新高考數(shù)學一輪復習 函數(shù)專項重難點突破專題09 函數(shù)的對稱性(解析版)

專題09函數(shù)的對稱性真題再現(xiàn)一、單選題1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)SKIPIF1<0的定義域均為R，且SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0的圖像關于直線SKIPIF1<0對稱，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】因為SKIPIF1<0的圖像關于直線SKIPIF1<0對稱，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，代入得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，聯(lián)立得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的圖像關于點SKIPIF1<0中心對稱，因為函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為R，所以SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.故選：D二、多選題2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)SKIPIF1<0及其導函數(shù)SKIPIF1<0的定義域均為SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均為偶函數(shù)，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】[方法一]：對稱性和周期性的關系研究對于SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0為偶函數(shù)，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0①，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0對稱，則SKIPIF1<0，故C正確；對于SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0為偶函數(shù)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0對稱，由①求導，和SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0對稱，因為其定義域為R，所以SKIPIF1<0，結合SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0對稱，從而周期SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故B正確，D錯誤；若函數(shù)SKIPIF1<0滿足題設條件，則函數(shù)SKIPIF1<0（C為常數(shù)）也滿足題設條件，所以無法確定SKIPIF1<0的函數(shù)值，故A錯誤.故選：BC.[方法二]：【最優(yōu)解】特殊值，構造函數(shù)法.由方法一知SKIPIF1<0周期為2，關于SKIPIF1<0對稱，故可設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，顯然A，D錯誤，選BC.故選：BC.[方法三]：因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均為偶函數(shù)，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故C正確；函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的圖象分別關于直線SKIPIF1<0對稱，又SKIPIF1<0，且函數(shù)SKIPIF1<0可導，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故B正確，D錯誤；若函數(shù)SKIPIF1<0滿足題設條件，則函數(shù)SKIPIF1<0（C為常數(shù)）也滿足題設條件，所以無法確定SKIPIF1<0的函數(shù)值，故A錯誤.故選：BC.三、解答題3．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)SKIPIF1<0.(1)當SKIPIF1<0時，求曲線SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處的切線方程；(2)是否存在a，b，使得曲線SKIPIF1<0關于直線SKIPIF1<0對稱，若存在，求a，b的值，若不存在，說明理由.【解析】（1）當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，據(jù)此可得SKIPIF1<0，函數(shù)在SKIPIF1<0處的切線方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.（2）由函數(shù)的解析式可得SKIPIF1<0，函數(shù)的定義域滿足SKIPIF1<0，即函數(shù)的定義域為SKIPIF1<0，定義域關于直線SKIPIF1<0對稱，由題意可得SKIPIF1<0，由對稱性可知SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，經(jīng)檢驗SKIPIF1<0滿足題意，故SKIPIF1<0.即存在SKIPIF1<0滿足題意.考點一判斷(證明)函數(shù)的對稱性一、單選題1．下列函數(shù)的圖象中，既是軸對稱圖形又是中心對稱的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】對于A，SKIPIF1<0圖象關于SKIPIF1<0、坐標原點SKIPIF1<0分別成軸對稱和中心對稱，A正確；對于B，SKIPIF1<0為偶函數(shù)，其圖象關于SKIPIF1<0軸對稱，但無對稱中心，B錯誤；對于C，SKIPIF1<0關于點SKIPIF1<0成中心對稱，但無對稱軸，C錯誤；對于D，SKIPIF1<0為奇函數(shù)，其圖象關于坐標原點SKIPIF1<0成中心對稱，但無對稱軸，D錯誤.故選：A.2．已知角SKIPIF1<0的頂點在原點，始邊與SKIPIF1<0軸的非負半軸重合，終邊過點SKIPIF1<0，若函數(shù)SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0圖象的對稱軸為SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0圖象的對稱軸為SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0圖象的對稱中心為SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0圖象的對稱中心為SKIPIF1<0【解析】依題意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的圖象為中心對稱圖形，其對稱中心為SKIPIF1<0，故選：C．3．設函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為R，且SKIPIF1<0是奇函數(shù)，則SKIPIF1<0圖像（

）A．關于點SKIPIF1<0中心對稱 B．關于點SKIPIF1<0中心對稱C．關于直線SKIPIF1<0對稱 D．關于直線SKIPIF1<0對稱【解析】因為SKIPIF1<0為奇函數(shù)，所以SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0圖象關于點SKIPIF1<0中心對稱.故選：A.4．已知函數(shù)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的圖象（

