2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章基本初等函數(shù)Ⅰ3.2.2對(duì)數(shù)函數(shù)學(xué)案新人教B版必修1

PAGEPAGE13．2．2對(duì)數(shù)函數(shù)1．了解對(duì)數(shù)函數(shù)模型所刻畫的數(shù)量關(guān)系．2．理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．3．駕馭對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)．,)1．對(duì)數(shù)函數(shù)的概念函數(shù)y＝logax(a>0，a≠1，x>0)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量．2．對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象性質(zhì)定義域：(0，＋∞)值域：(－∞，＋∞)過(guò)定點(diǎn)(1，0)，即當(dāng)__x＝1__時(shí)，y＝0在(0，＋∞)上是增函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)1．函數(shù)y＝log2x的圖象大致是()答案：C2．若a>0且a≠1，則函數(shù)y＝loga(x－1)－1的圖象恒過(guò)點(diǎn)________．答案：(2，－1)3．指出下列函數(shù)哪些是對(duì)數(shù)函數(shù)．(1)y＝loga(x＋2)(a>0，a≠1)；(2)y＝4log3x；(3)y＝2logax＋1(a>0，a≠1)；(4)y＝log2x．解：(1)(2)(3)都不是，只有(4)是對(duì)數(shù)函數(shù)．4．底數(shù)a的大小改變對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax的圖象有何影響？解：(1)當(dāng)a>1時(shí)，底數(shù)越大，圖象越靠近x軸．(2)當(dāng)0<a<1時(shí)，底數(shù)越小，圖象越靠近x軸．對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域求下列函數(shù)的定義域：(1)y＝log5(1－x)；(2)y＝log1－x5；(3)y＝eq\r(log0.5（8x－6）)．【解】(1)要使函數(shù)式有意義，需1－x>0，解得x<1，所以函數(shù)y＝log5(1－x)的定義域是{x|x<1}．(2)要使函數(shù)式有意義，需eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－x>0,1－x≠1))，解得x<1，且x≠0，所以函數(shù)y＝log1－x5的定義域是{x|x<1，且x≠0}．(3)要使函數(shù)式有意義，需eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(8x－6>0,log0.5（8x－6）≥0))，解得eq\f(3,4)<x≤eq\f(7,8)，所以函數(shù)y＝eq\r(log0.5（8x－6）)的定義域是{x|eq\f(3,4)<x≤eq\f(7,8)}．eq\a\vs4\al()求對(duì)數(shù)型函數(shù)定義域應(yīng)遵循的原則(1)分母不能為0；(2)根指數(shù)為偶數(shù)時(shí)，被開(kāi)方數(shù)非負(fù)；(3)對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，底數(shù)大于0且不為1．求下列函數(shù)的定義域：(1)y＝eq\f(1,lg（x＋1）－3)；(2)y＝eq\r(loga（4x－3）)(a＞0，且a≠1)．解：(1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lg（x＋1）－3≠0，,x＋1＞0))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1≠103，,x＞－1，))所以x＞－1，且x≠999，所以函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x＞－1，且x≠999}．(2)loga(4x－3)≥0?loga(4x－3)≥loga1．當(dāng)a＞1時(shí)，有4x－3≥1，x≥1．當(dāng)0＜a＜1時(shí)，有0＜4x－3≤1，解得eq\f(3,4)＜x≤1．綜上所述，當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)閇1，＋∞)，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)閑q\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1))．比較對(duì)數(shù)值的大小比較下列各組值的大?。?1)logeq\s\do9(\f(1,2))eq\f(4,5)與logeq\s\do9(\f(1,2))eq\f(6,7)；(2)logeq\s\do9(\f(1,2))3與logeq\s\do9(\f(1,5))3；(3)logeq\s\do9(\f(1,3))0．3與log20．8．【解】(1)因?yàn)楹瘮?shù)y＝logeq\s\do9(\f(1,2))x在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，又eq\f(4,5)<eq\f(6,7)，所以logeq\s\do9(\f(1,2))eq\f(4,5)>logeq\s\do9(\f(1,2))eq\f(6,7)．