第2章(1)-系統(tǒng)微分方程

jik021第2章

系統(tǒng)的數(shù)學模型模型種類：形象模型、物理模型、數(shù)學模型。數(shù)學模型：描述系統(tǒng)輸入、輸出及內(nèi)部各變量之間關系的數(shù)學表達式。本課程所涉及的數(shù)學模型包括微分方程——時域

傳遞函數(shù)——復域頻率特性——頻域數(shù)學建模的一般方法：1、分析法：根據(jù)系統(tǒng)和元件所遵循的有關定律來推導出數(shù)學表達式，從而建立數(shù)學模型。2、實驗法：根據(jù)實驗數(shù)據(jù)進行整理，擬合出比較接近實際系統(tǒng)的數(shù)學模型。jik022§2.1系統(tǒng)的微分方程

一.線性系統(tǒng)微分方程的規(guī)范化形式

線性定常系統(tǒng)：各系數(shù)都是常數(shù)；

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疊加原理：

線性定常系統(tǒng)：線性時變系統(tǒng)：非線性系統(tǒng)：jik024二．微分方程的建立建立系統(tǒng)微分方程的一般步驟（1）確定系統(tǒng)及各元件(環(huán)節(jié))的輸入和輸出;（2）列寫各環(huán)節(jié)輸入輸出的動力學方程(子方程)；（3）消去中間變量；（4）整理得到標準形式。

典型元件所遵循的物理規(guī)律機械系統(tǒng)電氣系統(tǒng)jik025將輸出變量寫在等號左邊，輸入變量項寫在等號右邊，階次從高到低排列，得標準微分方程

例2.1機械移動系統(tǒng)jik026

阻尼力和彈簧恢復力

構成內(nèi)反饋，是對外推力的反作用。輸出=算符×輸入

令jik027

例2.2

L,R,C電路

原始方程

整理得jik028

例2.3

電樞控制式直流電動機

輸出:電機轉速ω(t)電壓平衡方程:

反電動勢:力矩平衡方程:電磁轉矩:jik029消去中間變量M(t)、ia(t)、e(t)三．微分方程的增量化表示若電動機處于平衡狀態(tài)，變量的各階導數(shù)均為0，則有（靜態(tài)模型）jik0210設平衡點是(ua0、ML0、ω0)，則當偏離平衡點時，（增量方程）討論：（1）增量方程與實際坐標方程形式相同；（2）當平衡點為坐標原點時，兩者等價。jik0211四．非線性微分方程的線性化1、幾種典型的非線性特性f)繼電特性e)死區(qū)d)間隙c)飽和b)彈性變形a)運動阻尼jik02122、小偏差線性化（微偏法）原理：將非線性函數(shù)在平衡點附近按泰勒級數(shù)展開，取其線性部分。泰勒級數(shù)：設有一單調(diào)連續(xù)非線性函數(shù)y=f(x)，在平衡點(x0,y0)及其鄰域內(nèi)，它的各階導數(shù)存在并惟一，則可將該函數(shù)在此平衡點展開如下jik0213

由于是小偏差，增量很小，故可省略二次及二次以上的冪，可得增量表達式為

小偏差線性化的幾何意義：在平衡點及其鄰域內(nèi)用切線代替曲線，其中K是非線性函數(shù)在x0處的斜率。

所謂增量指的不是各個變量的絕對數(shù)量，而是它們偏離平衡點的量，若初始條件為零，可得jik0214例：閥控油缸伺服系統(tǒng)：

原理：

物理量：

（1）系統(tǒng)動力學方程：

（不顯含x）

（2）液壓缸工作腔流體連續(xù)性方程：jik0215（3）負載流量q與閥芯位移x,壓差p的關系：

設平衡位置(狀態(tài))為x0，p0。泰勒級數(shù)

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∶流量增益

∶流量-壓力系數(shù)線性化函數(shù)：負載流量的微增量與閥芯位移微增量及壓力微增量成線性關系。

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代入系統(tǒng)動力學方程jik0218非線性微分方程在一定條件下可進行線性化處理。線性化的條件：（1）非線性函數(shù)是連續(xù)函數(shù)；（2）系統(tǒng)在預定工作點附近作小偏差運動，即變量的

變化范圍很小。線性化的方法：（1）確定預定工作點；（2）在預定工作點附近將非線性方程展開成泰勒級數(shù)；（3）忽略二階及二