2024-2025學(xué)年初中八年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題及答案

2024-2025年八年級上學(xué)期期中摸底調(diào)研卷數(shù)學(xué)學(xué)科（總分：130分；考試時長：120分鐘）第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題（共8小題，每小題3分，滿分24分）（）A.B. C. D.列組中勾的是（ ）A.3，4，12 B.6，6，72 C.9，40，41 D.9，15，17ABC三同玩搶凳”戲們的位成個ABC在他間放個凳先到凳誰勝為證戲公，凳應(yīng)的適當(dāng)位是在ABC的（ ）A.三垂平線交點B.邊線交點 C.個角平線點D.三高交點圖在ABC中，ABAC，AC的垂分線l交BC于點D．若DAC34，則B的數(shù)是（ ）A.34 B.30 C.28 D.26圖矩形ABCD中，AB3，AD1，AB數(shù)軸，以點A為心對角線AC的為徑作弧，數(shù)的半于M，則點M所表的為（ ）510A.2 B. 1 C. 5 D. 15106ABCD內(nèi)作BCEAF交CDFEF．若DF＝3，則BE的長為（）A.2 B.3 C.4 D.5MON＝90°，已知△ABCAC＝BC＝13，AB＝10，△ABCABOMONBONAOMABCO）A.5 B.7 C.12 D.6如圖，在ABC中，已知A60BMACMCNABNPBCPMPNBC2PNPMPNPMNABC=45時，BN22PC2，其正的是( )A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④第II卷（非選擇題）二、填空題（共8小題，每小題3分，滿分24分）圖鏡中碼際號是 ．

x1有意，則x的取范是 ．22若42

與最簡二次根式3

是類二根，則a．32a圖在△ABC，∠A＝75°，DE和DF別垂平邊AB、AC，則∠DBC的數(shù)為32a圖將根長12cm的筷置底半為3cm，為8cm的柱子中則子在子的度h的值圍為 ．Rt△ABCAClACB90AC5BC6O到線l的距為9，Rt△ABC紙片沿線l左移，則OAOB的最值．如圖，在ABC是ABCAPBPCP24 ，則BC2．2ABFEAJKCBCIH分別是以Rt△ABCCAB的垂線，交ABDFEG，連接HACF．則下列結(jié)論：①△ABHS正方CH2SH；③S長方形D2CF；④D2D2CD2F2．正確的 （填號）三、解答題(2)2（1）3(2)2

(3)0；（2）

2

3 ．6122x：6122（1）(x1)29；（2）2x3118．2ab2已知2a1的平方根為3a2b12ab2

的值．a(chǎn)a2b

ab04

的值．a(chǎn)24b1A、BCa24bABClA'B'C′；在線l找點P，使PB+PC最，最值為 ；513若點Q格上得△ABQ的邊分為4， ，513

，圖這的點Q共有 個．AD是△ABCDEDFABD和△ACDADEF；AB＝6，AC＝4，S△ABC＝15DEABCADCEG是CEDGCEGDCBE；請?zhí)骄緼EC與BCEa讀我已學(xué)了平根立根概．例：果＝aa＞，么x做a的方即x＝ ，過理的，我了：理和理數(shù)稱實，數(shù)有理擴到實范圍．學(xué)過中們知道負沒平根”，即實范內(nèi)任一數(shù)x都法得x2＝﹣1a成立．現(xiàn)在，我們設(shè)想引入一個新數(shù)i，使得i2＝﹣1成立，且這個新數(shù)i與實數(shù)之間，仍滿足實數(shù)范圍內(nèi)bibi，任abia+bia+bi（a，biab+b（，bb0a＝b＝00b≠0a＝0b≠0333+2i，1，﹣ 1i，3i都是數(shù)它們實分是3，1， ，0，虛分是2，332 2 2 2313，并且以上虛數(shù)中只有3i32 2 2閱讀理解以上內(nèi)容，解決下列問題：（1化：22＝ （﹣3＝ ．m2﹣1+（m+1）i（m①若復(fù)數(shù)是實，數(shù)m＝ ；②若復(fù)是虛，實數(shù)m＝ ．1（2

x﹣y+3）+（x+2y﹣1）i＝0，求實數(shù)x，y的值．在ABCAB20cmBC16cmDABP2cm/sBBC若B=60△BDP若B=60△BDPABAC，點QP同時出發(fā)，其中點Qacm/s（a2）的速度從C段CA上運動，當(dāng)a為何值時，△BPD和CQP全等？如圖①，等腰ABCABACDACEPBDABAE，CPEP．問題思考在圖①中，求證：BPCBAC；問題再探若BAC60，如圖②，探究線段AP、BP、EP之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；EP問題拓展若BAC90且BD平分ABC，如圖③，請直接寫出

