高中數(shù)學(xué)外接球、內(nèi)切球教學(xué)設(shè)計詳案

立體幾何外接球、內(nèi)切球問題一、 教學(xué)分析：縱觀近幾年高考對于組合體的考查，與球相關(guān)的外接與內(nèi)切問題是高考命題的熱點之一.高考命題小題綜合化傾向尤為明顯，要求學(xué)生有較強的空間想象能力和準確的計算能力，才能順利解答?從實際教學(xué)來看，這部分知識學(xué)生掌握較為薄弱、認識較為模糊，看到就頭疼的題目?分析原因，除了這類題目的入手確實不易之外，主要是學(xué)生沒有形成解題的模式和套路，以至于遇到類似的題目便產(chǎn)生畏懼心理.從近幾年全國高考命題來看，這部分內(nèi)容以選擇題、填空題為主，大題很少見?此部分是重點也是一個難點，建議分兩個課時，第一個課時以基礎(chǔ)的方法為主，第二個課時在第一課時的基礎(chǔ)上進行總結(jié)整理并拓展。二、 學(xué)情分析：學(xué)生在高一必修二教材系統(tǒng)的學(xué)習了立體幾何，這部分內(nèi)容本身對知識掌握的要求就比較高，又是難點，再加上疫情原因，很多同學(xué)不能系統(tǒng)了解和掌握，而一部分學(xué)生也只能解決長方體的外接球問題，稍復(fù)雜一點就不會。三、 教學(xué)目標：知識與技能：學(xué)生學(xué)會用構(gòu)造法解決空間幾何體的外接球、內(nèi)切球問題。過程與方法：學(xué)生建立空間感，體會轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想方法。情感、態(tài)度、價值觀：完善學(xué)生知識體系，增進學(xué)生對數(shù)學(xué)的信心和興趣。四、 教學(xué)重點：學(xué)會轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的思想方法。五、 教學(xué)難點：構(gòu)造法的要點。六、 教學(xué)過程分析教學(xué)內(nèi)容與問題設(shè)置設(shè)計意圖復(fù)習球的體積和表面積公式。球是高考出題的熱點，我們先來復(fù)習一下球的體積公式和表面積公式問：球的問題關(guān)鍵是要研究球心位置和半徑的大小球經(jīng)常和其它幾何體結(jié)合出題，今天我們就來研究一下空間幾何體的外接球問題知識準備

寫題目首先明確：定義1:若一個多面體的各頂點都在一個球的球面上， 則稱這個多面體是這個球的內(nèi)接多面體，這個球是這個多面體的外接球。定義2：若一個多面體的各面都與一個球的球面相切， 則稱這個多面體是這個球的外切多面體，這個球是這個多面體的內(nèi)切球一、外接球問題活動一：1.復(fù)習長方體的外接球問題。 * AC A我們先來看長方體的外接球問題問：一個球要滿足什么條件，我們就把這個球叫做長方體的問：那么球心的位置在哪冋：如果給出長方體的長寬咼，長方體的外接球半徑怎么求（長方體的體對角線長和他的長寬咼什么關(guān)系 ）刁D'B'列BJ外接球復(fù)習基本模型外接球問題。從學(xué)生熟悉的幾何體開始復(fù)習，為進一步學(xué)習做準備。問：如果是正方體，它的體對角線長和棱長什么關(guān)系2.復(fù)習圓柱的外接球問題問：一個球滿足什么條件，我們把它叫做這個圓柱的外接球問：球心的位置在哪問：如果給出圓柱的底面半徑和母線長，怎么求它外接球的半徑.復(fù)習圓錐的外接球問題O.復(fù)習圓錐的外接球問題O問：一個球滿足什么條件，我們把它叫做這個圓錐的外接球問：球心的位置在哪問：如果給出圓錐的底面半徑和母線長，怎么求它外接球的半徑方程：先算出H其實我們一直是在求它們截面的外接圓的半徑，長方體對角面矩形的頂點都在球面上，長方體對角面長方形外接圓的直徑也就是這個長方體外接球的直徑，圓柱和圓錐我們解是它們軸截面圖形外接圓的半徑,把求一個空間幾何體外接球半徑問題轉(zhuǎn)化為求一個截面圖形外接圓半

