《經(jīng)濟數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》課件第3章

第3章微分中值定理及其應(yīng)用

3.1微分中值定理3.2洛必達法則3.3函數(shù)的單調(diào)性與極值3.4曲線的凹向與拐點

3.1微分中值定理

3.1.1羅爾定理

定理3.1(羅爾(Rolle)定理)如果函數(shù)f(x)滿足條件：

(1)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；

(2)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)；

(3)f(a)=f(b)，

則在開區(qū)間(a，b)內(nèi)至少存在一點ξ，使得f′(ξ)=0.

羅爾定理的幾何意義如下：圖3-1中，函數(shù)y=f(x)表示了(a，b)內(nèi)一條光滑連續(xù)的曲線，且曲線兩端點A、B的縱坐標(biāo)相等，即f(a)=f(b)，那么在曲線上至少存在一點ξ，使得曲線在該點處的切線平行于x軸，即f′(ξ)=0.圖3-1例1

驗證函數(shù)

在區(qū)間[0，2]上滿足羅爾定理的條件，并求出羅爾定理中的ξ值.

解顯然，函數(shù)

在閉區(qū)間[0，2]上連續(xù)，在開區(qū)間(0，2)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=0，f(2)=0.

又由于

令f′(x)=0，解得

x=4/3

因(4/3)∈(0，2)，

故取

ξ=4/33.1.2拉格朗日(Lagrange)中值定理

定理3.2(拉格朗日(Lagrange)中值定理)如果函數(shù)f(x)滿足條件：

(1)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；

(2)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，

則在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少存在一點ξ，使得

或

f(b)－f(a)=f′(ξ)(b－a)

顯然，拉格朗日中值定理的幾何意義如下：圖3-2中，函數(shù)y=f(x)表示了(a，b)內(nèi)一條光滑連續(xù)的曲線，則在曲線上至少存在一點ξ，使得曲線在該點處的切線與弦AB平行.圖3-2注當(dāng)f(a)=f(b)時，拉格朗日中值定理就變成了羅爾定理，即羅爾定理是拉格朗日中值定理的特殊情形.

拉格朗日中值定理是微分學(xué)中的基本定理，它建立了函數(shù)在一個區(qū)間上的改變量和函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)某點的導(dǎo)數(shù)之間的聯(lián)系，從而使我們有可能利用導(dǎo)數(shù)去研究函數(shù)在區(qū)間上的性態(tài).

拉格朗日中值定理有如下兩個推論.

推論1

如果函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)每一點的導(dǎo)數(shù)f′(x)=0，則在(a，b)內(nèi)f(x)為一個常數(shù).

證明在(a，b)內(nèi)任取兩點x1、x2，且x1<x2，于是f(x)在閉區(qū)間[x1，x2]上滿足拉格朗日中值定理條件，因此在(x1，x2)內(nèi)必存在一點ξ，使得

f(x2)－f(x1)=f′(ξ)·(x2－x1)

又因為在(a，b)內(nèi)恒有f′(x)=0，故f′(ξ)=0，從而

f(x2)－f(x1)=0

即

f(x2)=f(x1)

由于x1、x2是(a，b)內(nèi)的任意兩點，故證得在(a，b)內(nèi)f(x)是常函數(shù).推論2

如果函數(shù)f(x)和g(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)的導(dǎo)數(shù)處處相等，即f′(x)=g′(x)，則f(x)和g(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)只相差一個常數(shù)，即

f(x)=g(x)+C

例2

求證：在(－∞，+∞)內(nèi)，arctanx+arccotx=(π/2)恒

成立.

證明令f(x)=arctanx+arccotx，則有故由推論1知f(x)在(－∞，+∞)內(nèi)是一個常函數(shù)，即

arctanx+arccotx=C(C為常數(shù))

取x=1，可得

arctan1+arccot1=π/2

故證得在(－∞，+∞)內(nèi)，

arctanx+arccotx=π/2

恒成立.例3

求證：當(dāng)x>0時，不等式x>ln(1+x)成立.