(2)法一：(中間量法)因?yàn)閘og23>log22＝1，0<log53<log55＝1，所以－log23<－1，－log53>－1，所以－log23<－log53，即logeq\s\do9(\f(1,2))3<logeq\s\do9(\f(1,5))3．法二：(數(shù)形結(jié)合法)借助y＝logeq\s\do9(\f(1,2))x及y＝logeq\s\do9(\f(1,5))x的圖象，如圖所示．在(1，＋∞)上，y＝logeq\s\do9(\f(1,2))x在y＝logeq\s\do9(\f(1,5))x的下方，所以logeq\s\do9(\f(1,2))3<logeq\s\do9(\f(1,5))3．(3)由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)知，logeq\s\do9(\f(1,3))0．3>0，log20．8<0，所以logeq\s\do9(\f(1,3))0．3>log20．8．eq\a\vs4\al()比較對(duì)數(shù)值大小的方法比較對(duì)數(shù)值的大小，當(dāng)?shù)讛?shù)相同時(shí)，可構(gòu)造對(duì)數(shù)函數(shù)，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)比較，當(dāng)?shù)讛?shù)不同時(shí)，可借助于中間量來(lái)比較．設(shè)a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，則()A．a(chǎn)<c<b B．b<c<aC．a(chǎn)<b<c D．b<a<c解析：選D．由對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log5x的圖象，可得0<log53<log54<1，所以b＝(log53)2<log54，又c＝log45>1，所以b<a<c．對(duì)數(shù)型函數(shù)的值域求下列函數(shù)的值域：(1)y＝log2(x2－4x＋6)；(2)y＝log2eq\f(1,－x2＋2x＋2)；(3)y＝log2(x2－4x－5)．【解】(1)因?yàn)閤2－4x＋6＝(x－2)2＋2≥2，又f(x)＝log2x在(0，＋∞)上是增函數(shù)，所以log2(x2－4x＋6)≥log22＝1．所以函數(shù)的值域是[1，＋∞)．(2)因?yàn)椋瓁2＋2x＋2＝－(x－1)2＋3≤3，所以eq\f(1,－x2＋2x＋2)<0或eq\f(1,－x2＋2x＋2)≥eq\f(1,3)．因?yàn)檎鏀?shù)大于0，f(x)＝log2x在(0，＋∞)上是增函數(shù)，所以log2eq\f(1,－x2＋2x＋2)≥log2eq\f(1,3)．所以函數(shù)的值域是[log2eq\f(1,3)，＋∞)．(3)因?yàn)閤2－4x－5＝(x－2)2－9≥－9，所以x2－4x－5能取得全部正實(shí)數(shù)．所以函數(shù)y＝log2(x2－4x－5)的值域是R．eq\a\vs4\al()求函數(shù)的值域肯定要留意定義域?qū)λ挠绊懀缓罄煤瘮?shù)的單調(diào)性求之，當(dāng)函數(shù)中含有參數(shù)時(shí)，有時(shí)須要探討參數(shù)的取值．函數(shù)f(x)＝log2(3x＋1)的值域?yàn)?)A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)解析：選A．因?yàn)?x＋1>1，函數(shù)y＝log2x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)>log21＝0，故選A．對(duì)數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性已知函數(shù)y＝logeq\s\do9(\f(1,2))(x2－3x＋2)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．【解】x2－3x＋2>0，令u＝x2－3x＋2，作出其圖象，視察可得x>2或x<1，所以y＝logeq\s\do9(\f(1,2))(x2－3x＋2)的定義域?yàn)閧x|x>2或x<1}．令u(x)＝x2－3x＋2，其對(duì)稱軸為x＝eq\f(3,2)，所以u(píng)(x)＝x2－3x＋2在(2，＋∞)上為增函數(shù)，在(－∞，1)上為減函數(shù)．因?yàn)閥＝logeq\s\do9(\f(1,2))u在(0，＋∞)上是減函數(shù)，所以y＝f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，1)．eq\a\vs4\al()求形如y＝logaf(x)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟(1)求出函數(shù)的定義域；(2)探討函數(shù)t＝f(x)和函數(shù)y＝logat在定義域上的單調(diào)性；(3)推斷出函數(shù)的增減性求出單調(diào)區(qū)間．[留意]要留意對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類探討．已知f(x)＝log4(2x＋3－x2)．(1)求定義域；(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間．解：(1)2x＋3－x2>0，令u＝2x＋3－x2，作出其圖象視察可得－1<x<3．所以f(x)的定義域?yàn)閧x|－1<x<3}．(2)令u＝2x＋3－x2，則u>0，y＝log4u．