高中定積分教案

定積分教案課題：汽車行駛的路程教學(xué)目標(biāo)：1．體會(huì)求汽車行駛的路程有關(guān)問題的過程；2．感受在其過程中滲透的思想方法：分割、以不變代變、求和、取極限（逼近）。3．了解求曲邊梯形面積的過程和解決有關(guān)汽車行駛路程問題的過程的共同點(diǎn)；教學(xué)重點(diǎn)：掌握過程步驟：分割、以不變代變、求和、逼近（取極限）．教學(xué)難點(diǎn)：過程的理解．教學(xué)過程：一．創(chuàng)設(shè)情景復(fù)習(xí)：1．連續(xù)函數(shù)的概念；2．求曲邊梯形面積的基本思想和步驟；利用導(dǎo)數(shù)我們解決了“已知物體運(yùn)動(dòng)路程與時(shí)間的關(guān)系，求物體運(yùn)動(dòng)速度”的問題．反之，如果已知物體的速度與時(shí)間的關(guān)系，如何求其在一定時(shí)間內(nèi)經(jīng)過的路程呢？二．新課講授問題：汽車以速度組勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，經(jīng)過時(shí)間所行駛的路程為．如果汽車作變速直線運(yùn)動(dòng)，在時(shí)刻的速度為（單位：km/h），那么它在0≤≤1(單位：h)這段時(shí)間內(nèi)行駛的路程（單位：km）是多少？分析：與求曲邊梯形面積類似，采取“以不變代變”的方法，把求勻變速直線運(yùn)動(dòng)的路程問題，化歸為勻速直線運(yùn)動(dòng)的路程問題．把區(qū)間分成個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上，由于的變化很小，可以近似的看作汽車作于速直線運(yùn)動(dòng)，從而求得汽車在每個(gè)小區(qū)間上行駛路程的近似值，在求和得（單位：km）的近似值，最后讓趨緊于無窮大就得到（單位：km）的精確值．（思想：用化歸為各個(gè)小區(qū)間上勻速直線運(yùn)動(dòng)路程和無限逼近的思想方法求出勻變速直線運(yùn)動(dòng)的路程）．解：1．分割在時(shí)間區(qū)間上等間隔地插入個(gè)點(diǎn)，將區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間：，，…，記第個(gè)區(qū)間為，其長度為把汽車在時(shí)間段，，…，上行駛的路程分別記作：，，…，顯然，（2）近似代替當(dāng)很大，即很小時(shí)，在區(qū)間上，可以認(rèn)為函數(shù)的值變化很小，近似的等于一個(gè)常數(shù)，不妨認(rèn)為它近似的等于左端點(diǎn)處的函數(shù)值，從物理意義上看，即使汽車在時(shí)間段上的速度變化很小，不妨認(rèn)為它近似地以時(shí)刻處的速度作勻速直線運(yùn)動(dòng)，即在局部小范圍內(nèi)“以勻速代變速”，于是的用小矩形的面積近似的代替，即在局部范圍內(nèi)“以直代取”，則有①（3）求和由①，====從而得到的近似值（4）取極限當(dāng)趨向于無窮大時(shí)，即趨向于0時(shí)，趨向于，從而有思考：結(jié)合求曲邊梯形面積的過程，你認(rèn)為汽車行駛的路程與由直線和曲線所圍成的曲邊梯形的面積有什么關(guān)系？結(jié)合上述求解過程可知，汽車行駛的路程在數(shù)據(jù)上等于由直線和曲線所圍成的曲邊梯形的面積．一般地，如果物體做變速直線運(yùn)動(dòng)，速度函數(shù)為，那么我們也可以采用分割、近似代替、求和、取極限的方法，利用“以不變代變”的方法及無限逼近的思想，求出它在a≤≤b內(nèi)所作的位移．三．典例分析例1．彈簧在拉伸的過程中，力與伸長量成正比，即力（為常數(shù)，是伸長量），求彈簧從平衡位置拉長所作的功．分析：利用“以不變代變”的思想，采用分割、近似代替、求和、取極限的方法求解．解：將物體用常力沿力的方向移動(dòng)距離，則所作的功為．1．分割在區(qū)間上等間隔地插入個(gè)點(diǎn)，將區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間：，，…，記第個(gè)區(qū)間為，其長度為把在分段，，…，上所作的功分別記作：，，…，（2）近似代替有條件知：（3）求和=從而得到的近似值（4）取極限所以得到彈簧從平衡位置拉長所作的功為：課題：定積分的概念（2課時(shí)）教學(xué)目標(biāo)：⒈通過求曲邊梯形的面積和變速直線運(yùn)動(dòng)的路程，了解定積分的背景；⒉借助于幾何直觀定積分的基本思想，了解定積分的概念，能用定積分法求簡單的定積分．