證明設(shè)f(x)=x－ln(1+x)，因為f(x)為初等函數(shù)，故其在

[0，+∞)上連續(xù).又

由此可知f(x)在(0，+∞)內(nèi)可導(dǎo)，于是f(x)在區(qū)間[0，x](x>0)上滿足拉格朗日中值定理條件，所以至少存在一點ξ∈(0，x)，使得

f(x)－f(0)=f′(ξ)(x－0)

而

已知x>0，所以ξ>0,ξ/(1+ξ)>0，從而f′(ξ)>0，且f(0)=0，于是

f(x)>0

即

x>ln(1+x)

3.1.3柯西定理

定理3.3(柯西(Cauchy)定理)如果函數(shù)f(x)與g(x)都在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且g′(x)≠0，則在開區(qū)間(a，b)內(nèi)至少存在一點ξ，使得

3.2洛必達法則

3.2.1“(0/0)”和“(∞/∞)”基本未定式

定理3.4(洛必達法則一)如果函數(shù)f(x)與g(x)滿足條件：

(1)，

(2)f(x)與g(x)在點x0的某個鄰域內(nèi)(點x0可除外)可導(dǎo)，且g′(x)≠0；

(3)則有定理3.5(洛必達法則二)如果函數(shù)f(x)與g(x)滿足條件：

(1)，

(2)f(x)與g(x)在點x0的某個鄰域內(nèi)(點x0可除外)可導(dǎo)，且g′(x)≠0；

(3)則有例1

求解這是“0/0”型未定式，因此例2

求解這是“(0/0)”型未定式，因此例3

求

.

解這是“(0/0)”型未定式，因此

例4解這是“(∞/∞)”型未定式，因此例5

求.

解這是“(∞/∞)”型未定式，因此3.2.2其他未定式

洛必達法則除了求“0/0”型和“∞/∞”型基本未定式的極限外，還可以用來求“0·∞”、“∞－∞”、“00”、“∞0”、“1∞”型等其他未定式的極限，但需先將它們化為基本未定式“0/0”或“∞/∞”型，再使用洛必達法則計算.

例6

求

解這是“0·∞”型未定式，因此

例7

求

解這是“∞－∞”型未定式，因此例8

求解這是“∞0”型未定式，因此又

所以例9

求解這是“∞/∞”型未定式，因此這時，不滿足洛必達法則條件(3)，所以不能使用該法則.但是，原極限用如下方法可解：

3.3函數(shù)的單調(diào)性與極值

3.3.1函數(shù)的單調(diào)性

單調(diào)性是函數(shù)的一個重要性質(zhì)，第1章中我們給出了函數(shù)單調(diào)性的定義，但是利用定義來判斷函數(shù)的單調(diào)性往往是比較復(fù)雜的.本節(jié)將討論函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系，繼而給出利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的新的方法.

在圖3-3中，曲線沿x軸正向是上升的，其上每一點的切線與x軸正向的夾角都是銳角，因而切線的斜率都大于零，即曲線上各點的導(dǎo)數(shù)都大于零；相反地，在圖3-4中，曲線沿x軸正向是下降的，其上每一點的切線與x軸正向的夾角都是鈍角,因而切線的斜率都小于零,即曲線上各點的導(dǎo)數(shù)都小于零.圖3-3圖3-4定理3.6

設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo).

(1)如果在開區(qū)間(a，b)內(nèi)，f′(x)>0，則函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增；

(2)如果在開區(qū)間(a，b)內(nèi)，f′(x)<0，則函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減.

注(1)該定理中的連續(xù)區(qū)間若改為開區(qū)間或半閉半開區(qū)間，結(jié)論也相應(yīng)成立.

(2)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)的個別點的導(dǎo)數(shù)等于零，在其余點的導(dǎo)數(shù)同號，則不影響函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性.如：y=x3，在x=0處的導(dǎo)數(shù)等于零，而在其余點的導(dǎo)數(shù)都大于零，故它在(－∞，+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.

