第三章函數(shù)復(fù)習(xí)課課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版

人教B版

數(shù)學(xué)

必修第一冊復(fù)習(xí)課第3課時函數(shù)知識梳理構(gòu)建體系【知識網(wǎng)絡(luò)】

【要點梳理】

1.什么是函數(shù)?提示:一般地,給定兩個非空實數(shù)集A與B,以及對應(yīng)關(guān)系f,如果對于集合A中的每一個實數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的實數(shù)y與x對應(yīng),則稱f為定義在集合A上的一個函數(shù).記作y=f(x),x∈A,其中x稱為自變量,y稱為因變量.2.什么是函數(shù)的定義域、值域?什么是同一個函數(shù)?提示:自變量取值的范圍(即數(shù)集A)稱為函數(shù)的定義域,所有函數(shù)值組成的集合{y|y=f(x),x∈A}稱為函數(shù)的值域,如果兩個函數(shù)表達式表示的函數(shù)定義域相同,對應(yīng)關(guān)系也相同(即對自變量的每一個值,兩個函數(shù)表達式得到的函數(shù)值都相等),則稱這兩個函數(shù)表達式表示的就是同一個函數(shù).3.函數(shù)有哪些表示方法?提示:解析法、圖象法、列表法.4.什么是分段函數(shù)?提示:如果一個函數(shù),在其定義域內(nèi),對于自變量的不同取值區(qū)間,有不同的對應(yīng)方式,則稱其為分段函數(shù).5.什么是增函數(shù)?什么是減函數(shù)?什么是函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間?請完成下表:項目增函數(shù)減函數(shù)定義一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為D,且I?D.如果對任意x1,x2∈I當(dāng)x1<x2時,都有

f(x1)<f(x2),則稱y=f(x)在區(qū)間I上是增函數(shù)(也稱在區(qū)間I上單調(diào)遞增)當(dāng)x1<x2時,都有

f(x1)>f(x2),則稱y=f(x)在區(qū)間I上是減函數(shù)(也稱在區(qū)間I上單調(diào)遞減)項目增函數(shù)減函數(shù)圖象描述

自左向右看圖象是上升的

自左向右看圖象是下降的兩種情況下,都稱函數(shù)在區(qū)間I上具有單調(diào)性(區(qū)間I為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,也可分別稱為單調(diào)遞增區(qū)間或單調(diào)遞減區(qū)間)6.什么是函數(shù)的最大值、最大值點?什么是函數(shù)的最小值、最小值點?請完成下表:前提一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D,且x0∈D最大值和最小值如果對任意x∈D,都有

f(x)≤f(x0),則稱f(x)的最大值為f(x0),而

x0稱為f(x)的最大值點如果對任意x∈D,都有

f(x)≥f(x0),則稱f(x)的最小值為f(x0),而x0稱為f(x)的最小值點最值最大值和最小值統(tǒng)稱為最值,最大值點和最小值點統(tǒng)稱為最值點7.直線的斜率與函數(shù)的單調(diào)性有什么關(guān)系?請完成下表:8.什么是函數(shù)的平均變化率?提示:一般地,當(dāng)x1≠x2時,稱

為函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[x1,x2](x1<x2時)或[x2,x1]

(x1>x2時)上的平均變化率.9.什么是奇函數(shù)?什么是偶函數(shù)?它們的圖象各有什么特征?請完成下表:項目奇函數(shù)偶函數(shù)定義定義域函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點對稱x對于定義域內(nèi)的任意一個xf(x)與f(-x)的關(guān)系都有f(-x)=-f(x)都有f(-x)=f(x)結(jié)論函數(shù)f(x)為奇函數(shù)函數(shù)f(x)為偶函數(shù)圖象特征關(guān)于原點對稱關(guān)于

y軸對稱10.什么是函數(shù)的零點?α是函數(shù)f(x)零點的充要條件是什么?提示:(1)一般地,如果函數(shù)y=f(x)在實數(shù)α處的函數(shù)值等于零,即f(α)=0,則稱α為函數(shù)y=f(x)的零點.(2)α是函數(shù)f(x)零點的充要條件是,(α,0)是函數(shù)圖象與x軸的公共點.11.二次函數(shù)的零點及其對應(yīng)的方程、不等式的解集有什么關(guān)系?請完成下表:對于二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0):判別式方程f(x)=0的解集的元素函數(shù)f(x)的零點函數(shù)f(x)的圖象與x軸的公共點Δ>0x1,x2x1,x2(x1,0),(x2,0)Δ=0x0x0(x0,0)Δ<0沒有實數(shù)根沒有零點沒有公共點12.函數(shù)零點存在定理是什么?提示:如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的,并且f(a)f(b)<0(即在區(qū)間兩個端點處的函數(shù)值異號),則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)中至少有一個零點,即?x0∈(a,b),f(x0)=0.13.用二分法求函數(shù)零點的近似值的步驟有哪些?提示:在函數(shù)零點存在定理的條件滿足時(即f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的,且f(a)f(b)<0),給定近似的精度ε,用二分法求零點x0的近似值x1,使得|

x1-

x0|<ε的一般步驟如下:【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)函數(shù)y=f(x)的圖象與直線x=a最多有2個交點.(

