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文檔簡介
2025屆遼寧省鞍山市重點中學(xué)高三下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.一個正三棱柱的正(主)視圖如圖,則該正三棱柱的側(cè)面積是()A.16 B.12 C.8 D.62.已知函數(shù),,若成立,則的最小值是()A. B. C. D.3.是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.某四棱錐的三視圖如圖所示,該幾何體的體積是()A.8 B. C.4 D.5.如圖,圓的半徑為,,是圓上的定點,,是圓上的動點,點關(guān)于直線的對稱點為,角的始邊為射線,終邊為射線,將表示為的函數(shù),則在上的圖像大致為()A. B. C. D.6.上世紀末河南出土的以鶴的尺骨(翅骨)制成的“骨笛”(圖1),充分展示了我國古代高超的音律藝術(shù)及先進的數(shù)學(xué)水平,也印證了我國古代音律與歷法的密切聯(lián)系.圖2為骨笛測量“春(秋)分”,“夏(冬)至”的示意圖,圖3是某骨笛的部分測量數(shù)據(jù)(骨笛的彎曲忽略不計),夏至(或冬至)日光(當(dāng)日正午太陽光線)與春秋分日光(當(dāng)日正午太陽光線)的夾角等于黃赤交角.由歷法理論知,黃赤交角近1萬年持續(xù)減小,其正切值及對應(yīng)的年代如下表:黃赤交角正切值0.4390.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根據(jù)以上信息,通過計算黃赤交角,可估計該骨笛的大致年代是()A.公元前2000年到公元元年 B.公元前4000年到公元前2000年C.公元前6000年到公元前4000年 D.早于公元前6000年7.等比數(shù)列的前項和為,若,,,,則()A. B. C. D.8.已知非零向量,滿足,,則與的夾角為()A. B. C. D.9.古希臘數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯在公元前六世紀發(fā)現(xiàn)了第一、二個“完全數(shù)”6和28,進一步研究發(fā)現(xiàn)后續(xù)三個“完全數(shù)”分別為496,8128,33550336,現(xiàn)將這五個“完全數(shù)”隨機分為兩組,一組2個,另一組3個,則6和28恰好在同一組的概率為A. B. C. D.10.函數(shù)的圖象在點處的切線為,則在軸上的截距為()A. B. C. D.11.如圖,在中,點為線段上靠近點的三等分點,點為線段上靠近點的三等分點,則()A. B. C. D.12.將函數(shù)圖象向右平移個單位長度后,得到函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,則函數(shù)在上的值域是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)集合,(其中e是自然對數(shù)的底數(shù)),且,則滿足條件的實數(shù)a的個數(shù)為______.14.(5分)某膳食營養(yǎng)科研機構(gòu)為研究牛蛙體內(nèi)的維生素E和鋅、硒等微量元素(這些元素可以延緩衰老,還能起到抗癌的效果)對人體的作用,現(xiàn)從只雌蛙和只雄蛙中任選只牛蛙進行抽樣試驗,則選出的只牛蛙中至少有只雄蛙的概率是____________.15.如圖,在一個倒置的高為2的圓錐形容器中,裝有深度為的水,再放入一個半徑為1的不銹鋼制的實心半球后,半球的大圓面、水面均與容器口相平,則的值為____________.16.已知橢圓的左右焦點分別為,過且斜率為的直線交橢圓于,若三角形的面積等于,則該橢圓的離心率為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在中,角的對邊分別為,且.(1)求角的大??;(2)已知外接圓半徑,求的周長.18.(12分)如圖1,在邊長為4的正方形中,是的中點,是的中點,現(xiàn)將三角形沿翻折成如圖2所示的五棱錐.(1)求證:平面;(2)若平面平面,求直線與平面所成角的正弦值.19.(12分)已知函數(shù)f(x)ax﹣lnx(a∈R).(1)若a=2時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)設(shè)g(x)=f(x)1,若函數(shù)g(x)在上有兩個零點,求實數(shù)a的取值范圍.20.(12分)已知.(1)求的單調(diào)區(qū)間;(2)當(dāng)時,求證:對于,恒成立;(3)若存在,使得當(dāng)時,恒有成立,試求的取值范圍.21.(12分)的內(nèi)角的對邊分別為,且.(1)求;(2)若,點為邊的中點,且,求的面積.22.(10分)已知在四棱錐中,平面,,在四邊形中,,,,為的中點,連接,為的中點,連接.(1)求證:.(2)求二面角的余弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
根據(jù)正三棱柱的主視圖,以及長度,可知該幾何體的底面正三角形的邊長,然后根據(jù)矩形的面積公式,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:該幾何體的底面正三角形的邊長為2所以該正三棱柱的三個側(cè)面均為邊長為2的正方形,所以該正三棱柱的側(cè)面積為故選:B【點睛】本題考查正三棱柱側(cè)面積的計算以及三視圖的認識,關(guān)鍵在于求得底面正三角形的邊長,掌握一些常見的幾何體的三視圖,比如:三棱錐,圓錐,圓柱等,屬基礎(chǔ)題.2、A【解析】分析:設(shè),則,把用表示,然后令,由導(dǎo)數(shù)求得的最小值.詳解:設(shè),則,,,∴,令,則,,∴是上的增函數(shù),又,∴當(dāng)時,,當(dāng)時,,即在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,是極小值也是最小值,,∴的最小值是.故選A.點睛:本題易錯選B,利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值,解題時學(xué)生可能不會將其中求的最小值問題,通過構(gòu)造新函數(shù),轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問題,另外通過二次求導(dǎo),確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間也很容易出錯.3、D【解析】
