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2025屆北師大泉州附中高考?jí)狠S卷數(shù)學(xué)試卷考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋遥?dāng)時(shí),.若,則函數(shù)在上的最大值為()A.4 B.6 C.3 D.82.已知斜率為2的直線l過拋物線C:的焦點(diǎn)F,且與拋物線交于A,B兩點(diǎn),若線段AB的中點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為1,則p=()A.1 B. C.2 D.43.一物體作變速直線運(yùn)動(dòng),其曲線如圖所示,則該物體在間的運(yùn)動(dòng)路程為()m.A.1 B. C. D.24.已知為等差數(shù)列,若,,則()A.1 B.2 C.3 D.65.已知函數(shù),若時(shí),恒成立,則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C. D.6.已知函數(shù)()的最小值為0,則()A. B. C. D.7.近年來,隨著網(wǎng)絡(luò)的普及和智能手機(jī)的更新?lián)Q代,各種方便的相繼出世,其功能也是五花八門.某大學(xué)為了調(diào)查在校大學(xué)生使用的主要用途,隨機(jī)抽取了名大學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,各主要用途與對(duì)應(yīng)人數(shù)的結(jié)果統(tǒng)計(jì)如圖所示,現(xiàn)有如下說法:①可以估計(jì)使用主要聽音樂的大學(xué)生人數(shù)多于主要看社區(qū)、新聞、資訊的大學(xué)生人數(shù);②可以估計(jì)不足的大學(xué)生使用主要玩游戲;③可以估計(jì)使用主要找人聊天的大學(xué)生超過總數(shù)的.其中正確的個(gè)數(shù)為()A. B. C. D.8.下列函數(shù)中,值域?yàn)镽且為奇函數(shù)的是()A. B. C. D.9.某部隊(duì)在一次軍演中要先后執(zhí)行六項(xiàng)不同的任務(wù),要求是:任務(wù)A必須排在前三項(xiàng)執(zhí)行,且執(zhí)行任務(wù)A之后需立即執(zhí)行任務(wù)E,任務(wù)B、任務(wù)C不能相鄰,則不同的執(zhí)行方案共有()A.36種 B.44種 C.48種 D.54種10.大衍數(shù)列,米源于我國古代文獻(xiàn)《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論,主要用于解釋我國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理,數(shù)列中的每一項(xiàng),都代表太極衍生過程中,曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和.已知該數(shù)列前10項(xiàng)是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,則大衍數(shù)列中奇數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式為()A. B. C. D.11.如圖所示,三國時(shí)代數(shù)學(xué)家在《周脾算經(jīng)》中利用弦圖,給出了勾股定理的絕妙證明.圖中包含四個(gè)全等的直角三角形及一個(gè)小正方形(陰影),設(shè)直角三角形有一個(gè)內(nèi)角為,若向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲200顆米粒(大小忽略不計(jì),取),則落在小正方形(陰影)內(nèi)的米粒數(shù)大約為()A.20 B.27 C.54 D.6412.函數(shù)在上的最大值和最小值分別為()A.,-2 B.,-9 C.-2,-9 D.2,-2二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若滿足,則目標(biāo)函數(shù)的最大值為______.14.如圖,某市一學(xué)校位于該市火車站北偏東方向,且,已知是經(jīng)過火車站的兩條互相垂直的筆直公路,CE,DF及圓弧都是學(xué)校道路,其中,,以學(xué)校為圓心,半徑為的四分之一圓弧分別與相切于點(diǎn).當(dāng)?shù)卣顿Y開發(fā)區(qū)域發(fā)展經(jīng)濟(jì),其中分別在公路上,且與圓弧相切,設(shè),的面積為.(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式;(2)當(dāng)為何值時(shí),面積為最小,政府投資最低?15.已知函數(shù),若的最小值為,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________16.已知單位向量的夾角為,則=_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)證明:函數(shù)在上存在唯一的零點(diǎn);(2)若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為1,求的值.18.(12分)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列{}的前項(xiàng)和為,求使成立的的最小值.19.