)(2)函數(shù)f(x)=2x2+x與g(t)=2t2+t是同一個函數(shù).(

)(3)分段函數(shù)是由兩個或幾個函數(shù)組成.(

)(4)已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,0]∪(0,+∞).(

)×√××(5)已知定義在R上的函數(shù)f(x),f(-1)<f(3),則函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù).(

)(6)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[1,+∞)內(nèi)是增函數(shù),則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[1,+∞).(

)(7)對于函數(shù)f(x),x∈D,若x1,x2∈D,且(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,則函數(shù)f(x)在D上是增函數(shù).(

)(8)在閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù),其最值點一定是區(qū)間端點.(

)(9)函數(shù)y=x2,x∈(0,+∞)是偶函數(shù).(

)(10)偶函數(shù)的圖象不一定過原點,奇函數(shù)的圖象一定過原點.(

)××√√××(11)如果函數(shù)f(x),g(x)為定義域相同的偶函數(shù),則F(x)=f(x)+g(x)是偶函數(shù).(

)(12)若函數(shù)y=f(x+a)是偶函數(shù),則函數(shù)y=f(x)關(guān)于直線x=a對稱.(

)(13)若函數(shù)y=f(x+b)是奇函數(shù),則函數(shù)y=f(x)關(guān)于點(b,0)中心對稱.(

)(14)只要函數(shù)有零點,我們就可以用二分法求出零點的近似值.(

)(15)若單調(diào)函數(shù)y=f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,且f(a)f(b)<0,則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有且只有一個零點.(

)√√√×√專題歸納核心突破專題整合

專題一

函數(shù)的概念與表示【例1】

(1)已知函數(shù)f(x)的定義域是(-3,2],則函數(shù)g(x)=f(2x+1)+的定義域為

.

(2)已知f(x)是二次函數(shù),且f(x)>0的解集為(-2,3),f(x)的最大值為,則f(x)=

.

思路點撥:(1)依據(jù)抽象函數(shù)的定義域以及函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征列出不等式組,解不等式組即可得到函數(shù)的定義域.(2)利用待定系數(shù)法求解.(2)因為f(x)是二次函數(shù),且f(x)>0的解集為(-2,3),所以f(x)的兩個零點分別是-2和3,故可設(shè)f(x)=a(x+2)(x-3),a<0.1.求函數(shù)定義域的方法(1)求給定函數(shù)的定義域往往轉(zhuǎn)化為解不等式(組)的問題,在求不等式的交集時可借助數(shù)軸,要特別注意端點值的取舍.(2)求抽象函數(shù)的定義域:①若已知函數(shù)f(x)的定義域為[a,b],則復(fù)合函數(shù)f(g(x))的定義域由a≤g(x)≤b求出;②若已知函數(shù)f(g(x))的定義域為[a,b],則f(x)的定義域為g(x)在區(qū)間[a,b]上的值域.2.求二次函數(shù)解析式的方法

【變式訓(xùn)練1】

已知a,b為常數(shù),且a≠0,f(x)=ax2+bx,f(2)=0,方程f(x)=x有兩個相等的實根.(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)當(dāng)x∈[1,2]時,求f(x)的值域.解:(1)由f(2)=4a+2b=0,得2a+b=0.①∵方程f(x)=x,即ax2+bx=x,即ax2+(b-1)x=0(a≠0)有兩個相等的實根,∴b-1=0,∴b=1.將其代入①得a=-.∴f(x)=-x2+x.專題二

函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

(1)求實數(shù)m和n的值;(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,-1]上的最值.∵-2≤x1<x2≤-1,∴x1-x2<0,x1x2>0,x1x2-1>0,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).∴函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,-1]上為增函數(shù),1.解決有關(guān)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用問題的通法就是根據(jù)函數(shù)的奇偶性解答或作出圖象輔助解答,先證明函數(shù)的單調(diào)性,再由單調(diào)性求最值.2.研究函數(shù)往往從定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、對稱性入手,分析函數(shù)的圖象及其變化趨勢,從近幾年的高考形式來看,對函數(shù)性質(zhì)的考查體現(xiàn)了“小”“巧”“活”的特征,做題時應(yīng)注重上述性質(zhì)知識間的融合.(1)證明:任取x1>x2>0,∵x1>x2>0,∴x1-x2>0,x1x2>0,∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),∴f(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)是增函數(shù).專題三

