《通信原理》-樊昌信-曹麗娜-編著第六版課件-1-14全

通信原理第1章緒論第1章緒論

1.1通信的基本概念

通信的目的：傳遞消息中所包含的信息。

消息：是物質(zhì)或精神狀態(tài)的一種反映，例如語音、文字、音樂、數(shù)據(jù)、圖片或活動(dòng)圖像等。

信息：是消息中包含的有效內(nèi)容。

實(shí)現(xiàn)通信的方式和手段：

非電的：如旌旗、消息樹、烽火臺(tái)…

電的：如電報(bào)、電話、廣播、電視、遙控、遙測(cè)、因特網(wǎng)和計(jì)算機(jī)通信等。第1章緒論

電信發(fā)明史

1837年：莫爾斯發(fā)明有線電報(bào)

1876年：貝爾發(fā)明有線電話

1918年：調(diào)幅無線電廣播、超外差接收機(jī)問世

1936年：商業(yè)電視廣播開播……………

后面講述中，“通信”這一術(shù)語是指“電通信”，包括光通信，因?yàn)楣庖彩且环N電磁波。

在電通信系統(tǒng)中，消息的傳遞是通過電信號(hào)來實(shí)現(xiàn)的。第1章緒論

1.2通信系統(tǒng)的組成

1.2.1通信系統(tǒng)的一般模型

信息源（簡(jiǎn)稱信源）：把各種消息轉(zhuǎn)換成原始電信號(hào)，如麥克風(fēng)。信源可分為模擬信源和數(shù)字信源。

發(fā)送設(shè)備：產(chǎn)生適合于在信道中傳輸?shù)男盘?hào)。

信道：將來自發(fā)送設(shè)備的信號(hào)傳送到接收端的物理媒質(zhì)。分為有線信道和無線信道兩大類。

噪聲源：集中表示分布于通信系統(tǒng)中各處的噪聲。第1章緒論

接收設(shè)備：從受到減損的接收信號(hào)中正確恢復(fù)出原始電信號(hào)。

受信者（信宿）：把原始電信號(hào)還原成相應(yīng)的消息，如揚(yáng)聲器等。第1章緒論

1.2.2模擬通信系統(tǒng)模型和數(shù)字通信系統(tǒng)模型

模擬信號(hào)和數(shù)字信號(hào)

模擬信號(hào)：代表消息的信號(hào)參量取值連續(xù)，例如麥克風(fēng)輸出電壓：tt(a)話音信號(hào)(b)抽樣信號(hào)圖1-2模擬信號(hào)第1章緒論

數(shù)字信號(hào)：代表消息的信號(hào)參量取值為有限個(gè)，例如電報(bào)信號(hào)、計(jì)算機(jī)輸入輸出信號(hào)：tt(a)二進(jìn)制信號(hào)(b)2PSK信號(hào)圖1-3數(shù)字信號(hào)

通常，按照信道中傳輸?shù)氖悄M信號(hào)還是數(shù)字信號(hào)，相應(yīng)地把通信系統(tǒng)分為模擬通信系統(tǒng)和數(shù)字通信系統(tǒng)。第1章緒論

模擬通信系統(tǒng)模型

模擬通信系統(tǒng)是利用模擬信號(hào)來傳遞信息的通信系統(tǒng)：圖1-4模擬通信系統(tǒng)模型

兩種變換：模擬消息

原始電信號(hào)（基帶信號(hào)）基帶信號(hào)

已調(diào)信號(hào)（帶通信號(hào)）第1章緒論

數(shù)字通信系統(tǒng)模型

數(shù)字通信系統(tǒng)是利用數(shù)字信號(hào)來傳遞信息的通信系統(tǒng)圖1-5數(shù)字通信系統(tǒng)模型

信源編碼與譯碼目的：

提高信息傳輸?shù)挠行?/p>

完成模/數(shù)轉(zhuǎn)換

信道編碼與譯碼目的：增強(qiáng)抗干擾能力

加密與解密目的：保證所傳信息的安全

數(shù)字調(diào)制與解調(diào)目的：形成適合在信道中傳輸?shù)膸ㄐ盘?hào)

同步目的：使收發(fā)兩端的信號(hào)在時(shí)間上保持步調(diào)一致第1章緒論

1.2.3數(shù)字通信的特點(diǎn)

優(yōu)點(diǎn)

抗干擾能力強(qiáng)，且噪聲不積累

傳輸差錯(cuò)可控

便于處理、變換、存儲(chǔ)

便于將來自不同信源的信號(hào)綜合到一起傳輸

易于集成，使通信設(shè)備微型化，重量輕

易于加密處理，且保密性好

缺點(diǎn)：

需要較大的傳輸帶寬

對(duì)同步要求高第1章緒論

1.3通信系統(tǒng)分類與通信方式

1.3.1通信系統(tǒng)的分類

按通信業(yè)務(wù)分類：電報(bào)通信系統(tǒng)、電話通信系統(tǒng)、數(shù)據(jù)通信系統(tǒng)、圖像通信系統(tǒng)……

按調(diào)制方式分類：基帶傳輸系統(tǒng)和帶通（調(diào)制）傳輸系統(tǒng)調(diào)制傳輸系統(tǒng)又分為多種調(diào)制，詳見書中表1-1。

按信號(hào)特征分類：模擬通信系統(tǒng)和數(shù)字通信系統(tǒng)

按傳輸媒介分類：有線通信系統(tǒng)和無線通信系統(tǒng)

按工作波段分類：長(zhǎng)波通信、中波通信、短波通信……

按信號(hào)復(fù)用方式分類：頻分復(fù)用、時(shí)分復(fù)用、碼分復(fù)用第1章緒論

1.3.2通信方式

單工、半雙工和全雙工通信

單工通信：消息只能單方向傳輸?shù)墓ぷ鞣绞?/p>

半雙工通信：通信雙方都能收發(fā)消息，但不能同時(shí)收發(fā)的工作方式

全雙工通信：通信雙方可同時(shí)進(jìn)行收發(fā)消息的工作方式第1章緒論

并行傳輸和串行傳輸

并行傳輸：將代表信息的數(shù)字信號(hào)碼元序列以成組的方式在兩條或兩條以上的并行信道上同時(shí)傳輸同時(shí)發(fā)送8比特01發(fā)1接0送收1方1方00優(yōu)點(diǎn)：節(jié)省傳輸時(shí)間，速度快：不需要字符同步措施缺點(diǎn)：需要n條通信線路，成本高第1章緒論

串行傳輸：將數(shù)字信號(hào)碼元序列以串行方式一個(gè)碼元接一個(gè)碼元地在一條信道上傳輸優(yōu)點(diǎn)：只需一條通信信道，節(jié)省線路鋪設(shè)費(fèi)用缺點(diǎn)：速度慢，需要外加碼組或字符同步措施

其他分類方式：

同步通信和異步通信

專線通信和網(wǎng)通信第1章緒論

1.4信息及其度量

信息：是消息中包含的有效內(nèi)容

如何度量離散消息中所含的信息量?

