=1.

（2）當軸時，AB=巾,又CP=3,不合題意.

當A3與x軸不垂直時，設直線48的方程為y=&（x-1）,A（xi，州）,伙心，”），

將A8的方程代入橢圓方程，

得（1+2斤）/-4dx+2（斤一1）=0,

2后川2(1+2)

則Xl,2=

1+2正

C的坐標為,且

AB=yl(X2-x\)2+(y2—yi)2=-\l(]+^)(X2-X\)2

_2仞+&2)

?1+2F,

假設％=0,則線段A8的垂直平分線為y軸，與左準線平行，不合題意.

從而左W0,故直線PC的方程為

>+7占=-疝-尚)

5好+21

則P點的坐標為-2,硝+2a)

2(3爐+W+M

從而PC=

因(1+2F)

2(3d+l)41+啟4/(1+必)

因為PC=2AB,所以肉(1+2后)=1+2后

解得k=±\.

此時直線A8的方程為y=x—l或y=-x+L

?2

【例5】(2017.南通調(diào)研)如以以下列圖，橢圓$+g=l(a>b>0)的右頂點為

A(2,0),點為橢圓的離心率).

(1)求橢圓的標準方程;

(2)假設點8,C(C在第一象限)都在橢圓上，滿足我?=%麗，且說.西=0,求實

數(shù)％的值.

解⑴由條件，4=2,e=全代入橢圓方程，得號+於=1.

V/?2+C2=4,.,.爐=1,<?=3.

...橢圓的標準方程為］+y2=l.

(2)設直線OC的斜率為A,則直線。。方程為y=

代入橢圓方程1+y2=l,即/+4尸=4,

2

得(1+4必)/=4,?,?xc=^^?

(22k、

則Q而京石m

又直線A3方程為y=k(x-2),

代入橢圓方程f+4y2=4,

得(1+4F)%2—16dx+16Z?—4=0.

2(43-1)eJ2(4d—1)~4k}

?煬=2,?.XB=]+/，則用"I，甲目?

'：OCOB=0,」空U?/22+11*/2k=0.

1+4標W+4F1+4幺/+4標

.,.d=T，在第一象限，.OO，A:=2'

規(guī)律方法與橢圓有關的綜合問題，往往與其他知識相結合，解決這類問題的常

規(guī)思路是聯(lián)立直線方程與橢圓方程，解方程組求出直線與橢圓的交點坐標，然后

根據(jù)所給的向量條件再建設方程，解決相關問題.涉及弦中點問題用“點差法”

解決往往更簡單.

Y2V2

【訓練4】（2017.南京、鹽城模擬）橢圓了+1=1（6!>/?>0）的離心率e=2'一條

準線方程為x=2.過橢圓的上頂點A作一條與x軸、y軸都不垂直的直線交橢圓

于另一點P，尸關于x軸的對稱點為Q.

（1）求橢圓的標準方程；

⑵假設直線AP,A。與x軸交點的橫坐標分別為加，〃，求證：〃?〃為常數(shù)，并

求出此常數(shù).

⑴解因為5=坐,7=2,

所以。=啦，C=l,所以—

9

故橢圓的標準方程為5+y2=i.

（2）證明法一設P點坐標為（xi，6）,則Q點坐標為（xi，-6）.

因為以P=M=*U，所以直線AP的方程為丁=當4+1.

令尸0,解得機=一言.

因為以。=得=—y

XL0X\

所以直線AQ的方程為y=—“普+1.

令產(chǎn)。，解得〃二卷?

—X

所以mnyi_1yi+1]—yy

又因為（XI,yi）在橢圓，+9=1上，

所以,+濟=1,即］—y?=5，

2

所以］j=2,即mn.~2,

所以加〃為常數(shù)，且常數(shù)為2.

法二設直線AP的斜率為MAWO）,則AP的方程為y=Ax+l,令y=0得加=

y=kx+1,

聯(lián)立方程組k?2

[5+戶1,

4k

消去y得（1+2必）f+4日=0,解得以=0,xp=_］+2

所以yp=/xp+l=

則。點的坐標為1（—ITAL而,一1立-2商制，

1-2一

―1+23-111

所以MQ=----77—=57,故直線AQ的方程為y=^x+L

乙K乙K

―1+2-

令y=0得n—―2k,

所以〃?〃=（一：）（—2Q=2.