(12分)如圖,三棱錐中,點(diǎn),分別為,的中點(diǎn),且平面平面.求證:平面;若,,求證:平面平面.20.(12分)如圖,在四棱錐中,,,,和均為邊長(zhǎng)為的等邊三角形.(1)求證:平面平面;(2)求二面角的余弦值.21.(12分)已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-2|.若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f(x)(a≠0,a、b∈R)恒成立,求實(shí)數(shù)x的取值范圍.22.(10分)已知函數(shù).(1)當(dāng)a=2時(shí),求不等式的解集;(2)設(shè)函數(shù).當(dāng)時(shí),,求的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
根據(jù)所給函數(shù)解析式滿足的等量關(guān)系及指數(shù)冪運(yùn)算,可得;利用定義可證明函數(shù)的單調(diào)性,由賦值法即可求得函數(shù)在上的最大值.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?,且,則;任取,且,則,故,令,,則,即,故函數(shù)在上單調(diào)遞增,故,令,,故,故函數(shù)在上的最大值為4.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)冪的運(yùn)算及化簡(jiǎn),利用定義證明抽象函數(shù)的單調(diào)性,賦值法在抽象函數(shù)求值中的應(yīng)用,屬于中檔題.2、C【解析】
設(shè)直線l的方程為x=y(tǒng),與拋物線聯(lián)立利用韋達(dá)定理可得p.【詳解】由已知得F(,0),設(shè)直線l的方程為x=y(tǒng),并與y2=2px聯(lián)立得y2﹣py﹣p2=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點(diǎn)C(x0,y0),∴y1+y2=p,又線段AB的中點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為1,則y0(y1+y2)=,所以p=2,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與拋物線的相交弦問題,利用韋達(dá)定理是解題的關(guān)鍵,屬中檔題.3、C【解析】
由圖像用分段函數(shù)表示,該物體在間的運(yùn)動(dòng)路程可用定積分表示,計(jì)算即得解【詳解】由題中圖像可得,由變速直線運(yùn)動(dòng)的路程公式,可得.所以物體在間的運(yùn)動(dòng)路程是.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了定積分的實(shí)際應(yīng)用,考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)形結(jié)合,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.4、B【解析】
利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程組,求出首項(xiàng)和公差,由此能求出.【詳解】∵{an}為等差數(shù)列,,∴,解得=﹣10,d=3,∴=+4d=﹣10+11=1.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式求法,考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.5、D【解析】
通過分析函數(shù)與的圖象,得到兩函數(shù)必須有相同的零點(diǎn),解方程組即得解.【詳解】如圖所示,函數(shù)與的圖象,因?yàn)闀r(shí),恒成立,于是兩函數(shù)必須有相同的零點(diǎn),所以,解得.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象的綜合應(yīng)用和函數(shù)的零點(diǎn)問題,考查不等式的恒成立問題,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.6、C【解析】
設(shè),計(jì)算可得,再結(jié)合圖像即可求出答案.【詳解】設(shè),則,則,由于函數(shù)的最小值為0,作出函數(shù)的大致圖像,結(jié)合圖像,,得,所以.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)的圖像與性質(zhì),考查轉(zhuǎn)化思想,考查數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.7、C【解析】
根據(jù)利用主要聽音樂的人數(shù)和使用主要看社區(qū)、新聞、資訊的人數(shù)作大小比較,可判斷①的正誤;計(jì)算使用主要玩游戲的大學(xué)生所占的比例,可判斷②的正誤;計(jì)算使用主要找人聊天的大學(xué)生所占的比例,可判斷③的正誤.綜合得出結(jié)論.【詳解】使用主要聽音樂的人數(shù)為,使用主要看社區(qū)、新聞、資訊的人數(shù)為,所以①正確;使用主要玩游戲的人數(shù)為,而調(diào)查的總?cè)藬?shù)為,,故超過的大學(xué)生使用主要玩游戲,所以②錯(cuò)誤;使用主要找人聊天的大學(xué)生人數(shù)為,因?yàn)椋寓壅_.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)中相關(guān)命題真假的判斷,計(jì)算出相應(yīng)的頻數(shù)與頻率是關(guān)鍵,考查數(shù)據(jù)處理能力,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】