度量信息量的原則

能度量任何消息，并與消息的種類無關(guān)。

度量方法應(yīng)該與消息的重要程度無關(guān)。

消息中所含信息量和消息內(nèi)容的不確定性有關(guān)【例】“某客機(jī)墜毀”這條消息比“今天下雨”這條消息包含有更多的信息。上例表明：消息所表達(dá)的事件越不可能發(fā)生，信息量就越大。第1章緒論

度量信息量的方法

事件的不確定程度可以用其出現(xiàn)的概率來描述：消息出現(xiàn)的概率越小，則消息中包含的信息量就越大。

設(shè)：P(x)－消息發(fā)生的概率，I－消息中所含的信息量，

則P(x)和I之間應(yīng)該有如下關(guān)系：

I是P(x)的函數(shù)：I＝I[P(x)]

P(x)

，I

；P(x)

，I

；P(x)=1時(shí)，I＝0；P(x)=0時(shí)，I＝

；

I[P(x1)P(x2)

]

I[P(x1)]

I[P(x2)]

滿足上述3條件的關(guān)系式如下：1I

loga

logaP(x)－信息量的定義P(x)第1章緒論1I

loga

logaP(x)P(x)

上式中對(duì)數(shù)的底：若a=2，信息量的單位稱為比特(bit)，可簡(jiǎn)記為b若a=e，信息量的單位稱為奈特(nat)，若a=10，信息量的單位稱為哈特萊(Hartley)。

通常廣泛使用的單位為比特，這時(shí)有1I

log2

log2P(x)(b)P(x)

【例】設(shè)一個(gè)二進(jìn)制離散信源，以相等的概率發(fā)送數(shù)字“0”或“1”，則信源每個(gè)輸出的信息含量為1I(0)

I(1)

log2

log22

1(b)1/2

在工程應(yīng)用中，習(xí)慣把一個(gè)二進(jìn)制碼元稱作1比特第1章緒論

若有M個(gè)等概率波形（P=1/M），且每一個(gè)波形的出現(xiàn)是獨(dú)立的，則傳送M進(jìn)制波形之一的信息量為11I

log2

log2

log2M(b)P1/Mk

若M是2的整冪次，即M=2，則有kI

log22

k(b)當(dāng)M=4時(shí)，即4進(jìn)制波形，I=2比特，當(dāng)M=8時(shí)，即8進(jìn)制波形，I=3比特。第1章緒論

對(duì)于非等概率情況設(shè)：一個(gè)離散信源是由M個(gè)符號(hào)組成的集合，其中每個(gè)符號(hào)xi(i=1,2,3,…,M)按一定的概率P(xi)獨(dú)立出現(xiàn)，即

x1,x2,L,xM

P

x1

,P

x2

,L,P

xM

M且有

P(xi)

1i

1則x1,x2,x3,…,xM所包含的信息量分別為

log2P(x1)，

log2P(x2)，L，

log2P(xM)于是，每個(gè)符號(hào)所含平均信息量為H(x)

P(x1)[

log2P(x1)]

P(x2)[

log2P(x2)]

L

P(xM)[

log2P(xM)]M

P(xi)log2P(xi)(比特/符號(hào)）(1.4

6)i

1由于H(x)同熱力學(xué)中的熵形式相似，故稱它為信息源的熵第1章緒論

【例1】一離散信源由“0”，“1”，“2”，“3”四個(gè)符號(hào)組成，它們出現(xiàn)的概率分別為3/8，1/4，1/4，1/8，且每個(gè)符號(hào)的出現(xiàn)都是獨(dú)立的。試求某消息201020130213001203210100321010023102002010312032100120210的信息量?！窘狻看讼⒅?，“0”出現(xiàn)23次，“1”出現(xiàn)14次，“2”出現(xiàn)13次，“3”出現(xiàn)7次，共有57個(gè)符號(hào)，故該消息的I

23log28/3

14log24

13log24

7log28

108(b)信息量I108I

1.89(比特/符號(hào)）每個(gè)符號(hào)的算術(shù)平均信息量為符號(hào)數(shù)57第1章緒論若用熵的概念來計(jì)算：33111111H

log2

log2

log2

log288444488

1.906（比特/符號(hào)）則該消息的信息量I

57

1.906

108.64(b)以上兩種結(jié)果略有差別的原因在于，它們平均處理方法不同。前一種按算數(shù)平均的方法，結(jié)果可能存在誤差。這種誤差將隨著消息序列中符號(hào)數(shù)的增加而減小。當(dāng)消息序列較長(zhǎng)時(shí)，用熵的概念計(jì)算更為方便。第1章緒論

連續(xù)消息的信息量關(guān)于連續(xù)消息的信息量可以用概率密度函數(shù)來描述?？梢宰C明，連續(xù)消息的平均信息量為

H(x)

f

x

logaf

x

dx式中，f(x)－連續(xù)消息出現(xiàn)的概率密度。第1章緒論

1.5通信系統(tǒng)主要性能指標(biāo)

通信系統(tǒng)的主要性能指標(biāo)：有效性和可靠性

有效性：指?jìng)鬏斠欢ㄐ畔⒘繒r(shí)所占用的信道資源（頻帶寬度和時(shí)間間隔），或者說是傳輸?shù)摹八俣取眴栴}。

可靠性：指接收信息的準(zhǔn)確程度，也就是傳輸?shù)摹百|(zhì)量”問題。

模擬通信系統(tǒng)：

有效性：可用有效傳輸頻帶來度量。

可靠性：可用接收端最終輸出信噪比來度量。第1章緒論

數(shù)字通信系統(tǒng)

有效性：用傳輸速率和頻帶利用率來衡量。

碼元傳輸速率RB：定義為單位時(shí)間（每秒）傳送碼元的數(shù)目，單位為波特（Baud），簡(jiǎn)記為B。1RB

(B)T式中T－碼元的持續(xù)時(shí)間（秒）

信息傳輸速率Rb：定義為單位時(shí)間內(nèi)傳遞的平均信息量或比特?cái)?shù)，單位為比特/秒，簡(jiǎn)記為b/s，或bpsRB

b

第1章

緒論

碼元速率和信息速率的關(guān)系或?qū)τ诙M(jìn)制數(shù)字信號(hào)：M

=

2，碼元速率和信息速率在數(shù)量上相等。

對(duì)于多進(jìn)制，例如在八進(jìn)制（M

=

8）中，若碼元速率為1200

B，，則信息速率為3600

b/s。

(b/s)(B)Rb

RB

log2

M

Rb

log2

M第1章

緒論

頻帶利用率：定義為單位帶寬（1赫茲）內(nèi)的傳輸速率，即或

可靠性：常用誤碼率和誤信率表示。

誤碼率

誤信率，又稱誤比特率在二進(jìn)制中有(B/Hz)

b/(s

Hz)RB

B

Rb

B

錯(cuò)誤碼元數(shù)傳輸總碼元數(shù)Pe

錯(cuò)誤比特?cái)?shù)傳輸總比特?cái)?shù)P

b

Pb

Pe第1章

緒論

1.6

小結(jié)通信的目的、電信發(fā)明史通信系統(tǒng)的模型數(shù)字信號(hào)、模擬信號(hào)，基帶信號(hào)、已調(diào)信號(hào)（帶通信號(hào)、頻帶信號(hào)）數(shù)字通信特點(diǎn)通信系統(tǒng)分類單工、半雙工、全雙工通信，并行傳輸和串行傳輸信息及其度量通信系統(tǒng)的有效性和可靠性通信原理第2章確知信號(hào)第2章確知信號(hào)

2.1確知信號(hào)的類型

按照周期性區(qū)分：

周期信號(hào)：s(t)

s(t

T0),

t

T0－信號(hào)的周期，T0>0

非周期信號(hào)

按照能量區(qū)分：

2

能量信號(hào)：能量有限，0

E

s(t)dt

功率信號(hào)：2222

歸一化功率：P

V/R

IR

V

IT/212

平均功率P為有限正值：P

lims(t)dtT

T

T/2

能量信號(hào)的功率趨于0，功率信號(hào)的能量趨于

第2章確知信號(hào)

2.2確知信號(hào)的頻域性質(zhì)

2.2.1功率信號(hào)的頻譜

周期性功率信號(hào)頻譜（函數(shù)）的定義T/210

j2

nf0tCn

C(nf0)

s(t)edt(2.2

1)T0

T0/2式中，f0＝1/T0，n為整數(shù)，-

<n<+

。

j2

nt/T0s(t)

