2025屆江西省臨川一中等高三3月份模擬考試數(shù)學(xué)試題含解析

2025屆江西省臨川一中等高三3月份模擬考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)的圖像上有且僅有四個(gè)不同的關(guān)于直線對稱的點(diǎn)在的圖像上，則的取值范圍是()A． B． C． D．2．設(shè)函數(shù)在定義城內(nèi)可導(dǎo)，的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)的圖象可能為（）A． B．C． D．3．“是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．“一帶一路”是“絲綢之路經(jīng)濟(jì)帶”和“21世紀(jì)海上絲綢之路”的簡稱，旨在積極發(fā)展我國與沿線國家經(jīng)濟(jì)合作關(guān)系，共同打造政治互信、經(jīng)濟(jì)融合、文化包容的命運(yùn)共同體.自2015年以來，“一帶一路”建設(shè)成果顯著.如圖是2015—2019年，我國對“一帶一路”沿線國家進(jìn)出口情況統(tǒng)計(jì)圖，下列描述錯誤的是()A．這五年，出口總額之和比進(jìn)口總額之和大B．這五年，2015年出口額最少C．這五年，2019年進(jìn)口增速最快D．這五年，出口增速前四年逐年下降5．已知集合，，且、都是全集（為實(shí)數(shù)集）的子集，則如圖所示韋恩圖中陰影部分所表示的集合為（）A． B．或C． D．6．正三棱柱中，，是的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角為（）A． B． C． D．7．對于函數(shù)，定義滿足的實(shí)數(shù)為的不動點(diǎn)，設(shè)，其中且，若有且僅有一個(gè)不動點(diǎn)，則的取值范圍是（）A．或 B．C．或 D．8．在中，，則（）A． B． C． D．9．某歌手大賽進(jìn)行電視直播，比賽現(xiàn)場有名特約嘉賓給每位參賽選手評分，場內(nèi)外的觀眾可以通過網(wǎng)絡(luò)平臺給每位參賽選手評分.某選手參加比賽后，現(xiàn)場嘉賓的評分情況如下表，場內(nèi)外共有數(shù)萬名觀眾參與了評分，組織方將觀眾評分按照，，分組，繪成頻率分布直方圖如下：嘉賓評分嘉賓評分的平均數(shù)為，場內(nèi)外的觀眾評分的平均數(shù)為，所有嘉賓與場內(nèi)外的觀眾評分的平均數(shù)為，則下列選項(xiàng)正確的是（）A． B． C． D．10．已知等差數(shù)列中，若，則此數(shù)列中一定為0的是（）A． B． C． D．11．設(shè)是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)（，，），將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的部分圖象如圖所示，則是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．正方體中，是棱的中點(diǎn)，是側(cè)面上的動點(diǎn)，且平面，記與的軌跡構(gòu)成的平面為．①，使得；②直線與直線所成角的正切值的取值范圍是；③與平面所成銳二面角的正切值為；④正方體的各個(gè)側(cè)面中，與所成的銳二面角相等的側(cè)面共四個(gè)．其中正確命題的序號是________．（寫出所有正確命題的序號）14．已知數(shù)列滿足：，，若對任意的正整數(shù)均有，則實(shí)數(shù)的最大值是_____.15．若，則__________．16．四面體中，底面，，，則四面體的外接球的表面積為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知等差數(shù)列和等比數(shù)列的各項(xiàng)均為整數(shù)，它們的前項(xiàng)和分別為，且，.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）求；（3）是否存在正整數(shù)，使得恰好是數(shù)列或中的項(xiàng)？若存在，求出所有滿足條件的的值；若不存在，說明理由.18．（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，若恒成立，求的最大值；（2）記的解集為集合A，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）如圖所示，在三棱柱中，為等邊三角形，，，平面，是線段上靠近的三等分點(diǎn).（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.20．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且平面．（1）求證：；（2）求平面與平面所成二面角的正弦值．21．（12分）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF＝90°，AD＝2，AB＝AF＝2EF＝2，點(diǎn)P在棱DF上．（1）若P是DF的中點(diǎn)，求異面直線BE與CP所成角的余弦值；（2）若二面角D﹣AP﹣C的正弦值為，求PF的長度．22．（10分）的內(nèi)角，，的對邊分別是，，，已知.（1）求角；（2）若，，求的面積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù)對稱關(guān)系可將問題轉(zhuǎn)化為與有且僅有四個(gè)不同的交點(diǎn)；利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性從而得到的圖象；由直線恒過定點(diǎn)，通過數(shù)形結(jié)合的方式可確定；利用過某一點(diǎn)曲線切線斜率的求解方法可求得和，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】關(guān)于直線對稱的直線方程為：原題等價(jià)于與有且僅有四個(gè)不同的交點(diǎn)由可知，直線恒過點(diǎn)當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增由此可得圖象如下圖所示：其中、為過點(diǎn)的曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為由圖象可知，當(dāng)時(shí)，與有且僅有四個(gè)不同的交點(diǎn)設(shè)，，則，解得：設(shè)，，則，解得：，則本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)直線與曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)確定參數(shù)范圍的問題；涉及到過某一點(diǎn)的曲線切線斜率的求解問題；解題關(guān)鍵是能夠通過對稱性將問題轉(zhuǎn)化為直線與曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題，通過確定直線恒過的定點(diǎn)，采用數(shù)形結(jié)合的方式來進(jìn)行求解.2、D【解析】