求出復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標,即可得出結(jié)論.【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點的坐標為,該點位于第四象限.故選:D.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的位置的判斷,屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】
根據(jù)三視圖知,該幾何體是一條垂直于底面的側(cè)棱為2的四棱錐,畫出圖形,結(jié)合圖形求出底面積代入體積公式求它的體積.【詳解】根據(jù)三視圖知,該幾何體是側(cè)棱底面的四棱錐,如圖所示:結(jié)合圖中數(shù)據(jù)知,該四棱錐底面為對角線為2的正方形,高為PA=2,∴四棱錐的體積為.故選:D.【點睛】本題考查由三視圖求幾何體體積,由三視圖正確復(fù)原幾何體是解題的關(guān)鍵,考查空間想象能力.屬于中等題.5、B【解析】
根據(jù)圖象分析變化過程中在關(guān)鍵位置及部分區(qū)域,即可排除錯誤選項,得到函數(shù)圖象,即可求解.【詳解】由題意,當(dāng)時,P與A重合,則與B重合,所以,故排除C,D選項;當(dāng)時,,由圖象可知選B.故選:B【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),正確表示函數(shù)的表達式是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.6、D【解析】
先理解題意,然后根據(jù)題意建立平面幾何圖形,在利用三角函數(shù)的知識計算出冬至日光與春秋分日光的夾角,即黃赤交角,即可得到正確選項.【詳解】解:由題意,可設(shè)冬至日光與垂直線夾角為,春秋分日光與垂直線夾角為,則即為冬至日光與春秋分日光的夾角,即黃赤交角,將圖3近似畫出如下平面幾何圖形:則,,.,估計該骨笛的大致年代早于公元前6000年.故選:.【點睛】本題考查利用三角函數(shù)解決實際問題的能力,運用了兩角和與差的正切公式,考查了轉(zhuǎn)化思想,數(shù)學(xué)建模思想,以及數(shù)學(xué)運算能力,屬中檔題.7、D【解析】試題分析:由于在等比數(shù)列中,由可得:,又因為,所以有:是方程的二實根,又,,所以,故解得:,從而公比;那么,故選D.考點:等比數(shù)列.8、B【解析】
由平面向量垂直的數(shù)量積關(guān)系化簡,即可由平面向量數(shù)量積定義求得與的夾角.【詳解】根據(jù)平面向量數(shù)量積的垂直關(guān)系可得,,所以,即,由平面向量數(shù)量積定義可得,所以,而,即與的夾角為.故選:B【點睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的運算,平面向量夾角的求法,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】
推導(dǎo)出基本事件總數(shù),6和28恰好在同一組包含的基本事件個數(shù),由此能求出6和28恰好在同一組的概率.【詳解】解:將五個“完全數(shù)”6,28,496,8128,33550336,隨機分為兩組,一組2個,另一組3個,基本事件總數(shù),6和28恰好在同一組包含的基本事件個數(shù),∴6和28恰好在同一組的概率.故選:B.【點睛】本題考查概率的求法,考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,是基礎(chǔ)題.10、A【解析】
求出函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)后可得曲線在處的切線方程,從而可求切線的縱截距.【詳解】,故,所以曲線在處的切線方程為:.令,則,故切線的縱截距為.故選:A.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及直線的截距,注意直線的縱截距指直線與軸交點的縱坐標,因此截距有正有負,本題屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】
,將,代入化簡即可.【詳解】.故選:B.【點睛】本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用,涉及到向量的線性運算、數(shù)乘運算,考查學(xué)生的運算能力,是一道中檔題.12、D【解析】
由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律,三角函數(shù)的圖象的對稱性,余弦函數(shù)的值域,求得結(jié)果.【詳解】解:把函數(shù)圖象向右平移個單位長度后,可得的圖象;再根據(jù)得到函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,,,,函數(shù).在上,,,故,即的值域是,故選:D.【點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律,三角函數(shù)的圖象的對稱性,余弦函數(shù)的值域,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
