14.3.2公式法（解析版）

14.3.2公式法一、單選題1．若多項(xiàng)式可因式分解為，其中、、均為整數(shù)，則的值是（）A．1 B．7 C．11 D．13【答案】B【分析】將多項(xiàng)式5x2+17x-12進(jìn)行因式分解后，確定a、b、c的值即可．【詳解】因?yàn)?x2+17x-12=（x+4）（5x-3）=（x+a）（bx+c），所以a=4，b=5，c=-3，所以a-c=4-（-3）=7，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查十字相乘法分解因式，掌握十字相乘法是正確分解因式的前提，確定a、b、c的值是得出正確答案的關(guān)鍵．2．下列因式分解正確的是（）A． B．C．D．【答案】B【分析】分別根據(jù)因式分解的方法：提公因式法，公式法，十字相乘法逐項(xiàng)運(yùn)算即可．【詳解】A.，故該選項(xiàng)不符合題意．B.，故該選項(xiàng)符合題意．C.，不可以繼續(xù)分解，故該選項(xiàng)不符合題意．D.．故該選項(xiàng)不符合題意．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查因式分解．一個(gè)多項(xiàng)式有公因式先提取公因式，然后再用其他方法進(jìn)行因式分解，同時(shí)因式分解要徹底，直到不能分解為止．3．多項(xiàng)式與的公因式是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】先把兩個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，再根據(jù)公因式的概念進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．【詳解】∵，，∴多項(xiàng)式與的公因式是．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了公因式的判斷，掌握因式分解的方法及公因式的概念是解題的關(guān)鍵．4．多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的公因式是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】分別將多項(xiàng)式與多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，再尋找他們的公因式是．【詳解】∵又∵∴多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的公因式是．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是公因式的確定，先利用提公因式法和公式法分解因式，然后再確定公因式．5．下列因式分解正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】按照因式分解的方法逐個(gè)計(jì)算即可．【詳解】A.，故錯(cuò)誤，不符合題意；B.，故原式錯(cuò)誤，不符合題意；C.，原式分解不徹底，不符合題意；D.，正確，符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用因式分解的方法進(jìn)行計(jì)算，注意：因式分解要徹底．6．下列各多項(xiàng)式中，能運(yùn)用公式法分解因式的有（）A．4x2+1 B．9a2b2-3ab+1 C．x2-x+ D．-x2-y2【答案】C【分析】利用平方差公式，完全平方公式判斷即可．【詳解】A.4x2+1，兩個(gè)平方項(xiàng)，符號(hào)相同，不能因式分解；B.9a2b2-3ab+1，有兩個(gè)平方項(xiàng)，沒有二倍項(xiàng)，不能因式分解；C.x2-x+=（x-）2，能用完全平方公式分解；D.-x2-y2，兩個(gè)平方項(xiàng)，符號(hào)相同，不能因式分解；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了因式分解-運(yùn)用公式法，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．7．若二次三項(xiàng)式可分解為，則a+b的值為（）A． B．1 C． D．2【答案】A【分析】利用多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算法則展開，然后根據(jù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等列式求出a、b的值，然后代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可得解．【詳解】（x-2）（x+b）=x2+（b-2）x-2b，

