專題36 基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積原卷版-2025版高中數(shù)學一輪復習講義知識梳理、考點突破和分層檢測

Page專題36基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積（新高考專用）目錄目錄【知識梳理】 2【真題自測】 4【考點突破】 5【考點1】基本立體圖形 5【考點2】表面積與體積 7【考點3】與球有關(guān)的切、接問題 9【分層檢測】 11【基礎(chǔ)篇】 11【能力篇】 14【培優(yōu)篇】 16考試要求：1.利用實物、計算機軟件等觀察空間圖形，認識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu).2.知道球、棱(圓)柱、棱(圓)錐、棱(圓)臺的表面積和體積的計算公式，能用公式解決簡單的實際問題.3.能用斜二測畫法畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡單組合體)的直觀圖.知識梳理知識梳理1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺圖形底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似側(cè)棱平行且相等相交于一點，但不一定相等延長線交于一點側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺球圖形母線互相平行且相等，垂直于底面相交于一點延長線交于一點軸截面矩形等腰三角形等腰梯形圓面?zhèn)让嬲归_圖矩形扇形扇環(huán)2.直觀圖(1)畫法：常用斜二測畫法.(2)規(guī)則：①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸、y′軸所在平面垂直.②原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標軸.平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话?3.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝2πrlS圓錐側(cè)＝πrlS圓臺側(cè)＝π(r1＋r2)l4.柱、錐、臺、球的表面積和體積名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝Sh錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝eq\f(1,3)Sh臺體(棱臺和圓臺)S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR31.正方體與球的切、接常用結(jié)論：正方體的棱長為a，球的半徑為R，(1)若球為正方體的外接球，則2R＝eq\r(3)a；(2)若球為正方體的內(nèi)切球，則2R＝a；(3)若球與正方體的各棱相切，則2R＝eq\r(2)a.2.長方體的共頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).3.正四面體的外接球的半徑R＝eq\f(\r(6),4)a，內(nèi)切球的半徑r＝eq\f(\r(6),12)a，其半徑R∶r＝3∶1(a為該正四面體的棱長).4.直觀圖與原平面圖形面積間關(guān)系S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形.真題自測真題自測一、單選題1．（2024·全國·高考真題）已知正三棱臺的體積為，，，則與平面ABC所成角的正切值為（

）A． B．1 C．2 D．32．（2024·全國·高考真題）已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為，則圓錐的體積為（

）A． B． C． D．3．（2023·全國·高考真題）在三棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，，則該棱錐的體積為（

）A．1 B． C．2 D．34．（2023·全國·高考真題）已知四棱錐的底面是邊長為4的正方形，，則的面積為（

）A． B． C． D．5．（2023·全國·高考真題）已知圓錐PO的底面半徑為，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，，若的面積等于，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．二、多選題6．（2023·全國·高考真題）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計）內(nèi)的有（

）A．直徑為的球體B．所有棱長均為的四面體C．底面直徑為，高為的圓柱體D．底面直徑為，高為的圓柱體三、填空題7．（2024·全國·高考真題）已知圓臺甲、乙的上底面半徑均為,下底面半徑均為，圓臺的母線長分別為,，則圓臺甲與乙的體積之比為．8．（2023·全國·高考真題）已知點均在半徑為2的球面上，是邊長為3的等邊三角形，平面，則．9．（2023·全國·高考真題）在正方體中，為的中點，若該正方體的棱與球的球面有公共點，則球的半徑的取值范圍是．10．（2023·全國·高考真題）在正方體中，E，F(xiàn)分別為AB，的中點，以EF為直徑的球的球面與該正方體的棱共有個公共點．11．（2023·全國·高考真題）在正四棱臺中，，則該棱臺的體積為．12．（2023·全國·高考真題）底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為．考點突破考點突破【考點1】基本立體圖形一、單選題1．（23-24高一下·福建莆田·期中）已知等腰梯形，，，圓為梯形的內(nèi)切圓，并與，分別切于點，，如圖所示，以所在的直線為軸，梯形和圓分別旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體體積分別為，，則值為（