函數(shù)的零點問題【例3】

已知二次函數(shù)f(x)的兩個零點是-1和3,且其最小值為-4.(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)若函數(shù)g(x)=f(x)+mx+5-m的兩個零點分別在區(qū)間(1,2)和(2,3)內(nèi),求實數(shù)m的取值范圍.解:(1)因為f(x)是二次函數(shù),且f(x)的兩個零點是-1和3,所以設(shè)f(x)=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a,且a>0.因為f(x)min=f(1)=-4a=-4,所以a=1.故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=x2-2x-3.(2)由(1)知g(x)=x2+(m-2)x-m+2.因為函數(shù)g(x)的兩個零點分別在區(qū)間(1,2)和(2,3)內(nèi),所以滿足條件的函數(shù)大致圖象如圖所示:利用函數(shù)零點求參數(shù)取值范圍的一般步驟

【變式訓(xùn)練3】

已知a,b,c,d都是常數(shù),a>b,c>d.若f(x)=2022-(x-a)(x-b)的零點為c,d,則下列不等式正確的是(

)

A.a>c>b>d

B.a>b>c>dC.c>d>a>b D.c>a>b>d解析:f(x)=2

022-(x-a)(x-b)=-x2+(a+b)x-ab+2

022,又f(a)=f(b)=2

022,c,d為函數(shù)f(x)的零點,且a>b,c>d,所以可在平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示,由圖可知c>a>b>d.故選D.答案:D專題四

函數(shù)的應(yīng)用【例4】

某共享單車公司在會展中心提供自行車出租服務(wù),共有50輛自行車供游客租賃使用,管理這些自行車的費用是每日115元.根據(jù)經(jīng)驗,若每輛自行車的日租金不超過6元,則自行車可以全部租出;若超出6元,則每超過1元,租不出的自行車就增加3輛.為了便于結(jié)算,每輛自行車的日租金x(單位:元)只取整數(shù),并且要求租自行車一日的總收入必須高于這一日的管理費用,用y(單位:元)表示出租自行車的日凈收入(即一日中出租自行車的總收入減去管理費用后得到的部分).(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及其定義域;(2)試問當(dāng)每輛自行車的日租金定為多少元時,才能使一日的凈收入最多?解:(1)當(dāng)0<x≤6時,y=50x-115.令50x-115>0,解得x>2.3.∵x為整數(shù),∴3≤x≤6.當(dāng)x>6時,y=[50-3(x-6)]x-115=-3x2+68x-115.令-3x2+68x-115>0,則3x2-68x+115<0,結(jié)合x為整數(shù)得6<x≤20.(2)對于y=50x-115,3≤x≤6,x∈Z,顯然當(dāng)x=6時,ymax=185.∵270>185,∴當(dāng)每輛自行車的日租金定為11元時,才能使一日的凈收入最多.解決實際應(yīng)用問題要謹(jǐn)防三種失誤(1)構(gòu)建函數(shù)模型時,不要忘記考慮函數(shù)的定義域.(2)二次函數(shù)的最值一般利用配方法與函數(shù)的單調(diào)性解決,但一定要注意函數(shù)的定義域,否則極易出錯.(3)構(gòu)造分段函數(shù)時,要力求準(zhǔn)確、簡潔,做到分段合理、不重不漏.【變式訓(xùn)練4】

設(shè)某公司原有員工100人從事產(chǎn)品A的生產(chǎn),平均每人每年創(chuàng)造產(chǎn)值t萬元(t為正常數(shù)).現(xiàn)公司決定從原有員工中分流x(0<x<100,x∈N+)人去進行新開發(fā)的產(chǎn)品B的生產(chǎn).分流后,繼續(xù)從事產(chǎn)品A生產(chǎn)的員工平均每人每年創(chuàng)造產(chǎn)值在原有的基礎(chǔ)上增長了1.2x%.若要保證產(chǎn)品A的年產(chǎn)值不減少,則最多能分流的人數(shù)是(

)A.15 B.16 C.17 D.18解析:由題意,得分流前每年創(chuàng)造的產(chǎn)值為100t萬元,分流x人后,每年創(chuàng)造的產(chǎn)值為(100-x)(1+1.2x%)t,因為x∈N+,所以x的最大值為16.答案:B高考體驗

考點一

函數(shù)的概念與表示

A.2 B.4 C.6 D.8解析:f(x)的大致圖象如圖所示.又f(a)=f(a+1),所以0<a<1,a+1>1,答案:C答案:(-∞,0)∪(0,1]考點二

函數(shù)的性質(zhì)4.(2021·全國乙)設(shè)函數(shù)f(x)=,則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是(

)A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1解析:函數(shù)

,故該函數(shù)圖象的對稱中心的坐標(biāo)為(-1,-1).將該函數(shù)圖象向右平移1個單位長度,再向上平移1個單位長度后得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為g(x)=f(x-1)+1,其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱,即為奇函數(shù).故選B.答案:B5.(2021·全國甲)設(shè)f(x)是