2024-2025學(xué)年上海市徐匯區(qū)南洋模范中學(xué)八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

-2025學(xué)年上海市徐匯區(qū)南洋模范中學(xué)八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共6題，每題2分，滿分12分）.1．（2分）在下列各式中，是最簡二次根式的是A． B． C． D．2．（2分）根式，，，中，與是同類二次根式的有個．A．1 B．2 C．3 D．43．（2分）下列關(guān)于的方程中一定有實數(shù)解的是A． B． C． D．4．（2分）下列說法中，正確的是A．每個命題不一定都有逆命題 B．每個定理都有逆定理 C．真命題的逆命題仍是真命題 D．假命題的逆命題未必是假命題5．（2分）下列命題中是真命題的是A．有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形全等 B．兩條平行直線被第三條直線所截，則一組同旁內(nèi)角的平分線互相垂直 C．三角形的一個外角等于兩個內(nèi)角的和 D．等邊三角形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形6．（2分）下列從左到右的變形不一定正確的是A． B． C． D．二、填空題：（本大題共12題，每題2分，滿分24分）7．（2分）的一個有理化因式是．8．（2分）化簡：（其中．9．（2分）若，則．10．（2分）將命題“同角的余角相等”，改寫成“如果，那么”的形式．11．（2分）若最簡二次根式與是同類根式，則．12．（2分）計算：．13．（2分）不等式的解集是．14．（2分）某木器廠今年二月份生產(chǎn)了課桌500張，從三月份起加強了管理，產(chǎn)量逐月上升，四月份產(chǎn)量達到605張．如果三、四月份的月增長率相同，設(shè)這個增長率為，則根據(jù)題意可列方程為．15．（2分）在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解：．16．（2分）將根號外的因式移到根號內(nèi)得．17．（2分）若實數(shù)是方程的一個根，則代數(shù)式的值是．18．（2分）小明在解方程時采用了下面的方法：由，又有，可得，將這兩式相加可得，將兩邊平方可解得，經(jīng)檢驗是原方程的解．請你學(xué)習(xí)小明的方法，解決下列問題：解方程，得方程的解為．三、簡答題：（本大題共6題，每題5分，滿分30分）19．（5分）計算：．20．（5分）計算：．21．（5分）解方程：．22．（5分）解方程：．23．（5分）解方程：．24．（5分）當(dāng)時，化簡代數(shù)式，并求代數(shù)式的值．四．解答題（本大題共4題，第25～27題每題8分，第28題10，滿分34分）25．（8分）一個物流公司因為業(yè)務(wù)拓展，計劃建造一個面積為150平方米的矩形倉庫，為節(jié)約材料，倉庫的一邊靠墻，墻長18米，另三邊用鐵柵欄圍成，且在與墻平行的一邊要開一扇2米寬的門，已知鐵柵欄材料的總長為33米，求矩形倉庫的長與寬應(yīng)分別為多少米？26．（8分）已知，是關(guān)于的方程的兩個不相等的實數(shù)根．（1）求的取值范圍；（2）若，且，，都是整數(shù)，求的最大值及這種情況下方程的解．27．（8分）如圖，在△中，，．將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，過點作，垂足為．（1）如圖1，求證：△△；（2）如圖2，的平分線與的延長線相交于點，聯(lián)結(jié)，的延長線與的延長線相交于點，證明：；（3）在（2）的條件下，聯(lián)結(jié)，當(dāng)時△是等腰三角形．28．（10分）已知，是一元二次方程的兩個實數(shù)解．（1）根據(jù)求根公式可求得，．（用含字母，，的代數(shù)式表示）（2）已知，是一元二次方程的兩個實數(shù)根．①請用含的代數(shù)式表示；．②若實數(shù)為整數(shù)，且滿足的值也為整數(shù)，則．（3）若，，，為互不相等的實數(shù)，且滿足，則．

參考答案一、選擇題：（本大題共6題，每題2分，滿分12分）1．（2分）在下列各式中，是最簡二次根式的是A． B． C． D．解：、，不是最簡二次根式，不符合題意；、，不是最簡二次根式，不符合題意；、，不是最簡二次根式，不符合題意；、是最簡二次根式，符合題意，故選：．2．（2分）根式，，，中，與是同類二次根式的有個．A．1 B．2 C．3 D．4解：與不是同類二次根式；與是同類二次根式；與不是同類二次根式只有與是同類二次根式，共1個，故選：．3．（2分）下列關(guān)于的方程中一定有實數(shù)解的是A． B． C． D．解：、，△，故此方程無實數(shù)解，此選項錯誤；、，△，故此方程有實數(shù)解，此選項正確；、，△，故此方程無實數(shù)解，此選項錯誤；、，△（由于的值不確定，故可以，可以，故此方程不一定有實數(shù)解，此選項錯誤．故選：．4．（2分）下列說法中，正確的是A．每個命題不一定都有逆命題 B．每個定理都有逆定理 C．真命題的逆命題仍是真命題 D．假命題的逆命題未必是假命題解：、每個命題一定都有逆命題，故本選項說法不正確，不符合題意；、每個定理不一定都有逆定理，故本選項說法不正確，不符合題意；、真命題的逆命題不一定是真命題，故本選項說法不正確，不符合題意；、假命題的逆命題未必是假命題，說法正確，符合題意；故選：．5．（2分）下列命題中是真命題的是A．有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形全等 B．兩條平行直線被第三條直線所截，則一組同旁內(nèi)角的平分線互相垂直 C．