∵二次三項(xiàng)式x2+ax-1可分解為（x-2）（x+b），

∴，

解得：，

∴a+b=-+=-1．

故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解的意義，因式分解與整式的乘法互為逆運(yùn)算，根據(jù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等列式是解題的關(guān)鍵．8．下列因式分解正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分解因式進(jìn)而判斷得出答案．【詳解】A、，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D、，故此選項(xiàng)正確，符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確應(yīng)用乘法公式是解題關(guān)鍵．二、填空題9．如果因式分解的結(jié)果為，則A=__________，B=__________．【答案】2，【分析】根據(jù)因式分解的意義，可得：，再根據(jù)各項(xiàng)對(duì)應(yīng)相等，可得答案．【詳解】，得，．故答案為：2，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解，利用整式的乘法得出相等整式中同類項(xiàng)的系數(shù)相等是解題關(guān)鍵．10．分解因式：______．【答案】【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．【詳解】=2（m2-9）=2（m+3）（m-3）．故答案為：2（m+3）（m-3）．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．11．因式分解，其中都為整數(shù)，則的最大值是______．【答案】【分析】根據(jù)整式的乘法和因式分解的逆運(yùn)算關(guān)系，按多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則把式子變形，然后根據(jù)p、q的關(guān)系判斷即可．【詳解】∵(x＋p)(x＋q)=x2＋(p+q)x+pq=x2＋mx-6∴p+q=m，pq=-6，∴pq=1×=×6=×3=2×=，∴m=或5或1或，∴m的最大值為5，故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了整式乘法和因式分解的逆運(yùn)算的關(guān)系，關(guān)鍵是根據(jù)整式的乘法還原因式分解的關(guān)系式，注意分類討論的作用．12．一個(gè)四位整數(shù)（千位數(shù)字為，百位數(shù)字為，十位數(shù)字為，個(gè)位數(shù)字為），若滿足，那么，我們稱這個(gè)四位整數(shù)為“類等和數(shù)”．例如：3122是一個(gè)“4類等和數(shù)”，因?yàn)椋海?417不是一個(gè)“類等和數(shù)”，因?yàn)椋海?，．?）寫出最小的“3類等和數(shù)”是___________，最大的“8類等和數(shù)”是___________．（2）若一個(gè)四位整數(shù)是“類等和數(shù)”，且滿足，求滿足條件的所有“類等和數(shù)”的個(gè)數(shù)，并把它們寫出來．【答案】1203；8080；

