山東專用2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第七章立體幾何第三講空間點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系學(xué)案含解析

PAGE1-第三講空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系ZHISHISHULISHUANGJIZICE學(xué)問梳理·雙基自測eq\x(知)eq\x(識(shí))eq\x(梳)eq\x(理)學(xué)問點(diǎn)一平面的基本性質(zhì)公理1：假如一條直線上的__兩點(diǎn)__在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)．公理2：過__不共線__的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．公理3：假如兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們__有且只有一條__過該點(diǎn)的公共直線．學(xué)問點(diǎn)二空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系直線與直線直線與平面平面與平面平行關(guān)系圖形語言符號(hào)語言a∥ba∥αα∥β相交關(guān)系圖形語言符號(hào)語言a∩b＝Aa∩α＝Aα∩β＝l獨(dú)有關(guān)系圖形語言符號(hào)語言a，b是異面直線a?α學(xué)問點(diǎn)三異面直線所成角、平行公理及等角定理(1)異面直線所成的角①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間中任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的__銳角或直角__叫作異面直線a與b所成的角．②范圍：(0，eq\f(π,2)]．(2)平行公理平行于同一條直線的兩條直線__平行__．(3)等角定理空間中假如兩個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角__相等或互補(bǔ)__．eq\x(重)eq\x(要)eq\x(結(jié))eq\x(論)異面直線的判定定理過平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線．用符號(hào)可表示為：若l?α，A?α，B∈α，B?l，則直線AB與l是異面直線(如圖)．eq\x(雙)eq\x(基)eq\x(自)eq\x(測)題組一走出誤區(qū)1．(多選題)下列結(jié)論正確的是(AC)A．假如兩個(gè)不重合的平面α，β有一條公共直線a，就說平面α，β相交，并記作α∩β＝aB．假如兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合C．經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面D．兩兩相交的三條直線共面題組二走進(jìn)教材2．(必修2P52B組T1)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，則異面直線B1C與A．30° B．45°C．60° D．90°[解析]解法一：因?yàn)镃D∥AB，所以∠BAE(或其補(bǔ)角)即為異面直線AE與CD所成的角．設(shè)正方體的棱長為2，則BE＝eq\r(5).因?yàn)锳B⊥平面BB1C1C，所以AB⊥BE.在Rt△ABE中，tan∠BAE＝eq\f(BE,AB)＝eq\f(\r(5),2)，故選C．解法二：連接B1D1，D1C，則B1D1∥EF，故∠D1B1C即為所求的角．又B1D1＝B1C＝D1C，∴△B1D1C為等邊三角形，∴∠3．(必修2P45例2)如圖，在三棱錐A－BCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)，(1)若eq\f(AE,EB)＝eq\f(AH,HD)且eq\f(CF,FB)＝eq\f(CG,GD)，則E、F、G、H是否共面．__共面__．(2)若E、F、G、H分別為棱AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，①當(dāng)AC，BD滿意條件__AC＝BD__時(shí)，四邊形EFGH為菱形；②當(dāng)AC，BD滿意條件__AC＝BD且AC⊥BD__時(shí)，四邊形EFGH為正方形．題組三考題再現(xiàn)4．(2024·蚌埠質(zhì)檢)若l1，l2，l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是(B)A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共點(diǎn)?l1，l2，l3共面5．(2024·福建漳州質(zhì)檢)已知在正四面體A－BCD中，M為AB的中點(diǎn)，則直線CM與AD所成角的余弦值為(C)A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(3),6) D．eq\f(2,3)[解析]如圖，設(shè)正四面體A－BCD的棱長為2，取BD的中點(diǎn)N，連接MN，CN，則CN＝CM＝eq\r(3)，MN＝1，∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，∴MN∥AD，∴∠CMN是CM與AD所成的角，又cos∠CMN＝eq\f(CM2＋MN2－CN2,2CM·MN)＝eq\f(\r(3),6).