）A． B． C． D．2．（2022·重慶·模擬預測）十八世紀，數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)簡單凸多面體的頂點數(shù)V、棱數(shù)E及面數(shù)F之間有固定的關(guān)系，即著名的歐拉公式：.如圖所示為上世紀八十年代科學家首次發(fā)現(xiàn)的碳60的電子顯微鏡圖，它是由五邊形和六邊形面構(gòu)成的多面體，共有60個頂點，每個頂點均為碳原子，且每個頂點引出三條棱，形似足球.根據(jù)以上信息知，碳60的所有面中五邊形的個數(shù)是（

）

A．12 B．20 C．32 D．40二、多選題3．（2024·山西晉中·模擬預測）“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美．如圖所示，將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，共可截去八個三棱錐，得到八個面為正三角形、六個面為正方形的一種阿基米德多面體．已知，則關(guān)于圖中的半正多面體，下列說法正確的有（

）A．該半正多面體的體積為B．該半正多面體過三點的截面面積為C．該半正多面體外接球的表面積為D．該半正多面體的表面積為4．（2024·新疆喀什·二模）如圖圓臺，在軸截面中，，下面說法正確的是（

）A．線段B．該圓臺的表面積為C．該圓臺的體積為D．沿著該圓臺的表面，從點到中點的最短距離為5三、填空題5．（21-22高三上·廣東潮州·期末）在《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑，在鱉臑中，平面，，，已知動點從點出發(fā)，沿外表面經(jīng)過棱上一點到點的最短距離為，則該棱錐的外接球的體積為.6．（2022·遼寧沈陽·一模）如圖，在底面半徑為1，高為6的圓柱內(nèi)放置兩個球，使得兩個球與圓柱側(cè)面相切，且分別與圓柱的上下底面相切.一個與兩球均相切的平面斜截圓柱側(cè)面，得到的截線是一個橢圓.則該橢圓的離心率為.

反思提升：空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的判斷技巧(1)緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定.(2)通過反例對結(jié)構(gòu)特征進行辨析，即要說明一個命題是錯誤的，只要舉出一個反例即可.(3)在斜二測畫法中，要確定關(guān)鍵點及關(guān)鍵線段.“平行于x軸的線段平行性不變，長度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長度減半.”(4)按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關(guān)系：S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形.(5)幾何體的表面展開圖可以有不同的形狀，應多實踐，觀察并大膽想象立體圖形與表面展開圖的關(guān)系，一定先觀察立體圖形的每一個面的形狀.【考點2】表面積與體積一、單選題1．（2024·天津紅橋·二模）如圖，圓錐形脆皮筒上面放半球形的冰淇淋，為了保障冰淇淋融化后能落在脆皮筒里，不溢出來，某規(guī)格的脆皮筒規(guī)定其側(cè)面面積是冰淇淋半球面面積的2倍，則此規(guī)格脆皮筒的體積與冰淇淋的體積之比為（

）

A． B． C． D．2．（2024·陜西·模擬預測）將一個正四棱臺物件放入有一定深度的電解槽中，對其表面進行電泳涂裝．如圖所示，已知該物件的上底邊長與側(cè)棱長相等，且為下底邊長的一半，一個側(cè)面的面積為，則該物件的高為（

）A． B．1 C． D．3二、多選題3．（2021·遼寧沈陽·模擬預測）三星堆遺址，位于四川省廣漢市，距今約三千到五千年.2021年2月4日，在三星堆遺址祭祀坑區(qū)4號坑發(fā)現(xiàn)了玉琮.玉琮是一種內(nèi)圓外方的筒型玉器，是一種古人用于祭祀的禮器.假定某玉琮中間內(nèi)空，形狀對稱，如圖所示，圓筒內(nèi)徑長，外徑長，筒高，中部為棱長是的正方體的一部分，圓筒的外側(cè)面內(nèi)切于正方體的側(cè)面，則（

