概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第四版-課后習(xí)題答案-盛驟-浙江大學(xué)

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概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題答案第四版盛驟(浙江大學(xué))

浙大第四版〔高等教育出版社〕

第一章概率論的根本概念

1.［一］寫(xiě)出以下隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間

U)記錄一個(gè)小班一次數(shù)學(xué)考試的平均分?jǐn)?shù)(充以百分制記分)(［-］1)

S半」……忙1叫，〃表小班人數(shù)

nnn

(3)生產(chǎn)產(chǎn)品直到得到10件正品，記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的總件數(shù)。(［一］2)

S={10,11,12,......,n,......}

(4)對(duì)某工廠出廠的產(chǎn)品進(jìn)行檢查，合格的蓋上“正品”，不合格的蓋上“次品”,

如連續(xù)查出二個(gè)次品就停止檢查，或檢查4個(gè)產(chǎn)品就停止檢查，記錄檢查的結(jié)果。

查出合格品記為“1”，查出次品記為“0”，連續(xù)出現(xiàn)兩個(gè)“()”就停止檢查，或查

滿4次才停止檢查。(［一］(3))

S={(X),100,0100,()101,101(),()11(),1100,()111,1011,1101,111(),1111,}

2.［二］設(shè)A,B,。為三事件，用A,B,C的運(yùn)算關(guān)系表示以下事件。

(1)A發(fā)生，8與。不發(fā)生。

表示為：A后不或4一(A8+AC)或A—(BUC)

(2)A,3都發(fā)生，而。不發(fā)生。

表示為：ABC或AB-ABC或AB-C

(3)A,B,。中至少有一個(gè)發(fā)生表示為：A+B+C

(4)A,B,C都發(fā)生,表示為：ABC

(5)4,B,C都不發(fā)生，表示為：無(wú)方弓或S—(A+3+0或AuBuC

(6)A,B,C中不多于一個(gè)發(fā)生，即4,B,。中至少有兩個(gè)同時(shí)不發(fā)生

相當(dāng)于不瓦月心不不中至少有一個(gè)發(fā)生。故表示為：AB+BC+ACo

(7)4,B,C中不多于二個(gè)發(fā)生。

相當(dāng)于：耳瓦不中至少有?個(gè)發(fā)生。故表示為：A+B+C^ABC

(8)A,B,C中至少有二個(gè)發(fā)生。

相當(dāng)于：AB,BC,AC中至少有一個(gè)發(fā)生。故表示為：AB+BC+AC

6.［三］設(shè)A,5是兩事件且P(A尸是6,P⑻=0.7.問(wèn)(1)在什么條件下尸(AB)取到最

大值，最大值是多少？(2)在什么條件下尸(A8)取到最小值，最小值是多少？

解：由P(A)=0.6,P⑻=0.7即知A8W6,1否那么A5=6依互斥事件加法定理，

P(AUB)=P(A)+P(B)=0.6+0.7=1.3>1與P(AU8)W1矛盾).

從而由加法定理得

P(AB)=P(A)+P(B)-P(AUB)(*)

(1)從0WP(48)WP(A)知,當(dāng)AB=A,即APB時(shí)P(AB)取到最大值,最大值為

P(AB尸P(A)=0.6,

(2)從(*)式知，當(dāng)4UB=S時(shí)，R48)取最小值，最小值為

P(A8)=().6+0.7—1=0.3o

7」四］設(shè)A,B,。是三事件，且P(A)=P(B)=P(C)=；,P(A3)=P(8C)=0,

P(AO=4,求A,B,C至少有一個(gè)發(fā)生的概率。

O

解：P(A,B,。至少有一個(gè)發(fā)生尸P(A+8+C)=P(A)+尸(B)+P(C)—P(AB)-P(BC)

315

-P(AO+P(ABC)=

44-48+o=84

8.［五］在一標(biāo)準(zhǔn)英語(yǔ)字典中具有55個(gè)由二個(gè)不相同的字母新組成的單詞，假設(shè)從

26個(gè)英語(yǔ)字母中任取兩個(gè)字母予以排列，問(wèn)能排成上述單詞的概率是多少？

記A表”能排成上述單詞”

,/從26個(gè)任選兩個(gè)來(lái)排列，排法有&6種。每種排法等可能。

字典中的二個(gè)不同字母組成的單詞：55個(gè)

???P⑷停耳

&6130

9.在號(hào)碼薄中任取一個(gè)號(hào)碼，求后面四個(gè)數(shù)全不相同的概率。（設(shè)后面4

個(gè)數(shù)中的每一個(gè)數(shù)都是等可能性地取自（），1,2……9）

記A表”后四個(gè)數(shù)全不同”

???后四個(gè)數(shù)的排法有IO4種，每種排法等可能,

后四個(gè)數(shù)全不同的排法有簿

.??p（A）=^-=0.504

104

10.［六］在房間里有10人。分別佩代著從1號(hào)到10號(hào)的紀(jì)念章，任意選3人記錄

其紀(jì)念章的號(hào)碼。

（1）求最小的號(hào)碼為5的概率。

記“三人紀(jì)念章的最小號(hào)碼為5”為事件A

??,10人中任選3人為一組：選法有（，）種，且每種選法等可能。

又事件A相當(dāng)于：有一人號(hào)碼為5,其余2人號(hào)碼大于50這種組合的種數(shù)有1x12

啕1

?."府=5

（2）求最大的號(hào)碼為5的概率。

記“三人中最大的號(hào)碼為5”為事件B,同上10人中任選3人,選法有（田）種，

且每種選法等可能，又事件B相當(dāng)于：有一人號(hào)碼為5,其余2人號(hào)碼小于5,選法有

<1100f400Yl100^1

「200)11"J

P(A)=1-P(A)=1-[P(B)+P(B)]=1-4-

0X(1500^(1500、

200I200J

13,九］從5雙不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一雙的概率是多

少？

記A表“4只全中至少有兩支配成一對(duì)”

