（詳解詳析）2024年河南南陽二模·數學

數學試卷第頁（共頁）2024年河南南陽二?！祵W詳解詳析一、選擇題1.A【解析】∵|?50|＝50，|?60|＝60，|?70|＝70，|?80|＝80，50＜60＜70＜80，∴信號最強的是?50.2.D【解析】如圖題所示的幾何體是可以形成“牟合方蓋”的一種模型，將它在水平面內逆時針旋轉90°后，旋轉后模型的主視圖是.3.B【解析】296299億＝29629900000000有14個位數，根據科學記數法要求表示為2.96299×1013.4.C【解析】(a?b)(?a?b)＝b2﹣a2，故選項A錯誤；2a3+3a3＝5a3，故選項B錯誤；6x3y2÷3x＝2x2y2，故選項C正確；(?2x2)3＝?8x6，故選項D錯誤.5.B【解析】如圖，∵a∥b，∠1＝135°，∴∠CDG＝180°

?∠1＝45°，∴∠FDH＝∠CDG＝45°，∵∠2＝23°，∴∠3＝∠FDH

?∠2＝22°．6.C【解析】如圖，連接BD，∵AB是⊙O的直徑，點E在⊙O上，且∠BEC＝35°，∴∠ADB＝90°，∠BDC＝∠BEC＝35°，∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝90°+35°＝125°．7.A【解析】根據定義新運算，得x2?x＝k，即x2?x?k＝0，∵關于x的方程1※x＝k有兩個不相等的實數根，∴b2－4ac＝(?1)2

?4×(?k)＞0，解得k＞8.B【解析】將4位數學家的畫像分別記為A、B、C、D，列表如下：ABCDA—（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）—（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）—（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）—由表格可知共有12種等可能的結果，其中至少有一幅是中國數學家的結果有（A，B），（A，C），（A，D），（B，A），（B，C），（B，D），（C，A），（C，B），（D，A），（D，B）共10種，∴至少有一幅是中國數學家的概率是10129.D【解析】由題意，∵二次函數為y＝(x+h)2+k，∴其圖象的頂點坐標為（﹣h，k），又∵由圖象可知，頂點在第三象限，∴﹣h＜0，k＜0，∴h＞0，k＜0，∴點P（h，k）在第四象限．10.C【解析】∵四邊形ABCD為邊長為4的正方形，M是邊BC的中點，∴BM＝CM＝12BC＝2，∴當點P運動到BM的中點時，BP＝PM＝1，∴CP＝3，此時AB+BP＝5，即x＝5，∴

S正方形ABCD＝4×4＝16，S△CDP=12×4×3＝6，∴y＝166二、填空題11.y＝x+1（答案不唯一）【解析】∵當x＞0時，函數值y隨自變量x增大而增大，且該函數圖象經過點（0，1），∴該函數可以為一次函數，設該一次函數的表達式為y＝kx+b（k≠0），則k＞0，b＝1，取k＝1，此時一次函數的表達式為y＝x+1．（答案不唯一，合理即可）12.R【解析】∵1R＝1R1+1R2，即1R113.x【解析】每個甜果的價格＝119（文），每個苦果的價格＝47（文），設甜果買x個，苦果買y個，根據題意，得x+14.5【解析】∵DA，CD是⊙O的切線，∴AD＝CD=103，∠BCO＝∠BAD＝90°，在Rt△ABD中，AB＝8，∴BD＝AB2+AD2＝82+(103)2＝263，∴BC＝BD+CD＝263+103＝363＝12，OB=OA+AB=OA+8.在Rt△OBC中，OC215.113或【解析】∵∠ABC＝60°，DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC＝60°，由折疊可得∠FDE＝∠ADE＝60°，∴∠BDF＝180°﹣∠ADE﹣∠FDE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴分兩種情況：①如圖①，當∠BFD＝90°時，點F在△ABC內，∵∠BDF＝60°，∴∠DBF＝90°﹣60°＝30°，∴BD＝2DF，由折疊的性質得DF＝AD，∴BD＝2AD，∴3AD＝12，∴AD＝4.∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴

