2023年河南洛陽一模·數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)試卷第頁（共頁）2023年河南洛陽一?！?shù)學(xué)全卷總分:120分考試時間:100分鐘一、選擇題1.下列各數(shù)為負(fù)數(shù)的是（）A．5

B．－1C．0 D．|－3|1.B【解析】∵

5＞0，∴

5是正數(shù)，故A不符合題意；∵－1＜0，∴－1是負(fù)數(shù)，故B符合題意；0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，故C不符合題意；∵|－3|＝3＞0，∴|－3|是正數(shù)，故D不符合題2.據(jù)報道，2022年河南省一般公共預(yù)算教育支出1896.7億元，同比增長6.2%．?dāng)?shù)據(jù)“1896.7億”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．1.8967×1012 B．18.967×1010C．1.8967×1010 D．1.8967×10112.D【解析】189670000000＝1.8967×1011．3.如圖是由4個相同的小正方體組成的幾何體，它的左視圖是（）A．B．C．D．3.B【解析】從左邊看，是一列兩個小正方形．4.下列運算正確的是（）A．2a－a＝2 B．（a－1）2＝a2－1C．a(chǎn)6÷a3＝a2 D．（2a3）2＝4a64.D【解析】2a－a＝a，故A選項不符合題意；（a－1）2＝a2－2a+1，故B選項不符合題意；a6÷a3＝a3，故C選項不符合題意；（2a3）2＝4a6，故D選項符合題意．5.如圖，直線AB與CD相交于點O，∠AOC＝75°，∠1＝25°，則∠2的度數(shù)是（）A．25° B．30° C．40° D．50°5.D【解析】∵∠AOC＝75°，∴∠BOD＝∠AOC＝75°，∵∠1＝25°，∠1+∠2＝∠BOD，∴∠2＝∠BOD－∠1＝75°－25°＝50°．6.已知關(guān)于x的一元二次方程x2+kx－2＝0有一個根是－2，則另一個根是（）A．1 B．－1 C．2 D．－26.A【解析】設(shè)方程的另一個根是m，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得－2m＝－2，解得m＝1.7.為了落實“作業(yè)、睡眠、手機、讀物、體質(zhì)”等五項管理要求，了解學(xué)生的睡眠狀況，調(diào)查了一個班50名學(xué)生每天的睡眠時間，繪成睡眠時間條形統(tǒng)計圖如圖所示，則所調(diào)查學(xué)生睡眠時間的眾數(shù)，中位數(shù)分別為（）A．7h，7h B．8h，7.5h C．7h，7.5h D．8h，8h7.C【解析】∵7h出現(xiàn)了19次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，∴所調(diào)查學(xué)生睡眠時間的眾數(shù)是7h；∵共有50名學(xué)生，中位數(shù)是第25、26個數(shù)的平均數(shù)，∴所調(diào)查學(xué)生睡眠時間的中位數(shù)是

7+82=8.如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ADB＝90°，AB＝10，分別以B，D為圓心，大于

12BD的長為半徑畫弧，兩弧相交于點E，F(xiàn)，作直線EF，與AB交于點M，與CD交于點N，連接DM，BN，則四邊形DMBNA．40 B．30 C．20 D．108.C【解析】如圖，設(shè)EF交BD于點O，則OD＝OB，由作圖得，EF垂直平分BD，∴四邊形DMBE是菱形，∴DM=BM=BN=ND，∵∠ADB＝90°，∴AD∥EF，又DE∥AM，∴四邊形ADEM是平行四邊形，∴DE=DM=AM=BM，∴M是AB中點，∴DM

=12AB＝MB＝5，同理，DN＝BN＝5，∴四邊形DMBN的周長為5×49.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A（1，2），AB⊥y軸于點B，將△OBA沿OA翻折得到△OB′A，連接BB′并延長交x軸于點C，則點C的坐標(biāo)為（）A．(23，0)