那么彳表“4只人不配對(duì)”

V從10只中任取4只，取法有種，每種取法等可能。

要4只都不配對(duì)，可在5雙中任取4雙，再在4雙中的每一雙里任取一只。取法有

圖出

15.［十一］將三個(gè)球隨機(jī)地放入4個(gè)杯子中去，問(wèn)杯子中球的最大個(gè)數(shù)分別是1,2,

3,的概率各為多少？

記A表“杯中球的最大個(gè)數(shù)為，個(gè)"i=l,2,3,

三只球放入四只杯中，放法有爐種，每種放法等可能

對(duì)4：必須三球放入三杯中，每杯只放一球。放法4X3X2種。

（選排列：好比3個(gè)球在4個(gè)位置做排列）

對(duì)A：必須三球放入兩杯，一杯裝一球，一杯裝兩球。放法有C；x4x3種。

（從3個(gè)球中選2個(gè)球，選法有C；,再將此兩個(gè)球放入一個(gè)杯中，選法有4

種，最后將剩余的1球放入其余的一個(gè)杯中，選法有3種。

對(duì)A3：必須三球都放入一杯中。放法有4種。（只需從4個(gè)杯中選1個(gè)杯子，放入

此3個(gè)球，選法有4種）

16.［十二］50個(gè)鉀釘隨機(jī)地取來(lái)用在10個(gè)部件，其中有三個(gè)鉀釘強(qiáng)度太弱，每個(gè)

部件用3只鉀釘，假設(shè)將三只強(qiáng)度太弱的伽釘都裝在一個(gè)部件上，那么這個(gè)部件強(qiáng)度就

太弱，問(wèn)發(fā)生一個(gè)部件強(qiáng)度太弱的概率是多少？

記A表”10個(gè)部件中有一個(gè)部件強(qiáng)度太弱二

法一：用古典概率作：

把隨機(jī)試驗(yàn)E看作是用三個(gè)釘一組，三個(gè)釘一組去鉀完10個(gè)部件1在三個(gè)釘?shù)囊?/p>

組中不分先后次序。但10組釘卸完10個(gè)部件要分先后次序)

對(duì)E：鉀法有C：oxC；7xC；4……x63種，每種裝法等可能

對(duì)A：三個(gè)次釘必須鉀在一個(gè)部件上。這種佛法有(xClxCi……)xlO

種

法二：用古典概率作

把試驗(yàn)后看作是在50個(gè)釘中任選30個(gè)釘排成一列，順次釘下去，直到把部件卸完。

(鉀釘要計(jì)先后次序)

對(duì)反鉀法有用0種，每種鉀法等可能

對(duì)A：三支次釘必須支在“1,2,3”位置上或“4,5,6”位置上，…或“28,29,

30”位置上。這種鐘法有A；xA：；+用x+...+用+A：；=10xA；x宙；種

17.〔十三］P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(A月)=0.5,求P(B|A。百)。

解一：

P(A)=1-P(A)=0.7,P(B)=1-P(B)=0.6,A=AS=A(B<JB)=ABUAB

注意(A8)(A豆)=0.故有

P(AB)=P(A)-P(AB)=0.7-0.5=0.2o

再由加法定理，

P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.7+0.6-0.5=0.8

于是月)=尸二(A=。(.〉=照=。25

P(ADB)P(AUB)0.8

18.［十四］P(4)=J，P(B\A)=^-9P(A|B)=1求P(AD3)。

IJ4

解由

定義P(A8)P(A)P(8|A)由已知條件有1二彳、3

P(B)P(8)2P(B)

由乘法公式，得P(AB)=P(A)P(8|A)=4

由加法公式，得P(Au8)=尸(A)+P(B)一P(AB)=4+!-J?=!

4o123

19.［十五］擲兩顆骰子，兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和為7,求其中有一顆為1點(diǎn)的概率(用

兩種方法)。

解：1方法一)(在縮小的樣本空間SB中求P(A|B),即將事件B作為樣本空間，求

事件A發(fā)生的概率)。

擲兩顆骰子的試驗(yàn)結(jié)果為一有序數(shù)組(x,y)5,尸123,4,5,6)并且滿足尤+產(chǎn)7,那

么樣本空間為

S=｛(x,y)\(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)｝

每種結(jié)果(x,y)等可能。

A=｛擲二骰子，點(diǎn)數(shù)和為7時(shí)，其中有一顆為1點(diǎn)。故P(A)=2=《｝

03

方法二：(用公式P(4|8)=今篙

S=｛(x,y)\x=1,2,34,5,6;y=1,2,34,5,6｝｝每矛巾結(jié)果均可能

A="擲兩顆骰子，x,y中有一個(gè)為“1"點(diǎn)”，B="擲兩顆骰子，乂+產(chǎn)7”。那么

P(5)=g=J,P(46)C，

6-662

2

故”=需不冷

6

20.［十六］據(jù)以往資料說(shuō)明，某一3口之家，患某種傳染病的概率有以下規(guī)律：

P(A)=P｛孩子得?。?0.6,PiB\A)=P［母親得病|孩子得?。?0.5,P(C|A8)=P｛父親得病|母親

及孩子得?。?0.4。求母親及孩子得病但父親未得病的概率。

解：所求概率為1注意：由于“母病”，“孩病”，“父病”都是隨機(jī)事件，

這里不是求P(不\AB)