）A．該玉琮的體積為() B．該玉琮的體積為()C．該玉琮的表面積為() D．該玉琮的表面積為()4．（2024·吉林長春·三模）某圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為，面積為3π的扇形，則（

）A．該圓錐的母線與底面所成角的正弦值為B．若該圓錐內(nèi)部有一個圓柱，且其一個底面落在圓錐的底面內(nèi)，則當圓柱的體積最大時，圓柱的高為C．若該圓錐內(nèi)部有一個球，則當球的半徑最大時，球的內(nèi)接正四面體的棱長為D．若該圓錐內(nèi)部有一個正方體，且底面ABCD在圓錐的底面內(nèi)，當正方體的棱長最大時，以A為球心，半徑為的球與正方體表面交線的長度為三、填空題5．（2024·山西呂梁·二模）已知圓臺的高為3，中截面（過高的中點且垂直于軸的截面）的半徑為3，若中截面將該圓臺的側(cè)面分成了面積比為1:2的兩部分，則該圓臺的母線長為.6．（2021·全國·模擬預測）已知圓錐的軸截面PAB是邊長為a的正三角形，AB為圓錐的底面直徑，球O與圓錐的底面以及每條母線都相切，記圓錐的體積為，球O的體積為，則；若M，N是圓錐底面圓上的兩點，且，則平面PMN截球O所得截面的面積為.反思提升：1.空間幾何體表面積的求法(1)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其軸截面及側(cè)面展開圖的應用，并弄清底面半徑、母線長與對應側(cè)面展開圖中邊的關(guān)系.(2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理.2.求空間幾何體的體積的常用方法(1)公式法：規(guī)則幾何體的體積問題，直接利用公式進行求解；(2)割補法：把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，或者把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則的幾何體；(3)等體積法：通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，特別是三棱錐的體積.【考點3】與球有關(guān)的切、接問題一、單選題1．（2024·湖南·二模）如圖，在四面體中，平面，則此四面體的外接球表面積為（

）A． B． C． D．2．（2023·廣東佛山·二模）科技是一個國家強盛之根，創(chuàng)新是一個民族進步之魂，科技創(chuàng)新鑄就國之重器，極目一號（如圖1）是中國科學院空天信息研究院自主研發(fā)的系留浮空器．2022年5月，“極目一號”III型浮空艇成功完成10次升空大氣科學觀測，最高升空至9050米，超過珠穆朗瑪峰，創(chuàng)造了浮空艇大氣科學觀測海拔最高的世界紀錄，彰顯了中國的實力．“極目一號”III型浮空艇長55米，高19米，若將它近似看作一個半球、一個圓柱和一個圓臺的組合體，正視圖如圖2所示，則“極目一號”III型浮空艇的體積約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，，，）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·河南信陽·一模）六氟化硫，化學式為，在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途．六氟化硫結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)，如圖所示，硫原子位于正八面體的中心，6個氟原子分別位于正八面體的6個頂點，若相鄰兩個氟原子之間的距離為m，則（

）

A．該正八面體結(jié)構(gòu)的表面積為 B．該正八面體結(jié)構(gòu)的體積為C．該正八面體結(jié)構(gòu)的外接球表面積為 D．該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球表面積為4．（2022·全國·模擬預測）三棱錐中，平面平面ABC，，，則（

）A．B．三棱錐的外接球的表面積為C．點A到平面SBC的距離為D．二面角的正切值為三、填空題5．（2024·廣東肇慶·模擬預測）在四面體中，，若，則四面體體積的最大值是，它的外接球表面積的最小值為.6．（2023·江蘇·模擬預測）已知菱形ABCD的邊長為1，，將沿AC翻折，當三棱錐表面積最大時，其內(nèi)切球表面積為.反思提升：(1)求解多面體的外接球時，經(jīng)常用到截面圖.如圖所示，設(shè)球O的半徑為R，截面圓O′的半徑為r，M為截面圓上任意一點，球心O到截面圓O′的距離為d，則在Rt△OO′M中，OM2＝OO′2＋O′M2，即R2＝d2＋r2.(2)求解球的內(nèi)接正方體、長方體等問題的關(guān)鍵是把握球的直徑即是幾何體的體對角線.(3)“切”的問題處理規(guī)律：找準切點，通過作過球心的截面來解決；體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用方法.分層分層檢測【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2024·河南商丘·模擬預測）在正四棱柱中，已知，為棱的中點，則線段在平面上的射影的長度為（

