湖南省名校聯(lián)考聯(lián)合體2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第四次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

1PAGE第15頁(yè)名校聯(lián)考聯(lián)合體2025屆高三第四次聯(lián)考 數(shù)學(xué) 注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.設(shè)全集，集合，則（）A. B. C. D.2.（）A. B. C. D.3.已知向量，滿足，，且，則（）A. B. C. D.4.已知正四棱錐的頂點(diǎn)都在球上，且棱錐的高和球的半徑均為，則正四棱錐的體積為（）A. B. C. D.5.已知函數(shù)，則的解集為（）A. B.C. D.6.已知函數(shù)，其中，，若圖象上的點(diǎn)與之相鄰的一條對(duì)稱軸為直線，則的值是（）A. B. C. D.7.設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，，的面積為，且為鈍角，，則雙曲線C的方程為（）A. B.C. D.8.已知函數(shù)，若方程恰有5個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.二、選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.設(shè)等差數(shù)列前項(xiàng)和為，公差為，已知，.則（）A. B.C.時(shí)，的最小值為 D.最小時(shí)，10.如圖，在直三棱柱中，，，E，F(xiàn)，G，H分別為，，，的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.，，三線不共點(diǎn)C.與平面所成角為 D.設(shè)，則多面體的體積為111.已知拋物線和的焦點(diǎn)分別為，動(dòng)直線與交于兩點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)，其中，且當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，，則下列說(shuō)法中正確的是（）A.的方程為 B.已知點(diǎn)，則MA+MF1的最小值為C. D.若，則與的面積相等三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）12.曲線在點(diǎn)1,f1處的切線方程為_(kāi)_____.13.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則__________.14.將2個(gè)“0”、2個(gè)“1”和2個(gè)“2”這6個(gè)數(shù)，按從左到右的順序排成一排，則能構(gòu)成__________個(gè)自然數(shù)，在所有構(gòu)成的自然數(shù)中，第一位數(shù)為1的所有自然數(shù)之和為_(kāi)_________.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）15.記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.（1）求A；（2）若，，，求.16已知函數(shù).（1）證明：；（2）設(shè)函數(shù)，證明：函數(shù)有唯一的極值點(diǎn).17.如圖，在直角梯形中，，，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，將沿對(duì)折至，使得，點(diǎn)F是的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求二面角的正弦值.18.電動(dòng)車的安全問(wèn)題越來(lái)越引起廣大消費(fèi)者的關(guān)注，目前電動(dòng)車的電池有石墨烯電池與鉛酸電池兩種.某公司為了了解消費(fèi)者對(duì)兩種電池的電動(dòng)車的偏好，在社會(huì)上隨機(jī)調(diào)查了500名市民，其中被調(diào)查的女性市民中偏好鉛酸電池電動(dòng)車的占，得到以下的2－2列聯(lián)表：偏好石墨烯電池電動(dòng)車偏好鉛酸電池電動(dòng)車合計(jì)男性市民200100女性市民合計(jì)500（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，完成2×2列聯(lián)表，依據(jù)小概率的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為市民對(duì)這兩種電池的電動(dòng)車的偏好與性別有關(guān)；（2）采用分層抽樣的方法從偏好石墨烯電池電動(dòng)車的市民中隨機(jī)抽取7人，再?gòu)倪@7名市民中抽取2人進(jìn)行座談，求在有女性市民參加座談的條件下，恰有一名女性市民參加座談的概率；（3）用頻率估計(jì)概率，在所有參加調(diào)查的市民中按男性和女性進(jìn)行分層抽樣，隨機(jī)抽取5名市民，再?gòu)倪@5名市民中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行座談，記2名參加座談的市民中來(lái)自偏好石墨烯電池電動(dòng)車的男性市民的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：0.1000.05000250.0100.0050.0012.70638415.0246.6357.8791082819.“工藝折紙”是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術(shù)活動(dòng)，在我國(guó)源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，某些折紙活動(dòng)蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容，例如：用一張紙片，按如下步驟折紙：步驟1：在紙上畫一個(gè)圓A，并在圓外取一定點(diǎn)B；步驟2：把紙片折疊，使得點(diǎn)B折疊后與圓A上某一點(diǎn)重合；步驟.3：把紙片展開(kāi)，并得到一條折痕；步驟4：不斷重復(fù)步驟2和3，得到越來(lái)越多的折痕.你會(huì)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)折痕足夠密時(shí)，這些折痕會(huì)呈現(xiàn)出一個(gè)雙曲線的輪廓.若取一張足夠大的紙，畫一個(gè)半徑為2的圓A，并在圓外取一定點(diǎn)B，，按照上述方法折紙，點(diǎn)B折疊后與圓A上的點(diǎn)W重合，折痕與直線交于點(diǎn)E，E的軌跡為曲線T.（1）以所在直線為x軸建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線T的方程；（2）設(shè)曲線T的左、右頂點(diǎn)分別為E，H，點(diǎn)P在曲線T上，過(guò)點(diǎn)P作曲線T的切線l與圓交于M，N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)），記，的斜率分別為，，證明：為定值；（3）F是T的右焦點(diǎn)，若直線n過(guò)點(diǎn)F，與曲線T交于C，D兩點(diǎn)，是否存在x軸上的點(diǎn)，使得直線n繞點(diǎn)F無(wú)論怎么轉(zhuǎn)動(dòng)，都有成立?若存在，求出T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.