的值為 ．BD形”，當(dāng)一個凸四邊形的一條對角線把原四邊形分成兩個三角形．若其中一個三角形是等腰直角三角形，另一個三角形是等腰三角形，則把這條對角線叫做這個四邊形的“真等腰直角線”，把這個四邊形叫做“真等腰直角四邊形”．鞏新】圖①，若AD=3，AD=DB=DC，BC=3√2，則邊形ABCD （“”或“否”）真等腰直角四邊形．深理】圖中，果形ABCD真等直四形且∠BDC=90°，對線BD是四邊的等直線當(dāng)AD=4，AB=3，邊BC長是 ．ABCDABDEBDC=90°，∠ADE=90°，BD＞AD＞AB，對角線BD、AD分別是這兩個四邊形的等腰直角線．求證：AC=BE．3ABCDBDBDAD=3，AB=4，∠BAD=45°AC2024-2025年八年級上學(xué)期期中摸底調(diào)研卷數(shù)學(xué)學(xué)科（總分：130分；考試時長：120分鐘）第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題（共8小題，每小題3分，滿分24分）（）A.B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解．【詳解】A、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；BC故選B．【點睛】本題考查了軸對稱圖形的知識，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合．列組中勾的是（ ）A.3，4，12 B.6，6，72 C.9，40，41 D.9，15，17【答案】C【解析】【分析】本題考查勾股數(shù)定義，熟知滿足a2b2c2的三個正整數(shù)a、b、c稱為勾股數(shù)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股數(shù)的定義逐項驗證即可得到答案．【詳解】解：A、∵3242122，∴3，4，12不是勾股數(shù)，故此選項不符合題意；B、∵6262722，∴6，6，72不是勾股數(shù)，故此選項不符合題意；C、∵92402412，∴9，40，41是勾股數(shù)，故此選項符合題意；D、∵92152172，∴9，15，17不是勾股數(shù)，故此選項不符合題意；故選：C．ABCABC到凳誰勝為證戲公，凳應(yīng)的適當(dāng)位是在ABC的（ ）A.三垂平線交點B.邊線交點 C.個角平線點D.三高交點【答案】A【解析】【詳解】解：利用線段垂直平分線的性質(zhì)得：要放在三邊垂直平分線的交點上．故選：A．【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)的應(yīng)用；利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解決實際問題是一種能力，要注意培養(yǎng)．想到要使凳子到三個人的距離相等是正確解答本題的關(guān)鍵．如圖，在ABCABACAClBCD．若DAC34，則B的度數(shù)是（ ）A.34 B.30 C.28 D.26【答案】A【解析】【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到ADDC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：∵AC的垂直平分線l交BC于點D，∴ADDC，∴DACC34，∵ABAC，BC34故選：A．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．圖矩形ABCD中，AB3，AD1，AB數(shù)軸，以點A為心對角線AC的為徑作弧，數(shù)的半于M，則點M所表的為（ ）5510A.2 B. 1 C. D. 15510【答案】D【解析】ACACAMAC【詳解】解：四邊形ABCD是矩形，ABC90，AB2AB2BC

，10以點1010AMAC ，10A點表示1，10M點表示10

1，故選：D．6ABCD內(nèi)作BCEAF交CDFEF．若DF＝3，則BE的長為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】△ADF旋轉(zhuǎn)到ABGDFBGBAG，△EAG△EAFDF3，AB6BE的長，本題得以解決．【詳解】解：如圖，把△ADF繞A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到ABG，∴△ADF△ABG，∴ADFABGABE90，∴ABGABE180，∴G、B、E三點共線，∴DFBG,DAFBAG，∵DAB90,EAF45，∴DAFEAB45，∴BAGEAB45，∴EAFEAG，在△EAG和△EAF中，AGAFEAGEAF，AEAE∴EAGEAF(SAS)，GEFEBEx，∵CD6,DF3，∴CF3，則GEBGBE3x,CE6x，∴EF3x，∵C90，(6x)2323x)2x2，∴BE的長為2．故選：A．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答MON＝90°，已知△ABCAC＝BC＝13，AB＝10，△ABCABOMONBONAOMABCO）A.5 B.7 C.12 D.6【答案】B【解析】【分析】過點C作CH⊥AB于點H，連接OC，OH，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得AHBH