根據(jù)的圖象可得的單調(diào)性，從而得到在相應(yīng)范圍上的符號和極值點(diǎn)，據(jù)此可判斷的圖象.【詳解】由的圖象可知，在上為增函數(shù)，且在上存在正數(shù)，使得在上為增函數(shù)，在為減函數(shù)，故在有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且在這兩個(gè)零點(diǎn)的附近，有變化，故排除A，B.由在上為增函數(shù)可得在上恒成立，故排除C.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)函數(shù)圖象的識別，此類問題應(yīng)根據(jù)原函數(shù)的單調(diào)性來考慮導(dǎo)函數(shù)的符號與零點(diǎn)情況，本題屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】，令解得當(dāng)，的圖像如下圖當(dāng)，的圖像如下圖由上兩圖可知，是充要條件【考點(diǎn)定位】考查充分條件和必要條件的概念，以及函數(shù)圖像的畫法.4、D【解析】

根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中數(shù)據(jù)的含義進(jìn)行判斷即可.【詳解】對A項(xiàng)，由統(tǒng)計(jì)圖可得，2015年出口額和進(jìn)口額基本相等，而2016年到2019年出口額都大于進(jìn)口額，則A正確；對B項(xiàng)，由統(tǒng)計(jì)圖可得，2015年出口額最少，則B正確；對C項(xiàng)，由統(tǒng)計(jì)圖可得，2019年進(jìn)口增速都超過其余年份，則C正確；對D項(xiàng)，由統(tǒng)計(jì)圖可得，2015年到2016年出口增速是上升的，則D錯誤；故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖和折線統(tǒng)計(jì)圖解決實(shí)際問題，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】

根據(jù)韋恩圖可確定所表示集合為，根據(jù)一元二次不等式解法和定義域的求法可求得集合，根據(jù)補(bǔ)集和交集定義可求得結(jié)果.【詳解】由韋恩圖可知：陰影部分表示，，，.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查集合運(yùn)算中的補(bǔ)集和交集運(yùn)算，涉及到一元二次不等式和函數(shù)定義域的求解；關(guān)鍵是能夠根據(jù)韋恩圖確定所求集合.6、C【解析】

取中點(diǎn)，連接，，根據(jù)正棱柱的結(jié)構(gòu)性質(zhì)，得出//，則即為異面直線與所成角，求出，即可得出結(jié)果.【詳解】解：如圖，取中點(diǎn)，連接，，由于正三棱柱，則底面，而底面，所以，由正三棱柱的性質(zhì)可知，為等邊三角形，所以，且,所以平面，而平面，則，則//，，∴即為異面直線與所成角，設(shè)，則，，，則，∴.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查通過幾何法求異面直線的夾角，考查計(jì)算能力.7、C【解析】

