第三講文明足跡-數(shù)學(xué)史上的著名定理

第3講文明足跡——教學(xué)史上的著名定理

3.1黃金分割

天工造物，不經(jīng)意間展現(xiàn)出一種美的旋律。那蜿蜒的群山，那清脆的流水，那迷人的景

致，那怒放的花朵，大自然的賦予，讓人如此的神往！

那么，“美的密碼”是什么呢？兩千年來，人類在探索美的藝術(shù)的同時，也在探索著美

的奧秘。

數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯有一句名言：凡是美的東西都具有共同的特性，那就是部分與部分以

及部分與整體之間的和諧。

畫家們說，實踐使他們認(rèn)識到，把畫的主體放在畫的正中央，大約是個敗筆。觀看下面

的一組圖畫，你肯定會覺得第3幅圖畫來的優(yōu)美。量一量就知道，那幅畫的重心大約配置在

畫面的0.618的地方。

建筑師們也發(fā)現(xiàn)，邊長比為0.618的矩形具有特殊的美感。窗戶與房屋采用這樣的矩

形結(jié)構(gòu)，特別令人賞心悅目。

19世紀(jì)中葉，德國心理學(xué)家弗希內(nèi)（GustavFechner）曾經(jīng)做過一次別出心裁的實驗。

他開了一次“矩形展覽會”，會上展出了他精心制作的各種矩形，并要求參觀者投票選擇各

自認(rèn)為最美的和最丑的矩形。結(jié)果，最美矩形中，長與寬接近0.618的矩形得票最高。以后

又有許多人（如拉羅）做了更多的實驗。見下表。

最佳矩形（％）最壞矩形（％）

寬與長之比

FechnerLaloFechnerLalo

1.003.011.727.822.5

0.830.21.019.716.6

0.802.01.39.49.1

0.752.59.52.59.1

1

0.697.75.61.22.5

0.6720.611.00.40.6

0.6235.030.30.00.0

0.5720.06.30.80.6

0.507.58.02.512.5

0.401.515.335.726.6

100.0100.0100.0100.1

0.618!這一再出現(xiàn)的神秘數(shù)字……正是所謂的黃金分割數(shù)。

那么，黃金分割數(shù)是如何得到的？歐幾里得在《幾何原本》第二卷給出命題：“將一條

線段分成兩段，使得整段與其中一分段所含矩形等于另一分段上的正方形。”分點(diǎn)就是所謂

的黃金分割點(diǎn)。歐幾里得的作圖法如下：在48上作出正方形45CD,取幺。的中點(diǎn)￡,

在ZU延長線上取點(diǎn)/，使所=￡8。在48上取點(diǎn)8,使得ZH=4F。于是點(diǎn)X即為所

求。

Y-I-1V

設(shè)/5=1,AH=x.由」二土，得一元二次方程

x1

%2—x—1=0

其正根即為黃金分割數(shù)。=＞乎=1.61803?美的密碼在此呈現(xiàn)!

2

黃金分割已經(jīng)為古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派所熟悉，因為該學(xué)派的標(biāo)志是一個五角星；而正

五邊形各對角線交點(diǎn)都是黃金分割點(diǎn)。據(jù)說在古希臘時期，有一天畢達(dá)哥拉斯走在街上，

在經(jīng)過鐵匠鋪前他聽到鐵匠打鐵的聲音非常好聽，于是駐足傾聽。他發(fā)現(xiàn)鐵匠打鐵節(jié)奏

很有規(guī)律，這個聲音的比例被畢達(dá)哥斯拉用數(shù)理的方式表達(dá)出來。

長和寬之比等于黃金分割比的長方形叫黃金矩形。奇妙的是，從一個黃金矩形中去掉一

個寬作為邊長的正方形，余下的舉行還是黃金矩形。事實上，若設(shè)大黃金矩形的兩邊為

a:b=</>,分出一個正方形后，所余小矩形的兩邊分別為b-。和a,他們的比：

b-abl1小-1

-------1=1=———-------1=--------

aa（/）V5-12

2

從某一個黃金矩形開始，去掉一個正方形，再從余下的黃金矩形中去掉一個正方形，這

樣一直下去，所得到的一系列黃金分割點(diǎn)恰恰位于同一條等角螺線上！

3

黃金矩形與等角螺線

容易看出，在上面第一幅張郵票中，大矩形內(nèi)各正方形的角點(diǎn)形成兩條直線：一條是大

矩形對角線，另一條是小矩形的對角線。這表明這一系列正方形，構(gòu)成了無窮遞縮等比數(shù)列!

黃金分割被認(rèn)為是建筑和藝術(shù)中最理想的比例。藝術(shù)家們應(yīng)用它，創(chuàng)造出令人更加神往

的藝術(shù)珍品；設(shè)計師們利用它，設(shè)計出巧奪天工的建筑；科學(xué)家們則在科學(xué)的海洋盡情地歡

奏0.618這美的旋律！

現(xiàn)在，風(fēng)姿綽約的主持人出臺亮相時，她們并不站立在舞臺的中央，而是站在舞臺的黃

金分割點(diǎn)。因為這樣的位置，可以給觀眾留下更加完美的形象！

最令人驚奇的是：人體美也遵循著0.618的規(guī)律！人們測量了愛神維納斯和女神雅典娜

4

古希臘巴特農(nóng)神殿主持人報幕蒙娜麗莎的微笑

的雕像，發(fā)現(xiàn)她們下身與全身的比接近0.618。大量的調(diào)查表明，現(xiàn)今的女性，下身與

全身的平均比為0.58,因此不少女子穿上高跟鞋，以提高上述比值，增強(qiáng)美感。芭蕾舞演員

則在婆娑起舞的時候，踮起腳尖，以展現(xiàn)0.618的美麗一一無怪人們對芭蕾如此的喜愛！

黃金比值，是造福人類的一個數(shù)字。

3.2勾股定理

3.2.1巴比倫

我們今天是通過19世紀(jì)上半葉以來考古發(fā)掘的泥版文獻(xiàn)來了解美索不達(dá)米亞文明的數(shù)

