2024秋高中數(shù)學(xué)第三章空間向量與立體幾何3.1空間向量及其運(yùn)算3.1.5空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示達(dá)標(biāo)練習(xí)含解析新人教A版選修2-1

PAGE5-空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．設(shè)M(5，－1，2)，A(4，2，－1)．若eq\o(OM,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為()A．(－1，3，－3) B．(9，1，1)C．(1，－3，3) D．(－9，－1，－1)解析：eq\o(OM,\s\up14(→))＝(5，－1，2)，eq\o(OA,\s\up14(→))＝(4，2，－1)．又eq\o(OM,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))＝eq\o(OB,\s\up14(→))－eq\o(OA,\s\up14(→))，所以eq\o(OB,\s\up14(→))＝eq\o(OM,\s\up14(→))＋eq\o(OA,\s\up14(→))＝(9，1，1).答案：B2．已知eq\o(AB,\s\up14(→))＝(2，4，5)，eq\o(CD,\s\up14(→))＝(3，x，y)，若eq\o(AB,\s\up14(→))∥eq\o(CD,\s\up14(→))，則()A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝eq\f(15,2)C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝eq\f(15,2)答案：D3．點(diǎn)P(x，2，1)到點(diǎn)Q(1，1，2)，R(2，1，1)的距離相等，則x的值為()A.eq\f(1,2) B．1C.eq\f(3,2) D．2答案：B4.如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為1，B1E1＝eq\f(1,4)A1B1，則eq\o(BE1,\s\up14(→))等于()A．(0，eq\f(1,4)，－1)B．(－eq\f(1,4)，0，1)C．(0，－eq\f(1,4)，1)D．(eq\f(1,4)，0，－1)解析：因?yàn)锽(1，1，0)，A1(1，0，1)，B1(1，1，1)．所以E1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,4)，1))，所以eq\o(BE1,\s\up14(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,4)，1)).答案：C5．若a＝(x，2，0)，b＝(3，2－x，x2)，且a與b的夾角為鈍角，則x的取值范圍是()A．x<－4 B．－4<x<0C．0<x<4 D．x>4解析：因?yàn)閍與b的夾角為鈍角，所以a·b＜0所以3x＋2(2－x)＜0，解得x＜－4.若a與b的夾角為180°，則存在λ＜0，使a＝λb(λ＜0)，即(x，2，0)＝λ(3，2－x，x2)所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3λ，,2＝λ（2－x），,0＝λx，))此方程組無解，即a與b不行能共線．答案：A二、填空題6．已知a＝(1，－1，1)，則與向量a共線的單位向量是________．答案：±eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))7．已知向量a＝(－1，0，1)，b＝(1，2，3)，k∈R，若ka－b與b垂直，則k＝________．解析：因?yàn)?ka－b)⊥b，所以(ka－b)·b＝0，所以ka·b－|b|2＝0，所以k(－1×1＋0×2＋1×3)－(eq\r(12＋22＋32))2＝0，解得k＝7.答案：78．若a＝(2，2，0)，b＝(1，3，z)，〈a，b〉＝eq\f(π,3)，則z等于________．解析：cos〈a，b〉＝coseq\f(π,3)＝eq\f(a·b,|a|×|b|)＝eq\f(2×1＋2×3＋0×z,\r(22＋22＋02)×\r(12＋32＋z2))＝eq\f(1,2).所以z＝±eq\r(22).答案：±eq\r(22)三、解答題9．已知關(guān)于x的方程x2－(t－2)x＋t2＋3t＋5＝0有兩個(gè)實(shí)根，a＝(－1，1，3)，b＝(1，0，－2)，c＝a＋tb.當(dāng)|c|取最小值時(shí)，求t的值．解：因?yàn)閤2－(t－2)x＋t2＋3t＋5＝0有兩個(gè)實(shí)根，所以Δ＝(t－2)2－4(t2＋3t＋5)≥0，即－4≤t≤－eq\f(4,3).又c＝(－1，1，3)＋t(1，0，－2)＝(－1＋t，1，3－2t)，所以|c|＝eq\r(（－1＋t）2＋12＋（3－2t）2)＝eq\r(5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(7,5)))\s\up12(2)＋\f(6,5)).因?yàn)閠∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－4，－\f(4,3)))時(shí)，上述關(guān)于t的函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)t＝－eq\f(4,3)時(shí)，|c|取最小值eq\f(\r(347),3).10．