）A．關于直線SKIPIF1<0對稱 B．關于點SKIPIF1<0對稱 C．關于直線SKIPIF1<0對稱 D．關于原點對稱【解析】對于A，由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的圖象不關于直線SKIPIF1<0對稱，故A錯誤；對于B，由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的圖象關于點SKIPIF1<0對稱．故B正確；對于C，由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0不是偶函數(shù)，故SKIPIF1<0的圖象不關于直線SKIPIF1<0對稱，故C錯誤；對于D，由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0不是奇函數(shù)，故SKIPIF1<0的圖象不關于原點對稱，故D錯誤；故選：B.5．已知函數(shù)SKIPIF1<0是定義在SKIPIF1<0上的函數(shù)，那么函數(shù)SKIPIF1<0的圖象與函數(shù)SKIPIF1<0的圖象之間（

）A．關于點SKIPIF1<0對稱 B．關于直線SKIPIF1<0對稱C．關于點SKIPIF1<0對稱 D．關于直線SKIPIF1<0對稱【解析】設SKIPIF1<0是SKIPIF1<0圖象上的任意一點，則SKIPIF1<0，作等量變換SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的圖象上，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0關于點SKIPIF1<0對稱，SKIPIF1<0函數(shù)SKIPIF1<0的圖象與函數(shù)SKIPIF1<0的圖象之間關于點SKIPIF1<0對稱，故選：A二、多選題6．下列函數(shù)中，哪些函數(shù)的圖像關于SKIPIF1<0軸對稱（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】選項A：由SKIPIF1<0知定義域為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以該函數(shù)為偶函數(shù)，則圖像關于SKIPIF1<0軸對稱，所以A正確；選項B：由SKIPIF1<0知定義域為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以該函數(shù)為奇函數(shù)，則圖像關于原點對稱，所以B不正確；選項C：由SKIPIF1<0知定義域為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以該函數(shù)為偶函數(shù)，則圖像關于SKIPIF1<0軸對稱，所以C正確；選項D：由SKIPIF1<0知定義域為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以該函數(shù)為奇函數(shù)，則圖像關于原點對稱，所以D不正確；故選：AC.7．已知SKIPIF1<0是定義在R上的函數(shù)，函數(shù)SKIPIF1<0圖像關于y軸對稱，函數(shù)SKIPIF1<0的圖像關于原點對稱，則下列說法正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．對SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立C．函數(shù)SKIPIF1<0關于點SKIPIF1<0中心對稱 D．SKIPIF1<0【解析】∵函數(shù)SKIPIF1<0的圖像關于y軸對稱，∴函數(shù)SKIPIF1<0的圖像關于直線SKIPIF1<0對稱，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∵函數(shù)SKIPIF1<0的圖像關于原點對稱，∴函數(shù)SKIPIF1<0的圖像關于點SKIPIF1<0中心對稱，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，C選項正確；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，B選項正確；SKIPIF1<0，D選項正確；沒有條件能確定SKIPIF1<0，A選項錯誤.故選：BCD.8．已知函數(shù)SKIPIF1<0定義域為SKIPIF1<0，則下列說法正確的是（

）A．若SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0圖象關于SKIPIF1<0對稱B．函數(shù)SKIPIF1<0與函數(shù)SKIPIF1<0的圖象關于SKIPIF1<0對稱C．函數(shù)SKIPIF1<0的圖象關于SKIPIF1<0對稱D．函數(shù)SKIPIF1<0的圖象關于SKIPIF1<0對稱【解析】若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0圖象關于SKIPIF1<0對稱，故A正確；若點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，則點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的圖象上，且點SKIPIF1<0與點SKIPIF1<0關于點SKIPIF1<0對稱，則函數(shù)SKIPIF1<0與函數(shù)SKIPIF1<0的圖象關于SKIPIF1<0對稱，故B正確；設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故函數(shù)SKIPIF1<0的圖象關于SKIPIF1<0對稱，故C正確；令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0不恒為0；故函數(shù)SKIPIF1<0的圖象不關于SKIPIF1<0對稱，故D錯誤.故選：ABC.9．已知SKIPIF1<0是定義在R上的函數(shù)，且SKIPIF1<0，則（