故選C．KAODIANTUPOHUDONGTANJIU考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究考點(diǎn)一平面基本性質(zhì)的應(yīng)用——自主練透例1如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2．(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)設(shè)EG與FH交于點(diǎn)P，求證：P，A，C三點(diǎn)共線．[證明](1)∵E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，∴EF∥BD．在△BCD中，eq\f(BG,GC)＝eq\f(DH,HC)＝eq\f(1,2)，∴GH∥BD，∴EF∥GH．∴E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．(2)∵EG∩FH＝P，P∈EG，EG?平面ABC，∴P∈平面ABC．同理P∈平面ADC．∴P為平面ABC與平面ADC的公共點(diǎn)．又平面ABC∩平面ADC＝AC，∴P∈AC，∴P，A，C三點(diǎn)共線．名師點(diǎn)撥?1．證明空間點(diǎn)共線問題的方法(1)公理法：一般轉(zhuǎn)化為證明這些點(diǎn)是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，再依據(jù)公理3證明這些點(diǎn)都在這兩個(gè)平面的交線上．(2)納入直線法：選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明其余點(diǎn)也在該直線上．2．點(diǎn)、線共面的常用判定方法(1)納入平面法：先確定一個(gè)平面，再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi)．(2)協(xié)助平面法：先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面α，再證明其余元素確定平面β，最終證明平面α，β重合．3．證明線共點(diǎn)問題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過該點(diǎn)．〔變式訓(xùn)練1〕如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AA1(1)E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面；(2)CE，D1F，DA[解析](1)如圖，連接EF，CD1，A1B．因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點(diǎn)，所以EF∥A1B．又A1B∥CD1，所以EF∥CD1，所以E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面．(2)因?yàn)镋F∥CD1，EF<CD1，所以CE與D1F設(shè)交點(diǎn)為P，則由P∈CE，CE?平面ABCD，得P∈平面ABCD．同理P∈平面ADD1A1又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA所以P∈直線DA．所以CE，D1F，DA考點(diǎn)二空間兩條直線的位置關(guān)系——師生共研例2(1)(2024·廣東模擬)若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是(D)A．l與l1，l2都不相交B．l與l1，l2都相交C．l至多與l1，l2中的一條相交D．l至少與l1，l2中的一條相交(2)如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1①直線AM與CC1是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與MB1是異面直線；④直線AM與DD1是異面直線．其中正確的結(jié)論為__③④__(注：把你認(rèn)為正確的結(jié)論序號(hào)都填上)．[解析](1)由直線l1和l2是異面直線可知l1與l2不平行，故l1，l2中至少有一條與l相交．(2)因?yàn)辄c(diǎn)A在平面CDD1C1外，點(diǎn)M在平面CDD1C1內(nèi)，直線CC1在平面CDD1C1內(nèi)，CC1不過點(diǎn)M，所以AM與CC1是異面直線，故①錯(cuò)；取DD1中點(diǎn)E，連接AE，則BN∥AE，但AE與AM相交，故②錯(cuò)；因?yàn)锽1與BN都在平面BCC1B1內(nèi)，M在平面BCC1B1外，BN不過點(diǎn)B1，所以BN與MB1是異面直線，故③正確；同理④名師點(diǎn)撥?異面直線的判定方法(1)反證法：先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，由假設(shè)動(dòng)身，經(jīng)過嚴(yán)格的推理，導(dǎo)出沖突，從而否定假設(shè)，確定兩條直線異面．此法在異面直線的判定中常常用到．(2)判定定理法：平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點(diǎn)B的直線是異面直線．〔變式訓(xùn)練2〕(1)(2024·江西景德鎮(zhèn)模擬)將圖1中的等腰直角三角形ABC沿斜邊BC上的中線折起得到空間四面體ABCD(如圖2)，則在空間四面體ABCD中，AD與BC的位置關(guān)系是(C)A．