ADAB=AEAC，即412=AE11，∴AE=113；②如圖②，當∠DBF＝90°時，點F在△ABC外，同理可得AD＝DF＝2BD，∴3BD＝12，∴BD＝4，∴AD＝AB﹣BD＝12﹣4＝8.∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ADAB=AE

答案圖①

答案圖②三、解答題16.解：（1）原式＝1－4+4

＝1；

（2）由①得，x＞?1，由②得，x＜3，∴原不等式組的解集為?1＜x＜3，∴它的所有整數解為0，1，2．17.解：（1）30，3.6，3.5；【解法提示】d%＝310×100%＝30%，∴d＝30，平均數e＝1×1+2×1+3×3+4×2+5（2）∵投中次數所占百分比不低于20%的記為“最多投中數”，∴40名學生能達到“最多投中數”的人數為40×（20%+20%+30%）＝28（人），答：八年級（3）班共有40名學生，估計全班同學能達到“最多投中數”的有28名；（3）八（3）班同學的投籃水平更高一些.理由：∵兩個班投中次數的平均數相同，但八（3）班投中次數的眾數比八（6）班的高，且投中次數的方差小于八（6）班，水平比較穩(wěn)定，∴八（3）班同學的投籃水平更高一些.18.（1）解：如圖，直線AF即為所求（作法不唯一）；（2）∵AF∥BC，∴∠AFD＝∠BED，∵D是AB的中點，∴AD＝BD，在△AFD和△BED中，∠A∴△AFD≌△BED（AAS），∴AF＝BE，∵AF∥BE，∴四邊形AEBF是平行四邊形，∴AE∥BF．19.解：（1）由題意得，CO＝3，OA＝4，AB＝2，將△ABC繞點A順時針旋轉90°得到△ADE，則點D（?2，4），將點D的坐標代入反比例函數表達式得k＝?2×4＝

?8，∴該反比例函數表達式為y

＝?（2）由點A、B、C的坐標得，AC

＝CO2+OA2＝又∵有旋轉的性質得，∠EAC=90°，∴

CE?

=∴陰影部分的周長為AE+AB+BC+

CE?

（3）如圖，過點E作EH⊥y軸于點H，∵∠COA＝∠EHA＝∠CAE＝90°，∴∠CAO+∠AHE＝90°，∠CAO+∠ACO＝90°，∴∠ACO＝∠EAH，∵AC＝AE，∴△COA≌△AHE（AAS），∴OC＝AH，OA＝HE，∵CO＝3，OA＝4，則AH＝OC＝3，EH＝OA＝4，∴OH＝OA

?AH則點E（?4，1），設直線CE的函數表達式為y＝ax+b（a≠0），由點C、E的坐標得，

?4解得

a＝∴直線CE的函數表達式為y

＝?17x20.解：如圖，過點C作CE⊥AB，交AB的延長線于點E，過點D作DF⊥AE，垂足為點F，由題意得CD＝EF＝10cm，DF＝CE，∵斜坡BC的坡度為1:∴

BE在Rt△BCE中，tan∠BCE

＝B∴∠BCE＝30°.∵BC＝100cm，∴BE

＝12BC＝50（cm），CE＝DF＝3BE＝503（在Rt△ADF中，∠ADF＝65°，∴AF＝DF?tan65°≈50

3×2.14＝1073（cm∴AB＝AF+EF

?BE＝107

3+10

?50＝107

×1.73+10?50≈145∴景觀樹AB的高度約為145cm．21.解：（1）設y關于x的函數表達式為y＝kx+b（k≠0），將（15，700）、（25，500）代入上式，得

