寧夏吳忠市青銅峽高級中學(xué)2025屆高三3月份模擬考試數(shù)學(xué)試題含解析_第1頁
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文檔簡介

寧夏吳忠市青銅峽高級中學(xué)2025屆高三3月份模擬考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請按要求用筆。3.請按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知是平面內(nèi)互不相等的兩個(gè)非零向量,且與的夾角為,則的取值范圍是()A. B. C. D.2.已知等差數(shù)列的前13項(xiàng)和為52,則()A.256 B.-256 C.32 D.-323.圓心為且和軸相切的圓的方程是()A. B.C. D.4.已知若(1-ai)(3+2i)為純虛數(shù),則a的值為()A. B. C. D.5.設(shè)直線的方程為,圓的方程為,若直線被圓所截得的弦長為,則實(shí)數(shù)的取值為A.或11 B.或11 C. D.6.已知拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)重合,且拋物線的準(zhǔn)線被雙曲線截得的線段長為,那么該雙曲線的離心率為()A. B. C. D.7.已知半徑為2的球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接圓柱,若圓柱的高為2,則球的體積與圓柱的體積的比為()A. B. C. D.8.若,,則的值為()A. B. C. D.9.已知邊長為4的菱形,,為的中點(diǎn),為平面內(nèi)一點(diǎn),若,則()A.16 B.14 C.12 D.810.下列函數(shù)中,圖象關(guān)于軸對稱的為()A. B.,C. D.11.甲、乙兩名學(xué)生的六次數(shù)學(xué)測驗(yàn)成績(百分制)的莖葉圖如圖所示.①甲同學(xué)成績的中位數(shù)大于乙同學(xué)成績的中位數(shù);②甲同學(xué)的平均分比乙同學(xué)的平均分高;③甲同學(xué)的平均分比乙同學(xué)的平均分低;④甲同學(xué)成績的方差小于乙同學(xué)成績的方差.以上說法正確的是()A.③④ B.①② C.②④ D.①③④12.函數(shù)的部分圖像如圖所示,若,點(diǎn)的坐標(biāo)為,若將函數(shù)向右平移個(gè)單位后函數(shù)圖像關(guān)于軸對稱,則的最小值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.函數(shù)的定義域?yàn)開___.14.平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),己知A(3,1),B(-1,3),若點(diǎn)C滿足,其中α,β∈R,且α+β=1,則點(diǎn)C的軌跡方程為15.定義在上的偶函數(shù)滿足,且,當(dāng)時(shí),.已知方程在區(qū)間上所有的實(shí)數(shù)根之和為.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度,得到函數(shù)的圖象,則__________,__________.16.已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),滿足,.,若是等比數(shù)列,數(shù)列的通項(xiàng)公式_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若,設(shè),證明:,,使.18.(12分)設(shè)點(diǎn)分別是橢圓的左,右焦點(diǎn),為橢圓上任意一點(diǎn),且的最小值為1.(1)求橢圓的方程;(2)如圖,直線與軸交于點(diǎn),過點(diǎn)且斜率的直線與橢圓交于兩點(diǎn),為線段的中點(diǎn),直線交直線于點(diǎn),證明:直線.19.(12分)已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;(2)若對任意的,當(dāng)時(shí),都有恒成立,求最大的整數(shù).(參考數(shù)據(jù):)20.(12分)在中,,,.求邊上的高.①,②,③,這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在上面問題中并作答.21.(12分)如圖所示的幾何體中,,四邊形為正方形,四邊形為梯形,,,,為中點(diǎn).(1)證明:;(2)求二面角的余弦值.22.(10分)如圖,為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn),且拋物線上點(diǎn)處的切線與圓相切于點(diǎn)(1)當(dāng)直線的方程為時(shí),求拋物線的方程;(2)當(dāng)正數(shù)變化時(shí),記分別為的面積,求的最小值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】試題分析:如下圖所示,則,因?yàn)榕c的夾角為,即,所以,設(shè),則,在三角形中,由正弦定理得,所以,所以,故選C.考點(diǎn):1.向量加減法的幾何意義;2.正弦定理;3.正弦函數(shù)性質(zhì).2、A【解析】

利用等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)可以求得結(jié)果.【詳解】由,,得.選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì),等差數(shù)列的等和性應(yīng)用能快速求得結(jié)果.3、A【解析】

求出所求圓的半徑,可得出所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】圓心為且和軸相切的圓的半徑為,因此,所求圓的方程為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查圓的方程的求解,一般求出圓的圓心和半徑,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則化簡可得,根據(jù)純虛數(shù)的概念可得結(jié)果.【詳解】由題可知原式為,該復(fù)數(shù)為純虛數(shù),所以.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)的分類,屬基礎(chǔ)題.5、A【解析】

