2024學年溫州市高三數(shù)學上學期第一次考試卷附答案解析

學年溫州市高三數(shù)學上學期第一次考試卷一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.2.若，則復數(shù)對應的點位于第（）象限A.一 B.二 C.三 D.四3已知平面向量，滿足，，則（）A.1 B. C.2 D.4.若方向向量為的直線與圓相切，則直線的方程可以是（）A. B.C. D.5已知，，則（）A. B.5 C. D.6.已知函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.7.已知數(shù)列通項公式，在其相鄰兩項，之間插入個，得到新的數(shù)列，記的前項和為，則使成立的的最小值為（）A.28 B.29 C.30 D.318.飛行棋是一種家喻戶曉的競技游戲，玩家根據(jù)骰子（骰子為均勻的正六面體）正面朝上的點數(shù)確定飛機往前走的步數(shù)，剛好走到終點處算“到達”，如果玩家投擲的骰子點數(shù)超出到達終點所需的步數(shù)，則飛機須往回走超出點數(shù)對應的步數(shù).在一次游戲中，飛機距終點只剩3步（如圖所示），設該玩家到達終點時投擲骰子的次數(shù)為，則（）A.3 B.4 C.5 D.6二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，微信公眾號：浙江省高中數(shù)學部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.觀察下列散點圖的分布規(guī)律和特點，其中兩個變量存在相關關系的有（）A B.C. D.10.已知，，，，其中，點為平面內(nèi)一點，記點到，的距離分別為，，則下列條件中能使點的軌跡為橢圓的是（）A. B.C. D.11.已知函數(shù)，則（）A. B.當時，C.當時， D.當時，三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在題中的橫線上.12.已知橢圓和雙曲線的焦點相同，則______.13.如圖所示的五面體為《九章算術》中記載的羨除，它指的是墓道或隧道.其中，四邊形，，均為等腰梯形，平面平面，，，，和間的距離為2，和間的距離為4，則該羨除的體積為______.14.已知正項數(shù)列滿足，且，則______.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知.（1）求；（2）若為中點，，，求的周長.16.點在拋物線上，且到拋物線的焦點的距離為.（1）求拋物線的方程；（2）過點的直線交拋物線于，兩點，且，求直線的方程.17.如圖，在三棱柱中，平面平面，平面.（1）求證：；（2）若二面角的正弦值為，且，求.18.已知函數(shù)，.（1）當時，求的最小值；（2）若與在原點處的切線重合，且函數(shù)有且僅有三個極值點，求實數(shù)的取值范圍.19.已知集合.（1）集合，且中的任意三個不同的元素，，都有.（i）當時，寫出一個滿足條件的恰有四個元素的集合；（ii）對于任意給定，求集合中的元素個數(shù)的最大值.（2）已知集合，，且同時滿足以下條件：①，，都有（其中，，）；②，，使得（其中）.求集合中的元素個數(shù).【答案解析】1.C【解析】【分析】將集合用列舉法寫出具體元素，由集合的表達式可知集合的元素，即可得到的結果.【詳解】將集合用列舉法寫出得：，對于集合，由可知：，所以.故選：C.2.D【解析】【分析】先進行復數(shù)化簡，再根據(jù)幾何意義得解.【詳解】，化簡，即,即.根據(jù)復數(shù)幾何意義知道，對應的點為，在第四象限.故選：D.3.D【解析】【分析】由題意，結合計算即可求解.【詳解】由題意知，，，所以.故選：D4.B【解析】【分析】根據(jù)直線的方向向量得出斜率，設點斜式方程，再由圓心到直線距離等于半徑求解.【詳解】由直線的方向向量為知，直線的斜率，設直線方程為，則由直線與圓相切知，圓心到直線的距離，解得或，所以直線的方程為或，即或，故選：B5.B【解析】【分析】運用兩角和與差的正弦公式展開，然后兩式相減、兩式相加各得一個等式，再讓這兩個等式相除并化簡即可求解.【詳解】,兩式相減得,兩式相加得,所以,即,故選：B.6.A【解析】【分析】分析可知當時，的取值范圍是，當時，的最大值為，且注意到趨于負無窮時，也會趨于負無窮，由此即可列出不等式求解.【詳解】當時，的取值范圍是，注意到，則，當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以當時，的最大值為，且注意到趨于負無窮時，也會趨于負無窮，若函數(shù)的值域為，則當且僅當，解得.