15k解得

k＝∴y關于x的函數表達式為y＝

?20x+1000（10≤x≤30）；（2）依題意有(x?10)(?20x+1000)＝6000，解得x1＝20，x2＝40，∵10≤x≤30，∴x＝20；答：該書的銷售單價為20元；（3）銷售該書每天的利潤不能達到9000元．理由如下：根據題意得(x?10)(?20x+1000)＝9000，整理得x2

?60x+950＝0，∵

b2?4ac＝602?4×1×950＝∴該方程沒有實數根，∴銷售該書每天的利潤不能達到9000元．22.解：（1）由題意得，拋物線的頂點坐標為（4，16），A（0，10），∴設拋物線的函數表達式為y＝a（x?4）2+16（a

<0）．將點A（0，10）代入，得10＝a（0?4）2+16．解得a＝?∴消防員第一次滅火時水流所在拋物線的函數表達式為y＝?38(x

?4)（2）不能．理由如下：由題意得，消防員第二次滅火時水流所在拋物線是由第一次拋物線向左平移2個單位得到的，∴消防員第二次滅火時水流所在拋物線的函數表達式為y

＝?38(x﹣4+2)2+16

＝?38(令x＝0，得y

＝?32+∵14.5＜15，∴消防員第二次滅火時水流所在拋物線不過B（0，15），∴水流不能到達B（0，15）處．23.解：（1）如解圖①，過點M作MK⊥AD于點K，交BC于點L，∵△PCE和△BCM都是等邊三角形，∴CE＝CP，CB＝CM，∠PCE＝∠MCB＝∠MBC＝60°，∴∠PCE+∠PCB＝∠MCB+∠PCB，即∠BCE＝∠MCP，在△BCE和△MCP中，

CE∴△BCE?△MCP（SAS），∴BE＝MP，∴當MP最小時，BE最小.∵M為定點，∴當MP⊥AD時，即點P與點K重合時，

MP最∵四邊形ABCD是矩形，BC＝6，∴∠A＝∠ABC＝90°，∴∠AKL＝∠A＝∠ABC＝90°，∴四邊形ABLK是矩形，∴KL＝AB＝3，在Rt△MCL中，ML＝CM?sin∠MCB＝6sin60°＝3

3，∴MK＝ML+KL＝3

3+3∵此時BE＝MP＝MK，∴BE的最小值為3

3+3（2）62；【解法提示】如解圖②，以BC為邊向下作正方形BCKL，連接BK、CL交于點O，連接OP，CG，過點O作OP′⊥AD于點P′，交BC于點T，∵四邊形CPGF、BCKL是正方形，BC=6，∴∠PCG＝∠BCO＝45°，CG

=2CP，OC＝OB

=22BC＝3

2，△BOC是等腰直角三角形，∴∠PCG+∠PCB＝∠BCO+∠PCB，即∠BCG＝∠OCP，∵

CGCP=BCOC=2，∴△BCG∽△OCP，∴

BGOP=CGCP=2，∴BG

=2OP，∴當OP取得最小值時，

BG最小=2OP最小，∵點O為定點，∴當OP⊥AD時，即點P與點P′重合時，

OP最?。絆P′.∵BC∥AD，∴OP′⊥BC，即∠CTO＝90°，∴OT＝OC?sin∠BCO＝3

2sin45°＝3.∵∠A＝∠ABC＝∠AP′O＝90°，∴四邊形ABTP′是矩形，∴TP′＝AB＝3，（3）3+33.【解法提示】如解圖③，連接CI、PH交于點O，在BC下方作射線BM、射線CN，使∠CBM＝∠BCN＝30°，射線BM、射線CN交于點Q，過點Q作QP′⊥AD于點P′，交BC于點K，連接PQ，∵四邊形PCHI是菱形，∠CPI＝120°，∴PH⊥CI，PC＝PI，∠PCI＝∠PIC＝30°，CI＝2CO，在Rt△CPO中，CO＝PC?cos∠PCI＝PC?cos30°

=32PC，∴CI＝2CO

=3PC.∵∠CBQ＝∠BC