P(AB)=P(A)=P(8|A)=0.6x0.5=0.3,P(C\AB)=\-P(C|AB)=1—0.4=06

從而P(ABC)=P(AB)P(C|AB)=0.3x0.6=0.18.

21.［十七］10只晶體管中有2只次品，在其中取二次，每次隨機(jī)地取一只，作不放

回抽樣，求以下事件的概率。

(1)二只都是正品(記為事件A)

法一：用組合做在10只中任取兩只來(lái)組合，每一個(gè)組合看作一個(gè)根本結(jié)果，每種

取法等可能。

法二：用排列做在10只中任取兩個(gè)來(lái)排列，每一個(gè)排列看作一個(gè)根本結(jié)果，每個(gè)

排列等可能。

法三：用事件的運(yùn)算和概率計(jì)算法那么來(lái)作。

記4，A?分別表第一、二次取得正品。

(2)二只都是次品(記為事件B)

法一:

法二:尸⑸哈T

法三:P(B)=P(44)=P(A)P(4I4)=Q*表

〔3〕一只是正品，一只是次品〔記為事件C)

CgxCi_16

法一:P(C)

一三7一行

(C；xC；)x&_16

法二:P(C)=

45

法三：P（C）=P（A4+A4）旦從小與互斥

（4）第二次取出的是次品（記為事件。）

法一：因?yàn)橐⒁獾谝弧⒌诙蔚捻樞?。不能用組合作，

法二：2。）=冬&=9

Ao3

法三：P（Q）=P（A&+44）且與A4互斥

22.［十八］某人忘記了號(hào)碼的最后一個(gè)數(shù)字，因而隨機(jī)的撥號(hào)，求他撥號(hào)不超

過(guò)三次而接通所需的的概率是多少？如果最后一個(gè)數(shù)字是奇數(shù)，那么此概率是多

少？

記H表?yè)芴?hào)不超過(guò)三次而能接通。

A表第，?次撥號(hào)能接通。

注意：第一次撥號(hào)不通，第二撥號(hào)就不再撥這個(gè)號(hào)碼。

如果最后一個(gè)數(shù)字是奇數(shù)（記為事件B）問(wèn)題變?yōu)樵贐已發(fā)生的條件下，求H再發(fā)

生的概率。

24.［十九］設(shè)有甲、乙二袋，甲袋中裝有〃只白球〃，只紅球，乙袋中裝有N只白

球M只紅球，今從甲袋中任取一球放入乙袋中，再?gòu)囊掖腥稳∫磺?，?wèn)取到（即從

乙袋中取到）白球的概率是多少？（此為第三版19題（1））

記4,A2分別表“從甲袋中取得白球，紅球放入乙袋”

再記5表“再?gòu)囊掖腥〉冒浊蚨?/p>

???8=A|8+A2B且4，A2互斥

???P（B尸P（A0P（BIAi）+P（A2）P（B\4）

nN+\,tnN

=---------x----------------d-----------x----------------

n+tnN+M+1n+mN+M+1

［十九］（2）第一只盒子裝有5只紅球，4只白球；第二只盒子裝有4只紅球，5只白

球。先從第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后從第二盒子中任取一只球，求取

到白球的概率口

記Cl為“從笫一盒子中取得2只紅球”。

C2為“從第一盒子中取得2只白球”。

C3為“從第一盒子中取得1只紅球，1只白球”，

。為“從第二盒子中取得白球”，顯然Ci，Q,C3兩兩互斥，C|UC2UC3=S,由全

概率公式，有

P(D)=P(COP(Q|G)+P(C2)P(D\C2)+P(C3)P(D|C3)

26.［二十一］男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今從男女人

數(shù)相等的人群中隨機(jī)地挑選一人，恰好是色盲患者，問(wèn)此人是男性的概率是多少？

解：A尸｛男人｝,4=｛女人｝,B=｛色盲｝,顯然4UA2=5,4-2二6

由條件知P(A1)=P(z42)=yoP(B|AI)=5%,P(B\A2)=0.25%

由貝葉斯公式，有

［二十二］一學(xué)生接連參加同一課程的兩次考試。第一次及格的概率為P,假設(shè)第

一次及格那么第二次及格的概率也為P;假設(shè)第一次不及格那么第二次及格的概率為專

(1)假設(shè)至少有一次及格那么他能取得某種資格，求他取得該資格的概率。(2)假設(shè)

他第二次已經(jīng)及格，求他第一次及格的概率。

解：A尸｛他第i次及格｝,曰,2

尸(4)二尸(4I4)=P,P(4|4)=%

(1)8=｛至少有一次及格｝

所以月=｛兩次均不及格｝=A1A2

???P(B)=1-P(B)=1-P(A!A2)=1-P(X1)P(AIA)