學(xué)成就的。這些泥版文獻(xiàn)分別屬于古巴比倫時代（公元前1900-1600年）和塞留斯時代（公

元前311年以后）。

在大英博物館所藏的一塊巴比倫泥版上有如下數(shù)學(xué)問題：“已知矩形的長為4,對角線

為5,問寬是多少？”解法是：“4乘4得16,5乘5得25,從25中減去16,余9。因為3

乘3得9,故3即為所求的寬?！憋@然，巴比倫人利用了勾股定理。另一泥版問題：”長為0.5

單位的梯子倚墻而立，當(dāng)上端沿墻下移0.1單位距離時，下端離墻移動多遠(yuǎn)？”也是用勾股

定理來解的。

美國耶魯大學(xué)所藏的YBC7289號泥版如下圖所示。顯然，這是一個已知正方形邊長

30,求對角線的問題。圖中第一行上以60進(jìn)制表示的數(shù)字1,24,51,10即為

1+-+-^+^-=1.414212963,這正是的近似值，精確到了小數(shù)點(diǎn)后五位；第二

60602603

2535

行上的數(shù)字42,25,35則是上述近似值的30倍，即42+—+r=42.426388889,它顯

60602

然是利用勾股定理求得的對角線長30后的近似值。

5

耶魯大學(xué)所藏泥版YBC7289(約公元前1600年)

1936年，歐洲考古學(xué)家在離巴比倫古城約350英里的伊朗蘇薩(Susa)城發(fā)掘出一組

數(shù)學(xué)泥版。其中一塊上有這樣的問題：已知等腰三角形三邊分別為50、50、60,求三角形

外接圓半徑。設(shè)三角形頂點(diǎn)為A、B、C,外心為O,過A作高線AD,如圖所示。用我們

的符號表示，泥版上的解法相當(dāng)于：由勾股定理，AD2=AB2-BD2,得20=40。設(shè)

外接圓半徑為x,貝i]Z0=08=x,OD=40-x?再次利用勾股定理得

x2=OD2+BD2,故，=(40—+302,解得x=314。

蘇薩泥版

6

迪巴伊(TellDhibayi)泥版是考古學(xué)家于1962年在巴格達(dá)附近發(fā)掘的約500塊泥版中

的一塊數(shù)學(xué)泥版，制作時間大約是公元前1750年。上面是一幾何問題：已知矩形面積為0.75,

對角線長1.25,求矩形的邊長。設(shè)邊長分別為x和y,利用勾股定理，問題相當(dāng)于解方程

組

xy=0.75,x2+v2=1.252

不同于我們今天通常使用的代入消元法，泥版上的解法是依次求出：

①2孫=1.5；

@x2+y2-2xj=1.5625-1.5=0.0625；

@x-y=0.25；

④^^=0.125；

2

212G22

⑤x+3—2町=二+匕—至=0015625；

4442

⑥仁+匚現(xiàn)+盯上+片+肛=0.765625；

(442J-442

⑦號=0.875；

⑩x=l,y=0.75o

事實上，巴比倫人所擁有的代數(shù)技巧遠(yuǎn)遠(yuǎn)超乎我們的想像，對他們而言，上面解法中對

一些恒等式的利用乃是稀松平常之事。

7

Plimpton322號泥版（哥倫比亞大學(xué)藏）

在迄今發(fā)現(xiàn)的共約300塊巴比倫數(shù)學(xué)泥版中，最讓數(shù)學(xué)史家們感興趣的莫過于美國哥倫

比亞大學(xué)所藏Plimpton322號泥版了。泥版上有15行、4列數(shù)字（見下表，表中數(shù)字已換

算成十進(jìn)制），原來人們還以為是一份帳目。但是，奧地利著名數(shù)學(xué)史家諾伊格鮑爾（O.

Neugebauer,1899-1990）經(jīng)過研究驚奇地發(fā)現(xiàn)：第3列數(shù)與第2列數(shù)的平方差竟都是平方

數(shù)！例如：1692—1192=1202（第1行），185412-127092=135002（第4行），等等。

有四處不滿足這一規(guī)律，但人們相信這是祭司抄寫錯誤所致。這就表明，它是一張勾股數(shù)表。

表中我們在錯誤的數(shù)字之后加了正確數(shù)字。

英國數(shù)學(xué)家齊曼（C.Zeeman,1925?）指出，如果巴比倫人使用了勾股數(shù)一般公式

a=p2-q2,b=2pq,c=p2+q~

那么，滿足q<60,31”2445°且（：0122=《（Z是勾。所對的角）為有限小數(shù)