根據(jù)不動點(diǎn)的定義，利用換底公式分離參數(shù)可得；構(gòu)造函數(shù)，并討論的單調(diào)性與最值，畫出函數(shù)圖象，即可確定的取值范圍.【詳解】由得，.令，則，令，解得，所以當(dāng)時(shí)，，則在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則在內(nèi)單調(diào)遞減；所以在處取得極大值，即最大值為，則的圖象如下圖所示：由有且僅有一個(gè)不動點(diǎn)，可得得或，解得或.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)新定義的應(yīng)用，由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性與最值，分離參數(shù)法與構(gòu)造函數(shù)方法的應(yīng)用，屬于中檔題.8、A【解析】

先根據(jù)得到為的重心，從而，故可得，利用可得，故可計(jì)算的值．【詳解】因?yàn)樗詾榈闹匦模?所以,所以，因?yàn)?，所以，故選A．【點(diǎn)睛】對于，一般地，如果為的重心，那么，反之，如果為平面上一點(diǎn)，且滿足，那么為的重心．9、C【解析】

計(jì)算出、，進(jìn)而可得出結(jié)論.【詳解】由表格中的數(shù)據(jù)可知，，由頻率分布直方圖可知，，則，由于場外有數(shù)萬名觀眾，所以，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查平均數(shù)的大小比較，涉及平均數(shù)公式以及頻率分布直方圖中平均數(shù)的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】

將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式，由此確定數(shù)列為的項(xiàng).【詳解】由于等差數(shù)列中，所以，化簡得，所以為.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列的基本量計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】

結(jié)合復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和模長公式求解即可【詳解】∵復(fù)數(shù)，∴，，則，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法、模長、平方運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題12、B【解析】

先根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式,再由平移知識得到的解析式,然后分別找出和的等價(jià)條件,即可根據(jù)充分條件,必要條件的定義求出.【詳解】設(shè),根據(jù)圖象可知,,再由,取,∴.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度,得到函數(shù)的圖象,∴.,,令,則,顯然,∴是的必要不充分條件.故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用圖象求正(余)弦型函數(shù)的解析式,三角函數(shù)的圖形變換,二倍角公式的應(yīng)用,充分條件,必要條件的定義的應(yīng)用,意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①②③④【解析】

取中點(diǎn),中點(diǎn),中點(diǎn),先利用中位線的性質(zhì)判斷點(diǎn)的運(yùn)動軌跡為線段,平面即為平面,畫出圖形,再依次判斷:①利用等腰三角形的性質(zhì)即可判斷；②直線與直線所成角即為直線與直線所成角,設(shè)正方體的棱長為2,進(jìn)而求解；③由,取為中點(diǎn),則,則即為與平面所成的銳二面角,進(jìn)而求解；④由平行的性質(zhì)及圖形判斷即可.【詳解】取中點(diǎn),連接,則,所以,所以平面即為平面,取中點(diǎn),中點(diǎn),連接,則易證得,所以平面平面,所以點(diǎn)的運(yùn)動軌跡為線段,平面即為平面.①取為中點(diǎn),因?yàn)槭堑妊切?所以,又因?yàn)?所以,故①正確；②直線與直線所成角即為直線與直線所成角,設(shè)正方體的棱長為2,當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí),直線與直線所成角最小,此時(shí),；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)或點(diǎn)重合時(shí),直線與直線所成角最大,此時(shí),所以直線與直線所成角的正切值的取值范圍是,②正確；③與平面的交線為,且,取為中點(diǎn),則即為與平面所成的銳二面角,,所以③正確；④正方體的各個(gè)側(cè)面中,平面,平面,平面,平面與平面所成的角相等,所以④正確．故答案為:①②③④【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面的空間位置關(guān)系,考查異面直線成角,二面角,考查空間想象能力與轉(zhuǎn)化思想.14、2【解析】

根據(jù)遞推公式可考慮分析,再累加求出關(guān)于關(guān)于參數(shù)的關(guān)系,根據(jù)表達(dá)式的取值分析出,再用數(shù)學(xué)歸納法證明滿足條件即可.【詳解】因?yàn)?累加可得.若,注意到當(dāng)時(shí),,不滿足對任意的正整數(shù)均有.所以.當(dāng)時(shí),證明：對任意的正整數(shù)都有.當(dāng)時(shí),成立.假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立,即,則,即結(jié)論對也成立.由數(shù)學(xué)歸納法可知,對任意的正整數(shù)都有.綜上可知,所求實(shí)數(shù)的最大值是2.故答案為：2【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)數(shù)列的遞推公式求解參數(shù)最值的問題,需要根據(jù)遞推公式累加求解,同時(shí)注意結(jié)合參數(shù)的范圍問題進(jìn)行分析.屬于難題.15、【解析】