1AB5，再由勾股定理，可得CH=12，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得OH=5，得到2當(dāng)C、O、H三點共線時，OC最小，即可求解．【詳解】解：如圖，過點C作CH⊥AB于點H，連接OC，OH，∵AC＝BC＝13，AB＝10，∴AHBH

1AB5，即H為AB的中點，2RtBCHBC2BHBC2BH132

12，Rt

中，OH1AB5，2∵OCCHOH1257，COHOC7．故選：B【點睛】本題主要考查了等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．如圖，在ABC中，已知A60BMACMCNABNPBC連接PM，PN，則下列結(jié)論：①BC2PN；②PMPN；③PMN為等邊三角形；④當(dāng)ABC=45時，BN22PC2，其正的是( )A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可判斷①②正確；先根據(jù)直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)求出ABMACN30，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出BCNCBM1806030260，然后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出BPNCPM2(BCNCBM)260120，從而得到MPN60，又由①得PMPN60°ABC=45時，BCN45PBCBN2BP2PN22BP22PC2【詳解】①CNAB于點N，P為BC邊的中點，PN1BC，2BC2PN正確，故①正確；②BMACMCNABNPBCPM1BC，PN1BC，2 2PMPN，故②正確；③A60BMACMCNABN，ABMACN30，在ABC中，BCNCBM1806030260，點P是BC的中點，BMAC，CNAB，PMPNPBPC，BPN2BCN，CPM2CBM，BPNCPM2(BCNCBM)260120，MPN60，PMN是等邊三角形，故③正確；④當(dāng)ABC=45時，CNAB于點N，BNC90，BCN45，BNCN，P為BC邊的中點，PNBC，BPN為等腰直角三角形，BN2BP2PN22BP22PC2故選：D．【點睛】本題主要考查了直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，等邊三角形、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，仔細分析圖形并熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．第II卷（非選擇題）二、填空題（共8小題，每小題3分，滿分24分）圖鏡中碼際號是 ．【答案】3265.【解析】【詳解】試題解析：根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)，在鏡子中的真實數(shù)字應(yīng)該是3265,故答案為3265.xx12

有意，則x的取范是 ．【答案】x1【解析】【分析】本題考查了二次根式被開方數(shù)的非負性、解不等式，根據(jù)二次根式的被開方數(shù)非負性求解x10是解題的關(guān)鍵．xx12∴x10，解得：x1．32a故答案為：32a