依次判斷函數(shù)的值域和奇偶性得到答案.【詳解】A.,值域?yàn)椋瞧娣桥己瘮?shù),排除;B.,值域?yàn)?,奇函?shù),排除;C.,值域?yàn)?,奇函?shù),滿足;D.,值域?yàn)?,非奇非偶函?shù),排除;故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的值域和奇偶性,意在考查學(xué)生對(duì)于函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用.9、B【解析】
分三種情況,任務(wù)A排在第一位時(shí),E排在第二位;任務(wù)A排在第二位時(shí),E排在第三位;任務(wù)A排在第三位時(shí),E排在第四位,結(jié)合任務(wù)B和C不能相鄰,分別求出三種情況的排列方法,即可得到答案.【詳解】六項(xiàng)不同的任務(wù)分別為A、B、C、D、E、F,如果任務(wù)A排在第一位時(shí),E排在第二位,剩下四個(gè)位置,先排好D、F,再在D、F之間的3個(gè)空位中插入B、C,此時(shí)共有排列方法:;如果任務(wù)A排在第二位時(shí),E排在第三位,則B,C可能分別在A、E的兩側(cè),排列方法有,可能都在A、E的右側(cè),排列方法有;如果任務(wù)A排在第三位時(shí),E排在第四位,則B,C分別在A、E的兩側(cè);所以不同的執(zhí)行方案共有種.【點(diǎn)睛】本題考查了排列組合問題,考查了學(xué)生的邏輯推理能力,屬于中檔題.10、B【解析】
直接代入檢驗(yàn),排除其中三個(gè)即可.【詳解】由題意,排除D,,排除A,C.同時(shí)B也滿足,,,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查由數(shù)列的項(xiàng)選擇通項(xiàng)公式,解題時(shí)可代入檢驗(yàn),利用排除法求解.11、B【解析】
設(shè)大正方體的邊長(zhǎng)為,從而求得小正方體的邊長(zhǎng)為,設(shè)落在小正方形內(nèi)的米粒數(shù)大約為,利用概率模擬列方程即可求解。【詳解】設(shè)大正方體的邊長(zhǎng)為,則小正方體的邊長(zhǎng)為,設(shè)落在小正方形內(nèi)的米粒數(shù)大約為,則,解得:故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了概率模擬的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題。12、B【解析】
由函數(shù)解析式中含絕對(duì)值,所以去絕對(duì)值并畫出函數(shù)圖象,結(jié)合圖象即可求得在上的最大值和最小值.【詳解】依題意,,作出函數(shù)的圖象如下所示;由函數(shù)圖像可知,當(dāng)時(shí),有最大值,當(dāng)時(shí),有最小值.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值函數(shù)圖象的畫法,由函數(shù)圖象求函數(shù)的最值,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、-1【解析】
由約束條件作出可行域,化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式,數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解,把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案.【詳解】由約束條件作出可行域如圖,化目標(biāo)函數(shù)為,由圖可得,當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí),直線在軸上的截距最大,由得即,則有最大值,故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值,屬簡(jiǎn)單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”:(1)作出可行域(一定要注意是實(shí)線還是虛線);(2)找到目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)點(diǎn)(在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù),最先通過或最后通過的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解);(3)將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.14、(1);(2).【解析】
