2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)單元素養(yǎng)評價第二章直線和圓的方程含解析新人教A版選擇性必修第一冊

PAGE其次章直線和圓的方程(其次章)(120分鐘150分)一、單項選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.點(-1,y1),(2,y2)是直線y=2x+1上的兩點,則y1與y2的大小關(guān)系為 ()A.y1>y2 B.y1<y2C.y1=y2 D.無法推斷【解析】選B.因為y=2x+1是增函數(shù),所以由-1<2,得y1<y2.2.若點P(-4,-2,3)關(guān)于坐標(biāo)平面xOy及y軸的對稱點的坐標(biāo)分別是(a,b,c),(e,f,d),則c與e的和為 ()A.7B.-7C.-1D.1【解析】選D.因為點P(-4,-2,3)關(guān)于坐標(biāo)平面xOy的對稱點為(-4,-2,-3),點P(-4,-2,3)關(guān)于y軸的對稱點的坐標(biāo)為(4,-2,-3),因為點P(-4,-2,3)關(guān)于坐標(biāo)平面xOy及y軸的對稱點的坐標(biāo)分別是(a,b,c),(e,f,d),所以c=-3,e=4,所以c+e=1.3.把直線x-y+QUOTE-1=0繞點(1,QUOTE)逆時針旋轉(zhuǎn)15°后,所得直線l的方程是 ()A.y=-QUOTEx B.y=QUOTExC.x-QUOTEy+2=0 D.x+QUOTEy-2=0【解析】選B.已知直線x-y+QUOTE-1=0的斜率為1,則其傾斜角為45°,所以直線l的傾斜角α=45°+15°=60°,直線l的斜率為tanα=tan60°=QUOTE,所以直線l的方程為y-QUOTE=QUOTE(x-1),即y=QUOTEx.4.已知圓x2+y2+2k2x+2y+4k=0關(guān)于y=x對稱,則k的值為 ()A.-1B.1C.±1D.0【解析】選A.化圓x2+y2+2k2x+2y+4k=0為(x+k2)2+(y+1)2=k4-4k+1.則圓心坐標(biāo)為(-k2,-1),因為圓x2+y2+2k2x+2y+4k=0關(guān)于y=x對稱,所以-k2=-1,得k=±1.當(dāng)k=1時,k4-4k+1<0,不合題意,所以k=-1.5.光線從點A(-3,5)射到x軸上,經(jīng)x軸反射后經(jīng)過點B(2,10),則光線從A到B的路程為 ()A.5QUOTE B.2QUOTE C.5QUOTE D.10QUOTE【解析】選C.點A(-3,5)關(guān)于x軸的對稱點A＇(-3,-5),則光線從A到B的路程即A＇B的長,|A＇B|=QUOTE=5QUOTE,光線從A到B的路程為5QUOTE.6.已知P(-1,2),Q(2,4),直線l:y=kx+3.若P點到直線l的距離等于Q點到直線l的距離,則k= ()A.QUOTE或6 B.QUOTE C.0 D.0或QUOTE【解析】選D.由題可知QUOTE=QUOTE,解得k=0或QUOTE.7.直線l:x+y-2=0與圓O:x2+y2=4交于A,B兩點,O是坐標(biāo)原點,則∠AOB等于()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.依據(jù)題意,圓O:x2+y2=4,圓心為(0,0),半徑r=2,方法一:作出圓O,直線l的圖象如圖,由圖可知∠AOB=90°.方法二:圓心O到直線l:x+y-2=0的距離d=QUOTE=QUOTE,則|AB|=2×QUOTE=2QUOTE,又由|OA|=|OB|=2,則有|OA|2+|OB|2=|AB|2,則∠AOB為直角,即∠AOB=QUOTE.8.已知圓C:x2+y2-2x+m=0與圓(x+3)2+(y+3)2=36內(nèi)切,點P是圓C上一動點,則點P到直線5x+12y+8=0的距離的最大值為 ()A.2 B.3 C.4 【解析】選A.圓C:x2+y2-2x+m=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+y2=1-m,由已知得:6-QUOTE=5,解得m=0,因為圓心C(1,0)到5x+12y+8=0的距離d=QUOTE=1,所以點P到直線5x+12y+8=0的距離的最大值為1+1=2.二、多項選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)9.過點A(1,2)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零,則滿意條件的直線方程有()A.y-x=1 B.y+x=3C.y=2x D.y=-2x【解析】選AC.當(dāng)直線過原點時,可得斜率為QUOTE=2,故直線方程為y=2x;當(dāng)直線不過原點時,設(shè)方程為QUOTE+QUOTE=1,代入點(1,2)可得QUOTE-QUOTE=1,解得a=-1,故方程為x-y+1=0.故所求直線方程為:y=2x或y-x=1.10.已知點A(-2,0),B(2,0),假如直線3x-4y+m=0上有且只有一個點P使得PA⊥PB,那么實數(shù)m可以等于 ()A.4 B.-4 C.10 【解析】選CD.直線3x-4y+m=0上有且只有一個點P使得PA⊥PB,則此直線與圓:x2+y2=4相切.所以QUOTE=2,解得m=±10.11.直線l1:m2x+y+3=0和直線l2:3mx+(m-2)y+m=0,若l1∥l2,則m可以取的值為()A.-1 B.0 C.3 【解析】選AB.由m2(m-2)-3m=0,解得m=0或m=-1或m=3.閱歷證:m=3時,兩條直線重合,舍去.所以m=0或m=-1.12.已知圓O:x2+y2=3.從點A(-2,0)視察點B(2,a),要使視線不被圓O攔住,則a的取值范圍可以是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.(-∞,-4QUOTE) D.(4QUOTE,+∞)【解析】選CD.設(shè)過點A(-2,0)與圓O:x2+y2=3相切的直線為y=k(x+2),則QUOTE=QUOTE,解得k=±QUOTE,所以切線方程為y=±QUOTE(x+2).由A點向圓O引兩條切線,只要點B在切線之外,就不會遮擋,已知B在直線x=2上,在y=±QUOTE(x+2)外,令x=2,得y=±4QUOTE,所以a的取值范圍是(-∞,-4QUOTE)∪(4QUOTE,+∞).三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,將答案填在題中的橫線上)13.若直線l1:y=kx-3與l2:2x+3y-6=0的交點M在第一象限,則直線l1恒過定點;l1的傾斜角α的取值范圍是.