（2）滿足條件的所有“k類等和數(shù)”的個(gè)數(shù)是3，分別是3214，2323，1432．【分析】(1)根據(jù)題意即可得到結(jié)論；(2)根據(jù)，可得b+d=6或16，再分情況寫出即可．【詳解】（1）三類等和數(shù)為a+b=c+d=3，當(dāng)a=1、b=2、c=0、d=3時(shí)符合三類等和數(shù)，且最?。首钚〉娜惖群蛿?shù)為1203．當(dāng)a=8、b=0、c=8、d=0時(shí)符合8類等和數(shù)，且最大，故最大的8類等和數(shù)為8080．故答案為：①1203；②8080．(2)∵ab+cd=46(a，c≠0)，只有當(dāng)ab=cd=23時(shí)，∴b+d=6或16，∴b=0，d=6(不合題意)b=1，d=5(不合題意)；b=2，d=4，a=3，c=1即3214；b=3，d=3，a=2，c=2即2323；b=4，d=2，a=1，c=3即1432；b=5，d=1(不合題意)；b=6，d=0(不合題意)；b=7，d=9(不合題意)；b=8，d=8(不合題意)；b=9，d=7(不合題意)；綜上所述，滿足條件的所有“k類等和數(shù)”的個(gè)數(shù)是3，分別是3214，2323，1432．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解的應(yīng)用，正確的理解新概念“k類等和數(shù)”是解題的關(guān)鍵．三、解答題13．計(jì)算題：（1）解不等式組，并寫出它的整數(shù)解．（2）利用因式分解計(jì)算：①；②；③．【答案】（1）不等式組的解集為，整數(shù)解為2、3；（2）①；②；③．【分析】（1）分別解兩個(gè)不等式得到不等式組的解集，然后確定不等式組的整數(shù)解．（2）①提取公因式20.16，再簡(jiǎn)便計(jì)算即可；②利用平方差公式簡(jiǎn)便計(jì)算即可；③利用完全平方公式簡(jiǎn)便計(jì)算即可．【詳解】（1）解不等式得：，解不等式得：，所以不等式組的解集為，不等式組的整數(shù)解為2、3；（2）①；②；③．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了求一元一次不等式組的整數(shù)解，解一元一次不等式組時(shí)，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分．也考查了因式分解的應(yīng)用，利用因式分解可以簡(jiǎn)化計(jì)算．14．因式分解：（1）15a3＋10a2（2）3ax2＋6axy＋3ay2（3）（2x＋y）2﹣（x＋2y）2【答案】（1）5a2（3a＋2）；（2）3a（x＋y）2；（3）3（x＋y）（x﹣y）【分析】（1）原式提取公因式即可；（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；（3）原式利用平方差公式分解即可．【詳解】（1）原式＝5a2（3a＋2）；（2）原式＝3a（x2＋2xy＋y2）＝3a（x＋y）2；（3）原式＝（2x＋y＋x＋2y）（2x＋y﹣x﹣2y）＝3（x＋y）（x﹣y）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多項(xiàng)式的因式分解，具體考查了提公因式法和公式法，對(duì)于多項(xiàng)式的因式分解，首先考慮是否有公因式可提，然后再考慮是否能用公式法，要注意：因式分解必須分解到再也不能分解為止，此外，完全平方公式和平方差公式不要用錯(cuò)．15．定義：對(duì)任意一個(gè)兩位數(shù)a，如果a滿足個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字互不相同，且都不為零，那么稱這個(gè)兩位數(shù)為“湘一數(shù)”．將一個(gè)“湘一數(shù)”的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字對(duì)調(diào)后得到一個(gè)新的兩位數(shù)，把這個(gè)新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和與11的商記為f（a）．例如：a＝23，對(duì)調(diào)個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字得到新兩位數(shù)32，新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和為23＋32＝55，和與11的商為55÷11＝5，所以f（23）＝5．根據(jù)以上定義，回答下列問題：（1）填空：①下列兩位數(shù)：50，42，33中，“湘一數(shù)”為；②計(jì)算：f（45）＝．（2）如果一個(gè)“湘一數(shù)”b的十位數(shù)字是k，個(gè)位數(shù)字是2（k＋1），且f（b）＝11，請(qǐng)求出“湘一數(shù)”b．（3）如果一個(gè)“湘一數(shù)”c，滿足c﹣5f（c）＞30，求滿足條件的c的值．【答案】（1）①42；②9；（2）38；（3）71，81，82，91，92，93【分析】（1）①由“湘一數(shù)”的定義可得；②根據(jù)定義計(jì)算可得；（2）由f（10m＋n）＝m＋n，可求得k的值，即可求b；（3）設(shè)c的十位上的數(shù)字是x，個(gè)位上的數(shù)字是y，根據(jù)c﹣5f（c）＞30可列出不等式，即可寫出滿足條件的c的值．【詳解】（1）①由“湘一數(shù)”的定義可得，“湘一數(shù)”為42．②f（45）＝（45＋54）÷11＝9．故答案為：①42；②9．（2）設(shè)任意一個(gè)“湘一數(shù)”的十位上的數(shù)字是m，個(gè)位上的數(shù)字是n，則f（10m＋n）＝（10m＋n＋10n＋m）÷11＝m＋n．又∵一個(gè)“湘一數(shù)”b的十位數(shù)字是k，個(gè)位數(shù)字是2（k＋1），且f（b）＝11，∴k＋2（k＋1）＝11，解得k＝3．∴b＝10k＋2（k＋1）＝12k＋2＝12×3＋2＝38．