a-

的勾股數(shù)只有16組。而Plimpton322號泥版給出了其中的15組！其水平之高，令人驚嘆。

由于泥版的左邊斷裂，殘片無法覓得，有人猜測：斷裂的左半含有對應(yīng)于<30°的勾

股數(shù)；又有人猜測，左半部分含有相應(yīng)的夕、q、2Pq和tai?/的值。

泥版文獻(xiàn)中還有一些圍繞勾股定理的更復(fù)雜的問題，如已知。、c+b,求b、c；已

知c、a+b,求a、b,已知仍、a+b+c,求a、b、c等。盡管在巴比倫泥版中我們

(c/b)2ac序號

8

1.983402781191691

1.94915855336711521[4825]2

1.91880213460166493

1.8862479112709185414

1.8150077265975

1.785192903194816

1.71998368229135417

1.6927094279912498

1.64266944541[481]7699

1.582122574961816110

1.56250000457511

1.489416841679292912

1.4500173625921[161]28913

1.430238821771322914

1.387160495653[106]15

還沒有發(fā)現(xiàn)中國《九章算術(shù)》勾股章中所給出的關(guān)于勾股定理的一般性敘述，有關(guān)勾股

定理的應(yīng)用在水平上也次于《九章算術(shù)》，但不要忘了，它們在時間上早了1500年！即使我

們把勾股定理上溯到商高時代，巴比倫人仍然享有無可辯駁的優(yōu)先權(quán)。

3.2.2古希臘

真理：她的標(biāo)志是永恒

一旦愚昧的世界見到她的光芒

畢達(dá)哥拉斯定理今天依然正確

猶如初次被傳授給兄弟會一樣

女神們以這束光芒相饋贈

畢達(dá)哥拉斯回祭一份厚禮

一百頭牛，烤熟切片

表達(dá)對她們的無限感激

9

從那一天起，當(dāng)它們猜測

一個新的真理會被揭去面紗

在那惡魔似的圍欄里

一陣陣哀鳴立即爆發(fā)

無力阻擋真理發(fā)現(xiàn)者的暴行

畢達(dá)哥拉斯讓它們永不安寧

它們瑟瑟顫抖著

絕望地閉上了眼睛海涅

傳說，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派為慶祝勾股定理的發(fā)現(xiàn)而宰殺百牛以祭司繆斯女神。據(jù)此，德國

著名詩人海涅寫了上面這首詩。其對弱者的同情躍然于紙上矣！

盡管該定理以畢達(dá)哥拉斯命名，但并沒有可靠的證據(jù)證明它確實是他發(fā)現(xiàn)的。后世作者

還敘述了為畢氏學(xué)派為慶祝該定理的發(fā)現(xiàn)而進(jìn)行百牲大祭的故事。

畢達(dá)哥拉斯定理（尼加拉瓜郵票，1971）

10

PITAGOftASec.VI1C

<z>

IAA\I-AP\；JM'].

畢達(dá)哥拉斯定理（希臘郵票）畢達(dá)哥拉斯（圣馬利諾郵票）

畢達(dá)哥拉斯是如何發(fā)現(xiàn)勾股定理的？數(shù)學(xué)史家作了一些推測。其中一種如下圖。

另一種推測是利用三角形的相似性。

歐幾里得《幾何原本》第一卷命題47

即為勾股定理。歐幾里得的證明如下：

MBF=AADC

正方形Cb=2AABb>

矩形4￡=2AAZ>C

=>正方形矩形4Z]

正方形CK=矩形Atj

=正方形C尸+正方形CK

=正方形AE

11

希臘人將證明稱之為“結(jié)婚婦女的定理”(theoremofthemarriedwomen)；法國人稱之

為“驢橋定理”(ponsasinorum)；阿拉伯人稱之為“新娘圖”(Figureofbride)或“新娘

之坐椅”(Bride'schair)；印度數(shù)學(xué)家婆什迦羅稱之為“小巧結(jié)婚婦女的輕便馬車”(chaise

ofthelittlemarriedwomen)；歐洲后來又有人稱之為“孔雀的尾巴”或“大風(fēng)車”。

新娘的坐椅

中譯本《幾何原本》中的畢達(dá)哥拉斯定理

12

畢達(dá)哥拉斯樹

3.2.3中國

《周髀算經(jīng)》上卷開篇寫道：

“昔者周公問于商高日：竊聞乎大夫善數(shù)也，請問數(shù)安從出？商高曰：數(shù)之法出于圓方,

圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩以為勾廣三，股修四，徑隅五。既方其外，

半之一矩。環(huán)而共盤，得成三、四、五。兩矩共長二十有五，是謂積矩。故禹之所以治天下

者，此數(shù)之所生也?！?/p>

這段文字包含了勾股定理的特例：32+42=5\而陳子在回答榮方問題時說：

“若求斜至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并而開方除之，得斜至日。”

13

說的是用一般情形的勾股定理來求地面上物體與太陽之間的距離。有學(xué)者認(rèn)為上引商高

的話中已經(jīng)隱含了對勾股定理的一般證明1,但尚需進(jìn)一步探討。

趙爽不僅給出了勾股定理的一般證明，而且對圍繞該定理的勾股理論進(jìn)行了系統(tǒng)的研究

和總結(jié)。趙爽在他的“勾股圓方圖注”2中寫道：

勾、股各自乘，并之為弦實。開方除之，即弦。按弦圖，又可以勾、股相乘為朱

實二，倍之，為朱實四。以勾股之差自相乘，為中黃實。加差實，亦成弦實。

這里講的就是勾股定理及其證明。如下圖所示。將相同的四個紅色勾股形和一個邊長為

勾股之差的黃色正方形拼合成兩個分別以勾和股為邊長的正方形。然后移動其中兩個勾股

形，將原圖另拼為以弦為邊長的正方形。由于前后兩圖面積不變，因此勾股定理得到了證明。

1參閱劉鈍.大哉言數(shù).遼寧教育出版社，1993.389-390.

2《周髀算經(jīng)》卷上，見郭書春主編，中國科學(xué)技術(shù)典籍通匯?數(shù)學(xué)卷（一），河南教育出版社，1994,11-12.

