5.2.1排列與排列數(shù)課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版選擇性

北師大版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第一冊第五章計(jì)數(shù)原理2.1排列與排列數(shù)課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.通過實(shí)例,理解排列和排列數(shù)的概念.2.能利用分步乘法計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)簡單的排列數(shù).3.能利用畫“樹形圖”法寫出一些簡單問題的所有排列.4.通過學(xué)習(xí)排列的概念,利用“樹形圖”列舉一些簡單問題的所有排列,提升直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)一、排列的概念【問題思考】1.高二(1)班為了安排正、副班長,先由學(xué)生推薦選舉出五名候選人,分別記為A,B,C,D,E,再由班主任選出兩名擔(dān)任正、副班長.請思考問題:(1)若班主任選A,B擔(dān)任正、副班長,有幾種安排方法?提示:兩種,即A為正班長、B為副班長,A為副班長、B為正班長.(2)請你用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算一下班主任共有多少種安排方法.提示:第1步,安排正班長,有5種方法;第2步,安排副班長,有4種方法.因此,根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有5×4=20種.(3)請用“樹形圖”列舉這五名候選人擔(dān)任正、副班長的安排情況.提示:如答圖5-2-1.答圖5-2-12.排列的概念:一般地,從n個不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)個元素,按照

一定的順序

排成一列,叫作從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.3.下列問題中,是排列問題的是(

).A.由1,2,3三個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)B.從40人中選5人組成籃球隊(duì)C.從100人中選2人進(jìn)行抽樣調(diào)查D.從1,2,3,4,5中選2個數(shù)組成集合解析:選項(xiàng)A中組成的三位數(shù)與數(shù)字的排列順序有關(guān),選項(xiàng)B,C,D只需取出元素即可,與元素的排列順序無關(guān).故只有A符合.答案:A二、排列數(shù)的定義【問題思考】1.從寫有1,2,3,4的卡片中選取卡片進(jìn)行數(shù)字游戲,試填寫表5-2-1:表5-2-1問題答案(1)從4個數(shù)字中選取2個,能構(gòu)成多少個無重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)?

(2)從4個數(shù)字中選取3個,能構(gòu)成多少個無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)?

(3)從4個數(shù)字中選取4個,能構(gòu)成多少個無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)?

提示:(1)4×3=12

(2)4×3×2=24(3)4×3×2×1=242.(1)排列數(shù)的定義:我們把從n個不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)個元素的所有

不同排列

的個數(shù),叫作從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù),記作

.(2)排列問題:我們把有關(guān)求排列的

個數(shù)

的問題叫作排列問題.答案:12

6【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在它后面的括號里畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)兩個排列的元素相同,則這兩個排列是相同的排列.(

)(2)從6名學(xué)生中選3名學(xué)生分別參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競賽,共有多少種選法屬于排列問題.(

)(3)有12名學(xué)生參加植樹活動,要求三人一組,共有多少種分組方案屬于排列問題.(

)(4)從3,5,7,9中任取兩個數(shù)進(jìn)行指數(shù)運(yùn)算,可以得到多少個冪屬于排列問題.(

)×√×√合作探究釋疑解惑探究一排列的概念【例1】

判斷下列問題是不是排列問題.(1)北京、上海、廣州三個民航站之間的直達(dá)航線的飛機(jī)票的價格(假設(shè)來回的票價相同)有多少種?(2)從6個小組中選2個小組分別去植樹和種菜,共有多少種安排方式?(3)從6個小組中選2個小組去種菜,共有多少種選法?(4)從60名學(xué)生中選10名學(xué)生組成一個學(xué)習(xí)小組,共有多少種選法?(5)從全班45名學(xué)生中選3名學(xué)生分別擔(dān)任班長、學(xué)習(xí)委員、生活委員,共有多少種安排方式?解:(1)中票價只有三種,以北京—上海和上海—北京為例,雖然機(jī)票是不同的,但票價是一樣的,不存在順序問題,所以不是排列問題.(2)植樹和種菜是不同的,存在順序問題,屬于排列問題.(3)(4)不存在順序問題,不屬于排列問題.(5)中每名學(xué)生的職務(wù)不同,例如甲當(dāng)班長和甲當(dāng)學(xué)習(xí)委員是不同的,存在順序問題,屬于排列問題.所以,上述問題中(2)(5)屬于排列問題.判斷是不是排列問題的關(guān)鍵是選出的元素在被安排時,是否與順序有關(guān).若與順序有關(guān),則是排列問題,否則就不是排列問題.【變式訓(xùn)練1】

判斷下列問題是不是排列問題.(1)某高中高一上學(xué)期某個周一6節(jié)課(這6節(jié)課均不同)的課程安排,共有多少種?(2)在某校的春季運(yùn)動會上,高一(1)班4×100米接力賽的運(yùn)動員的安排,共有多少種?(3)某會場有50個座位,要求選出3個座位,有多少種選法?若選出3個座位分別安排3位客人入座,又有多少種選法?解:(1)(2)均為排列問題,因?yàn)樗鼈兌寂c順序有關(guān).(3)選出3個座位與順序無關(guān),不是排列問題;“入座”問題同“排隊(duì)”問題,與順序有關(guān),故選出3個座位分別安排3位客人入座是排列問題.探究二寫出簡單問題的所有排列【例2】