相交且垂直 B．相交但不垂直C．異面且垂直 D．異面但不垂直(2)(多選題)(2024·湘潭調(diào)研改編)下圖中，G，N，M，H分別是正三棱柱(兩底面為正三角形的直棱柱)的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形是(BD)[解析](2)圖A中，直線GH∥MN；圖B中，G，H，N三點(diǎn)共面，但M?平面GHN，因此直線GH與MN異面；圖C中，連接MG，GM∥HN，因此GH與MN共面；圖D中，G、M、N共面，但H?平面GMN，因此GH與MN異面，故選B、D．考點(diǎn)三求異面直線所成的角——師生共研例3(1)(2024·陜西省高三質(zhì)檢)已知P是△ABC所在平面外的一點(diǎn)，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)．若MN＝BC＝4，PA＝4eq\r(3)，則異面直線PA與MN所成角的大小是(A)A．30° B．45°C．60° D．90°(2)(2024·黑龍江師大附中期中)直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1，則直線A1B與AC1A．30° B．60°C．90° D．120°[解析](1)如圖取AC的中點(diǎn)H，連MH，NH，由題意知NH∥PA，∴∠MNH即為MN與PA所成角，又MN＝4，MH＝2，NH＝2eq\r(3)，∴MN2＝MH2＋NH2，∴∠NHM＝90°，又MH＝eq\f(1,2)MN，∴∠MNH＝30°，故選A．(2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，連結(jié)A1C，A1C∩AC1＝O，則O為A1C的中點(diǎn)，取BC的中點(diǎn)H，連接OH，則OH∥A1B，∴∠AOH或其補(bǔ)角即為直線A1B設(shè)AB＝AC＝AA1＝1，BC＝eq\r(2)，易得AO＝AH＝OH＝eq\f(\r(2),2)，∴三角形AOH是正三角形，∴∠AOH＝60°，即異面直線所成角為60°.故選B．名師點(diǎn)撥?用平移法求異面直線所成的角的步驟(1)一作：依據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角．(2)二證：證明作出的角是異面直線所成的角．(3)三求：解三角形，求出所作的角．注：①為便于作出異面直線所成角，可用補(bǔ)形法，如將三棱柱補(bǔ)成四棱柱；②留意余弦定理的應(yīng)用．〔變式訓(xùn)練3〕(1)(2024·湖北荊州聯(lián)考)已知在四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AC，BD的中點(diǎn)．若AB＝2，CD＝4，EF⊥AB，則EF與CD所成角的度數(shù)為(D)A．90° B．45°C．60° D．30°(2)(2024·課標(biāo)全國Ⅱ)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，則異面直線AB1與BC1A．eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(15),5)C．eq\f(\r(10),5) D．eq\f(\r(3),3)[解析](1)如圖，設(shè)G為AD的中點(diǎn)，接GF，GE，則GF，GE分別為△ABD，△ACD的中位線．由此可得，GF∥AB且GF＝eq\f(1,2)AB＝1，GE∥CD，且GE＝eq\f(1,2)CD＝2，∴∠FEG或其補(bǔ)角即為EF與CD所成的角．又∵EF⊥AB，GF∥AB，∵EF⊥GF．因此，在Rt△EFG中，GF＝1，GE＝2，sin∠GEF＝eq\f(GF,GE)＝eq\f(1,2)，可得∠GEF＝30°，∴EF與CD所成角的度數(shù)為30°.故選D．(2)將直三棱柱ABC－A1B1C1補(bǔ)成直角四棱柱ABCD－A1B1C1D1，如圖，連AD1，B1D1，明顯BC1∥AD1，∠B1AD1即為異面直線AB1與BC1所成的角，由題意知，ABeq\o\al(2,1)＝5，ADeq\o\al(2,1)＝2，B1Deq\o\al(2,1)＝3，∴cos∠B1AD1＝eq\f(AB\o\al(2,1)＋AD\o\al(2,1)－B1D\o\al(2,1),2AB1·AD1)＝eq\f(5＋2－3,2\r(10))＝eq\f(\r(10),5).故選C．另解：連A1B交AB1于M，取AC1的中點(diǎn)N，連MN、B1N，則BC1∥MN，∴∠NMB1即為異面直線AB1與BC1所成的角，解△MNB1即可．MINGSHIJIANGTANSUYANGTISHENG名師講壇·素養(yǎng)提升立體幾何中的折疊問題例4(1)(2024·湖南湘東六校聯(lián)考)下圖是一正四面體的側(cè)面綻開圖，G為BF的中點(diǎn)，則在原正四面體中，直線EG與直線BC所成角的余弦值為(C)A．eq\f(\r(3),3) B．eq\f(\r(6),3)C．eq\f(\r(3),6) D．eq\f(\r(33),6)(2)(2024·安徽省合肥質(zhì)檢)如圖，邊長為1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，沿BD將△ABD翻折，得到三棱錐A－BCD，則當(dāng)三棱錐A－BCD，體積最大時(shí)，異面直線AD與BC所成角的余弦值為(D)A．eq\f(5,8) B．eq\f(2,3)C．eq\f(13,16) D．eq\f(1,4)[解析](1)將綻開圖折起還原成四面體，如圖所示，取AF的中點(diǎn)H，連GH，HE，則GH綊eq\f(1,2)BC，且HE＝GE，∴∠HGE即為異面直線EG與BC所成角，不妨設(shè)正四面