有意義，2若42

與最簡二次根式3

同類次式則a．1【答案】2

##0.5【解析】332a242

與最簡二次根式3

是同類二次根式，∴32a2，a1，21故答為： ．2圖在△ABC，∠A＝75°，DE和DF別垂平邊AB、AC，則∠DBC的數(shù)為 °．【答案】15【解析】【分析】連接DA、DC，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠ABC+∠ACB=100°，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到DA=DB，DA=DC，進而得到DB=DC，∠DBA=∠DAB，∠DAC=∠DCA，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)計算，得到答案．【詳解】解：連接DA、DC，∵∠BAC=75°，∴∠ABC+∠ACB=180°-80°=105°，∵DE和DF分別垂直平分邊AB、AC，∴DA=DB，DA=DC，∴DB=DC，∠DBA=∠DAB，∠DAC=∠DCA，∴∠DBA+∠DCA=∠DAB+∠DAC=75°，∴∠DBC=∠DBC=1×（105°-75°）=15°，2故答案為：15．【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．12cm3cm8cm的度h的值圍為 ．【答案】2cm≤h≤4cm【解析】ADh【詳解】解：如圖，當(dāng)筷子的底端在D點時，筷子露在杯子外面的長度最長，∴h＝2﹣＝（當(dāng)筷子的底端在A點時，筷子露在杯子外面的長度最短，在Rt△ABD中，AD＝6cm，BD＝8cm，∴2＝D＋D22＋8＝102（2B＝0，h12102（∴h的取值范圍是：2cm≤h≤4cm．故本題答案為：2cm≤h≤4cm．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，能夠讀懂題意和求出h的值最大值與最小值是解題關(guān)鍵．Rt△ABCAClACB90AC5BC6O到線l的距為9，Rt△ABC紙片沿線l左移，則OAOB的最值．【答案】13【解析】OmBm的對稱點B1AOB1OAOB最小，即可求得．【詳解】過點O做直接m平行直線l，作點B關(guān)于直線m的對稱點B1當(dāng)A、O、B1共線時，OAOB最小CB1=9+9－6=1252122A52122∴OAOB的最小值是13故答案為：13【點睛】本題考查軸對稱-最短路線問題，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作出對稱點是解題的關(guān)鍵．如圖，在ABC是ABCAPBPCP24 ，則BC2．23【答案】32163【解析】【分析】如圖將ABP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60得到AMG．連接PG，CM．首先證明當(dāng)M，G，P，C共線時，PAPBPC的值最小，最小值為線段CM的長，由等腰直角三角形求得AC的長，進而求得BN、CN，由勾股定理求得結(jié)果．【詳解】解：如圖將ABP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60得到AMG．連接PG，CM，則AB＝AC＝AM，MG＝PB，AG＝AP，GAP＝60，GAP是等邊三角形，PA＝PG，PAPBPC＝CPPGGM，∴當(dāng)M，G，P，C共線時，PAPBPC的值最小，最小值為線段CM的長，2APBPCP的最值為4 ，22CM＝4 ，2BAM＝60，BAC＝30，，，3作BNAC于N．則BN1AB2，AN23，CN42323C2N2CN222+4232321633故答案為：32163ABFEAJKCBCIH分別是以Rt△ABCCAB的垂線，交ABDFEG，連接HACF．則下列結(jié)論：①△ABHS正方CH2SH；③S長方形D2CF；④D2D2CD2F2．正確的 （填號）【答案】①②③【解析】SAS”可證△ABHS正方形BCIH2SABHS長方形BFGD2S△CBF，故③正確；由勾股定理可得BD2AD22CD2BF2，故④錯誤，即可求解．【詳解】解：∵四邊形BCIH和四邊形ABFE都是正方形，∴ABHBC90，∴ABFCBAHBCCBA，∴HBACBF，∴FBCSAS，S HBBC，S 1HBBC，正方形BCIH ABH 2∴S正方形BCIH2SABH，故②正確；S BFBD，S 1BFBD，長方形BFGD∴S長方形BFGD2S△CBF，故③正確；

CBF 2BC2DC2DB2，AC2DC2AD2，BC2AC2AB2，∴DC2DB2DC2AD2AB2BF2，∴BD2AD22CD2BF2，故④錯誤，綜上可知，正確的有①②③，故答案為：①②③．三、解答題(2)2（1）3(2)2

6122(3)0；6122（2）

2

3 ．3【答（1）3 （2）23【解析】【分析】本題考查實數(shù)混合運算，零指數(shù)冪，二次根式混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．【小問1詳解】解：原式2213；【小問2詳解】366解：式2 36632 ．3x：（1）(x1)29；（2）2x3118．（1）2x24（2）x2【解析】【分析】本題考查了平方根、立方根的應(yīng)用，熟練掌握求一個數(shù)的平方根、立方根是解題的關(guān)鍵．1解：x29x13，2，x24；【小問2詳解】解：2x3118，x319，x38，x2．2ab已知2a1的平方根為3a2b12ab【答案】3

的值．【解析】2a19a2b18【詳解】解∶∵2a1的平方根為3，∴2a19，∴a5，∵a2b1的立方根為2，∴a2b18，∴b1，2a2aaa2b

3．259a2ab259a2

24b24b2【答案】22【解析】【分析】本題主要考查了算術(shù)平方根與平方的非負性、解二元一次方程組、代數(shù)式求值，根據(jù)算術(shù)平方根與a2b40a2b平方的非負性得出方程組aa2b【詳解】解：∵a2b40∴ab50，

ab

0，a2解得：b3，∴4a24b4224382242 422 ∴4a24b422438221A、BCABClA'B'C′；在線l找點P，使PB+PC最，最值為 ；513若點Q格上得△ABQ的邊分為4， ，513