名校聯(lián)考聯(lián)合體2025屆高三第四次聯(lián)考 數(shù)學(xué) 一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.【答案】B2.【答案】D3.【答案】D4.【答案】B5.【答案】A6.【答案】C7.【答案】B8.【答案】B二、選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.【答案】BC10.【答案】AC11.【答案】BCD三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）12.【答案】13.【答案】14.【答案】①.60②.3333330四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）15.【解析】【分析】（1）由已知，利用正弦定理可得，利用余弦定理可求得，即可求得A；（2）由，可得，利用三角形的面積公式可求得，再利用余弦定理即可求得.【小問(wèn)1詳解】在中，由及正弦定理得，整理得，又由余弦定理得，，因?yàn)?，所?【小問(wèn)2詳解】由，，得，即，解得，由余弦定理可得，，則.16.【解析】【分析】（1）求導(dǎo)分析單調(diào)性，判斷極值即可；（2）構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)分析單調(diào)性，從而得到，即可；【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，定義域?yàn)?,+∞，所以，由于函數(shù)，在0,+∞上均為單調(diào)遞增函數(shù)，所以在0,+∞上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以x∈0,1，f'x<0，x∈所以在0,1上單調(diào)遞減，在1,+∞上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，也是最小值，所以.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，的定義域?yàn)?,+∞，所以.設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，h'x>0，所以hx所以，即，所以.又，且在0,+∞上單調(diào)遞增，所以存在唯一的，使得，即，當(dāng)x∈0,x0時(shí)，，當(dāng)x∈x0,+∞時(shí)，所以函數(shù)Fx有唯一的極值點(diǎn)17.【解析】【分析】（1）根據(jù)幾何關(guān)系，得到，，利用線面垂直的判定得平面，從而得到，根據(jù)題設(shè)有，從而可證得平面，再利用線面垂直的性質(zhì)，即可證明結(jié)果；（2）根據(jù)題設(shè)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面和平面的法向量，再利用面面角的向量法，即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，所以，，所以四邊形是平行四邊形，又，，所以四邊形是正方形，所以，且，所以，且，即，因?yàn)?，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)镕是的中點(diǎn)，，所以，因?yàn)椋?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?【小問(wèn)2詳解】由（1）知，平面，因?yàn)槠矫妫?因?yàn)椋?所以.又，由余弦定理得，因?yàn)椋?，所以，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸，所在直線為y軸，作平面為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，A2,0,0，，，.因?yàn)镕是的中點(diǎn)，所以.所以，，，由（1）知，，又，面所以平面，所以為平面的法向量，設(shè)平面一個(gè)法向量為n=x,y,z，則，所以，取，則，，所以，所以，設(shè)二面角的平面角為，所以，所以二面角的正弦值為.18.【解析】【分析】（1）由題意直接確定列聯(lián)表，計(jì)算，對(duì)比數(shù)據(jù)即可判斷；（2）由條件概率計(jì)算公式即可求解；（3）記“3名被抽取的男性市民中，恰好抽到k人參加座談”記為事件，求得，再由條件概率乘法公式和互斥事件加法公式計(jì)算隨機(jī)變量取每一個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，即可求解；【小問(wèn)1詳解】被調(diào)查的女性市民人數(shù)為，其中偏好鉛酸電池電動(dòng)車的女性市民人數(shù)為.偏好石墨烯電池電動(dòng)車的女性市民人數(shù)為，所以2×2列聯(lián)表為：

偏好石墨烯電池電動(dòng)車偏好鉛酸電池電動(dòng)車合計(jì)男性市民200100300女性市民80120200合計(jì)280220500零假設(shè)：市民對(duì)這兩種電池的電動(dòng)車的偏好與市民的性別無(wú)關(guān)，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可以求得，由于，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為市民對(duì)這兩種電池的電動(dòng)車的偏好與市民的性別有關(guān).【小問(wèn)2詳解】因?yàn)槠檬╇姵仉妱?dòng)車的市民中，男性市民與女性市民的比為，所以采用分層抽樣的方法抽取7的人中，男性市民有5人，女性市民有2人，設(shè)“有女性市民參加座談”為事件A，“恰有一名女性市民參加座談”為事件B，則，，所以.【小問(wèn)3詳解】因?yàn)樗袇⒓诱{(diào)查的市民中，男性市民和女性市民的比為，所以由分層抽樣知，隨機(jī)抽取的5名市民中，男性市民有3人，女性市民有2人.根據(jù)頻率估計(jì)概率知，男性市民偏好石墨烯電池電動(dòng)車的概率為，偏好鉛酸電池電動(dòng)車的概率為，從選出的5名市民中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行座談，則X可能的取值為0，1，2.“3名被抽取的男性市民中，恰好抽到k人參加座談”記為事件，則.“參加座談的2名市民中是偏好石墨烯電池電動(dòng)車的男性市民的人數(shù)恰好為m人”記為事件，則，，，，，，所以，，，故X的分布列如下：X012P.19.“【解析】【分析】（1）以所在直線為x軸，以為x軸的正方向，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)雙曲線定義求出方程即可；（2）直曲聯(lián)立，借助韋達(dá)定理，運(yùn)用斜率公式計(jì)算求解即可；（3）直曲聯(lián)立，借助韋達(dá)定理和數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算公式計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】以所在直線為x軸，以為x軸的正方向，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則，，由折紙方法知，，則，根據(jù)雙曲線的定義，曲線T是以A，B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線，設(shè)其方程，則，，所以，.故曲線T的方程為.【小問(wèn)2詳解】易知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方