徑問題的過程這就是我們所說的立體問題平面化三角形的外接圓半徑除了剛才同學(xué)想到在直角三角形中用勾股定理列方程的方法，還有什么方法回想一下解三角形那一章正弦定理：比較正弦定理，不用確定外接圓的圓心活動二:問題1：三棱錐的三條棱PA,PB,PC兩兩垂直，PA1,活動二:問題1：三棱錐的三條棱PA,PB,PC兩兩垂直，PA1,PB2,PC3,則其外接球的半徑為問：三棱錐的的頂點和長方體的頂點之間什么關(guān)系它們的外接球是不是相同的問：球心在哪，半徑怎么求（求長方體體對角線長需要長方體的長寬高，這幾個量我們現(xiàn)在解決一個幾何體的外接球可能有多種辦法，讓學(xué)生發(fā)揮想象，提出各種方法，通過比較生成對結(jié)合體外接球問題的認識。逐步知識體系。知道么）PB垂直底面，它PB垂直底面，它的外接球半徑怎么求底面是長方形，一條側(cè)棱垂直底面的四棱錐，它的外接球半徑怎么求底面是直角三角形的直棱柱，它的外接球半徑怎么求問：剛才這些幾何體我們想到要把它們放到長方體幾何環(huán)境當中去研究，它們的結(jié)構(gòu)有什么共同特點，使你想到這一點的我們把這些幾何體放到長方體這個幾何環(huán)境當中去研究有什么好處呢？1.增強了空間感，如果我們想直接就確定球心的位置， 好不好找,而現(xiàn)在我們找到外接球球心的位置，我們以后再遇到其他立體幾何問題，比如證明線面垂直，點到面的距離等等問題，如果幾何體滿足剛才同學(xué)們說的那些條件，我們也可以考慮把它放到長方體幾何環(huán)境當中，可能會得到意想不到的幫助，2.我們把特殊的幾何體的外接球問題轉(zhuǎn)化為與它同一個外接球的長方體的問題，把一個不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為一個我們熟悉的已經(jīng)解決了的問題，這就是我們所說的特殊問題一般化問題2：三棱柱ABCA'B'C'的底面是邊長為<3的等邊三角形，側(cè)棱垂直底面，側(cè)棱長為2，則該三棱柱的外接球半徑為四個頂點在同一球面四個頂點在同一球面問題4:一個四面體的所有棱長都為 2,上，則此球的表面積為（）A.3B.4C.33D.6有些幾何體可以放到不同的幾何環(huán)境當中去研究

課堂練習：1.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為2.四棱錐PABCD的底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱長為.2，則四棱錐的外接球的表面積為.2，則四棱錐的外接球的表面積為二、內(nèi)切球問題思考正方體有沒有內(nèi)切球？半徑？一般的長方體有沒有內(nèi)切球？半徑？棱錐呢？棱柱呢？規(guī)則的錐體，如正四面體、正棱錐、特殊的一些棱錐等能夠和球進行充分的組合，以外接和內(nèi)切兩種形態(tài)進行結(jié)合，通過球的半徑和棱錐的棱和高產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關(guān)問題2.1球與正四面體正四面體作為一個規(guī)則的幾何體，它既存在外接球，也存在內(nèi)切球,并且兩心合一，利用這點可順利解決球的半徑與正四面體的棱長關(guān)系。如圖4，設(shè)正四面體SABC的棱長為a，內(nèi)切球半徑為r，外接球的半徑為R，取AB的中點為D，E為S在底面的射影，連接CD,SD,SE為正四面體的高。在截面三角形 SDC，作一個與邊SD和DC相切，圓心在高SE上的圓，即為內(nèi)切球的截面。因為正四面體本身的對稱性可知，外接球和內(nèi)切球的球心同為 °。此[2 忑COOSR,°Er,SE I—a,CE——a,時， '3 3則有RrRa,R2r2|CE『二空， R—a,r—a.Y3 3解得： 4 12這個解法是通過利用兩心合一的思路，建立含有兩個球的半徑的等量關(guān)系進行求解?同時我們可以發(fā)現(xiàn)，球心°為正四面體高的四等分點?如果我們牢記這些數(shù)量關(guān)系，可為解題帶來極大的方便例4將半徑都為1的四個鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里，這個正四面體的高的最小值為 （.32,6 26A.3 B.2+ 326C.4+ 34一32,6D. 3耗；*容器四面悴"中的選四■小球，収四十小球為畛心為質(zhì)點枸咸;了一沖-撓?壬為：■:的*對這于四面仲前高眾“申位EF四而悴掀髙（羋）的2倍艮只希三李“球心正舊面體“的底5知“育緒il四荷悴"的他面沽小祿半住1.而"球07四向悴■”頂點?！叭?躍齊四嗇悴"的T'i'士ii-『1=匡Ki3<:卜琳半客的玷育”足址樣厚的?瞰一^T-J、aRJ-十足"宵部正四的咼玷育”足址樣厚的?瞰一^T-J、球的外切正四面體，這個小球球心與外切正四面體的中心重合，而正四面體的中心到頂點的距離是中心到地面距離的 3倍.]三、內(nèi)切球的有關(guān)知識與方法1?若球與平面相切，則切點與球心連線與切面垂直 .（與直線切圓的結(jié)論有一致性）.2.內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點的距離均相等.（類比：與多邊形的內(nèi)切圓）^3?正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合 ^正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上，但不一定重合 ^基本方法：（1） 構(gòu)造三角形利用相似比和勾股定理；（2）體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用做法（ 等體積法）.小結(jié)：1.學(xué)生回顧這節(jié)課復(fù)習到的內(nèi)容2.教師強調(diào)轉(zhuǎn)化的思想在數(shù)學(xué)研究中的應(yīng)用課后作業(yè)：三棱錐的三條棱PA,PB,PC兩兩互相垂直，PA=PB=PC=1則其外接球的體積為 已知三棱錐D—ABC中,AB=BC=,1AD=2BD=乙AC=^,BCLAD則三棱錐的外接球的表面積為（ ）A. InB.6nC.5nD.8n在三棱椎A(chǔ)-BCD中，側(cè)棱AB,AC,AD兩兩垂直，△ABC△ACD△ADB的面積分別為唾，晝，遲，貝夠三棱椎外接222球的表面積為（ ）A.2nB.6nC.丄、nD.24n棱長為2的正四面體的外接球的體積為