Cne(2.2

2)n

T/210C0

s(t)dt(2.2

3)T0

T0/2j

nCn

Cne－雙邊譜，復(fù)振幅(2.2－4)|Cn|－振幅，

n－相位第2章確知信號(hào)

周期性功率信號(hào)頻譜的性質(zhì)

對(duì)于物理可實(shí)現(xiàn)的實(shí)信號(hào)，由式(2.2－1)有

T/2T/210

j2

nf0t

10

j2

nf0t

*C

n

T0

T0/2s(t)edt

T0

T0/2s(t)edt

Cn(2.2

5)正頻率部分和負(fù)頻率部分間存在復(fù)數(shù)共軛關(guān)系，即|Cn|Cn的模偶對(duì)稱-5-4-3-2-1012345n(a)振幅譜

nCn的相位奇對(duì)稱-5-4-2-13n-301245(b)相位譜第2章確知信號(hào)將式(2.2－5)代入式(2.2－2)，得到

j2

nt/T0s(t)

Cne

C0

ancos

2

nt/T0

bnsin

2

nt/T0

n

n

1

22

C0

n

1

an

bncos

2

nt/T0

(2.2

8)

1122式中

tan

bn/an

Cn

an

bn2式(2.2－8)表明：1.實(shí)信號(hào)可以表示成包含直流分量C0、基波(n=1時(shí))和各次諧波(n=1,2,3,…)。222.實(shí)信號(hào)s(t)的各次諧波的振幅等于an

bn稱為單邊譜。3.實(shí)信號(hào)s(t)的各次諧波的相位等于

4.頻譜函數(shù)Cn又稱為雙邊譜，|Cn|的值是單邊譜的振幅之半。第2章確知信號(hào)

若s(t)是實(shí)偶信號(hào)，則Cn為實(shí)函數(shù)。因?yàn)門/2T/210

j2

nf0t10Cn

s(t)edt

s(t)[cos(2

nf0t)

jsin(2

nf0t)]dtT0

T0/2T

T0/2T/2T/21010

s(t)cos(2

nf0t)dt

js(t)sin(2

nf0t)dt

Re(Cn)

jIm(Cn)T

T0/2T

T0/2T/20而s(t)sin(2

nf0t)dt

0

T0/2所以Cn為實(shí)函數(shù)。第2章確知信號(hào)

【例2.1】試求圖2-2(a)所示周期性方波的頻譜。

V,

/2

t

/2s(t)s(t)

0,

/2

t

(T

/2)s(t)

s(t

T),

t

V

由式(2.2-1)：t-T0T

/21

/2

j2

nf0t1

V

j2

nf0t

Cn

T

/2Vedt

T

j2

nf0e

/2j2

nf0

/2

j2

nf0

/2Ve

eVV

n

sin

nf0

sinc

Tj2

nf0

nf0TT

T

Cn

j2

nf0tV

n

j2

nf0ts(t)

Cne

sinc

en

n

T

T

第2章確知信號(hào)

【例2.2】試求圖2-3所示周期性方波的頻譜。

V,0

t

s(t)s(t)

0,

t

TVs(t)

s(t

T),

t

t由式(2.2-1)：-T0

T

1

j2

nf0t1

V

j2

nf0t

Cn

T

0Vedt

T

j2

nf0e

0

j2

nf0

V1

eV

j2

n

/T

1

e

Tj2

nf0j2

n因?yàn)榇诵盘?hào)不是偶函數(shù)，其頻譜Cn是復(fù)函數(shù)。第2章確知信號(hào)

【例2.3】試求圖2-4中周期波形的頻譜。s(t)s(t)

sin(

t)0

t

11s(t)

f(t

1)

t

t由式(2.2-1)：T/211

j2

nf0t

j2

nt

2Cn

T

T/2s(t)edt

0sin(

t)edt

(4n2

1)

21j2

nts(t)

e

2

n

4n

1由于此波形為偶函數(shù)，故其頻譜為實(shí)函數(shù)。第2章確知信號(hào)

2.2.2能量信號(hào)的頻譜密度

頻譜密度的定義：

j2

ft能量信號(hào)s(t)的傅里葉變換：S(f)

s(t)edt

j2

ft

S(f)的逆傅里葉變換為原信號(hào)：s(t)

S(f)edf

S(f)和Cn的主要區(qū)別：

S(f)是連續(xù)譜，Cn是離散譜；

S(f)的單位是V/Hz，而Cn的單位是V。

注意：在針對(duì)能量信號(hào)討論問題時(shí)，也常把頻譜密度簡(jiǎn)稱為頻譜。

實(shí)能量信號(hào)：負(fù)頻譜和正頻譜的模偶對(duì)稱，相位奇對(duì)稱，即復(fù)數(shù)共軛，因

j2

ft

j2

ft

s(t)edt

s(t)edt,S(f)

S(

f)

第2章確知信號(hào)

【例2.4】試求一個(gè)矩形脈沖的頻譜密度。設(shè)

1t

/2ga(t)

－單位門函數(shù)0t

/2

它的傅里葉變換為

/2

j2

ft1j

f

j

f

sin(

f

)Ga(f)

edt

(e

e)

sinc(

f

)

/2j2

f

f

g(t)aG(f)1a0-1/

1/

t-2/

02/

f(a)ga(t)(b)(f)Ga圖2-5單位門函數(shù)矩形脈沖的帶寬等于其脈沖持續(xù)時(shí)間的倒數(shù)，在這里它等于(1/

)Hz。第2章確知信號(hào)

【例2.5】試求單位沖激函數(shù)(

函數(shù))的頻譜密度。

函數(shù)的定義：

(t)dt

1

(t)

0t

0

函數(shù)的頻譜密度：

j2

ft

(f)

(t)edt

1

(t)dt

1

函數(shù)的物理意義：一個(gè)高度為無窮大、寬度為無窮小、面積為1的脈沖。第2章確知信號(hào)

函數(shù)的性質(zhì)1：

函數(shù)可以用抽樣函數(shù)的極限表示：k

(t)

limsinc(kt)k

因?yàn)?，可以證明ksinc(kt)dt

1

式中k越大、振幅越大、波形零點(diǎn)的間隔越t小、波形振蕩的衰減越快，但積分等于1。（見左圖）和下式比較：

t

(t)dt

1(2.2-26)

k可見

(t)

limsinc(kt)k

(2.2-28)即抽樣函數(shù)的極限就是

函數(shù)。t第2章確知信號(hào)

函數(shù)的性質(zhì)2：?jiǎn)挝粵_激函數(shù)

(t)的頻譜密度

j2

ft

(f)

(t)edt

1

(t)dt

1

(f)

(t)10tf0第2章確知信號(hào)

函數(shù)的性質(zhì)3：

f(t0)

f(t)

(t

t0)dt(2.2-30)

【證】因?yàn)?/p>

f(t)

(t

t0)dt

f(t0)

(t

t0)dt

f(t0)

物理意義：可以看作是用

函數(shù)在t=t0時(shí)刻對(duì)f(t)抽樣。由于單位沖激函數(shù)是偶函數(shù)，即有

(t)=

(-t)，所以式(2.2-30)可以改寫成：

f(t0)

f(t)

(t0

t)dt(2.2-31)

第2章確知信號(hào)

函數(shù)的性質(zhì)4：

函數(shù)也可以看作是單位階躍函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。單位階躍函數(shù)的定義：

0,當(dāng)t

0,1u(t)

1,當(dāng)t

00t即u

(t)=

(t)圖2-8單位階躍函數(shù)

用

函數(shù)可以表示功率信號(hào)的頻譜密度，見下例。第2章確知信號(hào)

【例2.6】試求無限長(zhǎng)余弦波的頻譜密度。設(shè)一個(gè)余弦波的表示式為s(t)=cos2

f0t，則其頻譜密度S(f)按式(2.2-21)計(jì)算，可以寫為

/2

j2

ft

sin[

(f

f0)