）A．函數(shù)SKIPIF1<0的圖象關于原點對稱 B．函數(shù)SKIPIF1<0的圖象關于點SKIPIF1<0對稱C．函數(shù)SKIPIF1<0的圖象關于直線x=1對稱 D．函數(shù)SKIPIF1<0是以2為周期的周期函數(shù)【解析】因為SKIPIF1<0是定義在R上的函數(shù)，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是奇函數(shù)，函數(shù)SKIPIF1<0的圖象關于原點對稱，故A正確；因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0的圖象關于點SKIPIF1<0對稱，故B正確，C錯誤；因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故D正確.故選：ABD.10．已知函數(shù)SKIPIF1<0的圖像關于點SKIPIF1<0成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)SKIPIF1<0為奇函數(shù)，函數(shù)SKIPIF1<0的圖像關于直線SKIPIF1<0成軸對稱圖形的充要條件是函數(shù)SKIPIF1<0為偶函數(shù)，則（

）A．函數(shù)SKIPIF1<0的對稱中心是SKIPIF1<0B．函數(shù)SKIPIF1<0的對稱中心是SKIPIF1<0C．函數(shù)SKIPIF1<0有對稱軸D．函數(shù)SKIPIF1<0有對稱軸【解析】對于A，因為函數(shù)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為奇函數(shù)，所以點SKIPIF1<0是函數(shù)SKIPIF1<0的對稱中心，所以A正確，對于B，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0不是奇函數(shù)，所以點SKIPIF1<0不是函數(shù)SKIPIF1<0的對稱中心，所以B錯誤，對于C，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，函數(shù)SKIPIF1<0為偶函數(shù)，所以SKIPIF1<0有對稱軸，所以C正確，對于D，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0為偶函數(shù)，所以SKIPIF1<0的圖象關于直線SKIPIF1<0對稱，所以D正確，故選：ACD三、填空題11．已知函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值與最小值分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0的圖象的對稱中心是______.【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上奇函數(shù)，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值為最小值的和為0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是奇函數(shù)，圖象的對稱中心是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0向左平移SKIPIF1<0個單位得到SKIPIF1<0，對稱中心為SKIPIF1<0，再橫坐標縮小為原來的一半得到SKIPIF1<0，對稱中心為SKIPIF1<0，再向下平移SKIPIF1<0個單位得到SKIPIF1<0，對稱中心為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的對稱中心是SKIPIF1<0.考點二利用對稱性求函數(shù)解析式或函數(shù)值一、單選題1．已知定義域為SKIPIF1<0的函數(shù)SKIPIF1<0的圖象關于點SKIPIF1<0成中心對稱，且當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】因為定義域為SKIPIF1<0的函數(shù)SKIPIF1<0的圖象關于點SKIPIF1<0成中心對稱，且當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故選：C.2．已知函數(shù)SKIPIF1<0，其中a為常數(shù)，若存在SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．0 B．1 C．2 D．SKIPIF1<0【解析】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0關于直線SKIPIF1<0對稱，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：C．3．函數(shù)SKIPIF1<0的圖像與函數(shù)SKIPIF1<0的圖像關于直線SKIPIF1<0對稱，其中SKIPIF1<0（

）A．3 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】設點SKIPIF1<0在函數(shù)SKIPIF1<0的圖像上，則點SKIPIF1<0關于直線SKIPIF1<0的對稱點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0與SKIPIF1<0關于直線SKIPIF1<0對稱，則SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.故選：D4．下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)SKIPIF1<0的圖象關于直線SKIPIF1<0對稱的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】設所求函數(shù)的圖象上任意一點SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0對稱的點為SKIPIF1<0，由題意知點Q在SKIPIF1<0的圖象上，可得SKIPIF1<0，即函數(shù)SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0對稱的函數(shù)解析式為SKIPIF1<0．故選：D．5．下列函數(shù)與SKIPIF1<0的圖象關于原點對稱的函數(shù)是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】令SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0關于原點對稱，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：C二、多選題6．已知函數(shù)SKIPIF1<0定義域為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為偶函數(shù)，SKIPIF1<0為奇函數(shù)，則下列一定成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】因為SKIPIF1<0為偶函數(shù)，所以SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0對稱，因為SKIPIF1<0為奇函數(shù)，所以SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0關于點SKIPIF1<0對稱，因為函數(shù)SKIPIF1<0定義域為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，B正確；又因為函數(shù)SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0對稱，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，D正確；可構造函數(shù)SKIPIF1<0滿足題意，此時SKIPIF1<0，AC錯誤；故選：BD7．已知函數(shù)SKIPIF1<0，則（