【解析】直線l2:2x+3y-6=0在x軸和y軸上的截距分別為3,2,直線l1:y=kx-3恒過定點(0,-3),如圖:因為kPA=1,所以直線PA的傾斜角為QUOTE,由圖可知,要使直線l1:y=kx-3與l2:2x+3y-6=0的交點M在第一象限,則l1的傾斜角的取值范圍是QUOTE.答案:(0,-3)QUOTE14.若兩平行直線2x+y-4=0與y=-2x-k-2的距離不大于QUOTE,則k的取值范圍是.

【解析】因為兩平行直線2x+y-4=0與y=-2x-k-2的距離不大于QUOTE,即兩平行直線2x+y-4=0與2x+y+k+2=0的距離不大于QUOTE,所以k+2≠-4,且QUOTE≤QUOTE,求得-11≤k≤-1且k≠-6.答案:-11≤k≤-1且k≠-615.已知圓C:x2+y2-2x-4y+1=0與直線l:x+ay+1=0相交所得弦AB的長為4,則a=.

【解析】依據(jù)題意,圓C的方程可化為(x-1)2+(y-2)2=4,圓心C(1,2),半徑r=2;又由弦AB的長為4,則直線l經(jīng)過圓心,則有1+2a+1=0,得a=-1.答案:-1【加練·固】傾斜角為QUOTE且在x軸上的截距為a的直線被圓(x+a)2+y2=4所截得的弦長為2,則a=.【解析】傾斜角為QUOTE且在x軸上的截距為a的直線方程為:y=QUOTE(x-a),即QUOTEx-y-QUOTEa=0,圓心(-a,0)到直線的距離為:QUOTE=|QUOTEa|,所以3a2+1=4,得a=±1.答案:±116.圓C1:(x-m)2+(y+2)2=9與圓C2:(x+1)2+(y-m)2=4內(nèi)切,則m的值為.

