福建省泉州市三校(銘選中學(xué)、泉州九中、僑光中學(xué))2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷(解析)

高中數(shù)學(xué)精編資源銘選中學(xué)、泉州九中、僑光中學(xué)2023年春季高一年期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（考試時間：120分鐘滿分：150分）一、單選題(5×8=40）1.已知復(fù)數(shù)z滿足，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】化簡復(fù)數(shù)z，由復(fù)數(shù)幾何意義即可得出答案.【詳解】因為，以z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為（7，-1），位于第四象限．故選：D.2.已知兩個向量，，若，則x的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示分析運算.【詳解】若，則，解得.故選：A.3.在下列區(qū)間中，函數(shù)在其中單調(diào)遞減的區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由正弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間判斷.【詳解】由得，，的減區(qū)間是，，只有選項B的區(qū)間，故選：B．4.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.已知A=45°，a=6，b=3，則B的大小為（）A.30° B.60°C.30°或150° D.60°或120°【答案】A【解析】【分析】先由正弦定理求出sinB=，可得B=30°或B=150°，再由a>b，得A>B，從而可求出B=30°.【詳解】由正弦定理得，即，解得sinB=，又B為三角形內(nèi)角，所以B=30°或B=150°，又因為a>b，所以A>B，即B=30°.故選：A.5.已知，是同一平面內(nèi)互相垂直的兩單位向量，且，則與夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量的夾角公式求解即可【詳解】由題意，，，故與夾角的余弦值故選：D6.已知，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)關(guān)系求得，再由角的范圍有并確定函數(shù)值，進而求目標(biāo)式的值.【詳解】因為，所以，所以，則.因為，則，故，所以.故選：A7.在中，，點D為邊BC上靠近B的三等分點，則的值為（）A. B. C. D.4【答案】B【解析】【分析】利用、表示向量、，利用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可求得的值.【詳解】如下圖所示：，由平面向量數(shù)量積的定義可得，因此，故選：B.8.函數(shù)，已知為圖象的一個對稱中心，直線為圖象的一條對稱軸，且在上單調(diào)遞減．記滿足條件的所有的值的和為，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由一條對稱軸和一個對稱中心可以得到或，由在上單調(diào)遞減可以得到，算出的大致范圍，驗證即可.【詳解】由題意知：或∴或∴或∵在上單調(diào)遞減，∴∴①當(dāng)時，取知此時，當(dāng)時，滿足在上單調(diào)遞減，∴符合取時，，此時，當(dāng)時，滿足在上單調(diào)遞減，∴符合當(dāng)時，，舍去，當(dāng)時，也舍去②當(dāng)時，取知此時，當(dāng)時，，此時在上單調(diào)遞增，舍去當(dāng)時，，舍去，當(dāng)時，也舍去綜上：或2，.故選：A.【點睛】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，難度較大，易錯點在于已知一條對稱軸和一個對稱中心要分兩種情況分析.二、多選題(5×4=20)9.若，，則（）A. B.C.與的夾角為 D.在方向上的投影向量為【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示及向量模的坐標(biāo)表示判斷A、B、C，再根據(jù)投影向量的定義計算判斷D；【詳解】解：因為，，所以，，，所以，，則，，故A正確，B錯誤；設(shè)與的夾角為，則，因為，所以，故C錯誤；在方向上的投影向量為，故D正確；故選：AD10.把函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，再把橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變）得到函數(shù)的圖象，下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（）A.最小正周期為 B.圖象的一條對稱軸為直線C.圖象的一個對稱中心為 D.在區(qū)間上的最小值為【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象平移規(guī)律、伸縮變化可得，再逐項判斷可得答案.【詳解】把函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得，再把橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變）得，則函數(shù)的最小正周期，故A正確；因為，所以圖象的一條對稱軸為直線，故B正確因為，所以不是函數(shù)圖象的一個對稱中心，故C錯誤；當(dāng)時，，，所以，故D錯誤；故選：AB.11.如圖，的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，且，D是外一點，，，則下列說法正確的是（）A.是等邊三角形B.若，則A，B，C，D四點共圓C.四邊形ABCD面積最小值為D.四邊形ABCD面積最大值為【答案】AD【解析】【分析】利用三角函數(shù)恒等變換化簡已知等式可求，再利用，可知是等邊三角形，從而判斷A；利用四點共圓，四邊形對角互補，從而判斷B；由余弦定理可得，利用三角形面積公式，三角函數(shù)恒等變換可求四邊形ABCD的面積，由正弦函數(shù)的性質(zhì)求出最值，判斷CD.【詳解】解：已知，由正弦定理得，，即，因為，所以，又，且，所以．所以是等邊三角形，A選項正確；在中，由余弦定理得，，則，即，所以A，B，C，D四點不共圓，B選項錯誤；設(shè)，，由余弦定理得：，所以四邊形ABCD面積，即，因為，所以，所以當(dāng)，即時，S取得最大值，無最小值，C選項不正確，D選項正確；故選：AD.12.設(shè)，函數(shù)，則下列命題正確的是（）A.若，則B.若的值域為，則C.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一零點，則D.