由于u＝2x＋3－x2＝－(x－1)2＋4，再考慮定義域，可知u＝2x＋3－x2的增區(qū)間是(－1，1]，減區(qū)間是[1，3)．又y＝log4u在(0，＋∞)上為增函數(shù)，故該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－1，1]，單調(diào)遞減區(qū)間為[1，3)．1．對(duì)數(shù)值比較大小的常用方法(1)假如同底，可干脆利用單調(diào)性求解．假如底數(shù)為字母，則要分類探討．(2)假如不同底，一種方法是化為同底的，另一種方法是找尋中間變量．(3)假如不同底但同真，可利用圖象的凹凸與底數(shù)的大小解決或利用換底公式化為同底的再進(jìn)行比較．(4)若底數(shù)和真數(shù)都不相同，則常借助中間量1，0，－1等進(jìn)行比較．2．求對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解決與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題的關(guān)鍵：一是看底數(shù)是否大于1，當(dāng)?shù)讛?shù)未明確給出時(shí)，則應(yīng)對(duì)底數(shù)a是否大于1進(jìn)行探討；二是運(yùn)用復(fù)合法來(lái)推斷其單調(diào)性；三要留意其定義域．1．凡是涉及對(duì)數(shù)的底數(shù)含參數(shù)的問(wèn)題，要留意對(duì)對(duì)數(shù)的底數(shù)進(jìn)行分析，須要分類探討時(shí)，肯定要分類探討．2．要遵循“定義域”優(yōu)先的原則，解對(duì)數(shù)函數(shù)的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，肯定要先求出函數(shù)的定義域，若不求定義域，則簡(jiǎn)單致錯(cuò)，如求值域、單調(diào)區(qū)間等．1．函數(shù)y＝eq\r(log2x)的定義域是()A．(0，1) B．(0，＋∞)C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)解析：選D．log2x≥0?log2x≥log21?x≥1．2．函數(shù)y＝logeq\s\do9(\f(1,2))x(1≤x≤8)的值域是()A．R B．[0，3]C．[－3，0] D．[0，＋∞)答案：C3．比較下列各組數(shù)的大?。?1)log2eq\r(2)________log2eq\r(3)；(2)log32________1；(3)logeq\s\do9(\f(1,3))4________0．答案：(1)＜(2)＜(3)＜4．函數(shù)f(x)＝1－loga(2－x)的圖象恒過(guò)點(diǎn)________．解析：令2－x＝1，得x＝1，此時(shí)y＝1－loga1＝1，所以圖象恒過(guò)點(diǎn)(1，1)．答案：(1，1)[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．下列函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的是()A．y＝loga2x(a>0，a≠1)B．y＝loga(x2＋1)(a>0，a≠1)C．y＝logeq\s\do9(\f(1,a))x(a>0，a≠1)D．y＝2lgx答案：C2．函數(shù)y＝x＋a與y＝logax的圖象只可能是()解析：選C．當(dāng)a>1時(shí)，y＝logax為增函數(shù)，且y＝x＋a在y軸上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)a應(yīng)大于1，故解除B、D．當(dāng)0<a<1時(shí)，y＝logax為減函數(shù)且y＝x＋a在y軸上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)a應(yīng)在(0，1)之間．3．函數(shù)y＝logeq\s\do9(\f(1,2))(x2－5x＋6)的單調(diào)增區(qū)間為()A．(eq\f(5,2)，＋∞) B．(3，＋∞)C．(－∞，eq\f(5,2)) D．(－∞，2)解析：選D．x2－5x＋6＞0，令u＝x2－5x＋6，作出二次函數(shù)的圖象，視察可得：x＞3或x＜2，故解除A、C．又y＝logeq\s\do9(\f(1,2))u在(0，＋∞)上是減函數(shù)，且u＝x2－5x＋6在(－∞，2)上是減函數(shù)，故由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減知選D．4．函數(shù)y＝logeq\s\do9(\f(1,5))(1－3x)的值域?yàn)?)A．(－∞，＋∞) B．(－∞，0)C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)解析：選C．因?yàn)?x＞0，所以－3x＜0，所以1－3x＜1．又y＝logeq\s\do9(\f(1,5))t(t＝1－3x)是關(guān)于t的減函數(shù)，所以y＝logeq\s\do9(\f(1,5))t＞logeq\s\do9(\f(1,5))1＝0．選C．5．已知函數(shù)f(x)＝loga(x－m)的圖象過(guò)點(diǎn)(4，0)和(7，1)，則f(x)在定義域上是()A．增函數(shù) B．減函數(shù)C．奇函數(shù) D．偶函數(shù)解析：選A．將點(diǎn)(4，0)和(7，1)代入函數(shù)解析式，有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＝loga（4－m），,1＝loga（7－m）.))解得a＝4和m＝3，則有f(x)＝log4(x－3)．