新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)強(qiáng)化練習(xí)專題13 數(shù)列的通項(xiàng)與數(shù)列的求和（練）（解析版）

第一篇熱點(diǎn)、難點(diǎn)突破篇專題13數(shù)列的通項(xiàng)與數(shù)列的求和（練）【對(duì)點(diǎn)演練】一、單選題1．（2022·四川宜賓·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）南宋數(shù)學(xué)家楊輝給出了著名的三角垛公式：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】因?yàn)镾KIPIF1<0，根據(jù)題意結(jié)合分組求和運(yùn)算求解.【詳解】∵SKIPIF1<0，由題意可得：數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選：A.2．（2022秋·浙江金華·高三期末）1883年，德國(guó)數(shù)學(xué)家康托提出了三分康托集，亦稱康托爾集.下圖是其構(gòu)造過(guò)程的圖示，其詳細(xì)構(gòu)造過(guò)程可用文字描述為：第一步，把閉區(qū)間SKIPIF1<0平均分成三段，去掉中間的一段，剩下兩個(gè)閉區(qū)間SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；第二步，將剩下的兩個(gè)閉區(qū)間分別平均分為三段，各自去掉中間的一段，剩下四段閉區(qū)間：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；如此不斷的構(gòu)造下去，最后剩下的各個(gè)區(qū)間段就構(gòu)成了三分康托集.若經(jīng)歷SKIPIF1<0步構(gòu)造后，所有去掉的區(qū)間長(zhǎng)度和為（

）（注：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0的區(qū)間長(zhǎng)度均為SKIPIF1<0）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根據(jù)“康托爾三分集”的定義，分別求得前幾次的剩余區(qū)間長(zhǎng)度的和，求得其通項(xiàng)公式，可得第SKIPIF1<0次操作剩余區(qū)間的長(zhǎng)度和，即可得解.【詳解】解：將定義SKIPIF1<0的區(qū)間長(zhǎng)度為SKIPIF1<0，根據(jù)“康托爾三分集”的定義可得：每次去掉的區(qū)間長(zhǎng)組成的數(shù)為以SKIPIF1<0為首項(xiàng)，SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列，第1次操作去掉的區(qū)間長(zhǎng)為SKIPIF1<0，剩余區(qū)間的長(zhǎng)度和為SKIPIF1<0，第2次操作去掉兩個(gè)區(qū)間長(zhǎng)為SKIPIF1<0的區(qū)間，剩余區(qū)間的長(zhǎng)度和為SKIPIF1<0，第3次操作去掉四個(gè)區(qū)間長(zhǎng)為SKIPIF1<0的區(qū)間，剩余區(qū)間的長(zhǎng)度和為SKIPIF1<0，第4次操作去掉8個(gè)區(qū)間長(zhǎng)為SKIPIF1<0，剩余區(qū)間的長(zhǎng)度和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0第SKIPIF1<0次操作去掉SKIPIF1<0個(gè)區(qū)間長(zhǎng)為SKIPIF1<0，剩余區(qū)間的長(zhǎng)度和為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；設(shè)定義區(qū)間為SKIPIF1<0，則區(qū)間長(zhǎng)度為1，所以第SKIPIF1<0次操作剩余區(qū)間的長(zhǎng)度和為SKIPIF1<0，則去掉的區(qū)間長(zhǎng)度和為SKIPIF1<0.故選：B3．（2022·重慶沙坪壩·重慶八中?？寄M預(yù)測(cè)）中國(guó)古代的武成王廟是專門祭祀姜太公以及歷代良臣名將的廟宇，這類廟宇的頂部構(gòu)造頗有講究.如圖是某武成王廟頂部的剖面直觀圖，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且數(shù)列SKIPIF1<0是第二項(xiàng)為SKIPIF1<0的等差數(shù)列.若以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則直線SKIPIF1<0的斜率為（

）A．0.4 B．0.45 C．0.5 D．0.55【答案】A【分析】根據(jù)數(shù)列SKIPIF1<0是第二項(xiàng)為SKIPIF1<0的等差數(shù)列可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則根據(jù)題干可得：SKIPIF1<0，再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意可知：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)閿?shù)列SKIPIF1<0是第二項(xiàng)為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，設(shè)公差為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0則直線SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，故選：SKIPIF1<0.4．（2022秋·北京·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）“楊輝三角”是中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，最早出現(xiàn)在中國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝于1261年所著的《詳解九章算法》一書中.如圖，若在“楊輝三角”中從第2行右邊的1開始按“鋸齒形”排列的箭頭所指的數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，則此數(shù)列的前20項(xiàng)的和為（