三角形的一個外角等于兩個內(nèi)角的和 D．等邊三角形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形解：、有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等，所以選項為假命題；、兩條平行直線被第三條直線所截，則一組同旁內(nèi)角的平分線互相垂直兩直線平行，所以選項為真命題；、三角形的一個外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角的和，所以選項為假命題；、等邊三角形不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，所以選項為假命題．故選：．6．（2分）下列從左到右的變形不一定正確的是A． B． C． D．解：，則不符合題意；中若，都小于0，那么原式，則符合題意；，則不符合題意；，則不符合題意；故選：．二、填空題：（本大題共12題，每題2分，滿分24分）7．（2分）的一個有理化因式是．解：，的一個有理化因式為．故答案為：．8．（2分）化簡：（其中．解：二次根式有意義，，，，，，故答案為：．9．（2分）若，則3．解：由題意得：，，解得，把代入，，；故答案為：3．10．（2分）將命題“同角的余角相等”，改寫成“如果，那么”的形式如果兩個角是同一個角的余角，那么這兩個角相等．．解：命題“同角的余角相等”，可以改寫成：如果兩個角是同一個角的余角，那么這兩個角相等．故答案為如果兩個角是同一個角的余角，那么這兩個角相等．11．（2分）若最簡二次根式與是同類根式，則9．解：由題可知，，解得，又知，解得，故故答案為：9．12．（2分）計算：．解：，，故答案為：．13．（2分）不等式的解集是．解：移項得：，合并同類項得：，解得：，；故答案為：．14．（2分）某木器廠今年二月份生產(chǎn)了課桌500張，從三月份起加強了管理，產(chǎn)量逐月上升，四月份產(chǎn)量達到605張．如果三、四月份的月增長率相同，設(shè)這個增長率為，則根據(jù)題意可列方程為．解：設(shè)這個增長率為，由題意得，；故答案為．15．（2分）在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解：．解：根據(jù)題意可知，使，所以△，所以，即，所以．故答案為：．16．（2分）將根號外的因式移到根號內(nèi)得．解：有意義，，，，，原式，故答案為：．17．（2分）若實數(shù)是方程的一個根，則代數(shù)式的值是2022．解：由條件可知：，，，故答案為：2022．18．（2分）小明在解方程時采用了下面的方法：由，又有，可得，將這兩式相加可得，將兩邊平方可解得，經(jīng)檢驗是原方程的解．請你學(xué)習(xí)小明的方法，解決下列問題：解方程，得方程的解為或．解：，又由，可得，將這兩式相加可得，，，或，經(jīng)驗或是原方程的解，故答案為：或．三、簡答題：（本大題共6題，每題5分，滿分30分）19．（5分）計算：．解：．20．（5分）計算：．解：原式．21．（5分）解方程：．解：，，或，解得：．22．（5分）解方程：．解：整理得：，，解得：．23．（5分）解方程：．解：，，，，或，，．24．（5分）當(dāng)時，化簡代數(shù)式，并求代數(shù)式的值．解：，，，原式，當(dāng)時，原式．四．解答題（本大題共4題，第25～27題每題8分，第28題10，滿分34分）25．（8分）一個物流公司因為業(yè)務(wù)拓展，計劃建造一個面積為150平方米的矩形倉庫，為節(jié)約材料，倉庫的一邊靠墻，墻長18米，另三邊用鐵柵欄圍成，且在與墻平行的一邊要開一扇2米寬的門，已知鐵柵欄材料的總長為33米，求矩形倉庫的長與寬應(yīng)分別為多少米？解：設(shè)垂直于墻的一邊長為米，則平行于墻的一邊長為米，根據(jù)矩形面積公式得，，整理，得，解得：，，所以當(dāng)垂直于墻的邊長為7.5米，則平行于墻的長度為（米米，舍去；當(dāng)垂直于墻的邊長為10米，則平行于墻的長度為（米；答：倉庫的長為15米，寬為10米．26．（8分）已知，是關(guān)于的方程的兩個不相等的實數(shù)根．（1）求的取值范圍；（2）若，且，，都是整數(shù)，求的最大值及這種情況下方程的解．解：（1），是關(guān)于的方程的兩個不相等的實數(shù)根，，解得；（2）由（1）得，，，，由可得：，，，都是整數(shù)，為開方數(shù)，或41或46或53或62或73或86，的最大值為86，此時方程為，解得：，．27．（8分）如圖，在△中，，．將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，過點作，垂足為．（1）如圖1，求證：△△；（2）如圖2，的平分線與的延長線相交于點，聯(lián)結(jié)，的延長線與的延長線相交于點，證明：；（3）在（2）的條件下，聯(lián)結(jié)，當(dāng)或時△是等腰三角形．【解答】（1）證明：，，，，，線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，，，，，△△；（2）證明：是的平分線，，由（1）知，，△△，，，△△，，，；（3）解：由題意可分：①當(dāng)△是以的等腰三角形時，則有：，△是等邊三角形，，；②當(dāng)△是以的等腰三角形時，如圖所示：，，垂直平分，，平分，，，△△，，，，，，解得：；③當(dāng)時，則，，，且點在的延長線上，此種情況是不成立的；綜上所述：當(dāng)或時，△是等腰三角形；故答案為：或．28．（10分）已知，是一元二次方程的兩個實數(shù)解．（1）根據(jù)求根公式可求得，．（用含字母，，的代數(shù)式表示）（2）已知，是一元二次