所以〃?〃為常數(shù)，常數(shù)為2.

［思想方法］

1.橢圓的定義提醒了橢圓的本質(zhì)屬性，正確理解、掌握定義是關鍵，應注意定

義中的常數(shù)大于F砂2,防止了動點軌跡是線段或不存在的情況.

2.求橢圓的標準方程，常采用“先定位，后定量”的方法（待定系數(shù)法）.先“定

位”，就是先確定橢圓和坐標系的相對位置，以橢圓的中心為原點的前提下，看

焦點在哪條坐標軸上，確定標準方程的形式；再“定量”，就是根據(jù)條件，通過

解方程（組）等手段，確定片,〃的值，代入所設的方程，即可求出橢圓的標準方

程.假設不能確定焦點的位置，這時的標準方程常可設為的2+〃尸=1（m>0,〃

>0且機#〃）.

［易錯防范］

1.判斷兩種標準方程的方法為對比標準形式中％2與V的分母大小.

2.在解關于離心率e的二次方程時，要注意利用橢圓的離心率e6（0,l）進展根的

取舍，否則將產(chǎn)生增根.

3.橢圓的范圍或最值問題常常涉及一些不等式.例如，—aWxWa,-b&y&b,0

<e<l等，在求橢圓相關量的范圍時，要注意應用這些不等關系.

根基穩(wěn)固題組

（建議用時：40分鐘）

一、填空題

1.橢圓\+?=1的焦距為2,則m的值等于.

解析當〃?>4時，加-4=1,/.m=5；當0<機<4時，4~m=1,.'.m=3.

答案3

2.（2017.蘇州調(diào)研）中心在原點的橢圓C的右焦點為尸（1,0）,離心率等于;，則C

的方程是.

解析依題意，所求橢圓的焦點位于x軸上，且c=l,e=\=|=>a=2,b2=a2

—d=3,因此其方程是?+g=L

答案Y+?=l

3.假設橢圓冬十三=1上一點P到焦點乃的距離為6,則點尸到另一個焦點f2

ZJlo

的距離是,

解析由橢圓定義知PB+PF2=10,又PQ=6,...尸凡=4.

答案4

4.（2017?揚州期末）設橢圓C的左、右焦點分別為R,F2,

P是C上的點，PF2M尸2,ZPFIF2=30°,則。的離心率為.

O

解析在RtAPF2Fi中，令P%=1,因為ZPFIF2=30,所以PFi=2,FiF2=\f3.

,,2cFiFi

故e~2a~PF\+PFo~3?

答案申

5.（2016.全國I卷改編）直線/經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點，假設橢圓中心

到/的距離為其短軸長的點則該橢圓的離心率為.

解析如圖，由題意得，BF=a,OF=c,OB=b,OD=^X2b=^b.

在RtZ\ObB中，OFXOB=BFXOD,即仍即a=2c,故橢圓離心率e

-Q_2，

6.（2016-南京師大附中模擬）橢圓加+力2=1（。＞0,〃＞0）與直線y=1一九交于A,

8兩點，過原點與線段A3中點的直線的斜率為半，則（的值為.

解析設析了1,yi）,B（x?,j2）,

則ax1+by]=1,cvd+by^=1,

ooobyi—byi

即漏一以3=_（b?一明），髭—康=-l,

b（y\-yi）（y\+yi）__.b^3=_

?（X1-X2）（X1+X2）-5（02-

"a~3,

依安維

口案3

7y

7.（2017?昆明質(zhì)檢）橢圓互十會=1上的一點尸到兩焦點的距離的乘積為加，當初

取最大值時，點尸的坐標是.

解析記橢圓的兩個焦點分別為B,F2,有尸月+P&=2a=10.

則m=PF-PF2W（P”[0尸2）2=25,當且僅當PF]=尸產(chǎn)2=5,即點P位于橢圓的

短軸的頂點處時，機取得最大值25.

二點產(chǎn)的坐標為（-3,0）或（3,0）.