由于定義域是{x|x>3}，則函數(shù)不具有奇偶性．很明顯函數(shù)f(x)在定義域上是增函數(shù)．6．若logaeq\f(3,4)<1(a>0且a≠1)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析：logaeq\f(3,4)<logaa，當(dāng)a>1時(shí)，a>eq\f(3,4)，所以a>1；當(dāng)0<a<1時(shí)，a<eq\f(3,4)，所以0<a<eq\f(3,4)．綜上所述：a的取值范圍是(0，eq\f(3,4))∪(1，＋∞)．答案：(0，eq\f(3,4))∪(1，＋∞)7．函數(shù)y＝log(a－1)x在(0，＋∞)上是減函數(shù)，則a的取值范圍是________．解析：因?yàn)楹瘮?shù)y＝log(a－1)x在(0，＋∞)上為減函數(shù)，所以0＜a－1＜1，即1＜a＜2．答案：(1，2)8．設(shè)a＞1，函數(shù)f(x)＝logax在區(qū)間[a，2a]上的最大值與最小值之差為eq\f(1,2)，則a＝________．解析：因?yàn)閍＞1，所以f(x)＝logax在[a，2a]上遞增，所以loga(2a)－logaa＝eq\f(1,2)，即loga2＝eq\f(1,2)，所以aeq\s\up6(\f(1,2))＝2，a＝4．答案：49．已知函數(shù)f(x)＝logeq\s\do9(\f(1,2))(2x－1)．(1)求函數(shù)f(x)的定義域、值域；(2)若x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(9,2)))，求函數(shù)f(x)的值域．解：(1)由2x－1>0得，x>eq\f(1,2)，函數(shù)f(x)的定義域是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))，值域是R．(2)令u＝2x－1，則由x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(9,2)))知，u∈[1，8]．因?yàn)楹瘮?shù)y＝logeq\s\do9(\f(1,2))u在[1，8]上是減函數(shù)，所以y＝logeq\s\do9(\f(1,2))u∈[－3，0]．所以函數(shù)f(x)在x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(9,2)))上的值域?yàn)閇－3，0]．10．已知函數(shù)f(x)＝logax(a＞0，a≠1)，且f(3)－f(2)＝1．(1)若f(3m－2)＜f(2m＋5)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)求使feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,x)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))成立的x的值．解：因?yàn)閒(3)－f(2)＝1，所以a＝eq\f(3,2)，(1)因?yàn)閍＝eq\f(3,2)＞1，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3m－2＞0，,2m＋5＞0，,3m－2＜2m＋5，))所以eq\f(2,3)＜m＜7．(2)由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,x)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))，即logeq\s\do9(\f(3,2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,x)))＝logeq\s\do9(\f(3,2))eq\f(7,2)，所以x－eq\f(2,x)＝eq\f(7,2)．所以x＝－eq\f(1,2)或x＝4．經(jīng)檢驗(yàn)，x＝－eq\f(1,2)，x＝4滿意題意．[B實(shí)力提升]11．若定義在區(qū)間(－1，0)內(nèi)的函數(shù)f(x)＝log2a(x＋1)滿意f(x)＞0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(0，eq\f(1,2)) B．(0，eq\f(1,2)]C．(eq\f(1,2)，＋∞) D．(0，＋∞)解析：選A．作出函數(shù)f(x)＝log2a(x＋1)的圖象，滿意當(dāng)x∈(－1，0)時(shí)f(x)＞0，如圖所示：所以0＜2a＜1，所以0＜a＜eq\f(1,2)，故選A．12．若函數(shù)f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0，1]上的最大值和最小值之和為a，則a的值為_(kāi)_______．解析：當(dāng)a>1時(shí)，a＋loga2＋1＝a，loga2＝－1，a＝eq\f(1,2)，與a>1沖突；當(dāng)0<a<1時(shí)，1＋a＋loga2＝a，loga2＝－1，a＝eq\f(1,2)．綜上可知，a＝eq\f(1,2)．答案：eq\f(1,2)13．已知函數(shù)f(x)＝loga(3－ax)，(1)當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，函數(shù)f(x)恒有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，2]上為減函數(shù)，并且最大值為1？假如存在，試求出a的值；假如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：(1)由題設(shè)，3－ax>