勾股定理及其證明 教案

教師：曾濤學(xué)生：楊沛東時(shí)間：2011年9月17日考點(diǎn)1：勾股定理及其證明教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)目標(biāo)：理解勾股定理并能運(yùn)用。能力目標(biāo)：掌握勾股定理的證明過(guò)程。教學(xué)重點(diǎn)：理解勾股定理并能運(yùn)用。教學(xué)難點(diǎn)：掌握勾股定理的證明過(guò)程。教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)引導(dǎo)一、考點(diǎn)講解：1．勾股定理：在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.若用a、b為表示兩條直角邊，c表示斜邊，則，如圖1－1－1，其中2．勾股定理的證明：勾股定理是通過(guò)面積拼圖法來(lái)證明，其方法較多．滿(mǎn)足不定方程x2+y2=z2的三個(gè)正整數(shù)，稱(chēng)為勾股數(shù).

熟悉下列勾股數(shù)，對(duì)解題是會(huì)有幫助的：

①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤10、24、26；⑥9、40、41．二、經(jīng)典考題剖析：【考題1－1】如圖l－l－2，一個(gè)機(jī)器人從O點(diǎn)出發(fā)，向正東方向走3米到達(dá)A1點(diǎn)，再向正北方向走6米到達(dá)A2點(diǎn)，再向正西方向走9米到達(dá)A3點(diǎn)．再向正南方向走12米到達(dá)A4點(diǎn)，再向正東方向走15米到達(dá)A5點(diǎn)，按如此規(guī)律走下去，當(dāng)機(jī)器人走到A6點(diǎn)時(shí)，離隊(duì)點(diǎn)的距離是_______米．三、針對(duì)性訓(xùn)練：(分鐘)(答案：)(如圖――)1．直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為6和8，則斜邊上的高為_(kāi)________.2．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠A=30°，b=10。則c=_______.3．一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角之比為1：1：2，則這個(gè)三角形的三邊比為_(kāi)______.4．在直角三角形ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，舉足為D，若∠A＝60○，AB=4cm，則CD＝_____5．如圖1－1－5（1）是用硬板紙做成的兩個(gè)全等的直角三角形，兩直角邊的長(zhǎng)分別為a和b，斜邊長(zhǎng)為c，如圖l－l－5⑵是以c為直角邊的等腰直角三角形．請(qǐng)你開(kāi)動(dòng)腦筋，將它們拼成一個(gè)能證明勾股定理的圖形．（1）畫(huà)出拼成的這個(gè)圖形的示意圖．寫(xiě)出它是什么圖形；（2）用這個(gè)圖形證明勾股定理；6．等邊三角形的高為2，則它的面積是（）A．2B．4C．EQ\F(4,3)D．47．直角三角形兩直角邊分別為6cm和8cm，則連接這兩條直角邊中點(diǎn)的線(xiàn)段長(zhǎng)為（）A．10cmB．3cmC．4cmD．58．如圖l－l－6．有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm，BC=8cm，現(xiàn)將直角邊AC沿直線(xiàn)AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD等于（）A．2cmB．3cmC．4cmD．59如圖1－1－8，一架2．5米長(zhǎng)的梯子AB，斜靠在一豎直的墻AC上，這時(shí)梯足B到墻底端C的距離為0．7米，如果梯子的頂端沿墻下滑0．4米，那么梯足將向外移多少米？10如圖1－1－9，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，將矩形沿對(duì)角線(xiàn)AC折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)D′處，求重疊部分△AFC的面積．11.如圖1－1－10，A城氣象臺(tái)測(cè)得臺(tái)風(fēng)中心在A城正西方向320km的B處，以每小時(shí)40km的速度向北偏東60o的BF方向移動(dòng)，距離臺(tái)風(fēng)中心200km的范圍內(nèi)是受臺(tái)風(fēng)影響的區(qū)域．（1）A城是否受到這次臺(tái)風(fēng)的影響？為什么？（2）若A城受到這次臺(tái)風(fēng)影響，那么A城遭受這次臺(tái)風(fēng)影響有多長(zhǎng)時(shí)間？考點(diǎn)2：勾股定理的逆定理一、考點(diǎn)講解：1．應(yīng)用勾股定理（或逆定理）研究解決問(wèn)題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)圖中存在的直角三角形或通過(guò)添加輔助線(xiàn)，在圖中構(gòu)造出直角三角形，有時(shí)還要借助方程、方程組和代數(shù)運(yùn)算；有些代數(shù)問(wèn)題，其數(shù)量關(guān)系具有“勾股關(guān)系”，根據(jù)這種關(guān)系設(shè)計(jì)、構(gòu)造出相應(yīng)的幾何圖形，然后借助圖形的幾何性質(zhì)去解決代數(shù)問(wèn)題，這就是“數(shù)形結(jié)合”的思想．