專題38 空間直線、平面的平行原卷版-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義知識(shí)梳理、考點(diǎn)突破和分層檢測(cè)

Page專題38空間直線、平面的平行（新高考專用）目錄目錄【知識(shí)梳理】 2【真題自測(cè)】 3【考點(diǎn)突破】 5【考點(diǎn)1】直線與平面平行的判定與性質(zhì) 5【考點(diǎn)2】平面與平面平行的判定與性質(zhì) 7【考點(diǎn)3】平行關(guān)系的綜合應(yīng)用 10【分層檢測(cè)】 12【基礎(chǔ)篇】 12【能力篇】 15【培優(yōu)篇】 17考試要求：從定義和基本事實(shí)出發(fā)，借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系，并加以證明.知識(shí)梳理知識(shí)梳理1.直線與平面平行(1)直線與平面平行的定義直線l與平面α沒有公共點(diǎn)，則稱直線l與平面α平行.(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號(hào)表示判定定理如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行a?α，b?α，a∥b?a∥α性質(zhì)定理一條直線和一個(gè)平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b2.平面與平面平行(1)平面與平面平行的定義沒有公共點(diǎn)的兩個(gè)平面叫做平行平面.(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號(hào)表示判定定理如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?α∥β性質(zhì)兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面α∥β，a?α?a∥β性質(zhì)定理兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b1.平行關(guān)系中的三個(gè)重要結(jié)論(1)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.(2)平行于同一平面的兩個(gè)平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.(3)垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，即若a⊥α，b⊥α，則a∥b.2.三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化真題自測(cè)真題自測(cè)一、解答題1．（2024·全國·高考真題）如圖，，，，,為的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求點(diǎn)到的距離.2．（2023·全國·高考真題）如圖，在三棱錐中，，，，，的中點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，．(1)求證：//平面；(2)若，求三棱錐的體積．3．（2023·天津·高考真題）如圖，在三棱臺(tái)中，平面，為中點(diǎn).，N為AB的中點(diǎn)，

(1)求證：//平面；(2)求平面與平面所成夾角的余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離．4．（2022·全國·高考真題）小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面是邊長為8（單位：）的正方形，均為正三角形，且它們所在的平面都與平面垂直．(1)證明：平面；(2)求該包裝盒的容積（不計(jì)包裝盒材料的厚度）．5．（2022·北京·高考真題）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面平面，，M，N分別為，AC的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線AB與平面BMN所成角的正弦值．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】直線與平面平行的判定與性質(zhì)一、單選題1．（2024·江西景德鎮(zhèn)·三模）已知，是空間內(nèi)兩條不同的直線，，，是空間內(nèi)三個(gè)不同的平面，則下列說法正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，，則D．若，，，則或2．（2024·內(nèi)蒙古·三模）設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，，是兩條不同的直線，且則“”是“且”的（

）A．充分不必要條件 B．充分必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件二、多選題3．（2024·湖北黃岡·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方體的棱長為3，點(diǎn)E、F，G分別在棱，，上，滿足，，記平面與平面的交線為l，則（

）A．，平面B．平面截正方體所得截面圖形為六邊形的充分不必要條件是C．時(shí)，三棱錐的外接球表面積為D．時(shí)，直線l與平面所成角的正弦值為4．（2023·遼寧沈陽·二模）在正方體中，，點(diǎn)P在正方體的面內(nèi)（含邊界）移動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)直線平面時(shí)，則直線與直線成角可能為B．當(dāng)直線平面時(shí)，P點(diǎn)軌跡被以A為球心，為半徑的球截得的長度為C．若直線與平面所成角為，則點(diǎn)P的軌跡長度為D．當(dāng)直線時(shí)，經(jīng)過點(diǎn)B，P，的平面被正方體所截，截面面積的取值范圍為三、解答題5．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）如圖，已知平面，，是等腰直角三角形，其中，且．(1)設(shè)線段中點(diǎn)為，證明：平面；(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離等于，如果存在，求的長．6．（2024·北京順義·三模）如圖在幾何體ABCDFE中，底面ABCD為菱形，，，，.(1)判斷AD是否平行于平面CEF，并證明；(2)若面面；求：（?。┢矫媾c平面CEF所成角的大??；（ⅱ）求點(diǎn)A到平面CEF的距離.反思提升：(1)判斷或證明線面平行的常用方法①利用線面平行的定義(無公共點(diǎn)).②利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α).③利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?α?a∥β).④利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?β，a∥α?a∥β).(2)應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理的關(guān)鍵是確定交線的位置，有時(shí)需要經(jīng)過已知直線作輔助平面確定交線.【考點(diǎn)2】平面與平面平行的判定與性質(zhì)一、單選題1．（2024·安徽安慶·三模）在正方體中，點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，過點(diǎn)三點(diǎn)作該正方體的截面，則（