圓的圓心坐標(biāo)為(1,1),該圓心到直線的距離,結(jié)合弦長公式得,解得或,故選A.6、A【解析】

由拋物線的焦點(diǎn)得雙曲線的焦點(diǎn),求出,由拋物線準(zhǔn)線方程被曲線截得的線段長為,由焦半徑公式,聯(lián)立求解.【詳解】解:由拋物線,可得,則,故其準(zhǔn)線方程為,拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的左焦點(diǎn),.拋物線的準(zhǔn)線被雙曲線截得的線段長為,,又,,則雙曲線的離心率為.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的性質(zhì)及利用過雙曲線的焦點(diǎn)的弦長求離心率.弦過焦點(diǎn)時(shí),可結(jié)合焦半徑公式求解弦長.7、D【解析】

分別求出球和圓柱的體積,然后可得比值.【詳解】設(shè)圓柱的底面圓半徑為,則,所以圓柱的體積.又球的體積,所以球的體積與圓柱的體積的比,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何體的體積求解,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).8、A【解析】

取,得到,取,則,計(jì)算得到答案.【詳解】取,得到;取,則.故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,取和是解題的關(guān)鍵.9、B【解析】

取中點(diǎn),可確定;根據(jù)平面向量線性運(yùn)算和數(shù)量積的運(yùn)算法則可求得,利用可求得結(jié)果.【詳解】取中點(diǎn),連接,,,即.,,,則.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的求解問題,涉及到平面向量的線性運(yùn)算,關(guān)鍵是能夠?qū)⑺笙蛄窟M(jìn)行拆解,進(jìn)而利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解.10、D【解析】

圖象關(guān)于軸對稱的函數(shù)為偶函數(shù),用偶函數(shù)的定義及性質(zhì)對選項(xiàng)進(jìn)行判斷可解.【詳解】圖象關(guān)于軸對稱的函數(shù)為偶函數(shù);A中,,,故為奇函數(shù);B中,的定義域?yàn)椋魂P(guān)于原點(diǎn)對稱,故為非奇非偶函數(shù);C中,由正弦函數(shù)性質(zhì)可知,為奇函數(shù);D中,且,,故為偶函數(shù).故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查判斷函數(shù)奇偶性.判斷函數(shù)奇偶性的兩種方法:(1)定義法:對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)都有,則函數(shù)是奇函數(shù);都有,則函數(shù)是偶函數(shù)(2)圖象法:函數(shù)是奇(偶)函數(shù)函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)(軸)對稱.11、A【解析】

由莖葉圖中數(shù)據(jù)可求得中位數(shù)和平均數(shù),即可判斷①②③,再根據(jù)數(shù)據(jù)集中程度判斷④.【詳解】由莖葉圖可得甲同學(xué)成績的中位數(shù)為,乙同學(xué)成績的中位數(shù)為,故①錯(cuò)誤;,,則,故②錯(cuò)誤,③正確;顯然甲同學(xué)的成績更集中,即波動(dòng)性更小,所以方差更小,故④正確,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查由莖葉圖分析數(shù)據(jù)特征,考查由莖葉圖求中位數(shù)、平均數(shù).12、B【解析】

根據(jù)圖象以及題中所給的條件,求出和,即可求得的解析式,再通過平移變換函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱,求得的最小值.【詳解】由于,函數(shù)最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的高度差為,所以函數(shù)的半個(gè)周期,所以,又,,則有,可得,所以,將函數(shù)向右平移個(gè)單位后函數(shù)圖像關(guān)于軸對稱,即平移后為偶函數(shù),所以的最小值為1,故選:B.【點(diǎn)睛】該題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式是解決該題的關(guān)鍵,要求熟練掌握函數(shù)圖象之間的變換關(guān)系,屬于簡單題目.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】由題意得,解得定義域?yàn)椋?4、【解析】

根據(jù)向量共線定理得A,B,C三點(diǎn)共線,再根據(jù)點(diǎn)斜式得結(jié)果【詳解】因?yàn)?且α+β=1,所以A,B,C三點(diǎn)共線,因此點(diǎn)C的軌跡為直線AB:【點(diǎn)睛】本題考查向量共線定理以及直線點(diǎn)斜式方程,考查基本分析求解能力,屬中檔題.15、24【解析】

根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)且,所以的周期為,的實(shí)數(shù)根是函數(shù)和函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),在平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)圖象,根據(jù)函數(shù)的對稱性可得所有實(shí)數(shù)根的和為,從而可得參數(shù)的值,最后求出函數(shù)的解析式,代入求值即可.【詳解】解:因?yàn)闉榕己瘮?shù)且,所以的周期為.因?yàn)闀r(shí),,所以可作出在區(qū)間上的圖象,而方程的實(shí)數(shù)根是函數(shù)和函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),結(jié)合函數(shù)和函數(shù)在區(qū)間上的簡圖,可知兩個(gè)函數(shù)的圖象在區(qū)間上有六個(gè)交點(diǎn).由圖象的對稱性可知,此六個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為,所以,故.因?yàn)?,所?故.故答案為:;【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性的應(yīng)用,函數(shù)方程思想,數(shù)形結(jié)合思想,屬于難題.16、【解析】