14

趙爽的證明

2002年北京國際數(shù)學(xué)家大會會徽

《九章算術(shù)》勾股術(shù)曰：“勾股各自乘，并，而開方除之，即弦。”劉徽用出入相補(bǔ)原

理對定理作出證明。

15

劉徽對勾股定理的證明（清李銳復(fù)原）

清代許多數(shù)學(xué)家，如梅文鼎、李善蘭、華衡芳等都對勾股定理作出了證明，其中華衡芳

給出的證明多達(dá)21種。如下圖。

16

17

華蔚芳的證明（之四）

18

19

20

華斯芳的證明（之十三）

21

22

華禱芳的證明（之十七）

華端芳的證明（之二十*）

*與阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家伊本?瓜拉（ThabitlbnQorra,826-901）在證法同。

23

華赭芳的證明(之二十一)

華端芳的證明(之二十二)

3.2.4文藝復(fù)興后的歐洲

時光流逝，斗轉(zhuǎn)星移，可是人們對勾股定理的興趣卻不曾改變。文藝復(fù)興時期著名

藝大師達(dá)?芬奇利用下圖中的四邊形NCPN、PMBC、AFEBG/詡兩兩全等，輕而易舉

地證明了這個定理；1881年當(dāng)選總統(tǒng)的加菲爾德(J.A.Garfield,1831?1881)于1876年(這

一年貝爾發(fā)明了電話)利用直角梯形面積巧妙地完成證明，為勾股定理的歷史增添精彩的一

頁：一方面，直角梯形面積等于g(a+b)x(a+b)=：(a+b)2；另一方面，它又是由兩個

同樣的直角三角形和一個等腰直角三角形所組成，面積和為

111919、

—abT—cibH—c-cibH—c。從而證得勾股定理。

2222

24

達(dá)?芬奇對勾股定理的證明

b

勾股定理的總統(tǒng)證法

25

Wipper的證明

H.Perigal的水車翼輪法

畢達(dá)哥拉斯定理的證明方法至今已多達(dá)400多種。其中有不同時空數(shù)學(xué)家的貢獻(xiàn)，

也有藝術(shù)家和政治家的神來之筆，甚至還有一位盲童的貢獻(xiàn)。偉大如愛因斯坦者，也與

畢達(dá)哥拉斯定理有過邂逅。在《與愛因斯坦的對話》一書中，AlexanderMoszkowski這

樣寫道：

有一次雅可比叔叔向愛因斯坦講了畢達(dá)哥拉斯定理的內(nèi)容，而未講任何證明。他

的侄兒理解所涉及的關(guān)系，并感到可基于一個理由而推導(dǎo)出來這個孩子在三個

星期中用其全部的思維力量去證明這一定理。他專注到三角形的相識性得到了一個

證明。為此，他久久的激動不已！這雖然僅涉及一個非常古老的著名定理，他經(jīng)歷

了發(fā)現(xiàn)者的首次快樂。

3.3全等三角形同定定理

26

在古代埃及和巴比倫，新廟址的測量乃是按嚴(yán)格的幾何和天文方法進(jìn)行的，而且是法老

和僧侶階級的特權(quán)。在埃及神話里，有專門掌管測量的女神。一些測量工具和基本的幾何圖

形，往往成了神圣的符號而被人們用作護(hù)身符。下圖是埃及古墓中出土的測量工具形狀的護(hù)

身符⑵，其中第二種顯然是測水準(zhǔn)的工具。

圖3

古代的水準(zhǔn)儀由一個等腰三角形以及懸掛在頂點(diǎn)處的鉛垂線組成，如下圖所示。測量時,

調(diào)整底邊的位置，如果鉛垂線經(jīng)過底邊中點(diǎn)，就表明底邊垂直于鉛垂線，即底邊是水平的。

這就是“邊邊邊”定理的應(yīng)用。我們有理由相信，埃及人在建造金字塔時必用到這種測量工

具。

古羅馬土地丈量員的墓碑上，我們也看到了這種水平儀，圖5即為其中一例。中世紀(jì)和

文藝復(fù)興時代，這種工具仍被廣泛使用。17世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家博默多羅（Pomodoro）的《實

用幾何》一書中利用上述水準(zhǔn)儀來測量山的高度。

27

MAEBVIlVSM-L1

/AACEDOm

M-AEBVTIV5-M-L1

CALLISTRATVS-F

V-MAFBWS.M?,

VIVUAHBEREm

IVUALLHESVCHW

POMPONIArkLSELW

CLODIMEAKTIOasi

希臘幾何學(xué)的鼻祖泰勒斯（Thales,前6世紀(jì)）曾在游歷埃及時，利用相似三角形性質(zhì)