⑵尸閉4)整甯(*)

2

由乘法公式，WP(AlA2)=p(Al)P(A2|Ai)=P

由全概率公式，有p(.&)=P(A)P(41A)+P(A)P(&IA)

將以上兩個(gè)結(jié)果代入（*）得P（4I4）==轉(zhuǎn)

p~pP+1

-T+7

28.［二十五］某人下午5:00下班，他所積累的發(fā)料說(shuō)明：

到家時(shí)間5:35-5:395：40?5:445:45-5:495:50-5:54遲于5:54

乘地鐵到

0.100.250.450.150.05

家的概率

乘汽車到

0.300.350.200.100.05

家的概率

某日他拋一枚硬幣決定乘地鐵還是乘汽車，結(jié)果他是5:47到家的，試求他是乘地

鐵回家的概率。

解.：設(shè)4=“乘地鐵”，8=“乘汽車”，。=“5:45~5:49到家”，由題意,A8=@.AU8=5

：P（A）=0.5,P（C|A）=0.45,P（C|B）=0.2,P（B）=0.5

由貝葉斯公式有

29.［二十四］有兩箱同種類型的零件。第一箱裝5只，其中10只一等品；第二箱

30只，其中18只一等品。今從兩箱中任挑出一箱，然后從該箱中取零件兩次，每次任

取一只，作不放回抽樣。試求（1）第一次取到的零件是一等品的概率。（2）第一次取

到的零件是一等品的條件下，第二次取到的也是一等品的概率。

解：設(shè)&表示“第i次取到一等品"i=l,2

Aj表布“第j箱產(chǎn)品“j=1,2,顯然U42=S41A尸小

11A11Q9

（1）尸（耳）=——-+——-=-=0.4（8戶A5+A28由全概率公式解）。

2502305

1W2_［_18L7

（2）P（&|用）=或也=皿口函=0.4857

21P（BJ2

5

（先用條件概率定義，再求P（8&）時(shí)，由全概率公式解）

32.[二十六(2)]如H1,2,3,4,5

表示繼電器接點(diǎn)，假設(shè)每一繼電器接點(diǎn)閉合

的概率為p,且設(shè)各繼電器閉合與否相互獨(dú)LO

立，求L和R是通路的概率。

記A表第i個(gè)接點(diǎn)接通

記A表從/.到R是構(gòu)成通路的.

9.*A=A\A2+4A3A5+A1A5+A4A.M2四種情況不互斥

AP(A)=P(AA3A5)+P(/U45)+P(A4AM2)—P(A1A2A3A5)

(AIA2)+P

+P(A1A2AV45)+P(A1A2A3A4)+P(A1A3A4A5)

+P(A1A2Avtp45)p(4243人以5)+p(A1A2A3A以5)+尸(A142434認(rèn)5)

+(A|A2444A5)+P(A\A2AT,A4A5)—P(A\A2A3A4A5)

又由于Ai，A2，A3,4,4互相獨(dú)立。

故P(A尸p?+/+p2+p3-[p4+p4+p4+p4+p5+p4]

+fp5+p5+p5+p5]―/廣=2〃2+3p3_5p4+2p5

[二十六(1)1設(shè)有4個(gè)獨(dú)立工作的元件1,2,3,4。它們的可靠性分別為外，尸2,

P3,24,將它們按圖(1)的方式聯(lián)接，求系統(tǒng)的可靠性。

1[1[記A表示第i個(gè)元件正常工作，，=1,2,3,4,

---L23

丁廣-----A表示系統(tǒng)正常。

----□----

4???A=A]AM3+A|Ai兩種情況不互斥

???P(A)=P(44)-P(4A34)(

(AIA2A3)+P洲加法公式)

=P(Ai)P(A2)尸(A3)+P(AI)P(4)-P(4)P(Ai)P(A3)尸(/U)

=PF2P3+PF4—P1P2P3P4(A|,A2,A3,A4獨(dú)立)

34.［三十一］袋中裝有，〃只正品硬幣，〃只次品硬幣，（次品硬幣的兩面均印有國(guó)

徽）.在袋中任取一只，將它投擲廠次，每次都得到國(guó)徽.問(wèn)這只硬幣是正品的概率為

多少?

解：設(shè)“出現(xiàn)，?次國(guó)徽面”=8「“任取一只是正品”=A

由全概率公式，有

(條件概率定義與乘法公式)

35.甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)進(jìn)行射擊，三人擊中的概率分別為().4,().5,().7。

飛機(jī)被一人擊中而被擊落的概率為0.2,被兩人擊中而被擊落的概率為0.6,假設(shè)三人都

擊中，飛機(jī)必定被擊落。求飛機(jī)被擊落的概率。

解：高M(jìn)?表示飛機(jī)被i人擊中，上1,2,3oBi,&,&分別表示甲、乙、丙擊中

飛機(jī)

,?,％="瓦瓦+瓦瓦瓦+瓦瓦4，三種情況互斥。

%=B1B?及+為瓦2+瓦斗力三種情況互斥

又Bi，歷獨(dú)立。

???P(HJ=尸田)P(瓦)P(瓦)+P(R)P(BQP叵)