C．（4，0） D．(9.C【解析】解法一：如圖，過點B′作B′G⊥OC于點G，延長GB′交BA延長線于點D，則四邊形BOGD為矩形，∵AB⊥y軸于點B，A（1，2），∴B（0，2），∴AB＝1，DG＝OB＝2，根據(jù)折疊可知，∠ABO＝∠AB′O＝90°，AB＝AB′＝1，OB＝OB′＝2，∴∠AB′D+∠OB′G＝90°，∵∠B′OG+∠OB′G＝90°，∴∠AB′D＝∠B′OG，∵∠ADB′＝∠B′GO＝90°，∴△AB′D∽△B′OG，∴

ADB′G=B′DOG=AB′B’O=12，設(shè)AD＝a，則BD＝OG＝1+a，∴

aB′G=12，∴B′G＝2a，∴B′D＝DG－B′G＝2－2a，∵

B′DOG=12，∴

2?2a1+a=12，解得a

=35，經(jīng)檢驗，a

=35是原分式方程的解，∴OG＝1+a

=85，B′G＝2a

=65，∴B′

(解法二：由折疊知，BC⊥OA，∴∠OBC+∠AOB＝90°，∵∠OBC+∠OCB＝90°，∴∠AOB＝∠BCO，∵AB⊥y軸，∴∠ABO＝90°＝∠BOC，∴△AOB∽△BCO，∴

OBCO=ABBO，∵A（1，2），∴OB＝2，AB＝1，∴

2OC=1210.物理課上小剛在探究彈簧測力計的“彈簧的長度與受到的拉力之間的關(guān)系”時，在彈簧的彈性限度內(nèi)，通過實驗獲得下面的一組數(shù)據(jù)．在彈簧的彈性限度內(nèi)，若拉力為7.5N，則彈簧長度為（）

拉力/N0123456彈簧長度/cm10.012.014.016.018.020.022.0A．24

cm B．25

cm C．25.5cm D．26

cm10.B【解析】根據(jù)題意可設(shè)，拉力(x)和彈簧長度(y)的關(guān)系式為：y＝kx+b(k≠0)，∵點（0，10），（1，12）在函數(shù)圖象上，∴

b=10k+b=12，解得

k=2b=10，∴y＝2x+10，∴當(dāng)拉力為7.5N時二、填空題11.寫出一個大于3且小于4的無理數(shù)

．11.π（答案不唯一）【解析】∵π

≈3.14，∴3＜π＜4，即無理數(shù)可以是π.12.已知關(guān)于x的不等式組

x?2＜1x＜m，其中m在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖所示，12.x＜3【解析】由x－2＜1得，x＜3，由數(shù)軸知m＞3，則不等式組解集為x＜3.13.第24屆冬季奧林匹克運動會于2022年2月4至20日在我國北京和張家口成功舉辦，其中張家口賽區(qū)設(shè)有四個冬奧會競賽場館，分別為A．云頂滑雪公園，B．國家跳臺滑雪中心，C．國家越野滑雪中心，D．國家冬季兩項中心．小亮和小明都是志愿者，他們被隨機分配到這四個競賽場館中的任意一個場館的可能性相同．小亮和小明被分配到同一場館做志愿者的概率為

．13.1【解析】畫出樹狀圖如下：由樹狀圖可知，一共有16種等可能的情況，其中小亮和小明被分配到同一場館做志愿者有4種可能情況，∴P（小亮和小明被分配到同一場館做志愿者）

=414.在扇形OAB中，∠AOB＝60°，點C是半徑OA上一點，且OC＝6，將線段OC沿OB方向平移，當(dāng)平移距離是6時，點C的對應(yīng)點C'恰好落在

AB?上，則圖中陰影部分的面積為14.9π－9

3【解析】如圖，連接CO′，OC′，C′C，CO′交OC′于點D,已知可得，四邊形OO′C′C是平行四邊形，又∵OC＝OO′＝6，∴四邊形OO′C′C是菱形，∴CO′⊥OC′，DO′