因?yàn)?，由二倍角公式得到，故得到．故答案為?6、【解析】

由題意畫出圖形，補(bǔ)形為長方體，求其對角線長，可得四面體外接球的半徑，則表面積可求．【詳解】解：如圖，在四面體中，底面，，，可得，補(bǔ)形為長方體，則過一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長分別為1，1，，則長方體的對角線長為，則三棱錐的外接球的半徑為1．其表面積為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查多面體外接球表面積的求法，補(bǔ)形是關(guān)鍵，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）；（3）存在，1.【解析】

（1）利用基本量法直接計(jì)算即可；（2）利用錯位相減法計(jì)算；（3），令可得，，討論即可.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為，因?yàn)椋?，即，解得，或（舍去?所以.（2），，所以，所以.（3）由（1）可得，，所以.因?yàn)槭菙?shù)列或中的一項(xiàng)，所以，所以，因?yàn)?，所以，又，則或.當(dāng)時(shí)，有，即，令.則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即.由，知無整數(shù)解.當(dāng)時(shí),有，即存在使得是數(shù)列中的第2項(xiàng)，故存在正整數(shù)，使得是數(shù)列中的項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，涉及到等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)，錯位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，數(shù)列中的存在性問題，是一道較為綜合的題.18、（1）；（2）【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，由題意得到，令，分類討論求得函數(shù)的最小值，即可求得的最大值.（2）由時(shí)，不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，得到，即可求解.【詳解】（1）由題意，當(dāng)時(shí)，由，可得，令，則只需，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故當(dāng)時(shí)，取得最小值，即的最大值為.（2）依題意，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，即在上恒成立，所以，即，即，解得在上恒成立，則，所以，所示實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查了含絕對值的不等式的解法，以及不等式的恒成立問題的求解與應(yīng)用，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及推理與計(jì)算能力.19、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）由，故，所以四邊形為菱形，再通過，證得，所以四邊形為正方形，得到.（2）根據(jù)（1）的論證，建立空間直角坐標(biāo)，設(shè)平面的法向量為，由求得，再由，利用線面角的向量法公式求解.【詳解】（1）因?yàn)?，故，所以四邊形為菱形，而平面，?因?yàn)?，故，故，即四邊形為正方形，?（2）依題意，.在正方形中，，故以為原點(diǎn)，所在直線分別為、、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系；如圖所示：不紡設(shè)，則，又因?yàn)?，所?所以.設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則.于是.又因?yàn)?，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查空間線面的位置關(guān)系、線面成角，還考查空間想象能力以及數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.20、見解析【解析】

（1）如圖，連接，交于點(diǎn)，連接，，則為的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又，所以，從而，，，四點(diǎn)共面．因?yàn)槠矫?，平面，平面平面，所以．又，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以?）因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，又三棱柱是直三棱柱，，所以，，互相垂直，分別以，，的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，所以，，，，所以，，．設(shè)平面的法向量為，則，即，令，可得，，所以平面的一個(gè)法向量為．設(shè)平面的法向量為，則，即，令，可得，，所以平面的一個(gè)法向量為，所以，所以平面與平面所成二面角的正弦值為．21、（1）．（2）．【解析】

（1）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AF為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則（﹣1，0，2），（﹣2，﹣1，1），計(jì)算夾角得到答案.（2）設(shè)，0≤λ≤1，計(jì)算P（0，2λ，2﹣2λ），計(jì)算平面APC的法向量（1，﹣1，），平面ADF的法向量（1，0，0），根據(jù)夾角公式計(jì)算得到答案.【詳解】（1）∵BAF＝90°，∴AF⊥AB，又∵平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF∩平面ABCD＝AB，∴AF⊥平面ABCD，又四邊形ABCD為矩形