2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第二章等式與不等式2.1等式2.1.2一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系第2課時(shí)學(xué)案含解析新人教B版必修第一冊

2.1.2一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系第2課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.駕馭一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.2.會(huì)用其求一些關(guān)于方程兩根的代數(shù)式的值.3.通過對(duì)一元二次方程解集及根與系數(shù)的關(guān)系的學(xué)習(xí),培育數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng).自主預(yù)習(xí)閱讀課本P50嘗試與發(fā)覺.問題:已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解集不是空集時(shí),方程的解是什么?x1=;x2=;

x1+x2=;

x1x2=.

總結(jié):這一結(jié)論稱為一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.課堂探究例1(一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系)已知一元二次方程2x2+3x-4=0的兩根為x1與x2,求下列各式的值:(1)x12+x22;(2)|x課堂練習(xí):1.已知一元二次方程2x2+2x-1=0的兩個(gè)根為x1,x2,且x1<x2,下列結(jié)論正確的是()A.x1+x2=1 B.x1x2=-1 C.|x1|<|x2| D.x12+x12.已知α,β是一元二次方程x2+x-2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則α+β-αβ的值是()A.3 B.1 C.-1 D.-3總結(jié)歸納:利用根與系數(shù)的關(guān)系求有關(guān)代數(shù)式的值的一般方法.例2(與一元二次方程相關(guān)的求未知字母的值或范圍問題)已知關(guān)于x的一元二次方程2x2-kx+3=0的解集中只有一個(gè)元素,則k的值為()A.±26 B.±6 C.2 D.2或3課堂練習(xí)1.已知x=-1是關(guān)于x的一元二次方程2x2+kx-1=0的一個(gè)根,則實(shí)數(shù)k的值為()A.1 B.-1 C.0 D.22.若關(guān)于x的一元二次方程x2-(2a+1)x+a2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則a的取值范圍為.

總結(jié)歸納:如何依據(jù)已知條件求一元二次方程中字母系數(shù)的取值或取值范圍問題.課堂小結(jié)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.當(dāng)堂檢測1.已知實(shí)數(shù)x1,x2滿意x1+x2=7,x1x2=12,則以x1,x2為根的一元二次方程是()A.x2-7x+12=0 B.x2+7x+12=0C.x2+7x-12=0 D.x2-7x-12=02.設(shè)x1,x2是方程2x2-9x+6=0的兩個(gè)根,求下列各式的值.(1)1x1+(2)(x1-3)(x2-3);(3)x1-x2.核心素養(yǎng)專練1.已知α,β是一元二次方程x2-5x-2=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則α+β+αβ的值為()A.-1 B.9 C.3 D.272.若關(guān)于x的一元二次方程x2-4x+m=0的一個(gè)根為x=2-5,則方程中m的值及方程的另一個(gè)根分別是()A.1,2+5 B.-1,2+5C.1,-2-5 D.-1,-2-53.若關(guān)于x的一元二次方程x2+2x-m=0的解集中只有一個(gè)元素,則m的值為.

4.已知二次函數(shù)y=-x2+2x+m的部分圖像如圖所示,則關(guān)于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解集為.

5.已知一元二次方程x2+3x-1=0的兩根分別為x1,x2,利用根與系數(shù)的關(guān)系求下列式子的值:(1)x12x2+x1x22;(2)1x1+1x2;((4)1x12+1x22;(6.當(dāng)m取何值時(shí),關(guān)于x的方程(m+2)x2+2x-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根?參考答案自主預(yù)習(xí)略課堂探究略課堂練習(xí)略課堂小結(jié)略當(dāng)堂檢測1.A2.解:由根與系數(shù)的關(guān)系,得x1+x2=92,x1x2=3(1)1x1+1x2=x1+x(2)(x1-3)(x2-3)=x1x2-3(x1+x2)+9=3-3×92+9=-3(3)∵(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=922-4×3=∴x1-x2=±332核心素養(yǎng)專練1.C2.B3.-14.{-1,3}5.解:(1)3(2)3(3)13(4)原式=x12+x22x(5)原式=(x1+x2)(x12-x1x2+x22)=(x1+x2)[(x1+x2)2-3x1x2]=(-3)×[(-3)2+36.解:由題意得m∴m∴m>-3且m≠-2.學(xué)習(xí)目標(biāo)1.結(jié)合學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)駕馭的相關(guān)學(xué)問,推導(dǎo)得到一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系;2.訓(xùn)練學(xué)生借助根與系數(shù)的關(guān)系,解決相關(guān)問題;3.讓學(xué)生在利用根與系數(shù)的關(guān)系求解相關(guān)代數(shù)式的值的過程中,體會(huì)代換的思想,訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).自主預(yù)習(xí)我們知道,當(dāng)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解集不是空集時(shí),這個(gè)方程的解可以記為x1=-b+b2-4ac2a,x2=-b-b2-4【學(xué)生活動(dòng)】1.學(xué)生自主通過計(jì)算完成課本第50頁上面的“嘗試與發(fā)覺”;2.讓學(xué)生對(duì)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行分析.課堂探究我們得到的兩根之和、兩根之積都是由方程的系數(shù)確定的,這一結(jié)論對(duì)兩根相等的狀況也是適用的,那么能否結(jié)合它們與系數(shù)的關(guān)系,換一種方式得到兩根和與兩根積的值呢?例題(課本第50頁例2)已知一元二次方程2x2+3x-4=0的兩根為x1與x2,求下列各式的值:(1)x12+(2)|x1-x2|.評(píng)價(jià)反饋1.(課本P51練習(xí)B第2題)已知方程x2-22x+1=0的兩根為x1與x2,求下列各式的值:(1)x12x2+x1(2)1x1+2.(課本P51練習(xí)B第3題)已知關(guān)于x的方程x2-2x+m-1=0的兩根同號(hào),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.課后拓展練習(xí)B1,4,5題.參考答案自主預(yù)習(xí)略課堂探究例題解:由一元二次方程根與系數(shù)