）A．350 B．295 C．285 D．230【答案】C【分析】利用分組求和法和組合數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可【詳解】記此數(shù)列的前20項(xiàng)的和為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故選：C.二、多選題5．（2022秋·吉林·高三東北師大附中?？茧A段練習(xí)）十二平均律是我國(guó)明代音樂理論家和數(shù)學(xué)家朱載堉發(fā)明的.明萬(wàn)歷十二年（公元1584年），他寫成《律學(xué)新說(shuō)》，提出了十二平均律的理論.十二平均律的數(shù)學(xué)意義是：在1和2之間插入11個(gè)數(shù)，使包含1和2的這13個(gè)數(shù)依次成遞增的等比數(shù)列，記插入的11個(gè)數(shù)之和為M，則依此規(guī)則，下列結(jié)論正確的有（

）A．SKIPIF1<0 B．該等比數(shù)列的公比為SKIPIF1<0C．插入的第9個(gè)數(shù)是插入的第5個(gè)數(shù)的SKIPIF1<0倍 D．SKIPIF1<0【答案】CD【分析】首先根據(jù)題意求出等比數(shù)列的公比以及SKIPIF1<0，可以判斷BCD，再利用不等式證明A即可說(shuō)明A錯(cuò)誤.【詳解】由題意知，該數(shù)成等比數(shù)列記為SKIPIF1<0，公比記為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由等比數(shù)列性質(zhì)可知SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故B錯(cuò)誤；記插入的11個(gè)數(shù)之和為M，則SKIPIF1<0，則D正確；因?yàn)镾KIPIF1<0，則插入的第9個(gè)數(shù)是SKIPIF1<0，插入的第5個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故C正確；對(duì)于A，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，但SKIPIF1<0，故A錯(cuò)誤.故選：CD三、填空題6．（2022秋·湖北·高三校聯(lián)考期中）“中國(guó)剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于中國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)著作SKIPIF1<0孫子算經(jīng)SKIPIF1<0卷下第二十六題，叫做“物不知數(shù)”，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何SKIPIF1<0現(xiàn)有這樣一個(gè)相關(guān)的問題：被SKIPIF1<0除余SKIPIF1<0且被SKIPIF1<0除余SKIPIF1<0的正整數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列SKIPIF1<0，記數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為__________．【答案】SKIPIF1<0【分析】先由“兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)構(gòu)成的新的等差數(shù)列的公差為兩個(gè)等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù)”得SKIPIF1<0，再應(yīng)用基本不等式求得SKIPIF1<0的最小值.【詳解】解：被SKIPIF1<0除余SKIPIF1<0且被SKIPIF1<0除余SKIPIF1<0的正整數(shù)按照從小到大的順序所構(gòu)成的數(shù)列是一個(gè)首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，等號(hào)成立，∴SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0.四、解答題7．（2022·上海浦東新·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列SKIPIF1<0是公差不為0的等差數(shù)列，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)求當(dāng)n為何值時(shí)，數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和SKIPIF1<0取得最大值.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得最大值.【分析】（1）根據(jù)題意列出關(guān)于公差SKIPIF1<0的方程，求得d，可得答案；（2）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求SKIPIF1<0，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求最大值.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的公差為d，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.所以數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0.（2）由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0或5時(shí)，SKIPIF1<0取得最大值，最大值為10.8．（2022秋·重慶沙坪壩·高三重慶八中校考階段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0.(1)令SKIPIF1<0，求證：數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，并求SKIPIF1<0;(2)記SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0.【答案】(1)證明見解析，SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】(1)當(dāng)SKIPIF1<0為奇數(shù)時(shí)，可得SKIPIF1<0，即可證明數(shù)列SKIPIF1<0的奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，且首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0，根據(jù)公式即可得通項(xiàng)公式；(2)當(dāng)SKIPIF1<0為偶數(shù)時(shí)，可得SKIPIF1<0，即可得SKIPIF1<0的偶數(shù)項(xiàng)SKIPIF1<0成等比數(shù)列，首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公比為SKIPIF1<0，從而得SKIPIF1<0，利用錯(cuò)位相減求和即可.【詳解】（1）證明：當(dāng)SKIPIF1<0為奇數(shù)，SKIPIF1<0,即數(shù)列SKIPIF1<0的奇數(shù)項(xiàng)SKIPIF1<0成等差數(shù)列，且首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，（2）解：當(dāng)SKIPIF1<0為偶數(shù)，SKIPIF1<0，即數(shù)列SKIPIF1<0的偶數(shù)項(xiàng)SKIPIF1<0成等比數(shù)列，首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公比為SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，兩式相減得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.9．（2022秋·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【分析】(1)由SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間的關(guān)系式求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；由SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0,求出數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式即可求出數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)利用錯(cuò)位相減求解即可.【詳解】（1）解：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0符合SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0;因?yàn)镾KIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列.所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0；（2）解：因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，兩式相減得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<010．（2022秋·河南·高三洛陽(yáng)市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，遞增的等比數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和分別為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【分析】（1）根據(jù)SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合韋達(dá)定理求出SKIPIF1<0，得到公比，寫出通項(xiàng)公式；（2）證明出SKIPIF1<0為等差數(shù)列，從而利用等差數(shù)列求和公式和等比數(shù)列求和公式進(jìn)行求解.【詳解】（1）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，滿足上式故SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0，設(shè)等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0可看作方程SKIPIF1<0的兩根，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，因?yàn)榈缺葦?shù)列單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0舍去，故SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0；（2）因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0為等差數(shù)列，由等差數(shù)列求和公式得：SKIPIF1<0，由等比數(shù)列求和公式得：SKIPIF1<0.【沖刺提升】解答題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0，設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且滿SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)是否存在SKIPIF1<0，使得對(duì)任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0；SKIPIF1<0(2)存在SKIPIF1<0，2，使得對(duì)任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義可得SKIPIF1<0為等差數(shù)列，由SKIPIF1<0的關(guān)系可得SKIPIF1<0為等比數(shù)列，進(jìn)而可求其通項(xiàng)，（2）根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求解最值即可求解.【詳解】（1）點(diǎn)SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．∴SKIPIF1<0又當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0