=12CO′，∵∠AOB＝60°，OC＝OO′，∴△COO′是等邊三角形，CO′＝OC＝6，∠C′OB＝30°，∴DO′＝3，OD

=O′O2?O′D2=62?32=3

3，∴OC′＝2OD＝6

3，∴S15.小明同學(xué)將一大一小兩個三角板按照如圖所示的方式擺放．其中∠ACB＝∠AED＝90°，∠BAC＝∠DAE＝30°，

AE=63，AB=43，連接BE，取BE的中點F，將三角板ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)一周，則在旋轉(zhuǎn)過15.7【解析】如圖，取AE的中點H，連接FH，交AD于N，∵點F是BE的中點，點H是AE的中點，∴FH∥AB，EH＝AH＝3

3，F(xiàn)H

=12AB＝2

3，∴點F在以點H為圓心，2

3為半徑的圓上運動，當(dāng)點F在AE的上方，且FH⊥AD時，∵∠DAE＝30°，∴HN

=12AH

=332，當(dāng)點F在AE的下方，且FH⊥AD時，點F到直線AD的距離有最大值，∴最大值為2

3+332=7三、解答題16.（1）計算：

14+2－1－（2

?2（2）化簡：（

a2+b2a?2b）16.解：（1）原式

=1

＝0；（2）原式

=a

＝(

＝a－b．17.某校舉辦“歌唱祖國”演唱比賽，十位評委對每位同學(xué)的演唱進行現(xiàn)場打分，對參加比賽的甲、乙、丙三位同學(xué)得分的數(shù)據(jù)進行整理、描述和分析．下面給出了部分信息．a(chǎn)．甲、乙兩位同學(xué)得分的折線圖：b．丙同學(xué)得分：10，10，10，9，9，8，3，9，8，10c．甲、乙、丙三位同學(xué)得分的平均數(shù)：同學(xué)甲乙丙平均數(shù)8.68.6m根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）求表中m的值；（2）在參加比賽的同學(xué)中，如果某同學(xué)得分的10個數(shù)據(jù)的方差越小，則認(rèn)為評委對該同學(xué)演唱的評價越一致．據(jù)此推斷：在甲、乙兩位同學(xué)中，評委對

____的評價更一致（填“甲”或“乙”）．17.解：（1）m

=110×（10+10+10+9+9+8+3+9+8+10（2）甲．【解法提示】甲同學(xué)得分的方差S2甲

=110×[2×（7－8.6）2+2×（8－8.6）2+4×（9－8.6）2+2×（10－8.6）2]＝1.04，乙同學(xué)得分的方差S2乙

=110×[4×（7－8.6）2+2×（9－8.6）2+4×（10－8.6）2]＝1.84，∵S2甲＜S2乙，∴18.如圖，點A（6，

y1），B（2，

y2）在反比例函數(shù)

y=kx(k＜0)的圖象上，AM⊥y軸，BN⊥x軸，垂足分別為（1）根據(jù)圖象直接寫出

y1，

y2的大小關(guān)系，并通過計算加以（2）若四邊形OMPN的面積為2，求反比例函數(shù)的解析式．18.解：（1）

y1＞

y由題意得

y1=k6∵k＜0，∴

k6即

y1＞

y（2）由題意得四邊形OMPN是矩形，MP＝ON＝2，OM

=?∴2×（

?k6）＝解得k＝－6，∴反比例函數(shù)的解析式為y

=?19.如圖①，鄭北大橋橫跨亞洲最大鐵路編組站，該橋為獨塔雙索鋼混凝土結(jié)合梁斜拉橋，是國內(nèi)同類型橋中最寬的結(jié)合梁斜拉橋．某數(shù)學(xué)“綜合與實踐”小組的同學(xué)把“測量鄭北大橋的某組斜拉索最高點到橋面的距離”作為一項課題活動，進行了探究，具體過程如下：方案設(shè)計：如圖②，分別在A，B兩點放置測角儀測得∠CDE和∠CED的度數(shù)；數(shù)據(jù)收集：A，B兩點的距離為260米，測角儀AD和BE的高度為1.5米，∠CDE＝53°，∠CED＝45°；問題解決：求鄭北大橋某組斜拉索最高點C到橋面AB的距離．（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）（1）根據(jù)上述方案及數(shù)據(jù)，請你完成求解過程；（2）你認(rèn)為在本次方案的實行過程中，該小組成員應(yīng)該注意的事項有哪些（寫出一條即可）．19.解：（1）如圖，過點C作CG⊥DE，并延長CG交AB于點H，由題意得AD＝GH＝EB＝1.5米，AB＝DE＝260米，設(shè)DG＝x米，在Rt△CDG中，∠CDG＝53°，∴CG＝DG?tan53°≈1.33x（米），在Rt△CGE中，∠CEG＝45°，∴EG=