]sin[

(f

f0)

]

S(f)

lim

/2cos2

f0tedt

lim

2

(f

f0)

(f

f0)

lim

2

sinc

(f

f0)

sinc

(f

f0)

參照式(2.2-28)，上式可以改寫為1S(f)

[

(f

f0)

(f

f0)]2t－f00f0(b)頻譜密度(a)波形引用了沖激函數(shù)就能把頻譜密度的概念推廣到功率信號(hào)上。第2章確知信號(hào)

2.2.3能量信號(hào)的能量譜密度

定義：由巴塞伐爾(Parseval)定理

22E

s(t)dt

S(f)df(2.2-37)

2將|S(f)|定義為能量譜密度。式(2.2-37)可以改寫為

(2.2-38)E

G(f)df

2式中G(f)=|S(f)|－能量譜密度

由于信號(hào)s(t)是一個(gè)實(shí)函數(shù)，所以|S(f)|是一個(gè)偶函數(shù),因此上式可以改寫成

E

2G(f)df(2.2-40)

0第2章確知信號(hào)

【例2.7】試求例2.4中矩形脈沖的能量譜密度在例2.4中，已經(jīng)求出其頻譜密度：S(f)

Ga(f)

sinc(

f

)故由式(2.2-39)得出2222G(f)

S(f)

sinc(

f

)

sinc(

f

)第2章確知信號(hào)

2.2.4功率信號(hào)的功率譜密度

定義：首先將信號(hào)s(t)截短為sT(t)，-T/2<t<T/2sT(t)是一個(gè)能量信號(hào)，可以用傅里葉變換求出其能2量譜密度|ST(t)|，由巴塞伐爾定理有T/2

22E

sT(t)dt

ST(f)df(2.2-41)

T/2

將12limST(f)T

T定義為信號(hào)的功率譜密度P(f)，即12P(f)

limST(f)T

T第2章確知信號(hào)

周期信號(hào)的功率譜密度：令T等于信號(hào)的周期T0，于是有T/2T/212102P

lims(t)dt

s(t)dt(2.2-45)T

T

T/2T0

T0/2由周期函數(shù)的巴塞伐爾(Parseval)定理:

T/21022P

T0

T0/2s(t)dt

n

Cn(2.2-46)2式中|Cn|－第n次諧波的功率利用

函數(shù)可將上式表示為

2P

C(f)

(f

nf0)df(2.2-47)

式中

Cnf

nf0C(f)

0其他處上式中的被積因子就是此信號(hào)的功率譜密度P(f)，即

2(2.2-48)P(f)

C(f)

(f

nf0)n

第2章確知信號(hào)

【例2.8】試求例2.1中周期性信號(hào)的功率譜密度。該例中信號(hào)的頻譜已經(jīng)求出，它等于式(2.2-14)：V

n

Cn

sinc

T

T

2所以由式(2.2-48)：P(f)

C(f)

(f

nf0)n

得出2

2

V

2P(f)

C(f)

(f

nf0)

sinc

f

(f

nf0)n

n

T

(2.2-50)s(t)V

t-T0T第2章確知信號(hào)

2.3確知信號(hào)的時(shí)域性質(zhì)

2.3.1能量信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)

定義：

R(

)

s(t)s(t

)dt

(2.3-1)

性質(zhì)：

自相關(guān)函數(shù)R(

)和時(shí)間t無關(guān)，只和時(shí)間差

有關(guān)。

當(dāng)

=0時(shí)，R(0)等于信號(hào)的能量：

2R(0)

s(t)dt

E(2.3-2)

R(

)是

的偶函數(shù)R(

)

R(

)(2.3-3)2

自相關(guān)函數(shù)R(

)和其能量譜密度|S(f)|是一對(duì)傅里葉變換：2

j2

f

2j2

f

S(f)

R(

)ed

R(

)

S(f)edf

第2章確知信號(hào)

2.3.2功率信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)

定義：T/21R(

)

lims(t)s(t

)dt

(2.3-10)T

T

T/2

性質(zhì)：

當(dāng)

=0時(shí)，自相關(guān)函數(shù)R(0)等于信號(hào)的平均功率：T/212R(0)

lims(t)dt

P(2.3-11)T

T

T/2

功率信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)也是偶函數(shù)。

周期性功率信號(hào)：

自相關(guān)函數(shù)定義：T/210R(

)

s(t)s(t

)dt

(2.3-12)T0

T0/2

R(

)和功率譜密度P(f)之間是傅里葉變換關(guān)系：

j2

f

j2

f

R(

)

P(f)edfP(f)

R(

)ed

第2章確知信號(hào)

【例2.9】試求周期性信號(hào)s(t)=Acos(t+

)的自相關(guān)函數(shù)?！窘狻肯惹蠊β首V密度，然后對(duì)功率譜密度作傅里葉變換，即可求出其自相關(guān)函數(shù)。

求功率譜密度：結(jié)果為

222AAP(f)

C(f)

(f

nf0)

(f

f0)

(f

f0)n

44

求自相關(guān)函數(shù)：22

j2

f

Aj

j

AR(

)

P(f)edf

[e

e]

cos

42第2章確知信號(hào)

2.3.3能量信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)

定義：R12(

)

s1(t)s2(t

)dt,

性質(zhì)：

R12(

)和時(shí)間t無關(guān)，只和時(shí)間差

有關(guān)。

R12(

)和兩個(gè)信號(hào)相乘的前后次序有關(guān)：R21(

)

R12(

)【證】令x=t+

，則

R21(

)

s2(t)s1(t

)dt

s2(x

)s1(x)dx

s1(x)s2[x

(

)]dx

R12(

)(2.3-23)

互相關(guān)函數(shù)R12(

)和互能量譜密度S12(f)是一對(duì)傅里葉變換*互能量譜密度的定義為：S12(f)

S1(f)S2(f)

j2

f

j2

f

R12(

)

S12(f)edfS12(f)

R12(

)ed

第2章確知信號(hào)

2.3.4功率信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)T/21

定義：R12(

)

lims1(t)s2(t

)dt,

T

T

T/2

性質(zhì)：

R12(

)和時(shí)間t無關(guān)，只和時(shí)間差

有關(guān)。

R12(

)和兩個(gè)信號(hào)相乘的前后次序有關(guān)：R21(

)=R12(-

)

若兩個(gè)周期性功率信號(hào)的周期相同，則其互相關(guān)函數(shù)的定義可以寫為式中T0－信號(hào)的周期

R12(

)和其互功率譜C12之間也有傅里葉變換關(guān)系：*互功率譜定義：C12

(Cn)1(Cn)2

j2

nf0

j2

nf0R12(

)

C12

eR12(

)

C12(f)

(f

nf0)edfn

第2章確知信號(hào)

小結(jié)

能量信號(hào)、功率信號(hào)

確知信號(hào)再頻域中的四種性質(zhì)：頻譜、頻譜密度、能量譜密度、功率譜密度

確知信號(hào)在時(shí)域中的特性：自相關(guān)函數(shù)、互相關(guān)函數(shù)通信原理第3章隨機(jī)過程1第3章隨機(jī)過程

3.1隨機(jī)過程的基本概念

什么是隨機(jī)過程？

隨機(jī)過程是一類隨時(shí)間作隨機(jī)變化的過程，它不能用確切的時(shí)間函數(shù)描述?？蓮膬煞N不同角度看：

角度1：對(duì)應(yīng)不同隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的時(shí)間過程的集合。2第3章隨機(jī)過程【例】n臺(tái)示波器同時(shí)觀測(cè)并記錄這n臺(tái)接收機(jī)的輸出噪聲波形

樣本函數(shù)

i(t)：隨機(jī)過程的一次實(shí)現(xiàn)，是確定的時(shí)間函數(shù)。

隨機(jī)過程：

(t)={

1(t),

2(t),…,

n(t)}是全部樣本函數(shù)的集合。

(t)