二、經(jīng)典考題剖析：【考題2－1】（2010、南山，3分）如圖1－1－12，一棵大樹(shù)在一次強(qiáng)臺(tái)風(fēng)中在離地面5米處折斷倒下，倒下部分與地面成30○夾角，這棵大樹(shù)在折斷前的高度為（）A．10米B．15米C．25米D．30米三、針對(duì)性訓(xùn)練：(20分鐘)(答案：227)l．△ABC的三邊為a，b，c且滿(mǎn)足條件：a2c2－b2=a4－b4，試判斷三角形的形狀．2．如果三角形的三邊長(zhǎng)分別為5cm、12cm和13cm3．在△ABC中，AC=2a，BC=a2+1，BC=a2－1，其中a＞1，△4．已知a、b、c是Rt△ABC的三邊，∠C＝90o，a、b、c都為整數(shù)，若a＝9時(shí)，b、c為多少？【回顧1】如圖1－1－14，電線(xiàn)桿AB的中點(diǎn)C處有一標(biāo)志物，在地面D點(diǎn)處測(cè)得標(biāo)志物的仰角為45○，若點(diǎn)D到電線(xiàn)桿底部點(diǎn)B的距離為a則電線(xiàn)桿AB的長(zhǎng)可表示為（）A、aB.2aC.EQ\F(3,2)aD.EQ\F(5,2)a【回顧2如圖l－1－15所示，一根長(zhǎng)2a的木棍（AB）斜靠在與地面（OM）（1）請(qǐng)判斷木棍滑動(dòng)的過(guò)程中，點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離是否變化講簡(jiǎn)述理由；（2）在木棍滑動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)滑動(dòng)到什么位置時(shí)，△AOB的面積最大？簡(jiǎn)述理由，并求出面積的最大值．【回顧4】（2010、江西，3分）如圖1－1－16，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則網(wǎng)格上的三角形ABC中，邊長(zhǎng)為無(wú)理數(shù)的邊數(shù)是（）A．0B．1C．2D．3【回顧5】（2010、麗水，4分）圖1－1－18，在Rt△ABC中，∠ACB＝90○，CD⊥AB于D，若AD=1，BD=4，則CD等于（）A．2B．4C．D．3【回顧6】（2010、武漢，3分）如圖l－l－23，一電線(xiàn)桿AB的高為10米，當(dāng)太陽(yáng)光線(xiàn)與地面的夾角為60度時(shí)，其影長(zhǎng)AC約為（≈1.732，結(jié)果保留3個(gè)有效數(shù)字）A．5．00米B．8．66米C．17．3米D．5．7【回顧7】（2010、嘉峪關(guān)，8分）如圖l－l－24，某船向正東方向航行，在A處望見(jiàn)某島C在北偏東60○方向，前進(jìn)6海里到B點(diǎn)，測(cè)得該島在北偏東30○方向．已知該島周?chē)?海里內(nèi)有暗礁，若該船繼續(xù)向東航行，有無(wú)觸礁危險(xiǎn)？清說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：≈1.732）【回顧8】(杭州，4分）下列圖形中面積最大的是（）A．邊長(zhǎng)為5的正方形B．半徑為2的圓C．邊長(zhǎng)分別是6，8，10的直角三角形D．邊長(zhǎng)為7的正三角形。一、基礎(chǔ)經(jīng)典題(57分）（一）選擇題（每題3分，共30分）【備考1】等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)為12厘米，它的面積為（）A．48B.36C.24cm2D.36cm2【備考2】如圖l－l－25所示，三個(gè)正方形中兩個(gè)的面積S；S1=169，S2=144，則另一個(gè)的面積S3為（）A．50B．30C．25D．100【備考3】如圖l－l－26，在Rt△ABC中，∠ACB＝90○，CD⊥AB于D，AC=3，AB=5，則AD的長(zhǎng)為（）A、EQ\F(9,5)B、5C、EQ\F(16,5)D、EQ\F(5,9)【備考4】如圖1－l－27，在底面周長(zhǎng)為12，高為8的圓柱體上有A、B兩點(diǎn)，則A、B兩點(diǎn)的最短距離為（）A．4B．8C．10【備考5】Rt△ABC中，斜邊AB=1，則AB2＋BC2＋AC2的值是（）A．2B．4C【備考6】如圖l－l－28陰影部分是一個(gè)正方形，則此正方形的面積為（）A．8B．64C．16D．32【備考7】若直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別是4cm和3cm，則第三邊長(zhǎng)（A．一定是5cmB．小一定是C．一定是10cm5D．不會(huì)小于3cm【備考8】下列選項(xiàng)中的三條線(xiàn)段不能構(gòu)成直角三角形的是（）A．3，4，5B．6，8，10C．6，7，8D．0．9，1．2，1．5【備考9】下列選項(xiàng)中是勾股數(shù)的是（）A．30，40，70B．30，40，50C．0.3，0.4，0.5D．3，4，7【備考10】△ABC在下列條件下不是直角三角形的是（）A.b2＝a2－c2B.a2：b2：C2＝l：3：2C．∠A＝∠B－∠CD．∠A：∠B：∠C=3：4：5（二）填空題（每題3分，共15分）【備考11】在ΔABC中，∠C＝90○，c=25cm，a：b=2：3，則S△ABC=_______【備考12】已知在△ABC中，三邊a、b、c，若有c2=4a2,b2=3a2，則△ABC是【備考13】如圖l－l－29所示，在△ABC中，AD是高，且AD=DC，若AC2=18，BC=7，則BD=_____．【備考14】已知|a－6|+2|b－8|+（c－10）2=0，則以a、b、c為邊的三角形是__________．【備考15】如圖l－l－30所示（單位：cm）陰影部分的面積是_________（三）解答題（每題6分，共12分）【備考16】三邊長(zhǎng)為a=m2－n2，b=2mn、c=m2+n2（其中m