）A．函數(shù)SKIPIF1<0的圖像關于直線SKIPIF1<0對稱B．SKIPIF1<0有三個零點C．點SKIPIF1<0是曲線SKIPIF1<0的對稱中心D．曲線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0關于直線SKIPIF1<0對稱【解析】對于AC選項，函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故函數(shù)SKIPIF1<0圖像的對稱中心坐標為SKIPIF1<0，AC均錯；對于B選項，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，B對；對于D選項，曲線SKIPIF1<0關于直線SKIPIF1<0對稱的曲線對應的函數(shù)解析式為SKIPIF1<0，D對.故選：BD.三、填空題8．函數(shù)SKIPIF1<0的圖像關于點SKIPIF1<0中心對稱，則SKIPIF1<0______.【解析】因為SKIPIF1<0所以該函數(shù)的對稱中心為SKIPIF1<0，由已知可知該函數(shù)的圖像關于點SKIPIF1<0中心對稱，所以有SKIPIF1<0，9．奇函數(shù)SKIPIF1<0的圖像關于直線SKIPIF1<0對稱，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_________.【解析】因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以SKIPIF1<0，因為函數(shù)關于直線SKIPIF1<0對稱，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.10．已知函數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______.【解析】因為函數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0.11．已知定義在SKIPIF1<0上的函數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的圖像關于直線SKIPIF1<0對稱，則SKIPIF1<0___.【解析】因為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0的圖像關于直線SKIPIF1<0對稱，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.12．給出定義：設SKIPIF1<0是函數(shù)SKIPIF1<0的導函數(shù)，SKIPIF1<0是函數(shù)SKIPIF1<0的導函數(shù)，若方程SKIPIF1<0有實數(shù)解SKIPIF1<0，則稱SKIPIF1<0為函數(shù)SKIPIF1<0的“拐點”，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)SKIPIF1<0都有“拐點”，且該“拐點”也是函數(shù)SKIPIF1<0的圖像的對稱中心，若函數(shù)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______.【解析】由題意因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由題意得對稱中心為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<013．若函數(shù)SKIPIF1<0的圖像關于直線SKIPIF1<0對稱，則SKIPIF1<0___________.【解析】因為SKIPIF1<0的圖像關于直線SKIPIF1<0對稱，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，14．已知SKIPIF1<0是定義在R上的函數(shù)SKIPIF1<0的對稱軸，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的解析式是_______．【解析】由SKIPIF1<0是定義在R上的函數(shù)SKIPIF1<0的對稱軸，則SKIPIF1<0，又當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則當SKIPIF1<0時，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的解析式是SKIPIF1<0．四、解答題15．函數(shù)SKIPIF1<0是定義在SKIPIF1<0上的偶函數(shù)，且對任意實數(shù)SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0成立.已知當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0.(1)當SKIPIF1<0時，求函數(shù)SKIPIF1<0的表達式；(2)若函數(shù)SKIPIF1<0的最大值為1，當SKIPIF1<0時，求不等式SKIPIF1<0的解集.【解析】（1）由SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0圖象關于SKIPIF1<0對稱.因為SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故所求的表達式為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）因為SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的偶函數(shù),所以SKIPIF1<0,即函數(shù)SKIPIF1<0是以2為周期的函數(shù).因為SKIPIF1<0,由函數(shù)SKIPIF1<0的最大值為1,知SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的偶函數(shù),可得SKIPIF1<0,所以此時滿足不等式的解集為SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0是以2為周期的周期函數(shù),當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0,當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0.綜上所述，SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0.16．設SKIPIF1<0同時滿足條件SKIPIF1<0和對任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0成立.（1）求SKIPIF1<0的解析式；（2）設函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，且在定義域內(nèi)SKIPIF1<0.若函數(shù)SKIPIF1<0的圖象與SKIPIF1<0的圖象關于直線SKIPIF1<0對稱，求SKIPIF1<0.【解析】（1）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0對任意SKIPIF1<0恒成立，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）由題意知，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0，設點SKIPIF1<0是函數(shù)SKIPIF1<0的圖象上任意一點，它關于直線SKIPIF1<0對稱的點為SKIPIF1<0，依題意知點SKIPIF1<0應該在函數(shù)SKIPIF1<0的圖象上，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.考點三利用對稱性研究單調(diào)性一、單選題1．已知定義在SKIPIF1<0上的函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，且SKIPIF1<0為偶函數(shù)，則不等式SKIPIF1<0的解集為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】∵函數(shù)SKIPIF1<0為偶函數(shù)，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴函數(shù)SKIPIF1<0的圖象關于直線SKIPIF1<0對稱，又∵函數(shù)SKIPIF1<0定義域為SKIPIF1<0，在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，∴函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，∴由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選：D.2．