1(t)

2(t)

n(t)3t0第3章隨機(jī)過程

角度2：隨機(jī)過程是隨機(jī)變量概念的延伸。

在任一給定時(shí)刻t1上，每一個(gè)樣本函數(shù)

i(t)都是一個(gè)確定的數(shù)值

i(t1)，但是每個(gè)

i(t1)都是不可預(yù)知的。

在一個(gè)固定時(shí)刻t1上，不同樣本的取值{

i(t1),i=1,2,…,n}是一個(gè)隨機(jī)變量，記為

(t1)。

換句話說，隨機(jī)過程在任意時(shí)刻的值是一個(gè)隨機(jī)變量。

因此，我們又可以把隨機(jī)過程看作是在時(shí)間進(jìn)程中處于不同時(shí)刻的隨機(jī)變量的集合。

這個(gè)角度更適合對(duì)隨機(jī)過程理論進(jìn)行精確的數(shù)學(xué)描述。4第3章隨機(jī)過程

3.1.1隨機(jī)過程的分布函數(shù)

設(shè)

(t)表示一個(gè)隨機(jī)過程，則它在任意時(shí)刻t1的值

(t1)是一個(gè)隨機(jī)變量，其統(tǒng)計(jì)特性可以用分布函數(shù)或概率密度函數(shù)來描述。

隨機(jī)過程

(t)的一維分布函數(shù)：F1(x1,t1)

P[

(t1)

x1]

隨機(jī)過程

(t)的一維概率密度函數(shù)：

F1(x1,t1)f1(x1,t1)

x1若上式中的偏導(dǎo)存在的話。5第3章隨機(jī)過程

隨機(jī)過程

(t)的二維分布函數(shù)：F2(x1,x2;t1,t2,)

P

(t1)

x1,

(t2)

x2

隨機(jī)過程

(t)的二維概率密度函數(shù)：2

F2(x1,x2;t1,t2)f2(x1,x2;t1,t2)

x1

x2若上式中的偏導(dǎo)存在的話。

隨機(jī)過程

(t)的n維分布函數(shù)：Fn(x1,x2,

,xn;t1,t2,

tn)

P

(t1)

x1,

(t2)

x2,

,

(tn)

xn

隨機(jī)過程

(t)的n維概率密度函數(shù)：n

Fn(x1，x2，，

xn；t1，t2，，

tn)fn(x1，x2，

，xn；t1，t2，

，tn)

x1

x2

xn6第3章隨機(jī)過程

3.1.2隨機(jī)過程的數(shù)字特征

均值（數(shù)學(xué)期望）：在任意給定時(shí)刻t1的取值

(t1)是一個(gè)隨機(jī)變量，其均值

E

(t1)

x1f1(x1,t1)dx1式中f(x1,t1)－

(t1)的概率密度函數(shù)由于t1是任取的，所以可以把t1直接寫為t，x1改為x，這樣上式就變?yōu)?/p>

E

(t)

xf1(x,t)dx7第3章隨機(jī)過程

E

(t)

xf1(x,t)dx

(t)的均值是時(shí)間的確定函數(shù)，常記作a(t)，它表示隨機(jī)過程的n個(gè)樣本函數(shù)曲線的擺動(dòng)中心:

(t)a(t)

1(t)

2(t)

n(t)t08第3章隨機(jī)過程

方差2D[

(t)]

E

[

(t)

a(t)]

2方差常記為

(t)。這里也把任意時(shí)刻t1直接寫成了t。因?yàn)?2D

ξ

t

E

ξ

t

2a

t

ξ

t

a

t

22

E[ξ(t)]

2a

t

E

ξ

t

a(t)22

E[ξ(t)]

a(t)

22

xf1(x,t)dx

[a(t)]

均方值均值平方所以，方差等于均方值與均值平方之差，它表示隨機(jī)過程在時(shí)刻t對(duì)于均值a(t)的偏離程度。9第3章隨機(jī)過程

相關(guān)函數(shù)R(t1,t2)

E[

(t1)

(t2)]

x1x2f2(x1,x2;t1,t2)dx1dx2

式中，

(t1)和

(t2)分別是在t1和t2時(shí)刻觀測(cè)得到的隨機(jī)變量?？梢钥闯?，R(t1,t2)是兩個(gè)變量t1和t2的確定函數(shù)。

協(xié)方差函數(shù)B(t1,t2)

E

[

(t1)

a(t1)][

(t2)

a(t2)]

[x1

a(t1)][x2

a(t2)]f2(x1,x2;t1,t2)dx1dx2

式中a(t1)a(t2)－在t1和t2時(shí)刻得到的

(t)的均值f2(x1,x2;t1,t2)－

(t)的二維概率密度函數(shù)。10第3章隨機(jī)過程

相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)之間的關(guān)系B(t1,t2)

R(t1,t2)

a(t1)a(t2)若a(t1)=a(t2)，則B(t1,t2)=R(t1,t2)

互相關(guān)函數(shù)R

(t1,t2)

E[

(t1)

(t2)]式中

(t)和

(t)分別表示兩個(gè)隨機(jī)過程。因此，R(t1,t2)又稱為自相關(guān)函數(shù)。11第3章隨機(jī)過程

3.2平穩(wěn)隨機(jī)過程

3.2.1平穩(wěn)隨機(jī)過程的定義

定義：若一個(gè)隨機(jī)過程

(t)的任意有限維分布函數(shù)與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)，也就是說，對(duì)于任意的正整數(shù)n和所有實(shí)數(shù)

，有fn(x1,x2,

,xn；t1,t2,

,tn)

fn(x1,x2,

,xn；t1

,t2

,

,tn

)則稱該隨機(jī)過程是在嚴(yán)格意義下的平穩(wěn)隨機(jī)過程，簡(jiǎn)稱嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程。12第3章隨機(jī)過程

性質(zhì)：該定義表明，平穩(wěn)隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的推移而改變，即它的一維分布函數(shù)與時(shí)間t無關(guān)：f1(x1,t1)

f1(x1)而二維分布函數(shù)只與時(shí)間間隔

=t2–t1有關(guān)：f2(x1,x2;t1,t2)

f2(x1,x2;

)

數(shù)字特征：

E

(t)

x1f1(x1)dx1

aR(t1,t2)

E[

(t1)

(t1

)]

x1x2f2(x1,x2;

)dx1dx2

R(

)

可見，（1）其均值與t無關(guān)，為常數(shù)a；（2）自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔

有關(guān)。13第3章隨機(jī)過程

數(shù)字特征：

E

(t)

x1f1(x1)dx1

aR(t1,t2)

E[

(t1)

(t1

)]

x1x2f2(x1,x2;

)dx1dx2

R(

)

可見，（1）其均值與t無關(guān)，為常數(shù)a；（2）自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔

有關(guān)。把同時(shí)滿足（1）和（2）的過程定義為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。顯然，嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程必定是廣義平穩(wěn)的，反之不一定成立。在通信系統(tǒng)中所遇到的信號(hào)及噪聲，大多數(shù)可視為平穩(wěn)的隨機(jī)過程。因此，研究平穩(wěn)隨機(jī)過程有著很大的實(shí)際意義。14第3章隨機(jī)過程

3.2.2各態(tài)歷經(jīng)性

問題的提出：我們知道，隨機(jī)過程的數(shù)字特征（均值、相關(guān)函數(shù)）是對(duì)隨機(jī)過程的所有樣本函數(shù)的統(tǒng)計(jì)平均，但在實(shí)際中常常很難測(cè)得大量的樣本，這樣，我們自然會(huì)提出這樣一個(gè)問題：能否從一次試驗(yàn)而得到的一個(gè)樣本函數(shù)x(t)來決定平穩(wěn)過程的數(shù)字特征呢?