，圖這的點Q共有 個．10【答（1）解析 （2）210（3）4【解析】【分析】（1）利用軸對稱的性質(zhì)分別作出A，B，C的對應(yīng)點A′，B′，C′即可；BC′lPCPPB+PCBC′【小問1詳解】解：如圖，△A'B'C′即為所求；【小問2詳解】62解：如圖，點P62

2 ，1010故答為：2 ；1010【小問3詳解】2212522212522

13，513∴符三長為4， ， 的△ABQ△ABQ1△ABQ2△ABQ3、△ABQ4，513Q44．【點睛】本題考查作圖-軸對稱變換，最短問題，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是掌握利用軸對稱解決最短問題，學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想思考問題．AD是△ABCDEDFABD和△ACDADEF；AB＝6，AC＝4，S△ABC＝15DE【答案】（1）見解析（2）3【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形的角平分線的性質(zhì)定理和垂直平分線的性質(zhì)定理解答．（2）根據(jù)SABCS△ADBS△ADC=15，可以求得DE的長度．（1）∵AD平分DEDF.DEAB，DFAC，AEDAFD90，在RtADE和RtADFADADDEEF，∴RtADE≌RtADFHL.AEAF.又EADFAD，AOAO∴△AEO≌AFOEOFO，AOEAOF90ADEF的（2）SABCSABDSACD15.1ABDE1ACDF2 2ABAC10,DEDF.1ABACDE2DEDF3.【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，角平分線等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會利用面積法解決問題．ABCADCEG是CEDGCEGDCBE；請?zhí)骄緼EC與BCE【答案】（1）證明見解析（2）AEC3BCE.【解析】【分析】（1）由直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)與垂直平分線的性質(zhì)得出AEBEDE,DCDE，則可得出結(jié)論；（2）由等腰三角形的性質(zhì)及外角的性質(zhì)可得出結(jié)論．【小問1詳解】證明：∵AD是高，∴ADBD，CE∴E為AB的中點，∴AEBEDE，∵G為CE的中點，DGCE，∴DCDE，∴DCBE；2解：設(shè)BCE，∵DEDC，∴DECDCE，∴BDEDECDCE，∵BEDE，∴BBDE，∴AECBBCE，∴AEC3BCE.【點睛】本題考查了直角三角形的斜邊上的中線的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．a(chǎn)讀我已學(xué)了平根立根概．例：果＝aa＞，么x做a的方即x＝ ，過理的，我了：理和理數(shù)稱實，數(shù)有理擴到實圍．學(xué)過中們知道負沒平根”，即實范內(nèi)任一數(shù)x都法得x2＝﹣1aii2＝﹣1ibibi，任abia+bia+bi（a，biab+b（，bb0數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝0時，它是實數(shù)0；當(dāng)b≠0時，它叫做虛數(shù)；當(dāng)a＝0且b≠0時，它是純虛數(shù)．例如333+2i，1，﹣ 1i，3i都是數(shù)它們實分是3，1， ，0，虛分是2，332 2 2 2313，并且以上虛數(shù)中只有3i32 2 2閱讀理解以上內(nèi)容，解決下列問題：（1化：22＝ （﹣3＝ ．m2﹣1+（m+1）i（m①若復(fù)是數(shù)則數(shù)m＝ ；②若復(fù)是虛，實數(shù)m＝ ．1（2

x﹣y+3）+（x+2y﹣1）i＝0，求實數(shù)x，y的值．（），i（2①1；②1（）x5,y7．2 4【解析】【分析】（1）利用i21化簡各式即可得；①根據(jù)題中定義可得m10②根據(jù)題中的新定義可得m210，m10，利用平方根解方程即可得；xy）i22()2，(i)3(i)2(i)1(i)i，故答案為：2，i；m10，解得m1，m210②若該復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則m10，解得m1，故答案為：1；1xy30由意：2 ，x2y10x5 2解得 ．y7 4【點睛】本題考查了利用平方根解方程、解二元一次方程組，理解題中的新定義是解題關(guān)鍵．在ABCAB20cmBC16cmDABP2cm/sBBC若B=60△BDP為若B=60△BDPABAC，點QP同時出發(fā)，其中點Qacm/s（a2）的速度從C段CA上運動，當(dāng)a為何值時，△BPD和CQP全等？【答（1）5秒 （2）2.5或10秒5（3）2