）A． B． C． D．2．（23-24高三下·河南·階段練習）已知圓臺的上、下底面半徑分別為，，且，若半徑為的球與的上、下底面及側(cè)面均相切，則的體積為（

）A． B． C． D．3．（2024·重慶·三模）若圓錐的母線長為2，且母線與底面所成角為，則該圓錐的側(cè)面積為（）A． B． C． D．4．（2024·廣東·模擬預測）建盞是福建省南平市建陽區(qū)的特產(chǎn)，是中國國家地理標志產(chǎn)品，其多是口大底小，底部多為圈足且圈足較淺（如圖所示），因此可將建盞看作是圓臺與圓柱拼接而成的幾何體.現(xiàn)將某建盞的上半部分抽象成圓臺，已知該圓臺的上?下底面積分別為和，高超過，該圓臺上?下底面圓周上的各個點均在球的表面上，且球的表面積為，則該圓臺的體積為（

）A． B． C． D．二、多選題5．（2024·云南紅河·二模）如圖所示，圓錐的底面半徑和高都等于球的半徑，則下列選項中正確的是（

）A．圓錐的軸截面為直角三角形B．圓錐的表面積大于球的表面積的一半C．圓錐側(cè)面展開圖的圓心角的弧度數(shù)為D．圓錐的體積與球的體積之比為6．（2024·河北邯鄲·三模）“阿基米德多面體”又稱“半正多面體”，與正多面體類似，它們也都是凸多面體，每個面都是正多邊形，并且所有棱長也都相等，但不同之處在于阿基米德多面體的每個面的形狀不全相同．有幾種阿基米德多面體可由正多面體進行“截角”得到如圖，正八面體的棱長為3，取各條棱的三等分點，截去六個角后得到一種阿基米德多面體，則該阿基米德多面體（

）

A．共有18個頂點 B．共有36條棱C．表面積為 D．體積為7．（2021·重慶·三模）設(shè)一空心球是在一個大球(稱為外球)的內(nèi)部挖去一個有相同球心的小球(稱為內(nèi)球)，已知內(nèi)球面上的點與外球面上的點的最短距離為1，若某正方體的所有頂點均在外球面上?所有面均與內(nèi)球相切，則（

）A．該正方體的棱長為2 B．該正方體的體對角線長為C．空心球的內(nèi)球半徑為 D．空心球的外球表面積為三、填空題8．（2023·江西九江·一模）如圖，在正三棱柱中，，為的中點，為線段上的點.則的最小值為

9．（2024·陜西·模擬預測）如圖，正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長，以點為球心作一個半徑為的球，則該球被平面所截的圓面的面積為.10．（23-24高二下·浙江·期中）圓錐的底面半徑為1，母線長為2，在圓錐體內(nèi)部放入一個體積最大的球，該球的表面積為．四、解答題11．（22-23高二下·陜西榆林·期末）如圖，在棱長為2的正方體中，是棱的中點，是與的交點.(1)求證：平面；(2)求三棱錐的體積.12．（2024·全國·模擬預測）如圖，在三棱錐中，點為棱的中點，點為的中點，，，都是正三角形．(1)求證：平面；(2)若三棱錐的體積為，求三棱錐的表面積．【能力篇】一、單選題1．（2024·廣東茂名·模擬預測）若正四面體的棱長為，M為棱上的動點，則當三棱錐的外接球的體積最小時，三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．二、多選題2．（2024·遼寧沈陽·模擬預測）如