(1)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則,在中,設(shè),又,故,,進(jìn)而表示直線的方程,由直線與圓相切構(gòu)建關(guān)系化簡(jiǎn)整理得,即可表示OA,OB,最后由三角形面積公式表示面積即可;(2)令,則,由輔助角公式和三角函數(shù)值域可求得t的取值范圍,進(jìn)而對(duì)原面積的函數(shù)用含t的表達(dá)式換元,再令進(jìn)行換元,并構(gòu)建新的函數(shù),由二次函數(shù)性質(zhì)即可求得最小值.【詳解】解:(1)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則,在中,設(shè),又,故,.所以直線的方程為,即.因?yàn)橹本€與圓相切,所以.因?yàn)辄c(diǎn)在直線的上方,所以,所以式可化為,解得.所以,.所以面積為.(2)令,則,且,所以,.令,,所以在上單調(diào)遞減.所以,當(dāng),即時(shí),取得最大值,取最小值.答:當(dāng)時(shí),面積為最小,政府投資最低.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用,應(yīng)優(yōu)先結(jié)合實(shí)際建立合適的數(shù)學(xué)模型,再按模型求最值,屬于難題.15、【解析】
,可得在時(shí),最小值為,時(shí),要使得最小值為,則對(duì)稱軸在1的右邊,且,求解出即滿足最小值為.【詳解】當(dāng),,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.當(dāng)時(shí),為二次函數(shù),要想在處取最小,則對(duì)稱軸要滿足并且,即,解得.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的最值問題,對(duì)每段函數(shù)先進(jìn)行分類討論,找到每段的最小值,然后再對(duì)兩段函數(shù)的最小值進(jìn)行比較,得到結(jié)果,題目較綜合,屬于中檔題.16、【解析】
因?yàn)閱挝幌蛄康膴A角為,所以,所以==.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析;(2)【解析】
(1)求解出導(dǎo)函數(shù),分析導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性,再結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理說明在上存在唯一的零點(diǎn)即可;(2)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn),判斷出的單調(diào)性,從而可確定,利用以及的單調(diào)性,可確定出之間的關(guān)系,從而的值可求.【詳解】(1)證明:∵,∴.∵在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增.又,令,,則在上單調(diào)遞減,,故.令,則所以函數(shù)在上存在唯一的零點(diǎn).(2)解:由(1)可知存在唯一的,使得,即(*).函數(shù)在上單調(diào)遞增.∴當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增.∴.由(*)式得.∴,顯然是方程的解.又∵是單調(diào)遞減函數(shù),方程有且僅有唯一的解,把代入(*)式,得,∴,即所求實(shí)數(shù)的值為.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,其中涉及到判斷函數(shù)在給定區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)以及根據(jù)函數(shù)的最值求解參數(shù),難度較難.(1)判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí),可結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及零點(diǎn)的存在性定理進(jìn)行判斷;(2)函數(shù)的“隱零點(diǎn)”問題,可通過“設(shè)而不求”的思想進(jìn)行分析.18、(1);(2)的最小值為19.【解析】
(1)根據(jù)條件列方程組求出首項(xiàng)、公差,即可寫出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和化簡(jiǎn),利用裂項(xiàng)相消法求和,解不等式即可求解.【詳解】(1)等差數(shù)列的公差設(shè)為,,,可得,,解得,,則;(2),,前n項(xiàng)和為,即,可得,即,則的最小值為19.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,裂項(xiàng)相消法求和,屬于中檔題19、證明見解析;證明見解析.【解析】
利用線面平行的判定定理求證即可;為中點(diǎn),為中點(diǎn),可得,,,可知,故為直角三角形,,利用面面垂直的判定定理求證即可.【詳解】解:證明:為中點(diǎn),為中點(diǎn),,又平面,平面,平面;證明:為中點(diǎn),為中點(diǎn),,又,,則,故為直角三角形,,平面平面,平面平面,,平面,平面,又∵平面,平面平面.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行和面面垂直的判定定理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.20、(1)見證明;(2)【解析】
(1)取的中點(diǎn),連接,要證平面平面,轉(zhuǎn)證平面,即證,即可;(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn),以為軸正方向,建立如圖所示的空間直
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