(3)有的函數(shù)在整個定義域上并不具有單調(diào)性，但在其各個子區(qū)間上卻具有單調(diào)性.如：y=x2+1，在區(qū)間(－∞，0)內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間(0，+∞)內(nèi)單調(diào)遞增，并且分界點x=0處有f′(0)=0(通常把導(dǎo)數(shù)為零的點稱為駐點).

因此，要求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，一般分三步：

(1)求一階導(dǎo)數(shù)f′(x).

(2)求分界點：使一階導(dǎo)數(shù)f′(x)=0的駐點和一階導(dǎo)數(shù)不存在的點.

(3)討論各子區(qū)間上的單調(diào)性.例1

求函數(shù)f(x)=x3－6x2+9x－4的單調(diào)區(qū)間.

解函數(shù)f(x)=x3－6x2+9x－4的定義域為(－∞，+∞)，由于f′(x)=3x2－12x+9=3(x－1)(x－3)所以令f′(x)=0，得

x1=1，x2=3

顯然，這些點將區(qū)間(－∞，+∞)劃分為三個子區(qū)間，具體情況見表3-1.例2

求函數(shù)f(x)=2x+(8/x)的單調(diào)區(qū)間.

解函數(shù)的定義域為(－∞，0)∪(0，+∞)，由于

f′(x)=2－(8/x2)

所以當(dāng)x=±2時，f′(x)=0；當(dāng)x=0時，f′(x)不存在.

顯然，這些點將區(qū)間(－∞，+∞)劃分為四個子區(qū)間，具體情況見表3-2.3.3.2函數(shù)的極值

1.極值的概念

定義3.1

設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的某一鄰域內(nèi)有定義，如果對于該鄰域內(nèi)任一點(x≠x0)，恒有f(x)<f(x0)，則稱f(x0)為函數(shù)f(x)的一個極大值，并稱x0為極大值點；

若f(x)>f(x0)，則稱f(x0)為函數(shù)f(x)的一個極小值，并稱x0為極小值點.

函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點.注

(1)極值是一個局部概念，是相對于極值點附近的某一鄰域而言的;最值是一個整體概念，是針對整個區(qū)間而言的.

(2)極值只能在區(qū)間內(nèi)部取得；最值不僅可以在區(qū)間內(nèi)部取得，還可以在區(qū)間的端點處取得.

(3)一個區(qū)間內(nèi)可能有多個極值，并且極大值不一定大于極小值，如圖3-5中極小值f(x4)就大于極大值f(x1)；最值如果存在，則有且只有一個.圖3-5

2.極值的求法

從圖3-5中可以看出，可導(dǎo)函數(shù)在極值點的切線一定是水平方向的，但是有水平切線的點卻不一定是極值點，如圖中的x5點.

下面介紹極值存在的必要條件和充分條件.

定理3.7(極值存在的必要條件)如果函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo)，且在x0處取得極值，則f′(x0)=0.

由此可知，可導(dǎo)函數(shù)的極值點一定是駐點;反之，駐點不一定是極值點，如圖3-5中的x5點.

對于一個連續(xù)函數(shù)而言，它的極值點也可能是導(dǎo)數(shù)不存在的點，如圖3-5中的x4點.定理3.8(極值存在的第一充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的某一鄰域內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo)(x0點可以不可導(dǎo))，當(dāng)x由左到右經(jīng)過x0點時：

(1)若f′(x)由正變負(fù)，那么x0點是極大值點；

(2)若f′(x)由負(fù)變正，那么x0點是極小值點；

(3)若f′(x)不變號，那么x0點不是極值點.

由定理3.8可知，求函數(shù)極值點和極值的一般步驟如下：

(1)求出函數(shù)的定義域及導(dǎo)數(shù)f′(x).

(2)求出f(x)的全部駐點和導(dǎo)數(shù)不存在的點.

