2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.1.5向量共線的條件與軸上向量坐標(biāo)運(yùn)算學(xué)案新人教B版必修4

PAGEPAGE12．1.5向量共線的條件與軸上向量坐標(biāo)運(yùn)算1.了解平行向量的基本內(nèi)容．2.理解平行向量基本定理及軸上向量的坐標(biāo)運(yùn)算．3．駕馭平行向量基本定理及軸上向量的坐標(biāo)公式并會運(yùn)用定理、公式解決實際問題．[學(xué)生用書P41])1．向量共線的條件(1)平行向量基本定理：假如a＝λb，則a∥b；反之，假如a∥b，且b≠0，則肯定存在唯一一個實數(shù)λ，使a＝λb．(2)單位向量：給定一個非零向量a，與a同方向且長度等于1的向量，叫做向量a的單位向量．假如a的單位向量記作a0，由數(shù)乘向量的定義可知a＝|a|a0或a0＝eq\f(a,|a|)．2．軸上向量的坐標(biāo)及其運(yùn)算(1)軸上向量的坐標(biāo)①規(guī)定了方向和長度單位的直線叫做軸．②已知軸l，取單位向量e，使e的方向與l同方向，對軸上隨意向量a，肯定存在唯一實數(shù)x，使a＝xe．單位向量e叫做軸l的基向量．x叫做a在l上的坐標(biāo)(或數(shù)量)．x的肯定值等于a的長，當(dāng)a與e同方向時，x是正數(shù)，當(dāng)a與e反方向時，x是負(fù)數(shù)．③給定單位向量e，能生成與它平行的全部向量的集合{xe|x∈R}．(2)軸上向量的坐標(biāo)運(yùn)算①軸上兩個向量相等的法則：軸上兩個向量相等的條件是它們的坐標(biāo)相等，即設(shè)a＝x1e，b＝x2e，則a＝b?x1＝x2．②軸上求兩個向量和的法則：軸上兩個向量和的坐標(biāo)等于兩個向量的坐標(biāo)的和，即設(shè)a＝x1e，b＝x2e，則a＋b＝(x1＋x2)e．假如設(shè)e是軸l上的一個基向量，eq\o(AB,\s\up6(→))的坐標(biāo)又常用AB表示．此時eq\o(AB,\s\up6(→))＝ABe，明顯eq\o(BA,\s\up6(→))＝BAe，AB與BA肯定值相同，符號相反，即AB＋BA＝0.一般地，對于軸上的隨意三點A、B、C，有AB＋BC＝AC．③軸上向量的坐標(biāo)和數(shù)軸上兩點間的距離公式：軸上向量的坐標(biāo)等于向量終點的坐標(biāo)減去始點的坐標(biāo)．在數(shù)軸x上，已知點A的坐標(biāo)為x1，點B的坐標(biāo)為x2，于是得AB＝AO＋OB＝－OA＋OB＝x2－x1．所以數(shù)軸上兩點A、B的距離公式為|AB|＝|x2－x1|．1．若數(shù)軸上，A，B兩點的坐標(biāo)分別是3，5，則A，B兩點的距離為()A．8 B．2C．3 D．－2解析：選B.|AB|＝|5－3|＝2.2．?dāng)?shù)軸上點A，B，C的坐標(biāo)分別為－1，1，5，則下列結(jié)論錯誤的是()A．eq\o(AB,\s\up6(→))的坐標(biāo)是2 B．eq\o(CA,\s\up6(→))＝－3eq\o(AB,\s\up6(→))C．eq\o(CB,\s\up6(→))的坐標(biāo)是4 D．eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))解析：選C.eq\o(CB,\s\up6(→))的坐標(biāo)為CB＝xB－xC＝1－5＝－4.3．已知向量a＝2e，b＝－e，則a與b________．(填“共線”或“不共線”)答案：共線軸上向量的坐標(biāo)及長度計算[學(xué)生用書P42]已知數(shù)軸上四點A、B、C、D的坐標(biāo)分別是－4、－2、c、d.(1)若AC＝5，求c的值；(2)若|BD|＝8，求d的值；(3)若eq\o(AC,\s\up6(→))＝－3eq\o(AD,\s\up6(→))，求證：3eq\o(CD,\s\up6(→))＝－4eq\o(AC,\s\up6(→)).【解】(1)因為AC＝5，所以c－(－4)＝5，所以c＝1.(2)因為|BD|＝8，所以|d－(－2)|＝8，即d＋2＝8或d＋2＝－8，所以d＝6或d＝－10.(3)證明：法一：因為eq\o(AC,\s\up6(→))＝c＋4，eq\o(AD,\s\up6(→))＝d＋4，又eq\o(AC,\s\up6(→))＝－3eq\o(AD,\s\up6(→))，所以c＋4＝－3(d＋4)，即c＝－3d－16.這時3eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(d－c)＝3d－3c＝3d－3(－3d－16)＝12d＋48，－4eq\o(AC,\s\up6(→))＝－4[c－(－4)]＝－4c－16＝－4(－3d－16)－16＝12d＋48，所以3eq\o(CD,\s\up6(→))＝－4eq\o(AC,\s\up6(→)).法二：因為eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，而eq\o(AC,\s\up6(→))＝－3eq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\o(CD,\s\up6(→))＝－(－3eq\o(AD,\s\up6(→)))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝4eq\o(AD,\s\up6(→))，所以3eq\o(CD,\s\up6(→))＝12eq\o(AD,\s\up6(→))，又－4eq\o(AC,\s\up6(→))＝－4×(－3eq\o(AD,\s\up6(→)))＝12eq\o(AD,\s\up6(→))，故3eq\o(CD,\s\up6(→))＝－4eq\o(AC,\s\up6(→)).eq\a\vs4\al()解答本題時利用數(shù)軸上點的坐標(biāo)，計算出兩點所對應(yīng)向量的坐標(biāo)，特殊要留意向量坐標(biāo)運(yùn)算公式的依次，還要留意模運(yùn)算中可能會出現(xiàn)的兩種情形．