）A．該截面多邊形是四邊形B．該截面多邊形與棱的交點(diǎn)是棱的一個(gè)三等分點(diǎn)C．平面D．平面平面2．（2024·福建南平·二模）在正四面體中，為棱的中點(diǎn)，過點(diǎn)的平面與平面平行，平面平面，平面平面，則，所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（23-24高一下·河南·階段練習(xí)）刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容，用曲率刻畫空間的彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差，其中多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制．例如：正方體每個(gè)頂點(diǎn)均有3個(gè)面角，每個(gè)面角均為，故其各個(gè)頂點(diǎn)的曲率均為．如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)的曲率為分別為的中點(diǎn)，則（

）A．直線平面B．在三棱柱中，點(diǎn)的曲率為C．在四面體中，點(diǎn)的曲率小于D．二面角的大小為4．（2024·河北保定·二模）如圖1，在等腰梯形中，，，，，，將四邊形沿進(jìn)行折疊，使到達(dá)位置，且平面平面，連接，，如圖2，則（

）

A． B．平面平面C．多面體為三棱臺(tái) D．直線與平面所成的角為三、解答題5．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在圓錐中，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，四邊形是底面的內(nèi)接正方形，分別為的中點(diǎn)，過點(diǎn)的平面為.(1)證明：平面平面；(2)若圓錐的底面圓半徑為2，高為，設(shè)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，求三棱錐的體積.6．（2024·山東濰坊·三模）如圖，在直三棱柱中，，是棱的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求二面角的大小．反思提升：1.判定面面平行的主要方法(1)利用面面平行的判定定理.(2)線面垂直的性質(zhì)(垂直于同一直線的兩平面平行).2.面面平行條件的應(yīng)用(1)兩平面平行，分別構(gòu)造與之相交的第三個(gè)平面，交線平行.(2)兩平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線與另一個(gè)平面平行.【考點(diǎn)3】平行關(guān)系的綜合應(yīng)用一、單選題1．（2022·北京朝陽·一模）在通用技術(shù)教室里有一個(gè)三棱錐木塊如圖所示，，，兩兩垂直，（單位：），小明同學(xué)計(jì)劃通過側(cè)面內(nèi)任意一點(diǎn)將木塊鋸開，使截面平行于直線和，則該截面面積（單位：）的最大值是（

）A． B． C． D．2．（2021·新疆·二模）已知，，為三條不同的直線，，，為三個(gè)不同的平面，則下列說法正確的是（

）A．若，，則B．若，，，，則C．若，，，，則D．若，，，則二、多選題3．（2024·湖南益陽·三模）如圖，點(diǎn)P是棱長為2的正方體的表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)點(diǎn)P在平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四棱錐的體積不變B．當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，與所成角的取值范圍為C．使直線AP與平面ABCD所成角為的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長度為D．若F是的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在底面ABCD上運(yùn)動(dòng)，且滿足平面時(shí)，PF長度的最小值為4．（2024·湖北·二模）如圖，棱長為2的正方體中，為棱的中點(diǎn)，為正方形內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），且平面，則下列說法正確的有（

）

A．動(dòng)點(diǎn)軌跡的長度為B．三棱錐體積的最小值為C．與不可能垂直D．當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，其外接球的表面積為三、解答題5．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在直三棱柱中，分別為棱的中點(diǎn)．(1)證明：∥平面；(2)若，求點(diǎn)到平面的距離．6．（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐中，平面，是上一點(diǎn)，且，連接與，為中點(diǎn).(1)過點(diǎn)的平面平行于平面且與交于點(diǎn)，求；(2)若平面平面，且，求點(diǎn)到平面的距離.反思提升：三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化分層分層檢測(cè)【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）已知兩條直線m，n和三個(gè)平面α，β，γ，下列命題正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，，則D．若，，，，則2．（2024·貴州貴陽·二模）設(shè)為直線，為平面，則的一個(gè)充要條件是（