+0.4x0.5x0.7+0.6x0.5x0.7=0.41

P(%)二尸(Bi)P(B?)P(B3)=0.4X0.5X0.7=0.14

又因：A=3A三種情況互斥

故由全概率公式，有

P(A)=P(M)P(A|M)+P(%)P(4］“2)+P(”3)P(AH3)

=0.36x0.2+0.41xO.6+0.14x1=0.458

36.［三十三］設(shè)由以往記錄的數(shù)據(jù)分析。某船只運(yùn)輸某種物品損壞2%［這一事件記

為4),10%(事件4)，90%(事件4)的概率分別為P(Ai)=0.8,P(A2)=0.15,P(A2)=0.05,

現(xiàn)從中隨機(jī)地獨(dú)立地取三件，發(fā)現(xiàn)這三件都是好的(這一事件記為B),試分別求尸(4⑻

P(A?|B),戶(4|B)(這里設(shè)物品件數(shù)很多，取出第一件以后不影響取第二件的概率，所以

取第一、第二、第三件是互相獨(dú)立地)

???3表取得三件好物品。

B=A］B+A2B+A3B三種情況互斥

由全概率公式，有

???P(B)=P(A|)P(B|4)+p(A2)P(B|A2)+P(4)P(B|A3)

=0.8X(().98)3+0.15X(0.9)3+0.05X(0.1I3=0.8624

37.［三十四］將A,B,。三個(gè)字母之一輸入信道，輸出為原字母的概率為Q,而輸

出為其它一字母的概率都是(1一a)/2。今將字母串AAAA,BBBB,CCCC之一輸入信道,

輸入A4A4,BBBB,CCCC的概率分別為pi,pz,〃3("+〃2+〃3=1)，輸出為A8CA,問(wèn)輸

入的是AAAA的概率是多少？(設(shè)信道傳輸每個(gè)字母的工作是相互獨(dú)立的。)

解：設(shè)。表示輸出信號(hào)為ABC4,S、&、&分別表示輸入信號(hào)為AAAA,BBBB,

CCCC,那么囪、&、。為一完備事件組,且P(Bi尸Pj,i=l,2,3o

再設(shè)A發(fā)、A收分別表示發(fā)出、接收字母A,其余類推，依題意有

P(A收|A?)=P(8收|B發(fā)戶P(C收|C發(fā)尸a,

P(A收|B發(fā)尸P(4收|C發(fā)戶P(B收|A發(fā))=P(8收|C發(fā)尸P(C收14發(fā)尸P(C收|B發(fā))二三生

又P(ABCA\AAAA)=P(D|Bi)=P(A收|A發(fā))。(8收|A次)P(C收|A發(fā))夕(A收|A發(fā))

同樣可得尸(03。B|&)=a?(與區(qū))3

于是由全概率公式，得

由Bayes公式，得

PiAAAA\ABCA)=P(即。尸骨￡"

_2aq

=2a.+(l-a)(.+打)

［二十九］設(shè)第一只盒子裝有3只藍(lán)球，2只綠球，2只白球；第二只盒子裝有2只

藍(lán)球，3只綠球，4只白球。獨(dú)立地分別從兩只盒子各取一只球。(1)求至少有一只藍(lán)

球的概率，(2)求有一只藍(lán)球一只白球的概率，(3)至少有一只藍(lán)球，求有一只藍(lán)球一

只白球的概率。

解：記4、42、小分別表示是從第一只盒子中取到一只藍(lán)球、綠球、白球，Bi、&、

當(dāng)分別表示是從第二只盒子中取到一只藍(lán)球、綠球、白球。

(1)記C=｛至少有一只藍(lán)球｝

C=A\Bi+A\B2+A)B3+A2B1+A^B1,5種情況互斥

由概率有限可加性，得

(2)記。=｛有一只藍(lán)球，一只白球｝,而且知囪兩種情況互斥

⑶200=今署_=黑_=黑(注意到8=0

［三十］A,B,。三人在同一辦公室工作，房間有三部，據(jù)統(tǒng)計(jì)知，打給4,B,

C的的概率分別為jo他們?nèi)顺Ｒ蚬ぷ魍獬觯珹,B,C三人外出的概

率分別為《，4!，設(shè)三人的行動(dòng)相互獨(dú)立，求

244

(1)無(wú)人接的概率；(2)被呼叫人在辦公室的概率；假設(shè)某一時(shí)間斷打進(jìn)了3

個(gè)，求(3)這3個(gè)打給同一人的概率：(4)這3個(gè)打給不同人的概率：(5)

這3個(gè)都打給B,而B(niǎo)卻都不在的概率。

解：記G、Q、C3分別表示打給A，3,。的

Di、。2、。3分別表示A，B,C外出

注意到G、。2、。3獨(dú)立,且尸(G)=P(C2)=］，P(03)4

(1)P(無(wú)人接)=P(D1D2￡>3)=P(DI)P(Z)2)P(D3)

一1111

-------X—X—=--------

24432

⑵記G二“被呼叫人在辦公室"，G=C1"+C257+。3及三種情況互斥，由有

限可加性與乘法公式

(3)H為“這3個(gè)打給同一個(gè)人”

(4)R為“這3個(gè)打給不同的人”