3．理解掌握定積分的幾何意義；教學(xué)重點(diǎn)：定積分的概念、定積分法求簡單的定積分、定積分的幾何意義．教學(xué)難點(diǎn)：定積分的概念、定積分的幾何意義．教學(xué)過程：一．創(chuàng)設(shè)情景復(fù)習(xí)：1．回憶前面曲邊圖形面積，變速運(yùn)動(dòng)的路程，變力做功等問題的解決方法，解決步驟：分割→以直代曲→求和→取極限（逼近2．對這四個(gè)步驟再以分析、理解、歸納，找出共同點(diǎn)．二．新課講授1．定積分的概念一般地，設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用分點(diǎn)將區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間長度為（），在每個(gè)小區(qū)間上取一點(diǎn)，作和式：如果無限接近于（亦即）時(shí)，上述和式無限趨近于常數(shù)，那么稱該常數(shù)為函數(shù)在區(qū)間上的定積分。記為：其中成為被積函數(shù)，叫做積分變量，為積分區(qū)間，積分上限，積分下限。說明：（1）定積分是一個(gè)常數(shù)，即無限趨近的常數(shù)（時(shí)）稱為，而不是．（2）用定義求定積分的一般方法是：①分割：等分區(qū)間；②近似代替：取點(diǎn)；③求和：；④取極限：（3）曲邊圖形面積：；變速運(yùn)動(dòng)路程；變力做功2．定積分的幾何意義說明：一般情況下，定積分的幾何意義是介于軸、函數(shù)的圖形以及直線之間各部分面積的代數(shù)和，在軸上方的面積取正號(hào)，在軸下方的面積去負(fù)號(hào)．（可以先不給學(xué)生講）．分析：一般的，設(shè)被積函數(shù)，若在上可取負(fù)值?？疾旌褪讲环猎O(shè)于是和式即為陰影的面積—陰影的面積（即軸上方面積減軸下方的面積）2．定積分的性質(zhì)根據(jù)定積分的定義，不難得出定積分的如下性質(zhì)：性質(zhì)1性質(zhì)2（其中k是不為0的常數(shù)）（定積分的線性性質(zhì)）性質(zhì)3（定積分的線性性質(zhì)）性質(zhì)4（定積分對積分區(qū)間的可加性）說明：①推廣：②推廣:③性質(zhì)解釋：性質(zhì)4性質(zhì)性質(zhì)4性質(zhì)11212yxo例1．計(jì)算定積分分析：所求定積分即為如圖陰影部分面積，面積為。即：思考：若改為計(jì)算定積分呢？改變了積分上、下限，被積函數(shù)在上出現(xiàn)了負(fù)值如何解決呢？（后面解決的問題）四．課堂練習(xí)計(jì)算下列定積分1．2．五．回顧總結(jié)1．定積分的概念、定積分法求簡單的定積分、定積分的幾何意義．課題：微積分基本定理教學(xué)目標(biāo)：了解牛頓-萊布尼茲公式教學(xué)重點(diǎn)：牛頓-萊布尼茲公式教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)：定積分的概念及計(jì)算二、引入新課我們講過用定積分定義計(jì)算定積分,但其計(jì)算過程比較復(fù)雜，所以不是求定積分的一般方法。我們必須尋求計(jì)算定積分的新方法，也是比較一般的方法。變速直線運(yùn)動(dòng)中位置函數(shù)與速度函數(shù)之間的聯(lián)系設(shè)一物體沿直線作變速運(yùn)動(dòng)，在時(shí)刻t時(shí)物體所在位置為S(t),速度為v(t)（），則物體在時(shí)間間隔內(nèi)經(jīng)過的路程可用速度函數(shù)表示為。另一方面，這段路程還可以通過位置函數(shù)S（t）在上的增量來表達(dá)，即=，且。對于一般函數(shù)，設(shè)，是否也有若上式成立，我們就找到了用的原函數(shù)（即滿足）的數(shù)值差來計(jì)算在上的定積分的方法。定理如果函數(shù)是上的連續(xù)函數(shù)的任意一個(gè)原函數(shù)，則證明：因?yàn)?與都是的原函數(shù)，故-=C（）其中C為某一常數(shù)。令得-=C，且==0即有C=，故=+=-=令，有為了方便起見，還常用表示，即該式稱之為微積分基本公式或牛頓—萊布尼茲公式。