甘肅省武威市第一中2025屆高考適應性考試數(shù)學試卷含解析

甘肅省武威市第一中2025屆高考適應性考試數(shù)學試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設函數(shù)，的定義域都為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列結論正確的是（）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C．是奇函數(shù) D．是奇函數(shù)2．如圖是國家統(tǒng)計局公布的年入境游客（單位：萬人次）的變化情況，則下列結論錯誤的是（）A．2014年我國入境游客萬人次最少B．后4年我國入境游客萬人次呈逐漸增加趨勢C．這6年我國入境游客萬人次的中位數(shù)大于13340萬人次D．前3年我國入境游客萬人次數(shù)據(jù)的方差小于后3年我國入境游客萬人次數(shù)據(jù)的方差3．已知是雙曲線的左、右焦點，是的左、右頂點，點在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的漸近線方程為（）A． B． C． D．4．函數(shù)的對稱軸不可能為（）A． B． C． D．5．已知向量滿足,且與的夾角為,則()A． B． C． D．6．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面積為（）A． B． C． D．7．已知滿足，，,則在上的投影為（）A． B． C． D．28．已知復數(shù)滿足，且，則（）A．3 B． C． D．9．已知，，則的大小關系為（）A． B． C． D．10．已知拋物線：（）的焦點為，為該拋物線上一點，以為圓心的圓與的準線相切于點，，則拋物線方程為（）A． B． C． D．11．已知點在雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．12．在正方體中，點、分別為、的中點，過點作平面使平面，平面若直線平面，則的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，則________，________.14．（5分）已知為實數(shù)，向量，，且，則____________．15．有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎，有人走訪了四位歌手，甲說“是乙或丙獲獎.”乙說：“甲、丙都未獲獎.”丙說：“我獲獎了”.丁說：“是乙獲獎.”四位歌手的話只有兩句是對的，則獲獎的歌手是__________．16．在中，內角所對的邊分別是，若，，則__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）(Ⅰ)證明：；(Ⅱ)證明：()；(Ⅲ)證明：.18．（12分）曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線的極坐標方程為.(1)求曲線的極坐標方程和曲線的直角坐標方程；(2)若直線與曲線，的交點分別為、（、異于原點），當斜率時，求的最小值.19．（12分）已知橢圓的長軸長為，離心率（1）求橢圓的方程；（2）設分別為橢圓與軸正半軸和軸正半軸的交點，是橢圓上在第一象限的一點，直線與軸交于點，直線與軸交于點，問與面積之差是否為定值？說明理由.20．（12分）已知是拋物線：的焦點，點在上，到軸的距離比小1.（1）求的方程；（2）設直線與交于另一點，為的中點，點在軸上，.若，求直線的斜率.21．（12分）小麗在同一城市開的2家店鋪各有2名員工.節(jié)假日期間的某一天，每名員工休假的概率都是，且是否休假互不影響，若一家店鋪的員工全部休假，而另一家無人休假，則調劑1人到該店維持營業(yè)，否則該店就停業(yè).（1）求發(fā)生調劑現(xiàn)象的概率；（2）設營業(yè)店鋪數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望.22．（10分）已知關于的不等式有解.（1）求實數(shù)的最大值；（2）若，，均為正實數(shù)，且滿足.證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質即可得到結論．【詳解】解：是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，，，，故函數(shù)是奇函數(shù)，故錯誤，為偶函數(shù)，故錯誤，是奇函數(shù)，故正確．為偶函數(shù)，故錯誤，故選：．【點睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義是解決本題的關鍵．2、D【解析】

ABD可通過統(tǒng)計圖直接分析得出結論，C可通過計算中位數(shù)判斷選項是否正確.【詳解】A．由統(tǒng)計圖可知：2014年入境游客萬人次最少，故正確；B．由統(tǒng)計圖可知：后4年我國入境游客萬人次呈逐漸增加趨勢，故正確；C．入境游客萬人次的中位數(shù)應為與的平均數(shù)，大于萬次，故正確；D．由統(tǒng)計圖可知：前年的入境游客萬人次相比于后年的波動更大，所以對應的方差更大，故錯誤.故選：D.【點睛】本題考查統(tǒng)計圖表信息的讀取以及對中位數(shù)和方差的理解，難度較易.處理問題的關鍵是能通過所給統(tǒng)計圖，分析出對應的信息，對學生分析問題的能力有一定要求.3、D【解析】