測量了金字塔的高度；而亞里士多德的弟子歐得姆斯（Eudemus,前4世紀(jì)）又把角邊角定

理（《幾何原本》卷1命題26）歸功于泰勒斯的發(fā)現(xiàn)。普羅克拉斯（Proclus,5世紀(jì)）告訴

我們：

“歐得姆斯在其《幾何史》中將該定理歸于泰勒斯。因為他說，泰勒斯證明了如何

求出海上輪船到海岸的距離，其方法中必須用到該定理?！鄙?/p>

歐得姆斯大概是有文獻(xiàn)記載的第一位數(shù)學(xué)史家，可惜他的《幾何史》失傳了。泰勒斯究

竟是如何求輪船與海岸距離的？法國數(shù)學(xué)史家坦納里（P.Tannery,1843-1904）認(rèn)為，泰勒

斯應(yīng)該是用圖8所示的方法來求船到海岸的距離的：設(shè)/為海岸上的觀察點(diǎn)，作線段NC垂

直于AB,取NC的中點(diǎn)。，過。作/C的垂線，在垂線上取點(diǎn)E,使得3、。和E三點(diǎn)共線。

利用角邊角定理，CE的長度即為所求的距離。

28

這種方法為后來的羅馬土地丈量員所普遍采用。但這種方法仍然受到質(zhì)疑，因為如果船

離海岸很遠(yuǎn)，岸邊很難有足夠的平地可供測量。英國數(shù)學(xué)史家希思（T.L.Heath,1861~1940）

則提出了另一種猜測：如圖9,泰勒斯在海邊的塔（或高丘）上利用一種簡單的工具進(jìn)行測

量。直竿M垂直于地面（利用鉛垂線），在其上有一固定釘子/,另一橫桿可以繞N轉(zhuǎn)動,

但可以固定在任一位置上。將該細(xì)竿調(diào)準(zhǔn)到指向船的位置，然后轉(zhuǎn)動即（保持與底面垂直）,

將細(xì)竿對準(zhǔn)岸上的某一點(diǎn)C。則根據(jù)角邊角定理，DC=DB。

上述測量方法廣泛使用于文藝復(fù)興時期。圖10是16世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家貝里（S.Belli,??

1575）出版于1565年的測量著作中的插圖，圖中所示的方法與泰勒斯所用方法相同。有一

個故事說，拿破侖軍隊在行軍途中為一河流所阻，一名隨軍工程師運(yùn)用泰勒斯的方法迅速測

得河流的寬度，因而受到拿破侖的嘉獎?？梢?，從古希臘開始，角邊角定理在測量中一直扮

演者重要角色。還有一則故事說，一位志愿軍戰(zhàn)士利用上述方法測出美軍軍營與我軍之間的

距離。

泰勒斯的方法在16世紀(jì)

29

3.4相似三角形的性質(zhì)

愛奧尼亞學(xué)派的創(chuàng)立者是泰勒斯(Thales,640B.C-546B.C.)被稱為希臘幾何學(xué)的

鼻祖。他生于米利都，青年時代經(jīng)商，曾游歷埃及，利用利用相似三角形性質(zhì)測量過金字塔

的高度。他發(fā)現(xiàn)了許多命題：

?對頂角相等；

?圓為直徑所平分；

?等腰三角形底角相等；

?a..s.a.；

?半圓上的圓周角為直角；

?相似三角形對應(yīng)邊成比例。

泰勒斯最早將幾何學(xué)引入希臘，并將其變?yōu)橐婚T依賴一般命題的演繹科學(xué)。泰勒斯也是

一位天文學(xué)家，曾預(yù)言公元前585年5月28日的一次日食。傳說，他曾利用天文知識，預(yù)