回答是肯定的。平穩(wěn)過程在滿足一定的條件下具有一個(gè)有趣而又非常有用的特性，稱為“各態(tài)歷經(jīng)性”（又稱“遍歷性”）。具有各態(tài)歷經(jīng)性的過程，其數(shù)字特征（均為統(tǒng)計(jì)平均）完全可由隨機(jī)過程中的任一實(shí)現(xiàn)的時(shí)間平均值來代替。

下面，我們來討論各態(tài)歷經(jīng)性的條件。15第3章隨機(jī)過程

各態(tài)歷經(jīng)性條件設(shè)：x(t)是平穩(wěn)過程

(t)的任意一次實(shí)現(xiàn)（樣本），則其時(shí)間均值和時(shí)間相關(guān)函數(shù)分別定義為：1T/2a

x(t)

limx(t)dtT

T

T/21T/2R(

)

x(t)x(t

)

limx(t)x(t

)dtT

T

T/2如果平穩(wěn)過程使下式成立

a

a

R(

)

R(

)則稱該平穩(wěn)過程具有各態(tài)歷經(jīng)性。16第3章隨機(jī)過程

“各態(tài)歷經(jīng)”的含義是：隨機(jī)過程中的任一次實(shí)現(xiàn)都經(jīng)歷了隨機(jī)過程的所有可能狀態(tài)。因此，在求解各種統(tǒng)計(jì)平均（均值或自相關(guān)函數(shù)等）時(shí)，無需作無限多次的考察，只要獲得一次考察，用一次實(shí)現(xiàn)的“時(shí)間平均”值代替過程的“統(tǒng)計(jì)平均”值即可，從而使測(cè)量和計(jì)算的問題大為簡(jiǎn)化。

具有各態(tài)歷經(jīng)的隨機(jī)過程一定是平穩(wěn)過程，反之不一定成立。在通信系統(tǒng)中所遇到的隨機(jī)信號(hào)和噪聲，一般均能滿足各態(tài)歷經(jīng)條件。17第3章隨機(jī)過程

[例3-1]設(shè)一個(gè)隨機(jī)相位的正弦波為

(t)

Acos(

ct

)其中，A和

c均為常數(shù)；

是在(0,2π)內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量。試討論

(t)是否具有各態(tài)歷經(jīng)性。【解】(1)先求

(t)的統(tǒng)計(jì)平均值：數(shù)學(xué)期望2

1a(t)

E[

(t)]

Acos(

ct

)d

02

A2

(cos

ctcos

sin

ctsin

)d

2

0A2

2

[cos

ctcos

d

sin

ctsin

d

]

02

0

018第3章隨機(jī)過程自相關(guān)函數(shù)R(t1,t2)

E[

(t1)

(t2)]

E[Acos(

ct1

)

Acos(

ct2

)]2A

E{cos

c(t2

t1)

cos[

c(t2

t1)

2

]}222AA2

1

cos

c(t2

t1)

cos[

c(t2

t1)

2

]d

22

02

2A

cos

c(t2

t1)

02令t2–t1=

，得到2AR(t1,t2)

cos

c

R(

)2可見，

(t)的數(shù)學(xué)期望為常數(shù)，而自相關(guān)函數(shù)與t無關(guān)，只與時(shí)間間隔

有關(guān)，所以

(t)是廣義平穩(wěn)過程。19第3章隨機(jī)過程(2)求

(t)的時(shí)間平均值T12a

Tlim

T

T2Acos(

ct

)dt

0T12R(

)

Tlim

T

T2Acos(

ct

)

Acos[

c(t

)

]dt2TTA22

Tlim

2T{

T2cos

c

dt

T2cos(2

ct

c

2

)dt}2A

cos

c

2比較統(tǒng)計(jì)平均與時(shí)間平均，有a

a,R(

)

R(

)因此，隨機(jī)相位余弦波是各態(tài)歷經(jīng)的。20第3章隨機(jī)過程

3.2.3平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)

平穩(wěn)過程自相關(guān)函數(shù)的定義：同前

平穩(wěn)過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)2

R(0)

E[

(t)]—

(t)的平均功率

R(

)

R(

)—

的偶函數(shù)

—R(

)的上界R(

)

R(0)即自相關(guān)函數(shù)R(

)在

=0有最大值。22

R(

)

E[

(t)]

a—

(t)的直流功率2

R(0)

R(

)

表示平穩(wěn)過程

(t)的交流功率。當(dāng)均值為0時(shí)，有221R(0)=

。第3章隨機(jī)過程

3.2.4平穩(wěn)過程的功率譜密度

定義：

對(duì)于任意的確定功率信號(hào)f(t)，它的功率譜密度定義為2FT(f)Pf(f)

limT

T式中，F(xiàn)T(f)是f(t)的截短函數(shù)fT(t)所對(duì)應(yīng)的頻譜函數(shù)f(t)fT(t)tT0T

2222第3章隨機(jī)過程

對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過程

(t)，可以把f(t)當(dāng)作是

(t)的一個(gè)樣本；某一樣本的功率譜密度不能作為過程的功率譜密度。過程的功率譜密度應(yīng)看作是對(duì)所有樣本的功率譜的統(tǒng)計(jì)平均，故

(t)的功率譜密度可以定義為2EFT(f)P

(f)

E

Pf(f)

limT

T23第3章隨機(jī)過程

功率譜密度的計(jì)算

維納-辛欽關(guān)系非周期的功率型確知信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)與其功率譜密度是一對(duì)傅里葉變換。這種關(guān)系對(duì)平穩(wěn)隨機(jī)過程同樣成立，即

有

j

P

(

)

R(

)ed

1

j

R(

)

P

(

)ed

2

簡(jiǎn)記為R(

)

P

(f)以上關(guān)系稱為維納-辛欽關(guān)系。它在平穩(wěn)隨機(jī)過程的理論和應(yīng)用中是一個(gè)非常重要的工具，它是聯(lián)系頻域和時(shí)域兩種分析方法的基本關(guān)系式。24第3章隨機(jī)過程

在維納-辛欽關(guān)系的基礎(chǔ)上，我們可以得到以下結(jié)論：

對(duì)功率譜密度進(jìn)行積分，可得平穩(wěn)過程的總功率：

R(0)

P

(f)df

上式從頻域的角度給出了過程平均功率的計(jì)算法。

各態(tài)歷經(jīng)過程的任一樣本函數(shù)的功率譜密度等于過程的功率譜密度。也就是說，每一樣本函數(shù)的譜特性都能很好地表現(xiàn)整個(gè)過程的的譜特性?！咀C】因?yàn)楦鲬B(tài)歷經(jīng)過程的自相關(guān)函數(shù)等于任一樣本的自相關(guān)函數(shù)，即R(

)

R(

)兩邊取傅里葉變換：F[R(

)]

F[R(

)]即P

(f)

Pf(f)式中R(

)

P

(f)R

Pf(f)25第3章隨機(jī)過程

功率譜密度P

(f)具有非負(fù)性和實(shí)偶性，即有P

(f)

0和P

(

f)

P

(f)這與R(

)的實(shí)偶性相對(duì)應(yīng)。26第3章隨機(jī)過程

[例3-2]求隨機(jī)相位余弦波

(t)=Acos(

ct+

)的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度?！窘狻吭赱例3-1]中，我們已經(jīng)考察隨機(jī)相位余弦波是一個(gè)平穩(wěn)過程，并且求出其相關(guān)函數(shù)為2AR(

)

cos

c

2因?yàn)槠椒€(wěn)隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)與功率譜密度是一對(duì)傅里葉變換，即有R(

)

P

(

)以及由于有cos

c

[

(

c)

(

c)]2

A所以，功率譜密度為P

(

)

[

(

c)

(

c)]22平均功率為1

AS

R(0)