①，得SKIPIF1<0

②由①－②整理得：SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴數(shù)列SKIPIF1<0是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，故SKIPIF1<0（2）設(shè)SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0或2時(shí)，SKIPIF1<0取得最大值，即SKIPIF1<0取得最大所以存在SKIPIF1<0，2，使得對(duì)任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<02．（2022秋·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0各項(xiàng)均為正數(shù)，且SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）利用已知條件因式分解變形，結(jié)合條件得SKIPIF1<0，可知數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求解即可；（2）由（1）將SKIPIF1<0帶入SKIPIF1<0化簡(jiǎn)，寫出前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0的表達(dá)式，根據(jù)條件及性質(zhì)求出SKIPIF1<0的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0各項(xiàng)均為正數(shù)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是首項(xiàng)為4，公差為4的等差數(shù)列，SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0.（2）因?yàn)镾KIPIF1<0所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0.3．（2022·四川資陽(yáng)·統(tǒng)考二模）已知SKIPIF1<0為等差數(shù)列，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0成立的n的最大值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)7【分析】（1）代入公式求出公差即可求通項(xiàng)公式；（2）代入等比數(shù)列的前SKIPIF1<0項(xiàng)和公式即可.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的公差為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，要使SKIPIF1<0成立的n的最大值為：7.4．（2022秋·江蘇徐州·高三期末）設(shè)SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列．(1)求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)證明：SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)證明見解析【分析】（1）由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列可得SKIPIF1<0，再利用SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的關(guān)系進(jìn)行求解；（2）將SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得出數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列，再使用等比數(shù)列前SKIPIF1<0項(xiàng)和公式進(jìn)行證明.【詳解】（1）∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，由SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，兩式相減得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴數(shù)列SKIPIF1<0中各項(xiàng)均不為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），∴數(shù)列SKIPIF1<0是首項(xiàng)SKIPIF1<0，公比SKIPIF1<0的等比數(shù)列，∴數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0.（2）由第（1）問，數(shù)列SKIPIF1<0是首項(xiàng)SKIPIF1<0，公比SKIPIF1<0的等比數(shù)列，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），∴數(shù)列SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是首項(xiàng)SKIPIF1<0，公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0得證.5．（2022·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，4是SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的等比中項(xiàng),且SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，試比較SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的大小，并說(shuō)明理由.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0，理由見解析【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，結(jié)合等比中項(xiàng)性質(zhì)和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，解方程可得首項(xiàng)和公差，進(jìn)而得到所求通項(xiàng)公式；（2）由等差數(shù)列的求和公式，以及數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，可得SKIPIF1<0，再由作差比較法，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，4是SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的等比中項(xiàng)，且SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．6．（2022秋·北京·高三北京八十中?？计谀┮阎獢?shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和記為SKIPIF1<0.(1)寫出SKIPIF1<0的最大值和最小值；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；(3)是否存在數(shù)列SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0？如果存在，寫出此時(shí)SKIPIF1<0的值；如果不存在，說(shuō)明理由.【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)0；(3)不存在，理由見解析.【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系求SKIPIF1<0即可；（2）由（1）及遞推關(guān)系結(jié)合SKIPIF1<0求出SKIPIF1<0即可得解；（3）由遞推關(guān)系可得出項(xiàng)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的關(guān)系，據(jù)此可分析得解.【詳解】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0最大值為SKIPIF1<0，最小值為SKIPIF1<0.（2）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，此時(shí)由SKIPIF1<0知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不滿足，舍去；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不滿足，舍去；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0知SKIPIF1<0滿足題意，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，不滿足題意，綜上，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.