測來年橄欖大豐收，于是提前廉價租下當(dāng)?shù)厮姓シ?，等橄欖成熟季?jié)高價轉(zhuǎn)租，一夜暴富。

泰勒斯測量金字塔高度的方法如下圖。

泰勒斯測量金字塔的高度

古希臘歷史學(xué)家希羅多德(Herodotus,前5世紀(jì))描述了畢達(dá)哥拉斯的故鄉(xiāng)、薩莫斯島

上的一條約建于公元前530年、用于從愛琴海引水的穿山隧道，設(shè)計者為工程師歐帕里諾斯

(Eupalinos)o這個隧道后來被人遺忘，直到19世紀(jì)末，它才被考古工作者重新發(fā)現(xiàn)。20

世紀(jì)70年代，考古工作者對隧道進(jìn)行了全面的發(fā)掘。隧道全長1036米，寬1.8米，高1.8

米。兩個工程隊從山的南北兩側(cè)同時往里挖掘，最后在山底某處會合，考古發(fā)現(xiàn)，會合處誤

30

差極小。當(dāng)時人們挖隧道所用的標(biāo)準(zhǔn)方法是在挖掘過程中在山的表面向下挖若干通風(fēng)井，以

確定所抵達(dá)的位置，并校正挖掘的方向。然而，令考古學(xué)家驚訝的是，該隧道挖掘過程中并

未使用這一方法！人們不禁要問：歐帕里諾斯到底是用什么方法來確保兩個工程隊在彼此看

不到的情況下沿同一條直線向里挖的？

薩莫斯隧道

在歐帕里諾斯600年后，希臘數(shù)學(xué)家海倫在一本介紹測量方法的小書《Dioptra》中給出

一種在山兩側(cè)的兩個已知出口之間挖掘直線隧道的方法，人們相信：這正是歐帕里諾斯當(dāng)年

用過的方法。

海倫所介紹的隧道挖掘法

如上圖所示，要在兩側(cè)山腳的兩個入口/和3之間挖一條直線隧道。從8處出發(fā)任作

一直線段3C,過。作3c的垂線CD,然后，依次作垂線。E、EF、FG、GH,直到接近/

點(diǎn)。在每一條線段的一個端點(diǎn)處能看到另一個端點(diǎn)。在最后一條垂線段G"上選取點(diǎn)J,使

得以垂直于G//。設(shè)/K為C3的垂線，K為垂足，則

31

AK=CD-EF-GJ-,BK=DE+FG-BC-AJ

現(xiàn)在3C和47上分別取點(diǎn)乙和N,過點(diǎn)工和N分別作8C和47之垂線，在兩垂線上分

別取點(diǎn)M和尸，使得

LMPNAK

BL-ZN-BK

于是，RTA8L"、RTASK4、RTA4NP為相似三角形。因此，點(diǎn)尸、4、B、M共線。故

只需保證在隧道挖掘過程中，工人始終能看見尸、”處的標(biāo)志即可。

數(shù)學(xué)之價值、數(shù)學(xué)之魅力由此可見一斑！

中國古代天文學(xué)家的遠(yuǎn)距離測量方法的依據(jù)之一是相似三角形的性質(zhì)?！吨荀滤憬?jīng)》卷

上稱：

取竹空徑一寸，長八尺，捕影而視之，空正掩日，而日應(yīng)空之孔。由此觀之，率八十寸

而得徑一寸。故以勾為首，以髀為股。從髀之日下六萬里而髀無影，從此以上至日則八萬里。

若求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并而開方除之，得邪至日。從髀所旁

至日所十萬里。以率率之，八十里得徑一里。十萬里得徑千二百五十里。故日日罄徑千二百

五十里。

劉徽在《九章算術(shù)》序中也稱：“以徑寸之筒南望日，日滿筒空，則定筒之長短以為股

率，以筒徑為勾率，日去人之?dāng)?shù)為大股，大股之勾即日徑也?！?/p>

這里，《周髀》的作者和劉徽不約而同地介紹了西漢時期天文學(xué)家測量太陽直徑的方法,

其依據(jù)是相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)。

32

《九章算術(shù)》勾股章有很多測量問題，均以相似三角形性質(zhì)來解。如：

?今有邑方二百步，各開中門。出東門一十五步有木。問：出南門幾何步而見木？

?今有邑，東西七里，南北九里，各開中門。出東門一~F五里有木。問：出南門幾何

步而見木？

?今有邑方不知大小，各開中門。出北門三十步有木。出西門七百五十步見木。問:

邑方幾何？

33

TREE

?今有木去人不知遠(yuǎn)近。立四表，相去各一丈。另左兩表與所望參相直。從后右表望

之，入前右表三寸。問：木去人幾何？

OBSERVER

?今有山居木西，不知其高。山去木五十三里，木高九長五尺。人立木東三里，望木

末適與山峰斜平。人目高七尺，問：山高幾何？

34

SUMMITOFTHEHILL

?今有井徑五尺，不知其深。立五尺木于井上，從木末望水岸，入徑四寸。問：井深

幾何？

DEPTHOF

THEWELL

WATER

3.5三次方程的求根公式

16世紀(jì)以前，數(shù)學(xué)家們一直未能找到三次方程的一般求根公式。在一部14世紀(jì)的意大

利數(shù)學(xué)手稿中，作者類比一元二次方程的求根公式，給出方程a/=bx+c的錯誤求根公式:

35

15世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家帕西沃里(L.Paccioli,1445??1509?)在其數(shù)學(xué)著作中稱，求解三、

四次方程"3+bx=C,a/+法2=。和辦4+樂3=。在當(dāng)時和“化圓為方”問題-樣是

不可能的。

三次方程求根公式的誕生是與16世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家之間的數(shù)學(xué)論戰(zhàn)聯(lián)系在一起的。當(dāng)

時，意大利數(shù)學(xué)家們常?；ハ嗵魬?zhàn)，這不僅僅是為了贏得榮譽(yù)，而且也是為了各自的切身利

益：失敗者門前冷落，不再能招到弟子，從而失去經(jīng)濟(jì)來源；而勝利者則會受到邀請去各地

講學(xué)，受人擁戴，從者如云，財源滾滾。因而一個新方法的發(fā)明者往往不肯輕易泄露自己的

發(fā)現(xiàn)，因為有了這樣的秘密武器，他就可以向?qū)κ痔岢鲎约簱碛薪夥ǖ南嚓P(guān)問題。然而，三

次方程求根公式這一秘密武器卻給塔塔格里亞(N.Tartaglia,1499?1557)帶來了不幸。

水域較量

塔塔格里亞于1499年出生于意大利的布雷西亞城。父親是一名郵遞員，約于1506年去

世，拋下母子三人。塔塔格里亞13歲時，法國軍隊入侵布雷西亞，在教堂中避難的他不幸

受五處頭傷。經(jīng)母親精心護(hù)理，他才活了下來，但留下終身的后遺癥：口吃。14歲時，塔

塔格里亞上了學(xué)，但很快因繳不起學(xué)費(fèi)而輟學(xué)，并為謀生而干起辛苦的體力活，用他自己后

來的話說，“唯有‘貧窮’的女兒—‘辛勞’與他作伴但他很早就顯示出驚人的數(shù)學(xué)才

能，約在18歲時，他當(dāng)上了算術(shù)老師。

而立之年，經(jīng)營過一所學(xué)校。1534年，

他去了威尼斯，當(dāng)上了數(shù)學(xué)教授。

16世紀(jì)的威尼斯

1530年,一位名叫科伊(T.daCoi)

的布雷西亞人向塔塔格里亞請教兩個問

題：

?一數(shù)的平方根加3,乘以該數(shù)，積為5,求該數(shù);