答案（-3,0）或（3,0）

8.（2017?蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市調(diào)研）”（一&0）,~2（&0）為橢圓，+%=1（。＞。＞0）

的兩個焦點，P為橢圓上一點，且府「存2=。2,則此橢圓離心率的取值范圍是

解析設尸(x,y),則師1?庠2=(—c—x,—y)-(c—x,—y)=x2—c2+y2=c2,①

/,2

將一方代入①式解得

9(2/—》2)/(3。2-〃2)。2

，

又幺￡[0,a2],/.2c2^6r2^3c2,

aL3,2J

宏安揖正

a條L3，2_

二、解答題

9.設尸|,加分別是橢圓C：，+￡=13>/?>0)的左、右焦點，M是C上一點

且MB與x軸垂直，直線MB與C的另一個交點為N.

⑴假設直線MN的斜率為本求C的離心率；

(2)假設直線MN在y軸上的截距為2,且MN=5FiN,求a,b.

解⑴根據(jù)c=后二中及題設知M(c，篇，2b2=3ac.

c\c1

將。2=/一/代入2b2=3ac,解得;;=5或;;=—2(舍去).故C的離心率為不

(2)由題意，知原點。為KF2的中點，MF2〃y軸，所以直線ME與y軸的交點

0(0,2)是線段MB的中點，故"=4,即廿=4a.①

由MN=5FiN,得OFi=2RN.

設N(xi，yi),由題意知yi<0,則

G/、—f3

2(-c-x,)=c,R=

I-2k2，-L

代入。的方程，得寫+/=i.②

將①及c=后才代入②得/仁甸+今=L

解得〃=7,。2=4。=28,故a=7,/?—2寸

10.(2017?蘇北四市調(diào)研)在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：J+p=l(a>/?>0)

的右準線方程為x=4,右頂點為A,上頂點為8,右焦點為凡斜率為2的直線

/經(jīng)過點A,且點尸到直線/的距離為手.

(1)求橢圓C的標準方程.

(2)將直線/繞點A旋轉(zhuǎn)，它與橢圓C相交于另一點P,當B,F,P三點共線時,

試確定直線/的斜率.

解(1)由題意知，直線/的方程為y=2(x—a),即2x—2a=0,

所以右焦點尸到直線/的距離為

|2c—2a|2^5在]_

一5，所以?！狢—1.

又橢圓。的右準線方程為x=4,

22

即5=4,所以c=f,

將此代入上式解得a=2,c=l,

所以"=3,

所以橢圓C的標準方程為0+?=L

⑵法一由⑴知3(0,小)，尸(1,0).

所以直線BF的標準方程為y=一小(x—1),

[y=-V3(x-i),

聯(lián)立方程組，得H+'=]

r8

解得5逋味x==小0,(舍)?

〔產(chǎn)一5

法二由⑴知8(0,?尸(1,0),

所以直線BF的方程為y=一品x—D，由題意知A(2,0),顯然直線I的斜率存在,

y=1S(x-1),

設直線/的方程為y=&(x-2),聯(lián)立方程組得

[y=k(x—2),

2k+小

解得，

一小k

y=k+p

代入橢圓解得左=^^或k=-2?

屋等|<0得k>0或Z<—S，

又由題意知，y=

所以左=歲.

能力提升題組

（建議用時：25分鐘）

11.（2016?蘇州調(diào)研）橢圓C：、+*=1（。泌>0）的左焦點為F,假設廠關于直線小

x+y=O的對稱點A是橢圓C上的點，則橢圓C的離心率為

解析設尸（一60）關于直線小x+y=O的對稱點A（〃z,〃），

?(—^/3)=-1,

m-vcv

則彳"哆〃=拿,

小r-L(m+-cs\=tno,

c231

~4/

代入橢圓方程可得”+審1,并把從二/一寸代入,

化簡可得e4—8e2+4=0,解得e?=4±2/，又OVeVl,.、=小一1.

答案A/3-I

92

12.（2017?鹽城中學模擬）直線/：尸依+2過橢圓a+5=1（。>8>0）的上頂點8

和左焦點尸，且被圓/+尸=4截得的弦長為L,假設L2竽，則橢圓離心率e

的取值范圍是

解析依題意，知6=2,kc=2.

設圓心到直線/的距離為d,則L=2572半,

解得公?又因為4=房誦所以目5號

解得F2%

，於142、萬

于是02=a=赤m=備，所以05導解得0<eW..

答案(o,明

13.橢圓，+尸=1的左、右焦點分別為.，2,點P為橢圓上一動點，假設/

F1PF2為鈍角，則點P的橫坐標的取值范圍是.