利用遞推關(guān)系,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,所以,因?yàn)槭堑缺葦?shù)列,所以數(shù)列的公比為1.又,所以當(dāng)時(shí),有.這說明在已知條件下,可以得到唯一的等比數(shù)列,所以,故答案為:.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有根據(jù)遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式,屬于簡單題目.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析;(2)證明見解析.【解析】

(1),分,,,四種情況討論即可;(2)問題轉(zhuǎn)化為,利用導(dǎo)數(shù)找到與即可證明.【詳解】(1).①當(dāng)時(shí),恒成立,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以,在上是減函數(shù),在上是增函數(shù).②當(dāng)時(shí),,.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以,在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),在上是減函數(shù).③當(dāng)時(shí),,則在上是減函數(shù).④當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以,在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),在上是減函數(shù).(2)由題意,得.由(1)知,當(dāng),時(shí),,.令,,故在上是減函數(shù),有,所以,從而.,,則,令,顯然在上是增函數(shù),且,,所以存在使,且在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),,所以,所以,命題成立.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及證明不等式的問題,考查學(xué)生邏輯推理能力,是一道較難的題.18、(1)(2)見解析【解析】

(1)設(shè),求出后由二次函數(shù)知識(shí)得最小值,從而得,即得橢圓方程;(2)設(shè)直線的方程為,代入橢圓方程整理,設(shè),由韋達(dá)定理得,設(shè),利用三點(diǎn)共線,求得,然后驗(yàn)證即可.【詳解】解:(1)設(shè),則,所以,因?yàn)椋援?dāng)時(shí),值最小,所以,解得,(舍負(fù))所以,所以橢圓的方程為,(2)設(shè)直線的方程為,聯(lián)立,得.設(shè),則,設(shè),因?yàn)槿c(diǎn)共線,又所以,解得.而所以直線軸,即.【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓方程,考查直線與橢圓相交問題.直線與橢圓相交問題,采取設(shè)而不求思想,設(shè),設(shè)直線方程,應(yīng)用韋達(dá)定理,得出,再代入題中需要計(jì)算可證明的式子參與化簡變形.19、(1)(2)2【解析】

(1)先求得切點(diǎn)坐標(biāo),利用導(dǎo)數(shù)求得切線的斜率,由此求得切線方程.(2)對分成,兩種情況進(jìn)行分類討論.當(dāng)時(shí),將不等式轉(zhuǎn)化為,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值(設(shè)為)的取值范圍,由的得在上恒成立,結(jié)合一元二次不等式恒成立,判別式小于零列不等式,解不等式求得的取值范圍.【詳解】(1)已知函數(shù),則處即為,又,,可知函數(shù)過點(diǎn)的切線為,即.(2)注意到,不等式中,當(dāng)時(shí),顯然成立;當(dāng)時(shí),不等式可化為令,則,,所以存在,使.由于在上遞增,在上遞減,所以是的唯一零點(diǎn).且在區(qū)間上,遞減,在區(qū)間上,遞增,即的最小值為,令,則,將的最小值設(shè)為,則,因此原式需滿足,即在上恒成立,又,可知判別式即可,即,且可以取到的最大整數(shù)為2.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程,考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于難題.20、詳見解析【解析】

選擇①,利用正弦定理求得,利用余弦定理求得,再計(jì)算邊上的高.選擇②,利用正弦定理得出,由余弦定理求出,再求邊上的高.選擇③,利用余弦定理列方程求出,再計(jì)算邊上的高.【詳解】選擇①,在中,由正弦定理得,即,解得;由余弦定理得,即,化簡得,解得或(舍去);所以邊上的高為.選擇②,在中,由正弦定理得,又因?yàn)?,所以,即;由余弦定理得,即,化簡得,解得或(舍去);所以邊上的高?選擇③,在中,由,得;由余弦定理得,即,化簡得,解得或(舍去);所以邊上的高為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查真閑的了、余弦定理解三角形,屬于中檔題.21、(1)見解析;(2)【解析】

(1)取的中點(diǎn),結(jié)合三角形中位線和長度關(guān)系,為平行四邊形,進(jìn)而得到,根據(jù)線面平行判定定理可證得結(jié)論;(2)以,,為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,分別求得兩面的法向量,求得法向量夾角的余弦值;根據(jù)二面角為銳角確定最終二面角的余弦值;【詳解】(1)取的中點(diǎn),連結(jié),因?yàn)闉橹悬c(diǎn),,,所以,,∴為平行四邊形,所以,又因?yàn)椋?;?)由題及(1)易知,,兩兩垂直,所以以,,為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,易知面的法向量為設(shè)面的法向量為則可得所以,如圖可知二面角為銳角,所以余弦值為【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中直線與平面平行關(guān)系的證明、空間向量法求解二面角,正確求解法向量是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.22、(1)x2=4y.(2).【解析】試題解析:(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)P(x0,),由x2=2py(p>0)得,y=,求導(dǎo)y′=,因?yàn)橹本€PQ的斜率為1,所以=

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