已知數(shù)軸上A、B兩點的坐標(biāo)為x1、x2，求eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(BA,\s\up6(→))的坐標(biāo)和長度．(1)x1＝－8，x2＝5；(2)x1＝3.8，x2＝－1.7.解：(1)因為x1＝－8，x2＝5，所以AB＝5－(－8)＝13，BA＝－8－5＝－13，所以eq\o(AB,\s\up6(→))的坐標(biāo)為13，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝13，eq\o(BA,\s\up6(→))的坐標(biāo)為－13，|eq\o(BA,\s\up6(→))|＝13.(2)eq\o(AB,\s\up6(→))的坐標(biāo)為－5.5，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝5.5，eq\o(BA,\s\up6(→))的坐標(biāo)為5.5，|eq\o(BA,\s\up6(→))|＝5.5.平行向量基本定理的應(yīng)用[學(xué)生用書P42]已知非零向量e1，e2不共線．(1)假如eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2e1＋8e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(e1－e2)，求證：A、B、D三點共線；(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共線，試確定實數(shù)k的值．【解】(1)證明：因為eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5eq\o(AB,\s\up6(→)).所以eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))共線，且有公共點B，所以A、B、D三點共線．(2)因為ke1＋e2與e1＋ke2共線，所以存在實數(shù)λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，則(k－λ)e1＝(λk－1)e2，由于e1與e2不共線，只能有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k－λ＝0，,λk－1＝0，))所以k＝±1.eq\a\vs4\al()平行向量基本定理的應(yīng)用(1)推斷兩個向量是否共線可轉(zhuǎn)化為存在性問題．解決存在性問題通常是假設(shè)存在，再依據(jù)已知條件找等量關(guān)系列方程求解．若有解且與題目條件無沖突則存在，反之則不存在．(2)應(yīng)用該定理可證明三點共線、兩直線平行等幾何問題．另一方面當(dāng)已知兩向量共線時應(yīng)用該定理可以找到有關(guān)這兩個向量的等量關(guān)系，為下一步運(yùn)算供應(yīng)一個有利條件．1.已知e1，e2是平面內(nèi)不共線的兩個向量，a＝2e1－3e2，b＝λe1＋6e2，若a，b共線，則λ等于()A．－9 B．－4C．4 D．9解析：選B.由a，b共線知a＝mb，m∈R，于是2e1－3e2＝m(λe1＋6e2)，即(2－mλ)e1＝(6m＋3)e2.由于e1，e2不共線，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6m＋3＝0，,2－mλ＝0，))所以λ＝－4.故選B.2．設(shè)a，b為不共線的兩個非零向量，已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝a－kb，eq\o(CB,\s\up6(→))＝2a＋b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3a－b，若A，B，D三點共線，則實數(shù)k的值等于()A．10 B．－10C．2 D．－2解析：選C.因為A，B，D三點共線，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→))＝λ(eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)))，所以a－kb＝λ(3a－b－2a－b)＝λ(a－2b)，所以λ＝1，k＝2.用平行向量基本定理證明平面幾何問題[學(xué)生用書P43]在如圖所示的梯形ABCD中，AB∥DC，E、F分別是AD、BC的中點．求證：EF∥AB∥DC.【證明】如圖，延長EF到M，使EF＝FM，連接CM，BM，EC，EB，得?ECMB，由平行四邊形法則得eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(EM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→)))．由于AB∥DC，所以eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(DC,\s\up6(→))共線且同向，依據(jù)平行向量基本定理，存在正實數(shù)λ，使eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(DC,\s\up6(→)).由三角形法則得eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))且eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\f(1＋λ,2)eq\o(DC,\s\up6(→))，所以eq\o(EF,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→)).