cm/s或2cm/s【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的判定求解即可；xBPD=90時，由B=60，得到BDP=30，求得2BPBD10cmx=2.5；②當(dāng)BDP=90BPD=30，求出x=10；即可得到當(dāng)P出發(fā)2.5秒或10秒后，△BPD為直角三角形；＝P運動的時間，再求得點Q【小問1詳解】解：∵B=60，∴當(dāng)BDBP時，△BDP為等邊三角形，∵AB20cm，點D為線段AB的中點，∴BD10cm，∵BDBP，∴BP10cm，∵動點P以2cm/s的速度運動，∴動點P10=5（秒，25△BDP【小問2詳解】解：設(shè)運動時間為x秒，①當(dāng)BPD=90時，∵B=60，∴BDP=30，∵AB20cm，點D為線段AB的中點，∴BD10cm，∴2BPBD10cm，∴BP，∵動點P以2cm/s的速度運動，∴2x5，解得，x2.5；②當(dāng)BDP=90時，∵B=60，∴BPD=30，∵AB20cm，點D為線段AB的中點，∴BD10cm，∴BP2BD20cm，∵動點P以2cm/s的速度運動，∴2x20，x10∴當(dāng)P出發(fā)2.5秒或10秒后，△BPD為直角三角形；【小問3詳解】解：設(shè)運動時間為t秒，∵ABAC，∴BC，∵AB20cm，D是AB的中點，∴BD10cm，BDQCBPCP△BDP≌△CQP，BPCP，∵BC16cm，∴BPCP，∵動點P以2cm/s的速度運動，∴BP2t，∴t4，∵點Q以acm/s的速度從C點出發(fā)在線段CA上運動，∴CQat4a．∵CQBD，∵AB20cm，D是AB的中點，∴BD10cm，∴CQBD10cm，∴4a10，解得，a5cm/s，2②當(dāng)BDPC，BPCQ時，△BDP≌△CPQ，∵BC16cm，動點P以2cm/s的速度運動，∴BP2t，∴CPBCBP162t，∵AB20cm，D是AB的中點，∴BD10cm，∵BDPC，∴162t10t3，∴BP6，CQat3a6，∴a2cm/s，綜上所述，當(dāng)a5cm/s或a2cm/s時，△BPD和CQP全等．2【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定，三角形的內(nèi)角和，直角三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定、等邊三角形的判定、直角三角形的判定是解題的關(guān)鍵．如圖①，等腰ABCABACDACEPBDABAE，CPEP．問題思考在圖①中，求證：BPCBAC；問題再探若BAC60，如圖②，探究線段AP、BP、EP之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；EP問題拓展若BAC90且BD平分ABC，如圖③，請直接寫出

的值為 ．BDEP 1【答案】問題思考：見解析；問題再探：APEPBP，證明見解析；問題拓展：BD2【解析】，推出EACPEABP，即問題再探：在PB上截取PGPC，連接CG，證△GPC，ABC為等邊三角形，再證明BGC≌APC，推出EPGP，即可得出答案；問題拓展：延長BA，CP交于點H，證HBP≌CBP，推出CPHP1CH，證ABD≌ACH，2推出BDCH2CP，即可得出答案．【詳解】問題思考：證明：∵ABAC，ABAE，∴ACAE，又∵CPEP，且APAP，∴CPSS，∴EACP，又∵ABAE，∴EABE，∴ABEACP，ADBPDC∴BPCBAC；問題再探：APEPBP，理由如下：在BP上取點G，使PGPC，連接CG，如圖2，∵BAC60，∴BPC60，∵PGPC，∴△GPC為等邊三角形又∵ABAC，BAC60，∴ABC為等邊三角形，∴ACBGCP60∴BCGACP，又∵BCAC，GCPC，∴CS，∴APBG，由（1）得EPCP，∵CPGP，∴EPGP，∵BPBGGP，∴BPAP+EP；問題拓展：延