CGta∵DG+GE＝DE，∴x+1.33x＝260，解得x≈111.6，∴CH＝CG+GH＝1.33x+1.5≈150（米），∴鄭北大橋某組斜拉索最高點C到橋面AB的距離約為150米；（2）我認(rèn)為在本次方案的實行過程中，該小組成員應(yīng)該注意的事項是：使用測角儀測量時，要與地面垂直（答案不唯一）．20.“互聯(lián)網(wǎng)+”讓我國經(jīng)濟更具活力．牡丹花會期間，某網(wǎng)店直接從工廠購進A，B兩款花會紀(jì)念鑰匙扣進行銷售，進貨價和銷售價如下表：價格/類別A款鑰匙扣B款鑰匙扣進貨價（元/件）2025銷售價（元/件）3037（1）網(wǎng)店第一次用1100元購進A，B兩款鑰匙扣共50件，求兩款鑰匙扣分別購進的件數(shù)；（2）第一次購進的花會紀(jì)念鑰匙扣售完后，該網(wǎng)店計劃再次購進A，B兩款鑰匙扣共200件（進貨價和銷售價都不變），且第二次進貨總價不高于4800元．網(wǎng)店這次應(yīng)如何設(shè)計進貨方案，才能獲得最大銷售利潤，最大銷售利潤是多少？20.解：（1）設(shè)購進A款鑰匙扣x件，B款鑰匙扣y件，根據(jù)題意，得

x+解得

x=答：購進A款鑰匙扣30件，B款鑰匙扣20件．（2）設(shè)購進m件A款鑰匙扣，則購進（200－m）件B款鑰匙扣，根據(jù)題意，得20m+25（200－m）≤4800，解得m≥40．設(shè)再次購進的A、B兩款鑰匙扣全部售出后獲得的總利潤為w元，則w＝（30－20）m+（37－25）（200－m）＝－2m+2400．∵－2＜0，∴w隨m的增大而減小，∴當(dāng)m＝40時，w取得最大值，最大值＝－2×40+2400＝2320，此時200－m＝200－40＝160．答：當(dāng)購進40件A款鑰匙扣，160件B款鑰匙扣時，才能獲得最大銷售利潤，最大銷售利潤是2320元．21.水車是我國古老的農(nóng)業(yè)灌溉工具，是古人們在征服世界的過程中創(chuàng)造出來的高超勞動技藝，是珍貴的歷史文化遺產(chǎn)．水車是由立式水輪、竹筒、支撐架和水槽等部件組成．小明受此啟發(fā)設(shè)計了一個“水車玩具”，設(shè)計圖如圖②，若水輪⊙O在動力的作用下將水運送到點A處，水沿水槽AC流到水池中，⊙O與水面交于點B，D，且點D，O，B，C在同一直線上，AC與⊙O相切于點A，連接AD，AB，AO．請僅就圖②解答下列問題．（1）求證：∠AOB＝2∠BAC．（2）若點B到點C的距離為32cm，

sin∠ACB=513

圖①

圖②21.（1）證明：∵AC與⊙O相切于點A，∴∠OAC＝90°，∵BD是⊙O的直徑，∴∠BAD＝90°，∴∠BAD－∠OAB＝∠OAC－∠OAB，∴∠OAD＝∠BAC，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠BAC＝∠ODA，∵∠AOB＝∠OAD+∠ODA=2∠ODA，∴∠AOB＝2∠BAC；（2）解：設(shè)⊙O的半徑為r

cm，在Rt△OAC中，sin∠ACB=

513∴

OAOC=

rr解得r＝20，∴OA＝20，OC＝OB+BC＝52，∴AC=

OC2?OA2=

∴水槽AC的長度為48cm．22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝mx2+4mx－1（m＜0）．（1）拋物線的頂點坐標(biāo)為