解析設橢圓上一點尸的坐標為(x,y),

則幣=(》+4,y),@=(xf,y).

,.?NRPR為鈍角，:.后&<0,

即f—3+y<0,①

代入①得x2—3+1—[<0,

解得反答,x(答￥).

答案(2乖2佝

3，3)

14.(2017?南京模擬)橢圓C：，+*=1(a>8>0)過點P(—l,-1),c為橢圓的

半焦距，旦，=啦。.過點P作兩條互相垂直的直線/”/2與橢圓C分別交于另兩

點M,N.

(1)求橢圓C的方程；

(2)假設直線人的斜率為一1,求△PMN的面積；

⑶假設線段MN的中點在x軸上，求直線MN的方程.

解⑴由條件得A+/=1,且d=2從，

4

所以。2=3廿，解得。2=1,a2=4.

22

所以橢圓c的方程為，Y+于3V=1.

[y=kx-\-k-1,

(2)設公的方程為y+l=k(x+l),聯(lián)立彳，

\x^?jy4,

消去y得(1+3^)/+6%伏一l)x+3伏-1)2-4=0.

因為P為(一1，-1)，

“/-3F+6k+1+2左一

解將M―1+31-'1+31)

當左wo時，用一;代替女，

K

,I俾_6k_3一f一2k+31

得乂必+3'-F+3—\

將人=-1代入，得M(—2,0),MU).

因為P(T,-1),所以PM=啦，PN=2吸,

所以△PMN的面積為6=2.

(q+34=4,

(3)設M(?,y),N(X2,”)，貝,"+3?=4

兩式相減得(xi+]2)(汨-X2)+3(yi+力)(6—”)=0，

因為線段MN的中點在x軸上，所以yi+”=0,

從而可得(X1+*2)(為一及)=0.

假設Xl+x2=0,則N(一X”—yi).

因為PMLPN,所以麗?麗=0,得看+貨=2.

又因為好+3行=4,所以解得汨=土1,

所以M(—1/)，N(l，-1)或M(l,-1),N(—l,l).

所以直線MN的方程為y=-x

假設xi—為=0,則N(xi，-yi),

因為PMLPN,所以麗?麗=0,得必=(尤1+1尸+1.

又因為％?+34=4,所以解得xi=-3或—L

經(jīng)檢驗：即=—￡滿足條件，為=-1不滿足條件.

綜上，直線MN的方程為*+曠=0或*=一

第6講雙曲線

考試要求雙曲線的定義，幾何圖形和標準方程，簡單的幾何性質(zhì)(范圍、對稱

性、頂點、離心率、漸近線)，A級要求.

知識梳理

1.雙曲線的定義

⑴第一定義：平面內(nèi)到兩定點R，6的距離之差的絕對值為正常數(shù)2a(小于兩定

點之間的距離2c)的動點的軌跡叫作雙曲線.

⑵雙曲線的定義用代數(shù)式表示為|MFi—MF2|=2a,其中2。<尸噂=2。.

(3)當MQ—M「2=2。時，曲線僅表示靠近焦點22的雙曲線的一支:當MFLMF?

=一2。時，曲線僅表示靠近焦點西的雙曲線的一支；當時，軌跡為噠

R，尸2為端點的兩條射線;當2。>尸|尸2時，動點的軌跡不存在.

(4)第二定義：平面內(nèi)，到定點尸的距離與到定直線/的距離之比等于常數(shù)e(e>l)

的動點軌跡叫作雙曲線

2.雙曲線的標準方程及簡單的幾何性質(zhì)

圖形

層-廬一層一尸

標準方程

3>0,力>0)(?！?,b>0)

范圍僅12a|)，12a

焦點Fi(—c,0),F2(C,0)尸1(0,—C),22(0，。

幾頂點AI(—a,0),Aa(a,O)A](0,一。)，4(0,a)

何對稱性關于X軸、y軸軸對稱,關于原點中心對稱

性

實、虛軸長實軸44=2。，虛軸

質(zhì)

e=?也等于雙曲線上任意一點到一個焦點廠與到這個焦點對

離心率

應的準線的距離之比)

2

6Ta2

準線方程X=±-y=±-

C/C

ba

漸近線方程=±x

7y=±^axyb

3.(1)等軸雙曲線：實軸和虛軸長度相等的雙曲線叫作等軸雙曲線，也叫等邊雙

曲線.