（3）設(shè)c的十位上的數(shù)字是x，個(gè)位上的數(shù)字是y，∵c﹣5f（c）＞30，∴10x＋y﹣5（x＋y）＞30，∴5x＞30＋4y，∵y≥1，∴5x＞34，即x＞6.8，∵x為整數(shù)，∴x可取7，8，9，當(dāng)x＝7時(shí)，y＝1，c＝71；當(dāng)x＝8時(shí)，y＝1或2，c＝81或82；當(dāng)x＝9時(shí)，y＝1或2或3，c＝91或92或93；綜上，滿足條件的c的值為：71，81，82，91，92，93．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解的應(yīng)用，解一元一次不等式；理解“湘一數(shù)”的定義，并按照定義分析是解題關(guān)鍵．16．如圖，A，B兩張卡片除內(nèi)容外完全相同，現(xiàn)將兩張卡片扣在桌面上，隨機(jī)抽取一張，將抽中卡片上的整式各項(xiàng)改變符號(hào)后與未抽中卡片上的整式相加，并將結(jié)果化簡(jiǎn)得到整式C．（1）若抽中的卡片是B．①求整式C；②當(dāng)x＝﹣1時(shí)，求整式C的值．（2）若無論x取何值，整式C的值都是非負(fù)數(shù)，請(qǐng)通過計(jì)算，判斷抽到的是哪張卡片？【答案】（1）①，②-8；（2）抽中的卡片是A【分析】（1）①根據(jù)卡片B各項(xiàng)改變符號(hào)后得出，再與整式A相加，合并同類項(xiàng)即可；②先利用完全平方公式化簡(jiǎn)整式C，再把x＝﹣1代入整式C即可；（2）分和抽中的卡片是B和抽中的卡片是A兩種情況進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．【詳解】（1）①∵，，∴，②，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，原式=（2）當(dāng)抽中的卡片是B時(shí)，由②得∴不符合題意；當(dāng)抽中的卡片是A時(shí)，∵，，∴，=，∴無論x取何值，整式C的值都是非負(fù)數(shù)，∴抽中的卡片是A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查整式的混合運(yùn)算，掌握完全平方公式是解決問題的關(guān)鍵．17．若一個(gè)四位數(shù)A滿足：①千位數(shù)字2﹣百位數(shù)字2＝后兩位數(shù)，則稱A為“美妙數(shù)”．例如：∵62﹣12＝35，∴6135為“美妙數(shù)”．②7×（千位數(shù)字﹣百位數(shù)字）＝后兩位數(shù)，則稱A是“奇特?cái)?shù)”．例如：7×（8﹣5）＝21，∴8521為“奇特?cái)?shù)”．（1）若一個(gè)“美妙數(shù)”的千位數(shù)字為8，百位數(shù)字為7，則這個(gè)數(shù)是．若一個(gè)“美妙數(shù)”的后兩位數(shù)字為16，則這個(gè)數(shù)是．（2）一個(gè)“美妙數(shù)”與一個(gè)“奇特?cái)?shù)”的千位數(shù)字均為m，百位數(shù)字均為n，且這個(gè)“美妙數(shù)”比“奇特?cái)?shù)”大14，求滿足條件的“美妙數(shù)”．【答案】（1）8715，4016或5316；（2）8628【分析】（1）根據(jù)美妙數(shù)的定義進(jìn)行解答便可；（2）根據(jù)新定義表示出美妙數(shù)與奇特?cái)?shù)，再根據(jù)題意列出方程，求得符合每件的解，進(jìn)而求得結(jié)果．【詳解】（1）∵82﹣72＝15，∴若一個(gè)“美妙數(shù)”的千位數(shù)字為8，百位數(shù)字為7，則這個(gè)數(shù)是8715，∵16＝42﹣02＝52﹣32，∴若一個(gè)“美妙數(shù)”的后兩位數(shù)字為16，則這個(gè)數(shù)是4016或5316，故答案為8715；4016或5316；（2）根據(jù)題意得，（1000m+100n+m2﹣n2）﹣[1000m+100n+7（m﹣n）]＝14，化簡(jiǎn)得（m﹣n）（m+n﹣7）＝14，∵m、n均為整數(shù)，且1≤m≤9，0≤n≤9，∴m＝8，n＝6，∴滿足條件的“美妙數(shù)”為，1000m+100n+m2﹣n2＝8628．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了新定義，整數(shù)的計(jì)算，因式分解的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)新定義列出代數(shù)式和方程．18．閱讀理解：下面是小明同學(xué)分解因式ax+ay+bx+by的方法，首先他將該多項(xiàng)式分為兩組得到（ax+ay）+（bx+by）．然后對(duì)各組進(jìn)行因式分解，得到a（x+y）+b（x+y），結(jié)果發(fā)現(xiàn)有公因式（x+y），提出后得到（x+y）（a+b）．（1）小穎同學(xué)學(xué)得小明同學(xué)方法后，她也嘗試對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，則她最后提出的公因式是；（2）請(qǐng)同學(xué)們也嘗試用小明的方法對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解；（3）若小強(qiáng)同學(xué)將多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解時(shí)發(fā)現(xiàn)有公因式（x﹣3），求的值．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）由題意，分別提取公因式m和5，再整體提取公因式（m+n）即可；（2）由題意，分別利用平方差公式和提公因式法分解，然后再提取公因式（a+b）即可；（3）由分組分解法、提公因式法、以及完全平方公式法進(jìn)行分解因式，即可求出答案．【詳解】（1）根據(jù)題意，==；故答案為：；（2）