?求三數(shù)，其中第二數(shù)比第一數(shù)大2,第三數(shù)又比第二數(shù)大2,三數(shù)乘積為1000。

塔塔格里亞告訴科伊說，他已經(jīng)會解三次方程/+內(nèi)2=q,但不想讓別人知道?？?/p>

伊

悻悻而走。塔塔格里亞會解三次方程的消息傳到波倫亞人費(fèi)奧(A.M.Fiore)的耳朵里。

36

這個費(fèi)奧曾是波倫亞大學(xué)算術(shù)與幾何學(xué)教師費(fèi)羅(S.Ferro,1465?1526)的學(xué)生。二十多年

前，費(fèi)羅成功地解決了三次方程=并把解法傳授給了費(fèi)奧。因此費(fèi)奧有恃無恐

地夸口說，既然塔塔格里亞自詡能解三次方程，那他就要去羞辱他一番。塔塔格里亞起先并

沒在意，但當(dāng)他得知費(fèi)奧曾得師傳時，便開始擔(dān)心起來。他全身心投入方程/+px=q的

研究，終于在1535年2月14日找到一般解法，翌日又發(fā)現(xiàn)了方程

x3=px+q,x3+px2=q,x3+q=px2

的解法。

8天后，費(fèi)奧果然來到威尼斯，公開向他挑戰(zhàn)。在公證人家，他們彼此向?qū)Ψ教岢?0

個問題，并拿出一筆錢。根據(jù)協(xié)定，30天后，誰解出對方的問題多，誰就獲勝，并贏得對

方的錢。費(fèi)奧的30個問題是這樣的：

(1)一數(shù)加上它的立方根，和為6。求該數(shù)；

(2)有二數(shù)，大數(shù)是小數(shù)的2倍。大數(shù)平方乘以小數(shù)，乘積加二數(shù)，和為40。求二

數(shù)；

(3)一數(shù)加上它的立方，和為5。求該數(shù)；

(4)三數(shù)成等比數(shù)列，公比為3。首項平方乘以末項，乘積加中項，和為7。求三

數(shù)；

(5)一數(shù)加上它的立方根的2倍，和為13。求該數(shù)；

(6)一數(shù)加上它的立方根的3倍，和為15。求該數(shù)；

(7)一數(shù)加上它的立方根的4倍，和為17。求該數(shù)；

(8)將13分成兩部分，使兩部分乘積等于較小部分自乘的平方，

其余22題相當(dāng)于把7、9、12、12、14、20、25、26、27、28、29、34、100、100、140、

300、500、700、800、810、900、2000分成兩部分，使得其中一部分是另一部分的立方根。

塔塔格里亞的問題不全是三次方程問題，其中8個是：

(1)一無理數(shù)平方根與40的和乘以該無理數(shù)，積為給定有理數(shù)，求該無理數(shù)；

(2)30與一無理數(shù)平方根的差乘以該無理數(shù)，積為給定有理數(shù)，求該無理數(shù)；

(3)一無理數(shù)加上它的立方根的4倍，和為13,求該無理數(shù)；

(4)一無理數(shù)減去它的立方根的3倍，差為10,求該無理數(shù)；

(5)將已知線段分割成可構(gòu)成直角三角形的3段；

(6)將一正四棱臺分割為體積相等的3部分；

37

(7)用幾何方法作一個已知不等邊三角形的內(nèi)接正方形；

(8)木桶裝滿純酒；每天取出2小桶，又倒入2小桶的水；6天以后，木桶中酒和水

各占一半。求木桶容積。

塔塔格里亞有備而來，在不到2小時內(nèi)解出了費(fèi)奧的所有30個問題，而費(fèi)奧卻交了白

卷，只好拱手認(rèn)輸。塔塔格里亞大獲全勝，卻分文不取。

塔塔格里亞卡丹

守口如瓶

1536年12月10日，科伊又去威尼斯，向塔塔格里亞索要他所提的30個問題。塔塔格

里亞把前4個告訴給了科伊，但拒絕給出答案。為解這些問題，科伊冥思苦想，卻一籌莫展。

6天后，他再次求教，同樣受到塔塔格里亞的拒絕。塔塔格里亞說，三次方程的解法得之不

易，如未能獲得榮譽(yù)和利益，他沒有義務(wù)公開它們；等譯完歐幾里得《幾何原本》后，他會

將其全部發(fā)表。

1539年初，科伊離開布雷西亞去了米蘭。在那里，他受到卡丹(G.Cardano,1501?1576)

的熱情接待，卡丹甚至把自己所授的一門課讓給了他。

卡丹何許人也？他于1501年出生于帕維亞，是個私生子。父親是位博學(xué)的法官。卡丹

于1520年在帕維亞上大學(xué)，1526在帕多瓦獲醫(yī)學(xué)博士學(xué)位，在帕多瓦附近一小鎮(zhèn)行醫(yī)。1534

年，在米蘭當(dāng)上了數(shù)學(xué)教師，同時繼續(xù)行醫(yī)，成了當(dāng)時米蘭最著名的醫(yī)生。

科伊到米蘭時，卡丹正要出版一部名為《實用算術(shù)》的著作。聽科伊說起塔塔格里亞的

發(fā)現(xiàn)后，他興奮異常。以前，他一直相信帕西沃里的話，以為三次方程無法用代數(shù)方法解決,

而今塔塔格里亞竟有了代數(shù)解法，實在出乎意料。他很想用這個新發(fā)現(xiàn)來豐富自己的著作，

在仔細(xì)研究一番卻一無所獲之后，他委托書商以他的名義請求塔塔格里亞把(1)的解法寄給

38

他，并向塔塔格里亞提出7個三次和四次方程問題?？ǖぴS諾：如把三次方程的解法寫入他

的著作，他會注明它是塔塔格里亞的；如塔塔格里亞不愿意，他也可以為該解法保密。塔塔

格里亞答復(fù)說，他自己正計劃寫一部代數(shù)著作，他寧愿在自己的著作中發(fā)表這一發(fā)現(xiàn)。

氣壞了的卡丹于1539年2月12日寫信給塔塔格里亞，譴責(zé)他傲慢無禮，說他的水平并

未到達(dá)山巔，而只是在山腳、在山谷，等等。在信的末尾，卡丹向塔塔格里亞提出兩個新的

三次方程問題，并稱：他已把答案裝在信封里，如果塔塔格里亞不會解，會有人把信封交給

他，條件是他必須給出7問題之一的解法。但塔塔格里亞沒有上當(dāng)。他直截了當(dāng)?shù)卣f：兩個

問題卡丹哪個都不會解。不過，他還是把上面介紹過的8個問題告訴給了卡丹。

卡丹?計不成，又生■計。在寫于1539年3月19日的一封信中，他檢討說，自己不

該從壞的方面去理解塔塔格里亞的答復(fù)。他把一切都推到科伊身上，說科伊到米蘭后，在他

面前說了塔塔格里亞的許多壞話。在信末，他邀請塔塔格里亞盡早去米蘭，并謊稱：他已經(jīng)