已知定義在SKIPIF1<0上的函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，若函數(shù)SKIPIF1<0為偶函數(shù)，且SKIPIF1<0，則不等式SKIPIF1<0的解集為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】由函數(shù)SKIPIF1<0為偶函數(shù)，可知函數(shù)SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0對稱，又函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，知函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，由SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0，作出函數(shù)SKIPIF1<0的大致圖象，如下：由圖可知，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；所以不等式SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0.故選：B.3．已知定義在R上的函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，若函數(shù)SKIPIF1<0為偶函數(shù)，且SKIPIF1<0，則不等式SKIPIF1<0的解集為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】由函數(shù)SKIPIF1<0為偶函數(shù)，知函數(shù)SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0對稱，又函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，知函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，由SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0，作出函數(shù)的圖象，如下：由圖可知，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；所以不等式SKIPIF1<0的解集為：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故選：C4．已知定義域為SKIPIF1<0的函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞減，且SKIPIF1<0，則使得不等式SKIPIF1<0成立的實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0對稱，因為SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞減，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0，故選：SKIPIF1<0.5．已知函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，滿足對任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】由SKIPIF1<0，得函數(shù)SKIPIF1<0圖像的對稱軸是直線SKIPIF1<0，因為函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，所以，函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，因為SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．所以，實數(shù)a的取值范圍為SKIPIF1<0.故選：C．6．已知函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】令SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為函數(shù)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0均為SKIPIF1<0上的增函數(shù)，故函數(shù)SKIPIF1<0也為SKIPIF1<0上的增函數(shù)，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，故函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為增函數(shù)，因為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故函數(shù)SKIPIF1<0的圖象關于直線SKIPIF1<0對稱，則函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為減函數(shù)，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0.故選：B.二、多選題7．已知定義域為SKIPIF1<0的函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，SKIPIF1<0，且圖像關于SKIPIF1<0對稱，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．周期SKIPIF1<0C．在SKIPIF1<0單調(diào)遞減 D．滿足SKIPIF1<0【解析】由SKIPIF1<0知SKIPIF1<0的對稱軸為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故A正確;由SKIPIF1<0知：SKIPIF1<0，又圖像關于SKIPIF1<0對稱，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的周期為4，故B錯誤;因為SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，又圖像關于SKIPIF1<0對稱，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，因為關于SKIPIF1<0對稱，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，故C正確；根據(jù)周期性，SKIPIF1<0，因為關于SKIPIF1<0對稱，所以SKIPIF1<0，因為周期SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；結合SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，且SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故D正確.故選:ACD.8．對于定義在SKIPIF1<0上的函數(shù)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0是奇函數(shù)，SKIPIF1<0是偶函數(shù)，且在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減【解析】令SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0是奇函數(shù)，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0圖像關于SKIPIF1<0對稱.令SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0是偶函數(shù)，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0圖像關于直線SKIPIF1<0對稱.A選項，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.故A正確；B選項，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，故B正確；C選項，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又因SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，由圖像關于SKIPIF1<0對稱，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，故SKIPIF1<0.故C錯誤.D選項，由SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，結合SKIPIF1<0圖像關于直線SKIPIF1<0對稱，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增.故D錯誤.故選：AB9．已知函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，且SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0對稱，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0為偶函數(shù) D．任意SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0【解析】對于A，因為函數(shù)SKIPIF1<0圖象關于SKIPIF1<0對稱，所以SKIPIF1<0，A錯誤；對于B，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因為函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0，B錯誤；對于C，因為SKIPIF1<0的圖象向左平移一個單位即SKIPIF1<0的圖象，函數(shù)SKIPIF1<0圖象關于SKIPIF1<0