根據(jù)為等腰三角形，可求出點P的坐標，又由的斜率為可得出關系，即可求出漸近線斜率得解.【詳解】如圖，因為為等腰三角形，，所以，,，又，，解得，所以雙曲線的漸近線方程為，故選：D【點睛】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質，屬于中檔題.4、D【解析】

由條件利用余弦函數(shù)的圖象的對稱性，得出結論．【詳解】對于函數(shù)，令，解得，當時，函數(shù)的對稱軸為，，.故選：D.【點睛】本題主要考查余弦函數(shù)的圖象的對稱性，屬于基礎題．5、A【解析】

根據(jù)向量的運算法則展開后利用數(shù)量積的性質即可.【詳解】.故選：A.【點睛】本題主要考查數(shù)量積的運算，屬于基礎題.6、C【解析】

由三視圖可知，幾何體是一個三棱柱，三棱柱的底面是底邊為，高為的等腰三角形，側棱長為，利用正弦定理求出底面三角形外接圓的半徑，根據(jù)三棱柱的兩底面中心連線的中點就是三棱柱的外接球的球心，求出球的半徑，即可求解球的表面積.【詳解】由三視圖可知，幾何體是一個三棱柱，三棱柱的底面是底邊為，高為的等腰三角形，側棱長為，如圖：由底面邊長可知，底面三角形的頂角為，由正弦定理可得，解得，三棱柱的兩底面中心連線的中點就是三棱柱的外接球的球心，所以，該幾何體外接球的表面積為：.故選：C【點睛】本題考查了多面體的內切球與外接球問題，由三視圖求幾何體的表面積，考查了學生的空間想象能力，屬于基礎題.7、A【解析】

根據(jù)向量投影的定義，即可求解.【詳解】在上的投影為.故選:A【點睛】本題考查向量的投影，屬于基礎題.8、C【解析】

設,則,利用和求得,即可.【詳解】設,則,因為,則,所以,又,即,所以,所以,故選:C【點睛】本題考查復數(shù)的乘法法則的應用,考查共軛復數(shù)的應用.9、D【解析】

由指數(shù)函數(shù)的圖像與性質易得最小，利用作差法，結合對數(shù)換底公式及基本不等式的性質即可比較和的大小關系，進而得解.【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖像與性質可知，由對數(shù)函數(shù)的圖像與性質可知，，所以最小；而由對數(shù)換底公式化簡可得由基本不等式可知，代入上式可得所以，綜上可知，故選：D.【點睛】本題考查了指數(shù)式與對數(shù)式的化簡變形，對數(shù)換底公式及基本不等式的簡單應用，作差法比較大小，屬于中檔題.10、C【解析】

根據(jù)拋物線方程求得點的坐標，根據(jù)軸、列方程，解方程求得的值.【詳解】不妨設在第一象限，由于在拋物線上，所以，由于以為圓心的圓與的準線相切于點，根據(jù)拋物線的定義可知，、軸，且.由于，所以直線的傾斜角為，所以，解得，或（由于，故舍去）.所以拋物線的方程為.故選：C【點睛】本小題主要考查拋物線的定義，考查直線的斜率，考查數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.11、C【解析】

將點A坐標代入雙曲線方程即可求出雙曲線的實軸長和虛軸長，進而求得離心率.【詳解】將,代入方程得，而雙曲線的半實軸，所以，得離心率,故選C.【點睛】此題考查雙曲線的標準方程和離心率的概念，屬于基礎題.12、B【解析】

作出圖形，設平面分別交、于點、，連接、、，取的中點，連接、，連接交于點，推導出，由線面平行的性質定理可得出，可得出點為的中點，同理可得出點為的中點，結合中位線的性質可求得的值.【詳解】如下圖所示：設平面分別交、于點、，連接、、，取的中點，連接、，連接交于點，四邊形為正方形，、分別為、的中點，則且，四邊形為平行四邊形，且，且，且，則四邊形為平行四邊形，，平面，則存在直線平面，使得，若平面，則平面，又平面，則平面，此時，平面為平面，直線不可能與平面平行，所以，平面，，平面，平面，平面平面，，，所以，四邊形為平行四邊形，可得，為的中點，同理可證為的中點，，，因此，.故選：B.【點睛】本題考查線段長度比值的計算，涉及線面平行性質的應用，解答的關鍵就是找出平面與正方體各棱的交點位置，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)誘導公式和二倍角公式計算得到答案.【詳解】，故.故答案為：；.【點睛】本題考查了誘導公式和二倍角公式，屬于簡單題.14、5【解析】