R由六種互斥情況組成，每種情況為打給A,B,C的三個(gè),每種情況的概率為

于是P⑻=6、需=音

(5)由于是知道每次打都給以其概率是1,所以每一次打給3而8不在的

概率為且各次情況相互獨(dú)立

4

于是P(3個(gè)都打給從8都不在的概率)=(4)3=《

第二章隨機(jī)變量及其分布

1」一］一袋中有5只乒乓球，編號(hào)為1、2、3、4、5,在其中同時(shí)取三只，以X

表示取出的三只球中的最大號(hào)碼，寫(xiě)出隨機(jī)變量X的分布律

解：X可以取值3,4,5,分布律為

也可列為下表

X：3,4,5

p._LAA

?10'10’10

3」三］設(shè)在15只同類型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作

不放回抽樣，以X表示取出次品的只數(shù)，(1)求X的分布律，(2)畫(huà)出分布律妁圖形。

解：任取三只，其中新含次品個(gè)數(shù)X可能為0,1,2個(gè)。

c\xG；12

P(X=1)=

35

P(X=2)=23L，

35

再列為下表

X：0,1,2

22121

PD：31^35^35

4」四］進(jìn)行重復(fù)獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，設(shè)每次成功的概率為p,失敗的概率為

(1)將實(shí)驗(yàn)進(jìn)行到出現(xiàn)一次成功為止，以X表示所需的試驗(yàn)次數(shù)，求X的分布律。

(此時(shí)稱X服從以p為參數(shù)的幾何分布。)

(2)將實(shí)驗(yàn)進(jìn)行到出現(xiàn)一次成功為止，以Y表示所需的試驗(yàn)次數(shù)，求y的分布律。

(此時(shí)稱y服從以為參數(shù)的巴斯卡分布。)

(3)一籃球運(yùn)發(fā)動(dòng)的投籃命中率為45%,以X表示他首次投中時(shí)累計(jì)已投籃的次

數(shù)，寫(xiě)出X的分布律，并計(jì)算X取偶數(shù)的概率。

解：⑴P(X=k)=qLTp2=1,2,……

(2)丫=r+〃=｛最后一次實(shí)驗(yàn)前,?+〃―1次有〃次失敗，且最后一次成功｝

P(Y=r+n)=pip=。；+〃_闖"p',n=0,1,2,…，其中q=\—p，

或記一+〃=攵，那么P｛丫二6=C￡：p「(l一〃)攵=廠/+1,…

(3)P(X=2)=(055)1().45攵=1,2…

P(X取偶數(shù)尸￡P(guān)(X=2幻=￡(0.55)2^,0.45=詈

k=\k=\"

6」六1一大樓裝有5個(gè)同類型的供水設(shè)備，調(diào)查說(shuō)明在任一時(shí)刻,每個(gè)設(shè)備使用的

概率為0.1,問(wèn)在同一時(shí)刻

(1)恰有2個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？

(2)至少有3個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？

(3)至多有3個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？

(4)至少有一個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？

［五］一房間有3扇同樣大小的窗子，其中只有一扇是翻開(kāi)的。有一只鳥(niǎo)自開(kāi)著的

窗子飛入了房間，它只能從開(kāi)著的窗子飛出去。鳥(niǎo)在房子里飛來(lái)飛去，試圖飛出房間。

假定鳥(niǎo)是沒(méi)有記憶的，鳥(niǎo)飛向各扇窗子是隨機(jī)的。

(1)以X表示鳥(niǎo)為了飛出房間試飛的次數(shù)，求X的分布律。

(2)戶主聲稱，他養(yǎng)的一只鳥(niǎo)，是有記憶的，它飛向任一窗子的嘗試不多于一次。

以丫表示這只聰明的鳥(niǎo)為了飛出房間試飛的次數(shù)，如戶主所說(shuō)是確實(shí)的，試求>'的分布

律。

(3)求試飛次數(shù)X小于y的概率；求試飛次數(shù)y小于X的概率。

解：(1)X的可能取值為1,2,3,…，〃，…

P｛X=n｝=P｛前〃一1次飛向了另2扇窗子，第〃次飛了出去｝

=(y)，，_，y?2,...

(2)y的可能取值為I,2,3

P｛y=l｝二尸（第i次飛了出去｝二;

尸｛丫=2｝=。｛第1次飛向另2扇窗子中的一扇，第2次飛了出去｝

211

=-x—=一

323

。｛丫=3｝=。｛第1,2次飛向了另2扇窗子，第3次飛了出去｝

=——2!=一1

3!3

3

同上，P[X=Y]=^P[Y=k]P｛X=Y\Y=k｝

k=\

故py<x｝=i—P｛x<丫｝一尸｛x=y）=—

81

8」八]甲、乙二人投籃，投中的概率各為0.6,0.7,令各投三次。求

（1）二人投中次數(shù)相等的概率。

記X表甲三次投籃中投中的次數(shù)

y表乙三次投籃中投中的次數(shù)

由于甲、乙每次投籃獨(dú)立，且彼此投籃也獨(dú)立。

P（X=Y）=P（X=0,y=0）+尸（X=2,Y=2）+P（X=3,Y=3）

=p（x=o）p（r=o）+p（x=i）p（r=i）+p（x=2）p（r=2）+p（x=3）p（y=3）

=（0.4）3X（0.3）3+[C；x0.6x（0.4）2]X[C]X0.7x（0.3）2]