(2)等軸雙曲線臺離心率e=6臺兩條漸近線垂直(位置關系)0實軸長=虛軸長.

(3)雙曲線的離心率e與第=4?二T)都是刻畫雙曲線開口的大小的量.

診斷自測

1.判斷正誤(在括號內(nèi)打“或"義")

⑴平面內(nèi)到點尸(0,4),凡(0,—4)距離之差的絕對值等于8的點的軌跡是雙曲

線.()

⑵平面內(nèi)到點B(0,4),%(0,-4)距離之差等于6的點的軌跡是雙曲線.()

(3)方程賓一亍=1(加〃〉0)表示焦點在x軸上的雙曲線.()

22?2

(4)雙曲線方程￡一弓=4心0,〃〉0,2W0)的漸近線方程是￡-5=0,即

11L1111L/1?/fLfl-

0.()

(5)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于啦.()

解析(1)因為MF2|=8=B尸2,表示的軌跡為兩條射線.

(2)由雙曲線的定義知，應為雙曲線的一支，而非雙曲線的全部.

(3)當初>0,〃>0時表示焦點在x軸上的雙曲線，而加<0,〃<0時則表示焦點

在y軸上的雙曲線.

答案(1)X(2)X(3)X(4)V(5)V

92

2.(2016?全國I卷改編)方程=1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點

m+n3m~n

間的距離為4,則〃的取值范圍是.

?2

解析方程"?；+3〃；；_〃=1表示雙曲線，二("及+〃>(3加2—〃)〉0,解得一

m2<n<3m2,由雙曲線性質(zhì)，知<?=(旭2+〃)+(3加2—〃)=4加2(其中,是半焦距)，

二焦距2c=2X2制|=4,解得|加|=1,：.~l<n<3.

答案(一1,3)

72

3.（2017?南京調(diào)研）雙曲線:一方=1（。＞0,。＞0）的一條漸近線的方程為2x—y=0,

則該雙曲線的離心率為.

解析由題意得雙曲線的一條漸近線方程為y=%=2x,所以（=2,則雙曲線的

離心率為6=寸1+1=小.

答案小

22

4.（2017?南通調(diào)研）在平面直角坐標系xOy中，雙曲線，一方=1（。＞0,。＞0）過點

P（L1）,其一條漸近線方程為丁=啦》，則該雙曲線的方程為.

解析由于雙曲線過點P（l,l）,則有點一"=1,又雙曲線的漸近線方程為y=±t

〃11

X,則有￡=6，與添一/=]

聯(lián)立解得/=今反=1,故所求的雙曲線的方程為2f—y2=L

答案

5.（選修1-1P41習題6改編）經(jīng)過點4（3,-1）,且對稱軸都在坐標軸上的等軸

雙曲線方程為.

解析設雙曲線的方程為：f—y2=〃4W0）,把點A（3,-1）代入，得2=8,故

所求方程為點一三=1.

OO

fV2

答^案——二=1

口木881

考點一雙曲線的定義及其應用

?2

[例1]⑴（2017?鹽城中學模擬）設雙曲線，一5=13＞0,Q0）的左、右焦點

分別為B，B，離心率為e,過尸2的直線與雙曲線的右支交于A,B兩點,假設

△RA8是以B為直角頂點的等腰直角三角形，則a=.

2

（2）（206全國I卷）F是雙曲線C：%-7O=1的右焦點，P是C左支上一點，

A（0,6y/6）,當4AP/周長最小時，該三角形的面積為.

解析（1）如以以下列圖，因為AFi—4B=2a,BFi-BF2=2a,BF尸AF2+BF2,

所以AF2=2a,AFi=4a.

所以BFi=2由a,所以BF2=2巾a—2a.

因為FIF3=BFHBF3,

所以(2c)2=(26a)2+(2y/2a—2a)2,

所以/=5—2P.

(2)設左焦點為B,PF—PF尸2a=2,

：.PF=2+PFi,△APF的周長為AF+AP+PF=AF+AP+2+PR,尸周長

最小即為AP+PQ最小，當A,P,a在一條直線時最小，過的直線方程為

2

金+氤=1.與X2—*=1聯(lián)立，解得尸點坐標為(-2,2&)，此時S=SZ\AR/

-SAFIPF=12A/6.