A,B,C,D

4個人坐成一排照相,有多少種坐法?將它們列出來.解:第1步,第1個位置可以從A,B,C,D四人中任選1人,有4種方法;第2步,第2個位置從剩余三人中任選1人,有3種方法;第3步,第3個位置從剩余二人中任選1人,有2種方法;第4步,第4個位置安排最后一人,有1種方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理,得共有4×3×2×1=24種坐法.畫出樹形圖,如圖如答圖5-2-2.答圖5-2-2由樹形圖可知,所有坐法為ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB,BACD,BADC,BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CADB,CBAD,CBDA,CDAB,CDBA,DACB,DABC,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA,共有24種.1.在本例中,若在條件中增加一條“A不坐排頭”,則結(jié)論如何?解:畫出樹形圖,如答圖5-2-3.由樹形圖可知,所有坐法為BACD,BADC,BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CADB,CBAD,CBDA,CDAB,CDBA,DACB,DABC,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA,共有18種.答圖5-2-32.在本例中,若在條件中增加一條“A不坐排頭和排尾”,則結(jié)論如何?解:畫出樹形圖,如答圖5-2-4.故所有坐法為BACD,BADC,BCAD,BDAC,CABD,CADB,CBAD,CDAB,DABC,DACB,DBAC,DCAB,共有12種.答圖5-2-43.在本例中,若在條件中增加一條“A,B不相鄰”,則結(jié)論如何?解:畫出樹形圖,如答圖5-2-5.由樹形圖可知,所有坐法為ACBD,ACDB,ADBC,ADCB,BCAD,BCDA,

BDAC,BDCA,CADB,CBDA,DACB,DBCA,共有12種.答圖5-2-5利用“樹形圖”解決簡單排列問題的適用范圍及策略(1)適用范圍:樹形圖在解決排列元素個數(shù)不多的問題時,是一種比較有效的表示方式.(2)策略:在操作中先將元素按一定順序排出,然后以先安排哪個元素為分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類,再安排第二個元素,并按此元素分類,依次進(jìn)行,直到完成一個排列,這樣能做到不重不漏,然后再按樹形圖寫出排列.【變式訓(xùn)練2】

從0,1,2,3這4個數(shù)字中,每次取出3個數(shù)字排成一個三位數(shù).(1)能組成多少個不同的三位數(shù)?并寫出這些三位數(shù).(2)若組成的這些三位數(shù)中,1不能在百位上,2不能在十位上,3不能在個位上,則這樣的三位數(shù)共有多少個?并寫出這些三位數(shù).解:(1)組成不同的三位數(shù)可分3步:第1步,選百位上的數(shù)字,0不能排在首位,有3種不同的排法;第2步,選十位上的數(shù)字,有3種不同的排法;第3步,選個位上的數(shù)字,有2種不同的排法.因此,根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有3×3×2=18個不同的三位數(shù).畫出樹形圖,如答圖5-2-6.

答圖5-2-6根據(jù)樹形圖可知,這些三位數(shù)是102,103,120,123,130,132,201,203,210,213,230,231,301,302,310,312,320,321.(2)直接畫出樹形圖,如答圖5-2-7.答圖5-2-7由樹形圖知,符合條件的三位數(shù)有8個:201,210,230,231,301,302,310,312.

易錯辨析忽略限制條件致誤【典例】

由數(shù)字1,2,3,4組成的排列a1a2a3a4中,滿足a1>a2,a3>a2,a3>a4的排列的個數(shù)是

.

錯解:首先注意a1位置的數(shù)比a2位置的數(shù)大,可以借助樹形圖進(jìn)行篩選.滿足a1>a2的排列,如圖5-2-1.圖5-2-1其次滿足a3>a2的排列,如圖5-2-2.圖5-2-2所以滿足條件的排列共有8個:2143,2134,3124,3142,3241,4123,4132,4231.答案:8以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:忽視a3>a4的限制條件而致誤.正解:首先注意a1位置的數(shù)比a2位置的數(shù)大,可以借助樹形圖進(jìn)行篩選.滿足a1>a2的排列,如圖5-2-3.圖5-2-3其次滿足a3>a2的排列,如圖5-2-4.圖5-2-4再次滿足a3>a4的排列有2143,3142,3241,4132,4231,共5個.答案:5解決約束條件比較多的排列問題,常借助樹形圖,將滿足條件的排列一一列舉出來.注意列舉時不要漏掉限制條件.【變式訓(xùn)練】

在編號為1,2,3,4的四塊土地上分別試種編號為1,2,3,4的四個品種的小麥,但1號地不能種1號小麥,2號地不能種2號小麥,3號地不能種3號小麥,則共有

種不同的試種方案.

解析:畫出樹形圖,如答圖5-2-8.答圖5-2-8由樹形圖可知,共有11種不同的試種方案.答案:11隨堂練習(xí)1.(多選題)下列問題屬于排列問題的有(

).A.從1,2,3,4中任取兩個數(shù)作為點(diǎn)的坐標(biāo),共有多少個不同的點(diǎn)B.從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名同學(xué)參加一項(xiàng)活動,共有多少種不同的結(jié)果C.從a,b,c,d4個字母中取出2個字母組成一個密碼,共有多少個密碼D.從數(shù)字5,6,7,8中任取兩個數(shù)分別作對數(shù)logab的底數(shù)與真數(shù),則logab的取值共有多少種解析:根據(jù)排列的概念知A,C,D是排列問題.答案:ACD2.有5名男生和3名女生,從中選出5人分別擔(dān)任語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)學(xué)科的科代表,則不同的選法共有

種.

解析:由題意知,從8人中選出5人擔(dān)任5個學(xué)科的課代表,共有8×7×6×5×4=6

720種不同的選法.答案:6720