它指出了求連續(xù)函數(shù)定積分的一般方法，把求定積分的問題，轉(zhuǎn)化成求原函數(shù)的問題，是微分學(xué)與積分學(xué)之間聯(lián)系的橋梁。計(jì)算解：由于是的一個(gè)原函數(shù)，所以根據(jù)牛頓—萊布尼茲公式有===例2求解因?yàn)?即有一個(gè)原函數(shù)為，所以=例3汽車以每小時(shí)32公里速度行駛，到某處需要減速停車。設(shè)汽車以等減速度=1.8米/秒2剎車，問從開始剎車到停車，汽車走了多少距離？解:首先要求出從剎車開始到停車經(jīng)過了多少時(shí)間。當(dāng)t=0時(shí)，汽車速度=32公里/小時(shí)=米/秒8.88米/秒,剎車后汽車減速行駛,其速度為當(dāng)汽車停住時(shí),速度,故從解得秒于是在這段時(shí)間內(nèi),汽車所走過的距離是=米,即在剎車后,汽車需走過21.90米才能停住.小結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了牛頓-萊布尼茲公式.課題：定積分在幾何中的應(yīng)用一、教學(xué)目標(biāo)：了解定積分的幾何意義及微積分的基本定理.2．掌握利用定積分求曲邊圖形的面積二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：定積分的概念及幾何意義定積分的基本性質(zhì)及運(yùn)算的應(yīng)用三教學(xué)過程：（一）練習(xí)1．若dx=3+ln2，則a的值為（D）A．6 B．4 C．3 D．2．設(shè)，則dx等于（C）A． B． C． D．不存在3．求函數(shù)的最小值解：∵．∴．∴當(dāng)a=–1時(shí)f(a)有最小值1．4．求定分dx．5．怎樣用定積分表示：x=0，x=1，y=0及f(x)=x2所圍成圖形的面積？你能說說定積分的幾何意義嗎？例如的幾何意義是什么?表示軸，曲線及直線，之間的各部分面積的代數(shù)和，在軸上方的面積取正，在軸下方的面積取負(fù)二、新課例1．講解教材例題例2．求曲線y=sinx,x與直線x=0,,x軸所圍成圖形的面積。練習(xí)：1．如右圖，陰影部分面積為（B）A．dx B．dxC．dx D．dx2．求拋物線y=–x2+4x–3及其在點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（3，0）處的切線所圍成的面積．課題：定積分在物理中的應(yīng)用一、教學(xué)目標(biāo)：了解定積分的幾何意義及微積分的基本定理.2．掌握利用定積分求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程、變力做功等物理問題。二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：定積分的概念及幾何意義定積分的基本性質(zhì)及運(yùn)算的應(yīng)用三教學(xué)過程：（一）練習(xí)1．曲線y=x2+2x直線x=–1，x=1及x軸所圍成圖形的面積為（B）．A．B．2C．D．2．曲線y=cosx與兩個(gè)坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積為（D）A．4 B．2 C． D．33．求拋物線y2=x與x–2y–3=0所圍成的圖形的面積．解：如圖：由得A（1，–1），B（9，3）．選擇x作積分變量，則所求面積為==．（二）新課變速直線運(yùn)動(dòng)的路程1．物本做變速度直線運(yùn)動(dòng)經(jīng)過的路程s，等于其速度函數(shù)v=v(t)(v(t)≥0)在時(shí)間區(qū)間[a，b]上的 定積分 ，即．2．質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)瞬時(shí)速度的變化為v(t)=–3sint，則t1=3至t2=5時(shí)間內(nèi)的位移是．（只列式子）3．變速直線運(yùn)動(dòng)的物體的速度v(t)=5–t2，初始位置v(0)=1，前2s所走過的路程為 ．變力作功1．如果物體沿恒力F(x)相同的方向移動(dòng)，那么從位置x=a到x=b變力所做的功W= F（b—a）．2．如果物體沿與變力F(x)相同的方向移動(dòng)，那么從位置x=a到x=b變力所做的功W=．練習(xí)：1．教材練習(xí)2．一物體在力F(x)=（單位：N）的作用下沿與力F(x)做功為（B）A．44J B．46J C．48J D．50J3．證明：