2

P

(

)d

227第3章隨機(jī)過程

3.3高斯隨機(jī)過程（正態(tài)隨機(jī)過程）

3.3.1定義

如果隨機(jī)過程

(t)的任意n維（n=1,2,...）分布均服從正態(tài)分布，則稱它為正態(tài)過程或高斯過程。

n維正態(tài)概率密度函數(shù)表示式為：fn(x1,x2,...,xn；t1,t2,...,tn)nn1

1xj

ajxk

ak

(2

)n/2

1

2...

nB1/2exp

2B

j

1

k

1Bjk(

j)(

k)

22式中ak

E[

(tk)],

k

E[

(tk)

ak]28第3章隨機(jī)過程式中|B|－歸一化協(xié)方差矩陣的行列式，即1b12

b1nb211

b2nB

bn1bn2

1|B|jk－行列式|B|中元素bjk的代數(shù)余因子bjk－為歸一化協(xié)方差函數(shù)，即E{[

(tj)

aj][

(tk)

ak]}bjk

j

k29第3章隨機(jī)過程

3.3.2重要性質(zhì)

由高斯過程的定義式可以看出,高斯過程的n維分布只依賴各個(gè)隨機(jī)變量的均值、方差和歸一化協(xié)方差。因此，對(duì)于高斯過程，只需要研究它的數(shù)字特征就可以了。

廣義平穩(wěn)的高斯過程也是嚴(yán)平穩(wěn)的。因?yàn)椋舾咚惯^程是廣義平穩(wěn)的，即其均值與時(shí)間無關(guān)，協(xié)方差函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)，而與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)，則它的n維分布也與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)，故它也是嚴(yán)平穩(wěn)的。所以，高斯過程若是廣義平穩(wěn)的，則也嚴(yán)平穩(wěn)。30第3章隨機(jī)過程

如果高斯過程在不同時(shí)刻的取值是不相關(guān)的，即對(duì)所有j

k，有bjk=0，則其概率密度可以簡(jiǎn)化為n21(xk

ak)fn(x1,x2,...,xn;t1,t2,...,tn)

exp[

2]k

12

k2

k

f(x1,t1)

f(x2,t2)

f(xn,tn)這表明，如果高斯過程在不同時(shí)刻的取值是不相關(guān)的，那么它們也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。

高斯過程經(jīng)過線性變換后生成的過程仍是高斯過程。也可以說，若線性系統(tǒng)的輸入為高斯過程，則系統(tǒng)輸出也是高斯過程。31第3章隨機(jī)過程

3.3.3高斯隨機(jī)變量

定義：高斯過程在任一時(shí)刻上的取值是一個(gè)正態(tài)分布的隨機(jī)變量，也稱高斯隨機(jī)變量，其一維概率密度函數(shù)為21

(x

a)

f(x)

exp

2

式中2

2

a－均值2f(x)

－方差12

曲線如右圖：oax32第3章隨機(jī)過程

性質(zhì)f(x)

f(x)對(duì)稱于直線x=a，即12

f

a

x

f

a

x

f(x)dx

1

a

1oaxf(x)dx

f(x)dx

a2

a表示分布中心，

稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差，表示集中程度，圖形將隨著

的減小而變高和變窄。當(dāng)a=0和

=1時(shí)，稱為標(biāo)準(zhǔn)化的正態(tài)分布：21

x

f(x)

exp

2

2

33第3章隨機(jī)過程

正態(tài)分布函數(shù)2x1

(z

a)

F(x)

P(

x)

2

exp

2

2

dz這個(gè)積分的值無法用閉合形式計(jì)算，通常利用其他特殊函數(shù)，用查表的方法求出：

用誤差函數(shù)表示正態(tài)分布函數(shù)：令t

(z

a)/2

則有dz

2

dt(x

a)/2

2及12

tF(x)

edt2

11

x

a

erf

22

2σ

式中2x

t2erf(x)

0edt－誤差函數(shù)，可以查表求出其值。34

第3章隨機(jī)過程

用互補(bǔ)誤差函數(shù)erfc(x)表示正態(tài)分布函數(shù)：1

x

a

F(x)

1

erfc

2

2

式中2

t2erfc(x)

1

erf(x)

edt

x

當(dāng)x>2時(shí)，1

x2erfc(x)

ex

35第3章隨機(jī)過程

用Q函數(shù)表示正態(tài)分布函數(shù)：

Q函數(shù)定義：1

t2/2Q(x)

edt

x2

Q函數(shù)和erfc函數(shù)的關(guān)系：1

x

Q(x)

erfc

erfc(x)

2Q(2x)2

2

Q函數(shù)和分布函數(shù)F(x)的關(guān)系：1

x

a

x

a

F(x)

1

erfc

1

Q

2

2

Q函數(shù)值也可以從查表得到。36第3章隨機(jī)過程

3.4平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)

確知信號(hào)通過線性系統(tǒng)（復(fù)習(xí)）：

v0(t)

h(t)

vi(t)

hi(

)v(t

)d

式中vi－輸入信號(hào)，vo－輸出信號(hào)對(duì)應(yīng)的傅里葉變換關(guān)系：V0(f)

H(f)Vi(f)

隨機(jī)信號(hào)通過線性系統(tǒng)：

0(t)

h(

)

i(t

)d

假設(shè)：

i(t)－是平穩(wěn)的輸入隨機(jī)過程，a－均值，Ri(

)－自相關(guān)函數(shù)，Pi(

)－功率譜密度；求輸出過程

o(t)的統(tǒng)計(jì)特性，即它的均值、自相關(guān)函數(shù)、功率譜以及概率分布。37第3章隨機(jī)過程

輸出過程

o(t)的均值對(duì)下式兩邊取統(tǒng)計(jì)平均：

0(t)

h(

)

i(t

)d

得到E[

0(t)]

E

h(

)

i(t

)d

h(

)E[

i(t

)]d

設(shè)輸入過程是平穩(wěn)的，則有E[

i(t

)]

E[

i(t)]

a

E[

0(t)]

a

h(

)d

a

H(0)

式中，H(0)是線性系統(tǒng)在f=0處的頻率響應(yīng)，因此輸出過程的均值是一個(gè)常數(shù)。38第3章隨機(jī)過程

輸出過程

o(t)的自相關(guān)函數(shù)：根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的定義R0(t1,t1

)

E[

0(t1)

0(t1

)]

E

h(

)

i(t1

)d

h(

)

i(t1

)d

h(

)h(

)E[

i(t1

)

i(t1

)]d

d

根據(jù)輸入過程的平穩(wěn)性，有E[

i(t1

)

i(t1

)]

Ri(

)

于是R0(t1,t1

)

h(

)h(

)Ri(

)d

d

R0(

)

上式表明,輸出過程的自相關(guān)函數(shù)僅是時(shí)間間隔

的函數(shù)。由上兩式可知，若線性系統(tǒng)的輸入是平穩(wěn)的，則輸出也是平穩(wěn)的。39第3章隨機(jī)過程

輸出過程

o(t)的功率譜密度對(duì)下式進(jìn)行傅里葉變換：

R0(t1,t1

)

h(

)h(

)Ri(

)d

d

R0(

)

得出

j

P0(f)

R0(

)ed

jωτ

h(

)h(

)Ri(

)d

d

ed

令

=

+

-

，代入上式，得到

'j

j

'

j

'P0(f)

h(

)ed

h(

)ed

Ri(

)ed

即2

P0(f)

H(f)

H(f)

Pi(f)

H(f)Pi(f)結(jié)論：輸出過程的功率譜密度是輸入過程的功率譜密度乘以系統(tǒng)頻率響應(yīng)模值的平方。應(yīng)用：由Po(f)的反傅里葉變換求Ro(