(3)用這些點將定義域劃分為若干個子區(qū)間，列表考察各子區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)f′(x)的符號，用定理3.8確定該點是否為極值點.例3

求函數(shù)f(x)=(x2－1)3+1的極值.

解

(1)f(x)的定義域為(－∞，+∞)，f′(x)=6x(x2－1)2.

(2)令f′(x)=0，解得駐點x1=－1，x2=0，x3=1.

(3)用這些駐點將定義域劃分為四個子區(qū)間，見表3-3.例4

求函數(shù)f(x)=2－(x－1)2/3的極值.

解

(1)f(x)的定義域為(－∞，+∞)，

(2)當(dāng)x=1時，f′(x)不存在.

(3)顯然，當(dāng)x<1時，f′(x)>0；當(dāng)x>1時，f′(x)<0.故有極大值f(1)=1.

定理3.9(極值存在的第二充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在點x0處具有二階導(dǎo)數(shù)，且f′(x0)=0，f″(x0)≠0.

(1)若f″(x0)<0，則函數(shù)f(x)在點x0處取得極大值；

(2)若f″(x0)>0，則函數(shù)f(x)在點x0處取得極小值.例5

求函數(shù)f(x)=x3－4x2+4的極值.

解

(1)f(x)的定義域為(－∞，+∞)，f′(x)=3x2－8x=x(3x－8).

(2)令f′(x)=0，解得駐點x1=0，x2=(8/3).

(3)由于f″(x)=6x－8，所以有

f″(0)=－8<0，f″(8/3)=8>0

故函數(shù)有極小值f(8/3)=－(148/27)，極大值f(0)=4.3.3.3函數(shù)的最值

在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、工程技術(shù)和經(jīng)濟管理等活動中，經(jīng)常會遇到這樣一類問題：在一定的條件下，如何才能做到“用料最省”、“成本最低”、“利潤最大”、“效率最高”等問題，這類問題在數(shù)學(xué)上都可以歸結(jié)為求函數(shù)的最大值、最小值問題.

由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)可知，閉區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)f(x)一定有最大值和最小值.由極值和最值間的關(guān)系不難看出，函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值和最小值只能在開區(qū)間(a，b)內(nèi)的極值點或區(qū)間的端點處取得.因此，閉區(qū)間[a，b]上函數(shù)的最大值和最小值可按如下方法求得：

(1)求出函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)的所有可能極值點(駐點或不可導(dǎo)點).

(2)求出所有可能極值點的函數(shù)值以及端點的函數(shù)值f(a)和f(b).

(3)比較求出的所有函數(shù)值的大小，其中最大的就是函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值，最小的就是函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的最小值.

例6

求函數(shù)

在[0，4]上的最大值和最小值.

解因為令f′(x)=0，解得駐點

x=1/16

由于f(1/16)=－(1/8)，而端點值

f(0)=0，f(4)=6

故函數(shù)f(x)在[0，4]上的最大值為f(4)=6，最小值為f(1/16)

=－(1/8).

在實際問題中，往往可以根據(jù)問題的性質(zhì)就斷定在定義域內(nèi)一定有最大值或最小值.可以證明，如果函數(shù)在其定義域內(nèi)存在著最大值或最小值，且只有一個可能極值點，那么，可以斷定函數(shù)在該點一定取得相應(yīng)的最大值或最小值.例7

已知某個企業(yè)的生產(chǎn)成本函數(shù)為

C=q3－9q2+30q+25

其中:C為成本(單位：千元);q為產(chǎn)量(單位：噸).求平均可變成本y(單位：千元)的最小值.

解依題意，平均可變成本為

y=(C－25)/q=q2－9q+30

故y′=2q－9.令y′=2q－9=0，得q=4.5噸.

又y″|q=4.5=2>0，所以q=4.5時，y取得極小值，由于是唯一的極小值，故也是最小值.