答案(1)5—2啦、(2)12班

規(guī)律方法”焦點三角形”中常用到的知識點及技巧

(1)常用知識點：在“焦點三角形"中，正弦定理、余弦定理、雙曲線的定義經(jīng)

常使用.

(2)技巧：經(jīng)常結合|PB—PF2|=2a,運用平方的方法，建設它與PFi、PB的聯(lián)

系.

提醒利用雙曲線的定義解決問題，要注意三點

①距離之差的絕對值.②2“〈尸|尬.③焦點所在坐標軸的位置.

【訓練1】⑴如果雙曲線石=1上一點P到它的右焦點的距離是8,那么點

P到它的左焦點的距離是.

⑵(2017?揚州模擬)點尸為雙曲線長一看=1右支上一點，點尸1，6分別為雙曲線

1O7

的左、右焦點，M為△PF1F2的內(nèi)心，假設SaPMFi=SaPMF2+8,則△MEiB

的面積為.

解析(1)由雙曲線方程，得a=2,c=4.設為，&分別為雙曲線的左、右焦點，

根據(jù)雙曲線的定義PF]-PF2=±2a,

：.PFI=PF2±2CZ=8±4,二PQ=12或PF\=4.

(2)設內(nèi)切圓的半徑為R,。=4,b=3,c=5,

因為S/XPMFi=SAPMFz+8,

所以—PF2）R=8,

即aR=8,所以R=2,

所以SAMFIF2=1-2C-/?=10.

答案（1）4或12（2）10

考點二雙曲線的標準方程及性質(zhì)（多維探究）

命題角度一與雙曲線有關的范圍問題

【例2—1】（1）（2017,蘇、錫、常、鎮(zhèn)、宿遷五市調(diào)研）在平面直角坐標系xOy

?2

中，方程一―三—=1表示雙曲線，則實數(shù)機的取值范圍為_______.

4一〃？2十機

（2）（2015?全國I卷改編）M（xo,州）是雙曲線C：y-^=l上的一點，F(xiàn)\,尸2是C

的兩個焦點，假設施'i?砥＜0,則和的取值范圍是.

解析（1）由題意可得（4一加）（2+加）＞0,

解得—2＜加＜4.

（2）因為尸（1一由,0）,F2（V3,0）,y-yS=l,

所以A7Fi?M&=（一小一xo,-yo）?（小—xo,—yo）=焉3VO,SP3yo—1＜0,

解得一坐＜加＜孝

答案（1）（-2,4）（2）（一坐書

命題角度二與雙曲線的離心率、漸近線相關的問題

/v2

【例2—2】⑴（2016?全國II卷改編）B，B是雙曲線E：）一京=1的左、右焦

點，點M在E上，與x軸垂直，sin/M/wg，則E的離心率為.

?2

（2）（2017?鹽城模擬）以雙曲線也一方=1（。＞0,＞＞0）的右焦點/為圓心，。為半徑的

圓恰好與雙曲線的兩條漸近線相切，則該雙曲線的離心率為.

解析（1）設為（一60）,將x=-c代入雙曲線方程，

得&一舌=1，所以、

821

所以y=±].因為sinNMERuj所以

b2

,rMFxa玖__d_.__^_a__e__l__啦濟,_^2_

tanZMF2Fee1

'~F\F2~2c~2ac~lac—Za-Zc—'—Ze—4，所以2

=0,

所以e=y[2.

h

(2)由題意可得右焦點(c,0)到漸近線y=)的距離為m則8=a,該雙曲線的離心

率為6=：=41+俳=也

答案⑴&⑵也

規(guī)律方法與雙曲線有關的范圍問題的解題思路

(1)假設條件中存在不等關系，則借助此關系直接變換轉(zhuǎn)化求解.

(2)假設條件中沒有不等關系，要善于發(fā)現(xiàn)隱含的不等關系或借助曲線中不等關

系來解決.

【訓練2】(1)(2017?蘇北四市調(diào)研)設雙曲線C的中心為點O,假設有且只有一

對相交于點O，所成的角為60。的直線48和4陰，使4山1=42&，其中A”

用和A2,&分別是這對直線與雙曲線。的交點，則該雙曲線的離心率的取值范

圍是.

(2)(2017.南京模擬)雙曲線/一(=1的左頂點為4,右焦點為尸2,P為雙曲線右

支上一點，則南r蘇12的最小值為.

解析