【解析】圓C1的圓心為(m,-2),半徑為r1=3,圓C2的圓心為(-1,m),半徑為r2=2,所以兩圓的圓心距d=QUOTE,因為兩圓內(nèi)切,所以QUOTE=1,解得m=-2或m=-1.答案:-2或-1四、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟)17.(10分)已知點A(-2,2),直線l1:3x-4y+2=0.(1)求過點A且與直線l1垂直的直線方程.(2)直線l2為過點A且和直線l1平行的直線,求平行直線l1,l2的距離.【解析】(1)設(shè)過點A且與直線l1垂直的直線方程為4x+3y+m=0.把點A的坐標(biāo)代入可得:-8+6+m=0,解得m=2.所以過點A且與直線l1垂直的直線方程為4x+3y+2=0.(2)設(shè)過點A且和直線l1平行的直線l2的方程為:3x-4y+n=0.把點A的坐標(biāo)代入可得:-6-8+n=0,解得n=14.所以直線l2的方程為:3x-4y+14=0.所以平行直線l1,l2的距離d=QUOTE=QUOTE.18.(12分)已知直線l:(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0.(1)求證:不論m為何實數(shù),直線l恒過肯定點.(2)過點M(-1,-2)作一條直線l1,使l1夾在兩坐標(biāo)軸之間的線段被M點平分,求直線l1的方程.【解析】(1)因為m(x-2y-3)+2x+y+4=0,所以由題意得QUOTE解得QUOTE所以直線l恒過定點(-1,-2).(2)設(shè)所求直線l1的方程為y+2=k(x+1),直線l1與x軸、y軸交于A,B兩點,則AQUOTE,B(0,k-2),因為AB的中點為M,所以QUOTE解得k=-2,所以所求直線l1的方程為2x+y+4=0.19.(12分)如圖,面積為8的平行四邊形ABCD,A為坐標(biāo)原點,B的坐標(biāo)為(2,-1),C,D均在第一象限.(1)求直線CD的方程.(2)若|BC|=QUOTE,求點D的橫坐標(biāo).【解析】(1)由題意,kAB=kCD=-QUOTE,所以設(shè)直線CD的方程為y=-QUOTEx+m,即x+2y-2m=0,因為S?ABCD=8,|AB|=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,所以m=±4,由題圖可知m>0,所以直線CD的方程為y=-QUOTEx+4,即x+2y-8=0.(2)設(shè)D(a,b),若|BC|=QUOTE,則|AD|=QUOTE,所以QUOTE所以點D的橫坐標(biāo)a=1.2或2.20.(12分)如圖,已知圓C與x軸相切于點T(1,0),與y軸正半軸交于兩點A,B(B在A的上方),且|AB|=2.(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)求圓C在點B處的切線方程.【解析】(1)如圖所示,過點C作CM⊥AB于M,連接AC,則|CM|=|OT|=1,|AM|=QUOTE|AB|=1,所以圓的半徑r=|AC|=QUOTE,從而圓心C(1,QUOTE),即圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y-QUOTE)2=2.(2)令x=0得,y=QUOTE±1,則B(0,QUOTE+1),所以直線BC的斜率為kBC=QUOTE=-1,由直線與圓相切的性質(zhì)知,圓C在點B處的切線的斜率為1,則圓C在點B處的切線方程為y-(QUOTE+1)=1×(x-0),即y=x+QUOTE+1.21.(12分)已知圓C過點M(0,-2),N(3,1),且圓心C在直線x+2y+1=0上.(1)求圓C的方程.(2)設(shè)直線ax-y+1=0與圓C交于A,B兩點,是否存在實數(shù)a,使得過點P(2,0)的直線l垂直平分弦AB?若存在,求出實數(shù)a的值;若不存在,請說明理由.【解析】(1)設(shè)圓C的方程為:x2+y2+Dx+Ey+F=0,則有QUOTE解得QUOTE所以圓C的方程為:x2+y2-6x+4y+4=0.(2)設(shè)符合條件的實數(shù)a存在,由于l垂直平分弦AB,故圓心C(3,-2)必在l上,所以l的斜率kPC=-2,而kAB=a=-QUOTE,所以a=QUOTE.把直線ax-y+1=0即y=ax+1,代入圓C的方程,消去y,整理得(a2+1)x2+6(a-1)x+9=0.由于直線ax-y+1=0交圓C于A,B兩點,故Δ=36(a-1)2-36(a2+1)>0,即-72a>0,解得a<0,則實數(shù)a的取值范圍是(-∞,0),由于QUOTE?(-∞,0),假設(shè)錯誤,故不存在實數(shù)a,使