已知空間三點(diǎn)A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)，求以eq\o(AB,\s\up14(→))，eq\o(AC,\s\up14(→))為鄰邊的平行四邊形的面積S.解：因?yàn)閑q\o(AB,\s\up14(→))＝(－2，－1，3)，eq\o(AC,\s\up14(→))＝(1，－3，2)，所以cos〈eq\o(AB,\s\up14(→))，eq\o(AC,\s\up14(→))〉＝eq\f(\o(AB,\s\up14(→))·\o(AC,\s\up14(→)),|\o(AB,\s\up14(→))|·|\o(AC,\s\up14(→))|)＝eq\f(－2＋3＋6,\r(4＋1＋9)·\r(1＋9＋4))＝eq\f(1,2)，所以sin〈eq\o(AB,\s\up14(→))，eq\o(AC,\s\up14(→))〉＝eq\f(\r(3),2)，所以S＝|eq\o(AB,\s\up14(→))|·|eq\o(AC,\s\up14(→))|·sin〈eq\o(AB,\s\up14(→))，eq\o(AC,\s\up14(→))〉＝7eq\r(3)，所以以eq\o(AB,\s\up14(→))，eq\o(AC,\s\up14(→))為鄰邊的平行四邊形的面積為7eq\r(3).B級(jí)實(shí)力提升1．已知eq\o(AB,\s\up14(→))＝(1，5，－2)，eq\o(BC,\s\up14(→))＝(3，1，z)，若eq\o(AB,\s\up14(→))⊥eq\o(BC,\s\up14(→))，eq\o(BP,\s\up14(→))＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，則eq\o(BP,\s\up14(→))等于()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(40,7)，\f(15,7)，－3)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(33,7)，\f(15,7)，－3))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(40,7)，－\f(15,7)，－3)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(33,7)，－\f(15,7)，－3))答案：D2．已知點(diǎn)A(1，－2，11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)，則△ABC的形態(tài)是________．答案：直角三角形3．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，2)，求滿意下列條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)．(1)DB∥AC，DC∥AB；(2)DB⊥AC，DC⊥AB，且AD＝BC.解：設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y，z)，所以eq\o(DB,\s\up14(→))＝(－x，1－y，－z)，eq\o(AC,\s\up14(→))＝(－1，0，2)，eq\o(DC,\s\up14(→))＝(－x，－y，2－z)，eq\o(AB,\s\up14(→))＝(－1，1，0)．(1)因?yàn)镈B∥AC，DC∥AB，所以eq\o(DB,\s\up14(→))∥eq\o(AC,\s\up14(→))，eq\o(DC,\s\up14(→))∥eq\o(AB,\s\up14(→))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(－x,－1)＝－\f(z,2)，,1－y＝0，,\f(－x,－1)＝－\f(y,1)，,2－z＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝1，,z＝2.))所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為(－1，1，2)．(2)因?yàn)閑q\o(AD,\s\up14(→))＝(x－1，y，z)，eq\o(BC,\s\up14(→))＝(0，－1，2)，且DB⊥AC，DC⊥AB，AD＝BC，所以eq\o(DB,\s\up14(→))⊥eq\o(AC,\s\up14(→))，eq\o(DC,\s\up14(→))⊥eq\o(AB,\s\up14(→))，且|eq\o(AD,\s\up14(→))|＝|eq\o(BC,\s\up14(→))|，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2z＝0，,x－y＝0，,（x－1）2＋y2＋z2＝5，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4＋4\r(10),9)，,y＝\f(4＋4\r(10),9)，,z＝\f(2＋2\r(10),9)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4－4\r(10),9)，,