即當(dāng)產(chǎn)量q=4.5噸時，平均可變成本y取得最小值y=9.75千元例8

設(shè)某商品每天的市場需求量Q=18－(P/4)，若工廠每天生產(chǎn)該商品的成本函數(shù)是C(Q)=120+2Q+Q2(元)，問該廠每天產(chǎn)量為多少時，可使利潤最大？這時價格是多少？

解由Q=18－(P/4)可得

P=72－4Q

故總收入函數(shù)為

R(Q)=(72－4Q)Q=72Q－4Q2

利潤函數(shù)為

L(Q)=R(Q)－C(Q)=－5Q2+70Q－120

又L′(Q)=－10Q+70，故令L′(Q)=0，可得

Q=7

由實際情況可得，當(dāng)每天的產(chǎn)量Q=7時，有最大利潤L(7)=125元，這時商品的價格P=72－4×7=44元.

3.4曲線的凹向與拐點

3.4.1曲線的凹向與拐點

1.曲線凹向與拐點的概念

定義3.2

如果在區(qū)間(a，b)內(nèi)，曲線始終位于其上各點的切線的上方，則稱曲線在區(qū)間(a，b)內(nèi)是上凹的；如果曲線始終位于其上每一點的切線的下方，則稱曲線在這個區(qū)間內(nèi)是下凹的.

從圖3-7中不難看出，在區(qū)間(a，b)內(nèi)曲線段AB是下凹的，在區(qū)間(b，c)內(nèi)曲線段BC是上凹的.圖3-7定義3.3連續(xù)曲線上上凹與下凹的分界點稱為曲線的拐點.

2.曲線凹向的判定

定理3.10(曲線凹向判定定理)設(shè)函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù).

(1)若在開區(qū)間(a，b)內(nèi)，恒有f″(x)>0，則曲線y=f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)是上凹的；

(2)若在開區(qū)間(a，b)內(nèi)，恒有f″(x)<0，則曲線y=f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)是下凹的.

由于拐點是連續(xù)曲線上凹與下凹的分界點，故在拐點兩側(cè)的二階導(dǎo)數(shù)f″(x)必然異號，從而在拐點處必有f″(x)=0或f″(x)不存在.也就是說，二階導(dǎo)數(shù)為零的點或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點都可能是曲線的拐點.例1

求曲線y=lnx的凹向區(qū)間與拐點.

解函數(shù)y=lnx的定義域為(0，+∞)，且

y′=(1/x)，y″=－(1/x2)

因此，在(0，+∞)內(nèi)，恒有y″<0，故曲線y=lnx在(0，+∞)內(nèi)是下凹的，無拐點.

例2

求曲線y=3x4－4x3+1的凹向區(qū)間與拐點.

解函數(shù)y=3x4－4x3+1的定義域為(－∞，+∞)，且

y′=12x3－12x2，y″=36x2－24x=12x(3x－2)

令y″=0，解得

x1=0，x2=2/3

這些點將定義域劃分為三個子區(qū)間，見表3-4.例3

求曲線y=ln(x2+1)的凹向區(qū)間與拐點.

解函數(shù)y=ln(x2+1)的定義域為(－∞，+∞)，且

令y″=0，解得

x1=－1，x2=1

這些點將定義域劃分為三個子區(qū)間，見表3-5.3.4.2曲線的漸近線

在描繪函數(shù)圖像時會遇到這樣一種情形：有些函數(shù)的定義域(或值域)是無限區(qū)間，此時函數(shù)的圖像向無窮遠(yuǎn)處延伸，并且常常會接近某一條直線，這樣的直線稱為曲線的漸近線，如雙曲線x2/a2－(y2/b2)=1、指數(shù)函數(shù)曲線y=ax等.

定義3.4

若曲線上的動點沿著曲線無限遠(yuǎn)移時，該點與某條定直線的距離趨近于零，則稱這條定直線為曲線的漸近線.

漸近線分水平漸近線、鉛直漸近線和斜漸近線三類.下