故選：A.7.B【解析】【分析】根據(jù)題意分析得的項的情況，從而求得，，進而得解.【詳解】由題意，數(shù)列元素依次為，，在到之間3的個數(shù)為，故到處共有35個元素，所以前30項中含，，及26個3，故，而，故成立的最小的為29.故選：B8.D【解析】【分析】先確定分布列，再結合錯位相減法及無窮數(shù)列的和求期望.【詳解】玩家投擲1次即可到達終點的方法是擲出3點，故.玩家投擲2次即可到達終點的方法是擲出，，，，，故.玩家投擲3次即可到達終點的方法是擲出，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，故.設玩家投擲次即可到達終點，那么第次擲得的點數(shù)可以為，分別記作，，，，，則玩家投擲次的基本事件是投擲次的倍，能到達終點的擲法：之前的對應，，，，；對應，，，，；對應，，，，；對應，，，，；對應，，，，.是投擲次即可到達終點的倍.所以是以為首項，以為公比的等比數(shù)列.所以.所以即兩邊同乘以得：兩式相減得：.故選：D【點睛】結論點睛：若數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，當且時，數(shù)列的所有項的和為：.9.ABC【解析】【分析】由相關關系對應的圖形是散點圖，能反映兩個變量的變化規(guī)律才具有相關關系直接可以判斷.【詳解】相關關系對應的圖形是散點圖，ABC都能反映兩個變量的變化規(guī)律，它們都具有相關關系；D中的點散亂地分布在坐標平面內(nèi)，不能反映兩個變量的變化規(guī)律，不具有相關關系．故選：ABC.10.AD【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義可判斷A的真假；求點的軌跡方程，判斷BCD的真假.【詳解】對A：根據(jù)橢圓的定義，，所以點軌跡為橢圓，故A正確；對B：設Px,y，則由，所以點軌跡為圓，故B錯誤；對C：由，分情況去掉絕對值符號，可知點的軌跡為4條線段，不是橢圓，故C錯誤；對D：由，因為，所以點軌跡為橢圓，故D正確.故選：AD11.ACD【解析】【分析】對于A，用和差化積公式及二倍角公式化簡可以判斷；對于B，利用導數(shù)研究的單調性，進而可求的最值；對于C，利用B的單調性比較自變量的大小即可比較函數(shù)值的大??；對于D，運用分析法，多次使用和差化積、積化和差公式即可推導.【詳解】對于A，，由和差化積公式:得：,其中，故所以即A正確；對于B，對求導,，在上，令f'x<0得令f'所以在和單調遞減,在單調遞增,故在區(qū)間上的最大值為,且,故B錯誤；對于C，當時單調遞增,故在上單調遞增,而當時,，且,故正確；對于D，，由和差化積公式:得因為，所以，所以，所以而,,由積化和差得,其中,上述不等式顯然成立，故D正確,故選：ACD【點睛】結論點睛：和差化積與積化和差公式和差化積公式：.積化和差公式：，，，.12.【解析】【分析】根據(jù)雙曲線方程可得，且焦點在x軸上，再結合橢圓方程列式求解即可.【詳解】對于雙曲線，可知其半焦距，且焦點在x軸上，對于橢圓可得，且，解得.故答案為：.13.12【解析】【分析】結合錐體體積體積公式，采用切割法求幾何體體積.【詳解】如圖：連接、則，，所以該羨除的體積為：.故答案為：1214.6069【解析】【分析】首先由遞推關系式得出是以為首項，3為公差的等差數(shù)列，再代入，結合即可求出，最后利用等差數(shù)列的通項公式即可求得答案.【詳解】因為為正項數(shù)列且，①所以，②得，即，所以是以為首項，3為公差的等差數(shù)列，令可得，又，，所以，解得，.故答案為：6069.15.（1）2（2）【解析】【分析】（1）解法1：邊化角之后，再利用兩角和的正弦公式及，得到，得1分，再得出的值.解法2：利用余弦定理，將角化邊，得出，消去，得出結果.解法3：整理成射影定理的結構，化簡得出結果.（2）解法1：利用已知條件和余弦定理，得出，題干已知條件有轉化成，利用余弦定理，得出，解方程得出或者的值，再計算得出周長.解法2：利用，得出，由，得出，解方程得出或者，的值，再計算得出周長.解法3：利用平行四邊形長度，得出，由，得出，解方程得出或者，的值，再計算得出周長.解法4：利用向量關系，得出，由，得出，解方程得出或者，的值，再計算得出周長.解法5：在和分別利用余弦定理，得出，由，得出，解方程得出或者，的值，再計算得出周長.【小問1詳解】解法1：由題意，得則所以因為在中，，所以.解法2：由題意，得，所以，因此因為，所以.解法3：由題意，得所以由射影定理，得因，所以.