以塔塔格里亞的名義向瓦斯托侯爵（delVasto,當(dāng)時米蘭一位文藝事業(yè)的十分慷慨的資助者）

遞交了兩份關(guān)于他的發(fā)現(xiàn)的文書，瓦斯托看了文書后很想見他。塔塔格里亞見信后，先是猶

豫了一陣子，最后他還是去了米蘭，并在卡丹家住下。

泄露天機(jī)

3月29日，卡丹與塔塔格里亞舉行了會談?？ǖへ?zé)備塔塔格里亞缺乏善意，不肯把三

次方程的解法告訴他。塔塔格里亞則堅持說，一旦譯完《幾何原本》，他就著手寫一部包含

此內(nèi)容的代數(shù)著作。他直言不諱：如果他把發(fā)現(xiàn)教給象卡丹那樣富于思辯的人，那這人就能

發(fā)現(xiàn)其他方程的解法，并將其作為自己的發(fā)現(xiàn)發(fā)表出來，豈不壞事？

卡丹：“但我也向您保證過，如果您不愿意，我將為這事保密?！?/p>

塔塔格里亞：“至于這個，我是不可能相信您的?！?/p>

卡丹：“我憑上帝的神圣福音并作為一個真正有榮譽(yù)的人向您發(fā)誓：如果您把您的發(fā)

現(xiàn)教給我，我不僅永不將其發(fā)表，而且還會將它們編成密碼，以便在我死后無人能看懂。

愿不愿相信我，隨您的便好了?！?/p>

塔塔格里亞：”如不相信這樣的誓言，我當(dāng)然就會博得不義之名。但我已決定去維吉

瓦諾找侯爵先生，因我來這里已三天，已等得不耐煩了?；貋頃r我會把一切都告訴你?！?/p>

卡丹：“既然您要去看侯爵先生，我就給您寫一封介紹信，以便他知道您是誰。但我

希望您走前能告訴我您向我承諾過的解法o”

塔塔格里亞終于答應(yīng)了。他把為了避免遺忘而編成隱詩形式的三次方程解法抄錄給了卡

39

丹:

Quandoche'lcuboconlecoseappresso,立方共諸物，和為已知數(shù),

Seaggagliaaqualchenumerodiscrete,另尋數(shù)一雙，差同已知數(shù)。

Trovatiduialtridifferentiinesso.

Dapoiuartoquestoperconsueto根據(jù)題之需，再定其乘積,

Che'llorproduttosempresiaeguale物數(shù)三之一,立方算仔細(xì)。

Alterzocubodellecosenetto.

Elresiduepoisuogenerale差積既了然,雙數(shù)得不難。

Dellilorlaticubibensottrati復(fù)算立方邊,相減是答案。

Vorralatuacosaprincipali.

Inelsecundodecotestialti,諸物加定數(shù),立方獨(dú)一邊,

Quandoche'lcuborestasseluisolo,君且莫急躁,別有好箴言。

Tuosserveraiquest9altricontratti.

Delnumerfaraidue,taipart'avalo定數(shù)一拆二,物數(shù)三之一,

Chefunoefaltrusiproducaschietto兩分相乘時,立方是其積。

Elterzocubodellecoseinstelo.

Dellequalpoi,percommunprecetto,既知和與積,兩分易得手。

Torraililaticubiinsiemegionti,復(fù)算立方邊,相加是所求。

Etcotaluarsarailtuoconcetto.

Elterzopoidequestinostriconti立方加定數(shù),諸物成單獨(dú)。

Sesolveconsecondo,sebenguardi定數(shù)化為負(fù)，依樣畫葫蘆。

Chesernaturasonquasicongionti.

Questitrovai,etnonconpassitardi一^五三四年,水城勤鉆研,

40

Nelmillecinquencenteuartoettrenta諸物為我求，基礎(chǔ)牢且堅。

Confundamentibensaldiegagliardi,

Nelcittadalmarintomocenta.

塔塔格里亞再三警告卡丹不要背信棄義。

塔塔格里亞的隱詩只是為了便于他自己的記憶而編寫的，別人當(dāng)然不易理解。如以現(xiàn)代

代數(shù)語言來表達(dá)，詩的前3節(jié)是說：在求解方程/+px=q時，先求出另兩個數(shù)小v,使

得

（夕丫

u-v=qfWV=IyI

那么方程的根為

X=\lu-Vvo

其中〃和V可由上面的方程組解出：

眇圖

因此

'電悔+圖-門」圖+用

第4、5、6三節(jié)是說，在求解方程二尸:+q時，先求出另兩個數(shù)〃、V,使得

U+V=q,uv=[^

那么方程的根為

X=Vw+Vvo

其中U和V可由上面的方程組解出：

因此

41

而第7節(jié)是說，若在方程/=px+q解法中，以-q代替q,即得方程的

解。最后一節(jié)說的是，上述諸三次方程的解法是他于1534年在水上城市威尼斯研究發(fā)現(xiàn)的。

同年4月9日，卡丹寫信給塔塔格里亞，把自己對隱詩的理解講了一遍，稱：“我過高

估計了自己的能力，我沒能完全弄懂您的方法。請您惠賜方程/+3x=10的解法?！彼?/p>

格里亞于4月23日回信指出，卡丹把第2節(jié)的意思理解錯了：“物數(shù)三之一，立方算仔