（3）由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0為整數(shù)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，若存在數(shù)列SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0為整數(shù)，所以方程無(wú)解，故不存在數(shù)列SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0.7．（2022秋·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在正項(xiàng)數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)證明見解析【分析】（1）由SKIPIF1<0可得到SKIPIF1<0，根據(jù)累乘法求通項(xiàng)的方法，即可求出SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）由SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0，可判斷數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即可求證.【詳解】（1）解：已知SKIPIF1<0①，則SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0②，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由累乘法可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，符合上式，所以數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0.（2）由（1）可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0是首項(xiàng)為1，公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得證.8．（2022秋·上海黃浦·高三?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)證明數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列，其中SKIPIF1<0；(3)如果SKIPIF1<0，試證明數(shù)列SKIPIF1<0的單調(diào)性．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】(1)根據(jù)數(shù)列的前SKIPIF1<0項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系求解即可.(2)根據(jù)給定的遞推關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列定義計(jì)算判斷作答.(3)由(1)求出數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)，再求出SKIPIF1<0，并利用作差法比較SKIPIF1<0大小作答.【詳解】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0為以SKIPIF1<0為首項(xiàng)，以SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列；（3）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0為遞減數(shù)列．9．（2022秋·廣西南寧·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)證明：數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列；(2)記SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的最小值．【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0【分析】（1）構(gòu)造SKIPIF1<0證明即可；（2）由（1）可得SKIPIF1<0，再累加可得SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0化簡(jiǎn)可得SKIPIF1<0，進(jìn)而根據(jù)恒成立方法求解即可.【詳解】（1）證明：因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列．（2）由（1），得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0．經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，亦滿足SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．因?yàn)槿我釹KIPIF1<0，均有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．易知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0．10．（2022·四川遂寧·四川省遂寧市第二中學(xué)校?？家荒＃┮阎獢?shù)列SKIPIF1<0?的前SKIPIF1<0?項(xiàng)和為SKIPIF1<0?，且SKIPIF1<0?，__________．請(qǐng)?jiān)赟KIPIF1<0?成等比數(shù)列;SKIPIF1<0?，這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面題干中，并解答下面問題．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0?的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0?的前SKIPIF1<0?項(xiàng)和SKIPIF1<0?，求證：SKIPIF1<0?．【答案】(1)任選一條件，都有SKIPIF1<0?；(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)SKIPIF1<0得到數(shù)列SKIPIF1<0?是首項(xiàng)為SKIPIF1<0?，公差為1的等差數(shù)列，然后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式或前SKIPIF1<0項(xiàng)和公式列方程求解即可；（2）利用錯(cuò)位相減法得到SKIPIF1<0，即可得到SKIPIF1<0，然后根據(jù)SKIPIF1<0得到數(shù)列SKIPIF1<0是遞增數(shù)列，即可得到SKIPIF1<0.【詳解】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0?，即SKIPIF1<0?，所以數(shù)列SKIPIF1<0?是首項(xiàng)為SKIPIF1<0?，公差為1的等差數(shù)列，其公差SKIPIF1<0?．若選SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0?，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0?，所以SKIPIF1<0，即數(shù)列SKIPIF1<0?的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0；若選SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列，得SKIPIF1<0?，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0?，所以SKIPIF1<0；若選SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0?，所以SKIPIF1<0?，所以SKIPIF1<0.（2）由題可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，兩式相減得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是遞增數(shù)列，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.11．（2022秋·河南·高三信陽(yáng)高中校聯(lián)考期末）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)SKIPIF1<0，且數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，求證：SKIPIF