由于E、D不共點，所以EF∥DC∥AB.eq\a\vs4\al()應(yīng)用平行向量基本定理證明直線平行或三點共線時，關(guān)鍵是把一個向量用有關(guān)向量線性表示，同時有機(jī)地結(jié)合向量加減法、數(shù)乘、待定系數(shù)法確定向量等式b＝λa，再結(jié)合圖形完成證明．如圖，在△ABC中，已知eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→)).求證：eq\o(MN,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→)).證明：因為eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\o(MN,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→)).1．證明三點共線的等價命題向量共線定理是證明三點共線的重要工具，即三點共線問題通常轉(zhuǎn)化為向量共線問題．如圖A、B、C三點共線，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，任取直線AC外一點P，則eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→))＝λ(eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→)))，所以eq\o(PB,\s\up6(→))＝λeq\o(PC,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(PA,\s\up6(→))，由此可推出三點共線的等價命題：A、B、C三點共線等價于eq\o(PB,\s\up6(→))＝λeq\o(PC,\s\up6(→))＋μeq\o(PA,\s\up6(→))(λ、μ∈R且λ＋μ＝1)．2．向量平行與直線平行的區(qū)分利用數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義可以得到兩個向量共線的判定定理及性質(zhì)定理，肯定要留意，向量的共線(平行)與直線共線(或平行)的區(qū)分；常用向量共線解決平面幾何中的“平行”或“點共線”問題．在平行向量基本定理中，勿忘條件b≠0；即a∥b且b≠0，則存在唯一實數(shù)λ，使a＝λb成立．若b＝0，則λb＝λ0＝0，則λb只能表示零向量了．1．下列命題正確的是()A．a(chǎn)與b共線，b與c共線，則a與c也共線B．隨意兩個相等的非零向量的始點與終點是一平行四邊形的四頂點C．向量a與b不共線，則a與b都是非零向量D．有相同起點的兩個非零向量不平行解析：選C.由于零向量與任一向量都共線，所以A不正確；由于數(shù)學(xué)中探討的向量是自由向量，所以兩個相等的非零向量可以在同始終線上，而此時就構(gòu)不成四邊形，不是平行四邊形的四個頂點，所以B不正確；向量的平行只要方向相同或相反即可，與起點是否相同無關(guān)，所以D不正確；假如a與b至少有一個是零向量，而零向量與任一向量都共線，可得a與b共線，這與a與b不共線沖突，所以有a與b都是非零向量，所以應(yīng)選C.2．已知數(shù)軸上兩點A、B的坐標(biāo)分別是－1、－4，則AB與|eq\o(AB,\s\up6(→))|分別是()A．－3，3 B．3，3C．3，－3 D．－6，6解析：選A.AB＝－4－(－1)＝－3，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|－3|＝3.3．已知數(shù)軸x上三點A、B、C，且AB＝3，BC＝－4，則AC＝________．解析：AC＝AB＋BC＝3＋(－4)＝－1.答案：－14．若e是a的單位向量，b與e方向相反，且|b|＝3，又|a|＝4，則a＝________b.解析：由題意知b＝－3e，又a＝4e，所以a＝－eq\f(4,3)b.答案：－eq\f(4,3),[學(xué)生用書P109(單獨成冊)])[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．若eq\o(AB,\s\up6(→))＝i＋2j，eq\o(DC,\s\up6(→))＝(3－x)i＋(4－y)j(其中i，j的方向分別與x，y軸正方向相同且為單位向量).eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(DC,\s\up6(→))共線，則x，y的值可能分別為()A．1，2 B．2，2C．3，2 D．2，4解析：選B.由題意知，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，2)，eq\o(DC,\s\up6(→))＝(3－x，4－y)．因為eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→))，所以4－y－2(3－x)＝0，即2x－y－2＝0.只有B選項，x＝2，y＝2代入滿意．故選B.2．已知非零向量e1，e2，a＝e1－e2，b＝2e2－2e1，則()A．a(chǎn)與b相等 B．a(chǎn)與b方向相同C．a(chǎn)與b的模相等 D．a(chǎn)與b共線解析：選D.b＝2(e2－e1)＝－2(e1－e2)＝－2a，所以a∥b且方向相反．3．設(shè)a，b是兩個不共線的非零向量，若8a－kb與－ka＋b共線，則實數(shù)k的值為()A．2eq\r(2) B．－2eq\r(2)C．±2eq\r(2) D．8解析：選C.因為8a－kb與－ka＋b共線，故存在唯一的實數(shù)λ，使得8a－kb＝λ(－ka＋b)．所以有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(8＝－kλ，,－k＝λ，))解得k＝±2eq\r(2).4．已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋5b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，則()A．A、B、D三點共線 B．A、B、C三點共線C．A、C、D三點共線 D．