．（用含m的式子表示）；（2）已知拋物線與x軸交于A，B兩點（A在B的左側(cè)），與y軸交于點C．①若OB＝OC，求拋物線的解析式；②若AB≤2，請直接寫出m的取值范圍．22.（1）（－2，－4m－1）；【解法提示】解：（1）∵拋物線y＝mx2+4mx－1（m＜0），∴對稱軸為直線x=－

4m2m=－2，當(dāng)x＝－2時，y＝4m－8m－1＝－4m－1，∴拋物線的頂點坐標(biāo)為（－2，－4m（2）①∵拋物線y＝mx2+4mx－1（m＜0）與y軸的交點為（0，－1），∴OC＝1，∵OB＝OC，∴OB＝1，∴B（－1，0）或B（1，0），把B（－1，0）代入拋物線y＝mx2+4mx－1（m＜0），可得m－4m－1＝0，解得m

=?把B（1，0）代入拋物線y＝mx2+4mx－1（m＜0），可得5m－1＝0，解得m

=15，不合∴拋物線的解析式為y

=?13x2

?4②

?13≤m

＜

【解法提示】設(shè)A，B兩點的橫坐標(biāo)為

x1，

x2，則AB＝|

x1－

x2|=x2-x1，

x1，

x2是方程mx2+4mx－1＝0的兩個根，∴

x1+

x2＝－4，

x1x2=?1m，∵AB≤2，∴0＜x2-x1≤2，∵（

x1－

x2）2＝（

x1+

x2）2－4

x1x223.綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“正方形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動．【操作判斷】操作一：對折正方形紙片，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；操作二：在BE上選一點H，沿CH折疊，使點B落在EF上的點G處，得到折痕CH，把紙片展平；根據(jù)以上操作，直接寫出圖①中∠CHB的度數(shù)：

．【拓展應(yīng)用】小華在以上操作的基礎(chǔ)上，繼續(xù)探究，延長HG交AD于點M，連接CM交EF于點N（如圖②）．判斷△MGN的形狀，并說明理由．【遷移探究】如圖③，已知正方形ABCD的邊長為6cm，當(dāng)點H是邊AB的三等分點時，把△BCH沿CH翻折得△GCH，延長HG交AD于點M，請直接寫出AM的長．圖①

圖②

圖③23.（1）75°；【解法提示】∵四邊形ABCD為正方形，∴BC＝CD，∠B＝∠BCF＝90°，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，DF＝CF

=12CD，∠CFG＝∠DFE＝90°，BC＝CG，∠B＝∠CGH＝90°，∠HCG＝∠HCB

=12∠GCB，∴CF

=12CG，EF∥BC，∴∠FGC＝∠GCB＝30°，∴∠HCB＝15°，∠CHB＝（2）解法一：△MGN為等邊三角形．理由如下：∵四邊形ABCD為正方形，∴∠B＝90°，BC＝CD，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，DF＝CF，∠CFG＝∠DFE＝90°，BC＝CG，∠B＝∠CGH＝90°，∠D=∠FCB=90°，∴EF∥BC∥AD，∠MGC＝90°，CG＝CD，∵NF∥DM，F(xiàn)為CD中點，∴NF為△CDM的中位線，∴CN＝NM，在Rt△MGC中，MN＝GN，∴∠NMG＝∠MGN，在Rt△CGM和Rt△CDM中，CM∴Rt△CGM≌Rt△CDM（HL），∴∠CMG＝∠CMD，即∠NMG＝∠NMD，∵EF∥AD，∴∠NMD＝∠GNM，∴∠NMG＝∠MGN＝∠GNM

=180°∴△MGN為等邊三角形；