〔2〕甲比乙投中次數(shù)多的概率。

p（x>r）=p（x=i,Y=O）+P（x=2,y=o）+p（x=2,Y=\）+

P（x=3）p（y=o）+p（x=3）p（r=i）+p（x=3）p（r=2）

=p（X=I）P（r=o）+P（x=2,r=o）+p（x=2,Y=I）+

P（x=3）P（r=o）+P（x=3）P（y=i）+p（x=3）P（r=2）

=[C；X0.6X（0.4）2]x（0.3）3+[C3X（0.6）2x0.4]x（0.3）8+

9」十]有甲、乙兩種味道和顏色極為相似的名酒各4杯°如果從中挑4杯，能將

甲種酒全部挑出來(lái)，算是試驗(yàn)成功一次。

（1）某人隨機(jī)地去猜，問(wèn)他試驗(yàn)成功一次的概率是多少？

（2）某人聲稱他通過(guò)品嘗能區(qū)分兩種酒。他連續(xù)試驗(yàn)10次，成功3次。試問(wèn)他是

猜對(duì)的，還是他確有區(qū)分的能力（設(shè)各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的。）

解：（1）Q（一次成功戶

(2)尸(連續(xù)試驗(yàn)10次，成功3次)=6；(右)3(黑)7=右篇。此概率太小，按實(shí)

際推斷原理，就認(rèn)為他確有區(qū)分能力。

［九］有一大批產(chǎn)品，其驗(yàn)收方案如下，先做第一次檢驗(yàn)：從中任取10件，經(jīng)驗(yàn)收

無(wú)次品接受這批產(chǎn)品，次品數(shù)大于2拒收；否那么作第二次檢驗(yàn)，其做法是從中再任取

5件，僅當(dāng)5件中無(wú)次品時(shí)接受這批產(chǎn)品，假設(shè)產(chǎn)品的次品率為10%,求

(1)這批產(chǎn)品經(jīng)第一次檢驗(yàn)就能接受的概率

(2)需作第二次檢驗(yàn)的概率

(3)這批產(chǎn)品按第2次檢驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)被接受的概率

(4)這批產(chǎn)品在第1次檢驗(yàn)未能做決定且第二次檢驗(yàn)時(shí)被通過(guò)的概率

(5)這批產(chǎn)品被接受的概率

解：X表示10件中次品的個(gè)數(shù)，丫表示5件中次品的個(gè)數(shù)，

由于產(chǎn)品總數(shù)很大，故X~B(10,0.1),y?B(5,0.1)(近似服從〕

(1)P(X=O}=O.9,oM).349

289

(2)P{X^2］=P［X=2}+P{X=l}=C^0.10.94-C|00.10.9?0.581

⑶P{r=0}=0.95^0.590

(4)P{0<X^2,y=0}({0<X<2}與{丫=2}獨(dú)立)

=p{o<x^2)pfy=o)

=0.581x0.590^0.343

(5)尸{X=0}+2{0<KW2,y=0}

口.349+0.343=0.692

12,十三］交換臺(tái)每分鐘的呼喚次數(shù)服從參數(shù)為4的泊松分布，求

(1)每分鐘恰有8次呼喚的概率

48

法一：P{X=^=^-e-A=0.029770(直接計(jì)算)

o!

法二：P(X=8)=P(X28)—P(X29)(查入=4泊松分布表)。

=0.051134-0.021363=0.029771

(2)每分鐘的呼喚次數(shù)大于10的概率。

P(X>10)=P(X>11)=0.002840(查表計(jì)算)

［十二(2)］每分鐘呼喚次數(shù)大于3的概率。

［十六］以X表示某商店從早晨開(kāi)始營(yíng)業(yè)起直到第一顧客到達(dá)的等待時(shí)間(以分

計(jì))，X的分布函數(shù)是

求下述概率：

(1)P｛至多3分鐘｝;(2)尸｛至少4分鐘｝;(3)尸｛3分鐘至4分鐘之間｝:

(4)P｛至多3分鐘或至少4分鐘｝;(5)P｛恰好2.5分鐘｝

解：(1)P｛至多3分鐘｝二產(chǎn)｛XW3｝=Fx⑶=

(2)尸｛至少4分鐘｝P(X-4)=1-Fx至少er，

L216

⑶P(3分鐘至4分鐘之間｝=P｛3<XW4｝=Fx(4)-Fx(3)=e--e-

(4)P｛至多3分鐘或至少4分鐘｝二P｛至多3分鐘｝+P｛至少4分鐘｝

=l-e-12+/6

(5)P｛恰好2.5分鐘｝=P(X=2.5)=0

fO,x<L

18.［十七］設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為Fx(x)=InxA<x<e,,

\,x>e.

求⑴P(X<2).尸｛0<XW3｝.P(2vX<%)；(2)求概率密度及(x).