若對任意的，且都有恒成立，則【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的周期性判斷A，對和分別計算函數(shù)的取值情況，即可得到不等式組，從而判斷B、C，依題意對任意的，且都有恒成立，即在上單調(diào)遞增，從而各段均單調(diào)遞增，且斷點處函數(shù)值需滿足右側(cè)的不小于左側(cè)的，即可得到不等式組，解得即可判斷D；【詳解】解：因為，對于A：，所以或，，解得或，，故A錯誤；對于B：若的值域為，當(dāng)時，當(dāng)時且，所以，解得，故B正確；對于C：若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一零點，①又，即時，當(dāng)時，此時，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時且，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，此時函數(shù)必有且僅有一個零點，符合題意；②，即，則當(dāng)時且即函數(shù)在上單調(diào)遞增，即在上不存在零點，要使函數(shù)只有一個零點，在上有且僅有一個零點，故，解得，綜上可得，故C正確；對于D：對任意的，且都有恒成立，即對任意的，且都有恒成立，即在上單調(diào)遞增，所以，解得，故D正確；故選：BCD三、填空題(共20分)13.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)m=____.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)純虛數(shù)實部為0虛部不為0計算即可【詳解】由題意，，解得故答案為：2.14.已知，與的夾角為，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積運算求得正確答案.【詳解】因為，與夾角為，所以.故答案為：15.海洋藍(lán)洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國擁有世界上最深的海洋藍(lán)洞，若要測量如圖所示的藍(lán)洞的口徑A，B兩點間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島_上取兩點C，D，測得，，，，則A、B兩點的距離為______m．【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知的邊和角，在中，由正弦定理解得，在中，由余弦定理得.【詳解】因為，，所以，，所以，又因為，所以，，在中，由正弦定理得，即，解得，在中，由余弦定理得，所以，解得．故答案為：.16.記銳角的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，若，是的兩條高，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)正弦定理進行邊角互化，可得角，再根據(jù)高線的性質(zhì)可得，再利用邊角互化，結(jié)合三角函數(shù)值域可得范圍.【詳解】由，得，再由正弦定理得，故，所以，故，又為銳角三角形，故，即，，故，故答案為：.四、解答題(共10+12+12+12+12+12=70分)17.已知平面向量，，.（1）若，求；（2）若與的夾角為銳角，求的取值范圍.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)垂直關(guān)系可構(gòu)造方程求得，由向量模長的坐標(biāo)運算可求得結(jié)果；（2）根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示可求得的值，根據(jù)夾角為銳角可構(gòu)造不等式組求得結(jié)果.【小問1詳解】，，解得：或，當(dāng)時，，；當(dāng)時，，；綜上所述：或10【小問2詳解】若共線，則，解得：或，當(dāng)時，，，此時同向；當(dāng)時，，，此時反向；若與的夾角為銳角，則，解得：且，的取值范圍為.18.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求函數(shù)的最大值；（2）若，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和輔助角公式化簡，然后求最值即可；（2）根據(jù)得到，然后利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式求即可.【小問1詳解】依題意，，當(dāng)時，，則當(dāng)，即時，，所以當(dāng)時，.小問2詳解】因為，則由（1）知，，即，所以.19.在平面四邊形ABCD中，，，.（1）若△ABC的面積為，求AC；（2）若，，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）應(yīng)用三角形面積公式有，可求，由余弦定理即可求；（2）設(shè)，在中，在△中應(yīng)用正弦定理有，即可求，得解.【小問1詳解】在△中，，，∴，可得，在△中，由余弦定理得，.【小問2詳解】設(shè)，則，在中，，易知：，在△中，由正弦定理得，即，，可得，即..20.如圖，在中，點在線段上，且滿足，過點的直線分別交直線于不同的兩點，若.（1），求的值；（2）求證：，并求的最小值.【答案】（1）（2）證明見解析；【解析】【分析】（1）確定，得到答案.（2）確定，得到，確定，展開利用均值不等式計算得到答案.【小問1詳解】，故，【小問2詳解】，三點共線，故，即，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故的最小值為.21.銳角的三個內(nèi)角是、、，滿足．（1）求角的大小及角的取值范圍；（2）若的外接圓圓心為，且，求的取值范圍．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化簡已知條件，求得.根據(jù)銳角三角形的知識列不等式，由此求得的取值范圍.（2）根據(jù)正弦定理求得外接圓的半徑，設(shè)，將表示為的形式，結(jié)合三角函數(shù)值域的知識求得的取值范圍.【小問1詳解】設(shè)的三個內(nèi)角、、的對邊分別為、、，因為，由正弦定理可得，所以，故，所以為銳角，所以，因為為銳角三角形，則，解得，所以，角的取值范圍是.【小問2詳解】設(shè)的外接圓半徑為，所以，，設(shè)，則，則，所以，因為，所以，所以所以，所以，所以的取值范圍為.22.為響應(yīng)國家“鄉(xiāng)村振興”號召，農(nóng)民王大伯?dāng)M將自家一塊直角三角形地按如圖規(guī)劃成3個功能區(qū)：△BNC區(qū)域為荔枝林和放養(yǎng)走地雞，△CMA區(qū)域規(guī)劃為“民宿”供游客住宿及餐飲，△MNC區(qū)域規(guī)劃為小型魚塘養(yǎng)魚供休閑垂釣.為安全起見，在魚塘△MNC周圍筑起護欄.已知，，，.（1）若時，求護欄的長度（△MNC的周長）；（2）當(dāng)為何值時，魚塘△MNC的面積最小，最小面積是多少？【答案】（1）；（2），最小值為.【解析】【分析】（1