）A．內(nèi)存在一條直線與平行 B．平行內(nèi)無數(shù)條直線C．垂直于的直線都垂直于 D．存在一個(gè)與平行的平面經(jīng)過3．（2024·全國·三模）已知，是兩個(gè)不同的平面，m，l是兩條不同的直線，若，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知正方體中，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，則平面AEF截正方體形成的截面圖形為（

）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形二、多選題5．（2024·吉林·二模）已知為兩條不同的直線，兩個(gè)不同的平面，且，則（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則6．（2023·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知圓錐的頂點(diǎn)為，底面的兩條對(duì)角線恰好為圓的兩條直徑，分別為的中點(diǎn)，且，則下列說法中正確的有（

）A．平面B．平面平面C．D．直線與所成的角為7．（2020·山東泰安·一模）是兩個(gè)平面，是兩條直線，有下列四個(gè)命題其中正確的命題有（

）A．如果，那么B．如果，那么C．如果，那么D．如果，那么與所成的角和與所成的角相等三、填空題8．（2023·四川涼山·三模）在棱長為2的正方體中，若E為棱的中點(diǎn)，則平面截正方體的截面面積為．9．（2022·廣西貴港·三模）正方體的棱長為，，，分別為，，的中點(diǎn)，給出下列四個(gè)命題：①上底邊的中點(diǎn)在平面內(nèi)②直線與平面不平行③平面截正方體所得的截面面積為④點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等．錯(cuò)誤的命題是．10．（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）如圖，在棱長為1的正方體中，點(diǎn)E、F、G分別為棱、、的中點(diǎn)，P是底面ABCD上的一點(diǎn)，若平面GEF，則下面的4個(gè)判斷①點(diǎn)P的軌跡是一段長度為的線段；②線段的最小值為；③；④與一定異面．其中正確判斷的序號(hào)為．四、解答題11．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）在正四棱柱中，，，E為中點(diǎn)，直線與平面交于點(diǎn)F．(1)證明：F為的中點(diǎn)；(2)求直線AC與平面所成角的余弦值．

12．（23-24高三上·北京東城·期末）如圖，在直三棱柱中，分別為的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)若點(diǎn)是棱上一點(diǎn)，且直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長.【能力篇】一、單選題1．（2024·四川攀枝花·三模）在一個(gè)圓錐中，為圓錐的頂點(diǎn)，為圓錐底面圓的圓心，為線段的中點(diǎn)，為底面圓的直徑，是底面圓的內(nèi)接正三角形，①平面；②平面；③圓錐的側(cè)面積為；④三棱錐的內(nèi)切球表面積為．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題2．（2024·湖北黃岡·二模）如圖，在棱長為2的正方體中，為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則下列說法中正確的是（

）A．平面B．若平面，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一條線段C．若，則四面體的體積為定值D．若為正方形的中心，則三棱錐外接球的體積為三、填空題3．（2023·貴州黔東南·三模）如圖，已知正方體的棱長為2，點(diǎn)是內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的序號(hào)是.（填所有正確結(jié)論的序號(hào)）①若，則平面；②若，則直線與所成角的余弦值為；③若，則的最大值為；④若平面與正方體各個(gè)面都相交，且，則截面多邊形的周長一定為.四、解答題4．（2024·云南昆明·三模）如圖，在三棱臺(tái)中，上、下底面是邊長分別為2和4的正三角形，平面，設(shè)平面平面，點(diǎn)分別在直線和直線上，且滿足，．(1)證明：平面；(2)若直線和平面所成角的正弦值為，求該三棱臺(tái)的高．【培優(yōu)篇】一、單選題1．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示是一個(gè)以為直徑，點(diǎn)為圓心的半圓，其半徑為4，為線段的中點(diǎn)，其中，，是半圓圓周上的三個(gè)點(diǎn)，且把半圓的圓周分成了弧長相等的四段，若將該半圓圍成一個(gè)以為頂