)40第3章隨機(jī)過程

輸出過程

o(t)的概率分布

如果線性系統(tǒng)的輸入過程是高斯型的，則系統(tǒng)的輸出過程也是高斯型的。

因?yàn)閺姆e分原理看，

0(t)

h(

)

i(t

)d

可以表示為：

0(t)

lim

k

0

k

0

i(t

k)h(

k)

k由于已假設(shè)

i(t)是高斯型的，所以上式右端的每一項(xiàng)在任一時(shí)刻上都是一個(gè)高斯隨機(jī)變量。因此，輸出過程在任一時(shí)刻上得到的隨機(jī)變量就是無限多個(gè)高斯隨機(jī)變量之和。由概率論理論得知，這個(gè)“和”也是高斯隨機(jī)變量，因而輸出過程也為高斯過程。注意，與輸入高斯過程相比，輸出過程的數(shù)字特征已經(jīng)改變41了。第3章隨機(jī)過程

3.5窄帶隨機(jī)過程

什么是窄帶隨機(jī)過程？若隨機(jī)過程

(t)的譜密度集中在中心頻率fc附近相對(duì)窄的頻帶范圍

f內(nèi)，即滿足

f<<fc的條件，且fc遠(yuǎn)離零頻率，則稱該

(t)為窄帶隨機(jī)過程。42第3章隨機(jī)過程

典型的窄帶隨機(jī)過程的譜密度和樣本函數(shù)43第3章隨機(jī)過程

窄帶隨機(jī)過程的表示式

(t)

a

(t)cos[

ct

(t)],a

(t)

0式中，a

(t)－隨機(jī)包絡(luò)，

(t)－隨機(jī)相位

c－中心角頻率顯然，a

(t)和

(t)的變化相對(duì)于載波cos

ct的變化要緩慢得多。44第3章隨機(jī)過程

窄帶隨機(jī)過程表示式展開

(t)

a

(t)cos[

ct

(t)],a

(t)

0可以展開為

(t)

c(t)cos

ct

s(t)sin

ct式中

c(t)

a

(t)cos

(t)－

(t)的同相分量

s(t)

a

(t)sin

(t)－

(t)的正交分量可以看出：

(t)的統(tǒng)計(jì)特性由a

(t)和

(t)或

c(t)和

s(t)的統(tǒng)計(jì)特性確定。若

(t)的統(tǒng)計(jì)特性已知，則a

(t)和

(t)或

c(t)和

s(t)的統(tǒng)計(jì)特性也隨之確定。45第3章隨機(jī)過程

3.5.1

c(t)和

s(t)的統(tǒng)計(jì)特性

數(shù)學(xué)期望：對(duì)下式求數(shù)學(xué)期望：

(t)

c(t)cos

ct

s(t)sin

ct得到E

(t)

E[

c(t)]cos

ct

E[

s(t)]sin

ct因?yàn)?/p>

(t)平穩(wěn)且均值為零，故對(duì)于任意的時(shí)間t，都有E[

(t)]=0，所以E[

c(t)]

0，E[

s(t)]

046第3章隨機(jī)過程

(t)的自相關(guān)函數(shù)：由自相關(guān)函數(shù)的定義式R

(t,t

)

E[

(t)

(t

)]

Rc(t,t

)cos

ctcos

c(t

)

Rcs(t,t

)cos

ctsin

c(t

)

Rsc(t,t

)sin

ctcos

c(t

)

Rs(t,t

)sin

ctsin

c(t

)式中Rc(t,t

)

E[

c(t)

c(t

)]Rcs(t,t

)

E[

c(t)

s(t

)]Rsc(t,t

)

E[

s(t)

c(t

)]Rs(t,t

)

E[

s(t)

s(t

)]因?yàn)?/p>

(t)是平穩(wěn)的，故有R

(t,t

)

R(

)這就要求上式的右端與時(shí)間t無關(guān)，而僅與

有關(guān)。因此，若令t=0，上式仍應(yīng)成立，它變?yōu)镽

(

)

Rc(t,t

)cos

c

Rcs(t,t

)sin

c

47第3章隨機(jī)過程R

(

)

Rc(t,t

)cos

c

Rcs(t,t

)sin

c

因與時(shí)間t無關(guān)，以下二式自然成立Rc(t,t

)

Rc(

)Rcs(t,t

)

Rcs(

)所以，上式變?yōu)镽

(

)

Rc(

)cos

c

Rcs(

)sin

c

再令t=π/2

c，同理可以求得R

(

)

Rs(

)cos

c

Rsc(

)sin

c

由以上分析可知，若窄帶過程

(t)是平穩(wěn)的，則

c(t)和

s(t)也必然是平穩(wěn)的。48第3章隨機(jī)過程

進(jìn)一步分析，下兩式R

(

)

Rc(

)cos

c

Rcs(

)sin

c

R

(

)

Rs(

)cos

c

Rsc(

)sin

c

應(yīng)同時(shí)成立，故有Rc(

)

Rs(

)Rcs(

)

Rsc(

)上式表明，同相分量

c(t)和正交分量

s(t)具有相同的自相關(guān)函數(shù)。根據(jù)互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)有Rcs(

)

Rsc(

)代入上式，得到Rsc(

)

Rsc(

)上式表明Rsc(

)是

的奇函數(shù)，所以Rsc(0)

0同理可證Rcs(0)

049第3章隨機(jī)過程將Rsc(0)

0Rcs(0)

0代入下兩式R

(

)

Rc(

)cos

c

Rcs(

)sin

c

R

(

)

Rs(

)cos

c

Rsc(

)sin

c

得到R

(0)

Rc(0)

Rs(0)222即

c

s上式表明

(t)、

c(t)和

s(t)具有相同的平均功率或方差。50第3章隨機(jī)過程

根據(jù)平穩(wěn)性，過程的特性與變量t無關(guān)，故由式

(t)

c(t)cos

ct

s(t)sin

ct得到t

t1

0時(shí),

(t1)

c(t1)

t

t2

時(shí),

(t2)

s(t2)2

c因?yàn)?/p>

(t)是高斯過程，所以，

c(t1)，

s(t2)一定是高斯隨機(jī)變量，從而

c(t)、

s(t)也是高斯過程。

根據(jù)Rcs(0)

0可知，

c(t)與

s(t)在

=0處互不相關(guān)，又由于它們是高斯型的，因此

c(t)與

s(t)也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。51第3章隨機(jī)過程

結(jié)論：一個(gè)均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過程

(t)，它的同相分量

c(t)和正交分量

s(t)同樣是平穩(wěn)高斯過程，而且均值為零，方差也相同。此外，在同一時(shí)刻上得到的

c和

s是互不相關(guān)的或統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。52第3章隨機(jī)過程

3.5.2a

(t)和

(t)的統(tǒng)計(jì)特性

聯(lián)合概率密度函數(shù)f(a

,

)根據(jù)概率論知識(shí)有

(

c,

s)f(a

,

)

f(

c,

s)

(a

,

)

c

a

cos

22由

1

c

s

s

a

sin

f(

c,

s)

f(

c)

f(

s)

2exp[

2]2

2

可以求得

c

s

(

c,

s)

a

a

cos

sin

a

(a

,

)

c

s

a

sin

a

cos

53第3章隨機(jī)過程于是有22a

(a

cos

)

(a

sin

)

f(a

,

)

a

f(

c,

s)

2exp

2

2

2a

a

2exp

2

2

2

式中a

0,

=(0~2π)54第3章隨機(jī)過程

a

的一維概率密度函數(shù)

2

2a

a

f(a

)

f(a

,

)d

02

2exp

2

2

d

2a

a

2exp

2

a

0

2

可見，a

服從瑞利(Rayleigh)分布。55第3章隨機(jī)過程

的一維概率密度函數(shù)

21a

a

f(

)

0f(a

,

)da

2

0

2exp

2

2

da

1

0

2

2

可見，

服從均勻分布。56第3章隨機(jī)過程

結(jié)論2一個(gè)