由，，且，得，解得，則，則．15、丙【解析】若甲獲獎，則甲、乙、丙、丁說的都是錯的，同理可推知乙、丙、丁獲獎的情況，可知獲獎的歌手是丙．考點：反證法在推理中的應用.16、【解析】

先求得的值，由此求得的值，再利用正弦定理求得的值.【詳解】由于，所以，所以.由正弦定理得.故答案為：【點睛】本小題主要考查正弦定理解三角形，考查同角三角函數(shù)的基本關系式，考查兩角和的正弦公式，考查三角形的內角和定理，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)見解析（Ⅱ）見解析（Ⅲ）見解析【解析】

運用數(shù)學歸納法證明即可得到結果化簡，運用累加法得出結果運用放縮法和累加法進行求證【詳解】（Ⅰ）數(shù)學歸納法證明時，①當時，成立；②當時，假設成立，則時所以時，成立綜上①②可知，時，（Ⅱ）由得所以；；故，又所以(Ⅲ)由累加法得：所以故【點睛】本題考查了數(shù)列的綜合，運用數(shù)學歸納法證明不等式的成立，結合已知條件進行化簡求出化簡后的結果，利用放縮法求出不等式，然后兩邊同時取對數(shù)再進行證明，本題較為困難。18、（1）的極坐標方程為；曲線的直角坐標方程.（2）【解析】

(1)消去參數(shù)，可得曲線的直角坐標方程，再利用極坐標與直角坐標的互化，即可求解.(2)解法1：設直線的傾斜角為，把直線的參數(shù)方程代入曲線的普通坐標方程，求得，再把直線的參數(shù)方程代入曲線的普通坐標方程，得，得出，利用基本不等式，即可求解；解法2：設直線的極坐標方程為，分別代入曲線，的極坐標方程，得，，得出，即可基本不等式，即可求解.【詳解】(1)由題曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），消去參數(shù)，可得曲線的直角坐標方程為，即，則曲線的極坐標方程為，即，又因為曲線的極坐標方程為，即，根據(jù)，代入即可求解曲線的直角坐標方程.(2)解法1：設直線的傾斜角為，則直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），把直線的參數(shù)方程代入曲線的普通坐標方程得：，解得，，，把直線的參數(shù)方程代入曲線的普通坐標方程得：，解得，，，，，即，，，，當且僅當，即時取等號，故的最小值為.解法2：設直線的極坐標方程為），代入曲線的極坐標方程，得，，把直線的參數(shù)方程代入曲線的極坐標方程得：，，即，，曲線的參，即，，，，當且僅當，即時取等號，故的最小值為.【點睛】本題主要考查了參數(shù)方程與普通方程，以及極坐標方程與直角坐標方程點互化，以及直線參數(shù)方程的應用和極坐標方程的應用，其中解答中熟記互化公式，合理應用直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.19、（1）（2）是定值，詳見解析【解析】

（1）根據(jù)長軸長為，離心率，則有求解.（2）設，則，直線，令得，，則，直線，令，得，則，再根據(jù)求解.【詳解】（1）依題意得，解得，則橢圓的方程.（2）設，則，直線，令得，，則，直線，令，得，則，.【點睛】本題主要考查橢圓的方程及直線與橢圓的位置關系，還考查了平面幾何知識和運算求解的能力，屬于中檔題.20、（1）（2）【解析】

（1）由拋物線定義可知，解得，故拋物線的方程為；（2）設直線：，聯(lián)立，利用韋達定理算出的中點，又，所以直線的方程為，求出，利用求解即可.【詳解】（1）設的準線為，過作于，則由拋物線定義，得，因為到的距離比到軸的距離大1，所以，解得，所以的方程為（2）由題意，設直線方程為，由消去，得，設，，則，所以，又因為為的中點，點的坐標為，直線的方程為，令，得，點的坐標為，所以，解得，所以直線的斜率為.【點睛】本題主要考查拋物線的定義，直線與拋物線的位置關系等基礎知識，考查學生的運算求解能力.涉及拋物線的弦的中點，斜率問題時，可采用韋達定理或“點差法”求解.21、（1）（2）見解析，【解析】

（1）根據(jù)題意設出事件，列出概率，運用公式求解；（2）由題得，X的所有可能取值為，根據(jù)（1）和變量對應的事件，可得變量對應的概率，即可得分布列和期望值.【詳解】（1）記2家小店分別為A，B，A店有i人休假記為事件（，1，2），B店有i人，休假記為事件（，1，2），發(fā)生調劑現(xiàn)象的概率為P.則，，.所以.答：發(fā)生調劑現(xiàn)象的概率為.（2）依題意