B、C、D三點共線解析：選A.eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b，又eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋5b，所以eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，又eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(BD,\s\up6(→))有公共點B，所以A、B、D三點共線．5．O是平面上的肯定點，A、B、C是平面上不共線的三點，動點P滿意eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(AB,\s\up6(→))|))＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(AC,\s\up6(→))|))))，λ∈[0，＋∞)，則動點P的軌跡肯定過△ABC的()A．內(nèi)心 B．外心C．重心 D．垂心解析：選A.如圖，因為eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(AB,\s\up6(→))|))是向量eq\o(AB,\s\up6(→))的單位向量，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))方向上的單位向量分別為e1和e2，又eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))，則原式可化為eq\o(AP,\s\up6(→))＝λ(e1＋e2)，由菱形的基本性質(zhì)知AP平分∠BAC，那么在△ABC中，AP平分∠BAC.6．已知數(shù)軸上A、B兩點的坐標(biāo)分別為x1、x2，且x1＝3，|BA|＝5，則x2＝________．解析：|BA|＝|x2－x1|＝|x2－3|＝5.所以x2＝8或－2.答案：8或－27．下面給出三個命題：①非零向量a與b共線，則a與b所在的直線平行；②向量a與b共線，則存在唯一實數(shù)λ，使a＝λb；③若a＝λb，則a與b共線．其中真命題的序號為________．解析：①a與b所在的直線有可能是同一條直線，所以此命題錯誤；②若b＝0，則λb＝0，所以λ可取隨意實數(shù)，所以此命題錯誤；③正確．答案：③8．關(guān)于向量a，b有①a＝2e，b＝－2e；②a＝4e1－eq\f(2,5)e2，b＝e1－eq\f(1,10)e2；③a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.(其中e1，e2不共線)其中a與b共線的有________(填上全部正確的序號)．解析：①中a＝－b，所以a∥b；②中a＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e1－\f(1,10)e2))＝4b，所以a∥b；③中不存在實數(shù)λ，使a＝λb，所以a與b不共線．答案：①②9．已知a＝－2c，b＝2c，求證：a∥b.證明：①當(dāng)c＝0時，則a＝－2c＝0.由于“零向量與任一向量平行”且“平行向量也是共線向量”，所以此時a與b共線．②當(dāng)c≠0時，則a＝－2c≠0，b＝2c≠0，所以b＝－a(這時滿意定理中的a≠0，及有且只有一個實數(shù)λ＝－1，使得b＝λa成立)．所以a與b共線．綜合①②可知，a與b共線，即a∥b.10．已知O，A，M，B為平面上四點，且eq\o(OM,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(OA,\s\up6(→))(λ∈R，λ≠1，λ≠0)．(1)求證：A，B，M三點共線．(2)若點B在線段AM上，求實數(shù)λ的取值范圍．解：(1)證明：因為eq\o(OM,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(OA,\s\up6(→))，所以eq\o(OM,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))－λeq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))－λeq\o(OA,\s\up6(→))，即eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，又λ∈R，λ≠1，λ≠0且eq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))有公共點A，所以A，B，M三點共線．(2)由第一問知eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，若點B在線段AM上，則eq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))同向且|eq\o(AM,\s\up6(→))|>|eq\o(AB,\s\up6(→))|(如圖所示)，所以λ>1.[B實力提升]11．設(shè)a，b不共線，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋kb，eq\o(AC,\s\up6(→))＝ma＋b(k，m∈R)，則A，B，C三點共線時有()A．k＝m B．km－1＝0C．km＋1＝0 D．k＋m＝0解析：選B.若A，B，C三點共線，則eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))共線，所以存在唯一實數(shù)λ，使eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，即a＋kb＝λ(ma＋b)，即a＋kb＝λma＋λb，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λm＝1，,λ＝k，))所以km＝1，