【小問2詳解】解法1：由已知條件，得.在利用余弦定理，得.所以由余弦定理，得，所以.因此所以的周長為.解法2：因為，所以.因此，所以又由余弦定理，得，所以因此，所以的周長為.解法3：以的邊，為鄰邊將補成平行四邊形，利用平行四邊形長度關系可得，，所以.又由余弦定理，得，所以因此，所以的周長為.解法4：利用向量關系，可得CD因此又由余弦定理，得，所以因此，所以的周長為.解法5：在和分別利用余弦定理，可得.所以又由余弦定理，得，所以因此所以的周長為.16.（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)焦半徑公式及點在拋物線上，列方程組，可求的值.（2）法1：設出直線的方程：，與拋物線方程聯(lián)立，得到，，再根據(jù)，得求的值.法2：設直線的方程：，與拋物線方程聯(lián)立，得到，，再根據(jù)，得得的關系，從而說明直線經(jīng)過定點，再結合直線過拋物線的焦點，可得直線方程.法3：設，，則直線可寫成，根據(jù)及可求出的值，得直線的方程.法4：設，，根據(jù)直線與垂直，可分別設兩直線方程為，，分別與拋物線方程聯(lián)立，把、坐標用表示出來，再結合求的值，進而求出點坐標，結合直線過點，可求直線方程.法5：設，，設直線：與拋物線方程聯(lián)立，可得，再根據(jù)，結合直線過點，可求的值，得直線的方程.【小問1詳解】根據(jù)焦半徑公式可得，所以，又，所以，解得或（舍去），故所求拋物線方程為.【小問2詳解】法1：，，設，，，，所以，，，（舍去），所以即.法2：設，，，，所以，，，，所以過定點，又因為過，所以；法3：，，設，，，，.，，所以.法4：設，，不妨設，，，，同理，，，，又因為過，所以.法5：設，，，，，，，.又因為過，所以，解得，，所以.17.（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）過作于點，然后根據(jù)面面垂直的性質定理得面，然后再利用線面垂直的性質定理得，同理，然后再利用線面垂直的判定定理得面，然后用線面垂直的性質定理得；（2）以為原點，，分別為，軸建立空間直角坐標系，然后利用坐標計算確定位置，計算的長度即可.【小問1詳解】過作于點，因為平面平面，所以面，因為面所以，又因為平面，所以，而面，所以面，因為面所以【小問2詳解】如圖，以為原點，，分別為，軸建立空間直角坐標系，二面角的平面角與二面角的平面角互補，記為，設，有，，，，設面的法向量為，有，即，令，得，又面的法向量為，所以，解得，所以.18.（1）（2）【解析】【分析】（1）求導，分析函數(shù)的單調性，可求的最小值.（2）先根據(jù)確定的關系，再把函數(shù)有且僅有三個極值點轉化成有且僅有三個變號零點.求導，分析函數(shù)Fx的單調性，結合該函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】當時，，，令得：，當時，f'x<0，時，f所以在單調遞減，單調遞增所以時，.【小問2詳解】，，由得：，所以，問題即：有且僅有三個變號零點當時，，故Fx在單調遞減，又，所以故此時Fx在有且僅有一個變號零點0，不合題意；當時，所以在有唯一零點.Fx在遞增，遞減，故此時Fx在至多有兩個變號零點，不合題意；當時，，，，所以在有兩個零點：，且時，，時，，時，，所以Fx在遞減，遞增，遞減，又，故，，又時，，因為的增長速度大于的增長速度，故，，于是，又，，所以，令，則，因為的增長速度大于的增長速度，故，，于是，所以Fx在，各有一個零點，，故此時Fx有三個零點：，0，，合題意：所以.【點睛】方法定睛：對于函數(shù)零點的個數(shù)的相關問題，利用導數(shù)和數(shù)形結合的數(shù)學思想來求解．這類問題求解的通法是：(1)構造函數(shù)，這是解決此類題的關鍵點和難點，并求其定義域；(2)求導數(shù)，得單調區(qū)間和極值點；(3)數(shù)形結合，挖掘隱含條件，確定函數(shù)圖象與x軸的交點情況進而求解．19.（1）（i）或或或或或；（ii）（2）【解析】【分析】（1）（i）由，所以，再列出滿足題意的集合B即可；（ii）記集合，設滿足條件的集合，其中，，，，，，，，且，，則集合中的元素個數(shù)等于，證明即可得答案；（2）先用反證法證明，再證明，則可得.【小問1詳解】（i）由，所以，可得：四元素的集合可以是：或或或或或；（ii）對于任意給定的，集合中的元素個數(shù)的最大值為，其證明過程如下：記集合，設滿足條件的集合，其中，，，，，，，，且，，則集合中的元素個數(shù)等于，根據(jù)條件對任意的，，都有（否則，就有，不合題意）又因為，，其中，，即