解：(1)尸(XW2)=FxQ)=ln2,尸(0<X<3)=F43)-Fx(0)=l，

|0,其它

20.［十八(2)］設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度/(x)為

/.s—J1-X,

⑴/,(W、=71

0其它

x0<%<1

⑵f(x)=\2-x\<x<2

0其他

求X的分布函數(shù)F(x),并作出(2)中的/(工)與代上)的圖形。

解：當(dāng)一1W人W1口寸：

當(dāng)Yt時(shí)：F(x)=[0fZr+[—A/1-x2dx+[0rZr=1

J-gJ-l71Jl

故分布函數(shù)為：

解：(2)F(x)=P(X<x)=Pf(t)dt

J—9

故分布函數(shù)為

⑵中的/⑶與尸(力的圖形如下

f(x)

221二十］某種型號(hào)的電子的壽命X（以小時(shí)計(jì)）具有以下的概率密度:

現(xiàn)有一大批此種管子（設(shè)各電子管損壞與否相互獨(dú)立）。任取5只，問(wèn)其中至少有2只

壽命大于1500小時(shí)的概率是多少？

解：一個(gè)電子管壽命大于1500小時(shí)的概率為

令丫表示“任取5只此種電子管中壽命大于1500小時(shí)的個(gè)數(shù)二那么丫?

p（y>2）=i-p（r<2）=i-{p（y=o）+p（r=i）}=i-j（l）54-c^（|）.4）4j

?1+5x2?11232

—I___________I__________

35-243-243

23.［二十一］設(shè)顧客在某銀行的窗口等待效勞的時(shí)間X（以分計(jì)）服從指數(shù)分布，

其概率密度為：

某顧客在窗口等待效勞，假設(shè)超過(guò)10分鐘他就離開(kāi)。他一個(gè)月要到銀行5次。以

y表示一個(gè)月內(nèi)他未等到效勞而離開(kāi)窗口的次數(shù)，寫(xiě)出y的分布律。并求P

解：該顧客“一次等待效勞未成而離去”的概率為

因此y?8（5,-2）.即p（Y=k）=PV2A（1-e-2尸,（k=123,4,5

P（y>1）=1-P（y<1）=1-P（y=0）=1-<1-e-2）5=I-（1-y^-）5=I-（1-0.1353363）5

=1-0.86775=1-0.4833=0.5167.

24」二十二］設(shè)K在（0,5）上服從均勻分布，求方程4-+4xK+K+2=0有實(shí)根的

概率

???K的分布密度為：/（2=層60<K<5

0其他

要方程有根，就是要K滿足（4K）2—4X4X（K+2）20。

解不等式，得K22時(shí)，方程有實(shí)根。

???P(K>2]==J：4dx+J：‘0"x=]

25.[二十三]設(shè)X?N[3.22)

(1)求尸(2<XW5),P(-4)<XW10),P{|X|>2},P(X>3)

假設(shè)X?02),那么p(a<x.B尸6俏乎]一小僅3

5-3、2-3

???P(2<XW5)=。-0二4)⑴一弧一0.5)

~)F

=0.8413-0.3085=0.5328

尸(一4Vx<10)=力(^^]一小「\―3卜小(3.5)―力(_3.5)

=0.9998-0.0002=0.9996

P(|X]>2)=1-P(|X|<2)=1一尸(一2<Pv2)

=1-4)(-0.5)+4)(-2.5)

=1-0.3085+0.0062=0.6977

P(X>3)=1-P(XW3)=1-6(?？?1-0.5=0.5

(2)決定C使得尸(X>C)二尸(XWC)

VP(X>C)=1-P(XWC)=P(XWC)

得P(X^C)=y=0.5

又尸(X〈C)=d)(^^J=0.5,查表可彳導(dǎo)^^=0???C=3

26.［二十四］某地區(qū)18歲的女青年的血壓(收縮區(qū)，以mm-Hg計(jì))服從N(110,122)

在該地區(qū)任選一18歲女青年，測(cè)量她的血壓X。求

(1)P(X<105),P(100<X<120).(2)確定最小的X使。(XX)［0.05.

解:⑴尸(XK105)=0(105-110)=0(-0.4167)=1-0(0.4167)=1-0.6616=0.3384

27.［二十五］由某機(jī)器生產(chǎn)的螺栓長(zhǎng)度(cW服從參數(shù)為u=10.05,。=006的正

態(tài)分布。規(guī)定長(zhǎng)度在范圍1().05±0.12內(nèi)為合格品，求一螺栓為不合格的概率是多少？

設(shè)螺栓長(zhǎng)度為X

P{X不屬于(10.05—0.12,10.05+0.12)

=1-P(10.05-0.12<X<10.05+0.12)

Jr(10.05+0.12)-10.051r(10.05-0.12)-10.05

_[(H)6J-|_(H)6

=l-{<b(2)-巾(一2)}

=1-(0.9772-0.0228}

=0.0456

28.［二十六］一工廠生產(chǎn)的電子管的壽命X1以小時(shí)計(jì))服從參數(shù)為口二160,。(未

知)的正態(tài)分布，假設(shè)要求P(120VXW200==0.80,允許。最大為多少？

丁P(12()VXW2()())=200160]_①/120-160]=J40"|_①?]=o.8O

IaJk0>)k<7J

又對(duì)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布有4>(-x)=l-6U)

???上式變?yōu)棰?y)f401

1一①5>0.80

解出中(四］便得：

再查表，得?N1.281rr<-^-=31.25

Oi.Zo1

30.［二十七］設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為:

X：—2,—1,0,1,3

1111

P：1,1,-，-----，

5651530

求y=X2的分布律

VY=X2：(—2)2(—1)2(0)2(D2⑶2

111111

5651530

再把X2的取值相同的合并，并按從小到大排列，就得函數(shù)y的分布律為:

P1—?—111

P：5615530