可看出,這樣根據(jù)即可得出,從而得出滿足條件的實數(shù)的個數(shù)為1.【詳解】解:,或,在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)與的圖象,由圖可知與無交點,無解,則滿足條件的實數(shù)的個數(shù)為.故答案為:.【點睛】考查列舉法的定義,交集的定義及運算,以及知道方程無解,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
記只雌蛙分別為,只雄蛙分別為,從中任選只牛蛙進行抽樣試驗,其基本事件為,共15個,選出的只牛蛙中至少有只雄蛙包含的基本事件為,共9個,故選出的只牛蛙中至少有只雄蛙的概率是.15、【解析】
由已知可得到圓錐的底面半徑,再由圓錐的體積等于半球的體積與水的體積之和即可建立方程.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為,體積為,半球的體積為,水(小圓錐)的體積為,如圖則,所以,,解得,所以,,,由,得,解得.故答案為:【點睛】本題考查圓錐的體積、球的體積的計算,考查學(xué)生空間想象能力與計算能力,是一道中檔題.16、【解析】
由題得直線的方程為,代入橢圓方程得:,設(shè)點,則有,由,且解出,進而求解出離心率.【詳解】由題知,直線的方程為,代入消得:,設(shè)點,則有,,而,又,解得:,所以離心率.故答案為:【點睛】本題主要考查了直線與橢圓的位置關(guān)系,三角形面積計算與離心率的求解,考查了學(xué)生的運算求解能力三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)3+3【解析】
(1)利用余弦的二倍角公式和同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡整理并結(jié)合范圍0<A<π,可求A的值.(2)由正弦定理可求a,利用余弦定理可得c值,即可求周長.【詳解】(1),即又(2),∵,∴由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA,∴,∵c>0,所以得c=2,∴周長a+b+c=3+3.【點睛】本題考查三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用,正弦定理,余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.18、(1)證明見解析;(2).【解析】
(1)利用線面平行的定義證明即可(2)取的中點,并分別連接,,然后,證明相應(yīng)的線面垂直關(guān)系,分別以,,為軸,軸,軸建立空間直角坐標系,利用坐標運算進行求解即可【詳解】證明:(1)在圖1中,連接.又,分別為,中點,所以.即圖2中有.又平面,平面,所以平面.解:(2)在圖2中,取的中點,并分別連接,.分析知,,.又平面平面,平面平面,平面,所以平面.又,所以,,.分別以,,為軸,軸,軸建立如圖所示的空間直角坐標系,則,,,,,所以,,.設(shè)平面的一個法向量,則,取,則,,所以.又,所以.分析知,直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題考查線面平行的證明以及利用空間向量求解線面角問題,屬于基礎(chǔ)題19、(1)單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞)(2)(3,2e]【解析】
(1)當(dāng)a=2時,求出,求解,即可得出結(jié)論;(2)函數(shù)在上有兩個零點等價于a=2x在上有兩解,構(gòu)造函數(shù),,利用導(dǎo)數(shù),可分析求得實數(shù)a的取值范圍.【詳解】(1)當(dāng)a=2時,定義域為,則,令,解得x1,或x1(舍去),所以當(dāng)時,單調(diào)遞減;當(dāng)時,單調(diào)遞增;故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為,(2)設(shè),函數(shù)g(x)在上有兩個零點等價于在上有兩解令,,則,令,,顯然,在區(qū)間上單調(diào)遞增,又,所以當(dāng)時,有,即,當(dāng)時,有,即,所以在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,時,取得極小值,也是最小值,即,由方程在上有兩解及,可得實數(shù)a的取值范圍是.【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、等價轉(zhuǎn)化思想以及數(shù)形結(jié)合思想,考查邏輯推理、數(shù)學(xué)計算能力,屬于中檔題.20、(1)單調(diào)減區(qū)間為,單調(diào)增區(qū)間為;(2)詳見解析;(3).【解析】
試題分析:(1)對函數(shù)求導(dǎo)后,利用導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性的關(guān)系,可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2)構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)在上遞減,且,則,故原不等式成立.(3)同(2)構(gòu)造函數(shù),對分成三類,討論函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值,由此求得的取值范圍.試題解析:(1),當(dāng)時,.解得.當(dāng)時,解得.所以單調(diào)減區(qū)間為,單調(diào)增區(qū)間為.(2)設(shè),當(dāng)時,由題意,當(dāng)時,恒成立.,∴當(dāng)時,恒成立,單調(diào)遞減.又,∴當(dāng)時,恒成立,即.∴對于,恒成立.(3)因為.由(2)知,當(dāng)時,恒成立,即對于,,不存在滿足條件的;當(dāng)時,對于,,此時.∴,即恒成立,不存在滿足條件的;當(dāng)時,令,可知與符
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