第11講 圓錐曲線中的中點弦問題（高階拓展、競賽適用）（學(xué)生版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點幫

Page圓錐曲線中的中點弦問題（高階拓展、競賽適用）（3類核心考點精講精練）1.5年真題考點分布5年考情考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點2023年全國乙卷（文科），第12題,5分由弦中點求弦方程或斜率已知方程求雙曲線的漸近線討論雙曲線與直線的位置關(guān)系2022年新Ⅱ卷，第16題,5分由中點弦求弦方程根據(jù)弦長求參數(shù)2022年新Ⅱ卷，第21題,12分求雙曲線中的弦長由中點弦坐標或中點弦方程、斜率求參數(shù)根據(jù)韋達定理求參數(shù)根據(jù)雙曲線的漸近線求標準方程2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設(shè)題不定，難度中等或偏難，分值為5-17分【備考策略】1.理解、掌握圓錐曲線的中點弦及其相關(guān)計算2.會用點差法求解相關(guān)問題【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，小題和大題都會作為載體命題，同學(xué)們要會結(jié)合公式運算，需強化訓(xùn)練復(fù)習(xí)知識講解橢圓中點弦斜率公式

(1)若Mx0,y0為橢圓xkAB.kOM=?b2a2=e2kAB.雙曲線的中點弦斜率公式

(1)若Mx0,y0為雙曲線x2a2?y2b2=1弦AB(AB不平行y軸)的中點,則

k3.拋物線的中點弦斜率公式

(1)若Mx0,y0為拋物線y2=2px弦AB(AB不平行y軸)的中點,則kAB=py04.中點弦斜率拓展在橢圓x2a2+y2b2=1中,以Px0,y0為中點的弦所在直線的斜率k=?b5.橢圓其他斜率形式拓展橢圓的方程為（a＞b＞0），為橢圓的長軸頂點，P點是橢圓上異于長軸頂點的任一點，則有橢圓的方程為（a＞b＞0），為橢圓的短軸頂點，P點是橢圓上異于短軸頂點的任一點，則有橢圓的方程為（a＞b＞0），過原點的直線交橢圓于兩點，P點是橢圓上異于兩點的任一點，則有點差法妙解中點弦問題

若設(shè)直線與圓錐曲線的交點(弦的端點)坐標為Ax將這兩點代入圓錐曲線的方程并對所得兩式作差,得到一個與弦AB的中點和斜率有關(guān)的式子,可以大大減少運算量。我們稱這種代點作差的方法為“點差法”。

（1）設(shè)點:若Ax1,y1,Bx2,y2是橢圓x2a2+y2b2=1a>b化簡可得y1+考點一、橢圓中的中點弦問題1．（2022·全國·高考真題）已知直線l與橢圓在第一象限交于A，B兩點，l與x軸，y軸分別交于M，N兩點，且，則l的方程為．2．（重慶·高考真題）直線與圓相交于兩點，，弦的中點為，則直線的方程為．3．（全國·高考真題）已知橢圓E:＋＝1(a>b>0)的右焦點為F(3,0)，過點F的直線交橢圓于A、B兩點．若AB的中點坐標為(1，－1)，則E的方程為A．＋＝1 B．＋＝1C．＋＝1 D．＋＝11．（2024高三·全國·專題練習(xí)）橢圓上的兩點A，B關(guān)于直線對稱，則弦AB的中點坐標為（

）A． B． C． D．2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知橢圓＋＝1內(nèi)有一點P(2,3)，過點P的一條弦恰好以P為中點，則這條弦所在的直線方程為．3．（2025·甘肅張掖·模擬預(yù)測）已知傾斜角為的直線與橢圓交于兩點，為中點，為坐標原點，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．4．（2024·陜西銅川·三模）已知原點為，橢圓與直線交于兩點，線段的中點為，若直線的斜率為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．5．（23-24高三下·安徽六安·階段練習(xí)）已知橢圓：的右焦點為，過點的直線交橢圓于兩點，若的中點坐標為，則橢圓的方程為（）A． B． C． D．考點二、雙曲線中的中點弦問題1．（2023·全國·高考真題）設(shè)A，B為雙曲線上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點的是（

）A． B． C． D．2．（全國·高考真題）已知雙曲線的中心為原點，是的焦點，過F的直線與相交于A，B兩點，且AB的中點為,則的方程式為A． B． C． D．3．（全國·高考真題）已知雙曲線的中心在原點且一個焦點為，直線與其相交于，兩點，若中點的橫坐標為，則此雙曲線的方程是A． B．C． D．1．（23-24高三上·湖北武漢·期末）已知A，B為雙曲線上不同兩點，下列點中可為線段的中點的是（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·天津和平·期末）直線l與雙曲線交于A，B兩點，線段AB的中點為點，則直線l的斜率為（

）A． B． C． D．3．（2024·陜西寶雞·模擬預(yù)測）已知直線與雙曲線交于兩點，點是弦的中點，則雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．34．（23-24高二上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知直線l與雙曲線交于A、B兩點，且弦AB的中點為，則直線l的方程為．5．（2023·陜西寶雞·模擬預(yù)測）已知雙曲線：的右焦點為，過點的直線交雙曲線E于A、B兩點.若的中點坐標為，則E的方程為（

）A． B．C． D．6．（2024高三下·全國·專題練習(xí)）已知雙曲線：的左右頂點分別為、．(1)求以、為焦點，離心率為的橢圓的標準方程；(2)直線過點與雙曲線交于兩點，若點恰為弦的中點，求出直線的方程；7．（22-23高二上·內(nèi)蒙古包頭·期末）如圖1、2，已知圓方程為，點．M是圓上動點，線段的垂直平分線交直線于點．

(1)求點的軌跡方程；(2)記點的軌跡為曲線，過點是否存在一條直線，使得直線與曲線交于兩點，且是線段中點．考點三、拋物線中的中點弦問題1．（四川·高考真題）已知拋物線上存在關(guān)于直線對稱的相異兩點、，則等于（）A．3 B．4 C． D．2．（山東·高考真題）已知拋物線，過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于兩點，若線段的中點的縱坐標為2，則該拋物線的準線方程為A． B．C． D．3．（北京·高考真題）已知點在拋物線上，ΔABC的重心與此拋物線的焦點重合(如圖).（1）寫出該拋物線的方程和焦點的坐標；（2）求線段中點的坐標；（3）求所在直線的方程.1．（2024·山西臨汾·二模）已知拋物線，過點的直線與相交于A，B兩點，且為弦AB的中點，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．?22．（2024·甘肅蘭州·三模）過拋物線焦點的直線交拋物線于兩點，已知，線段的垂直平分線交軸于點，則（

）A．2 B．4 C．6 D．83．（23-24高二上·湖北·期中）若拋物線上兩點，關(guān)于直線對稱，且，則中點坐標為（

）A． B． C． D．4．（23-24高三下·安徽·開學(xué)考試）已知拋物線的準線為，點在拋物線上，且線段的中點為，則直線的方程為（

）A． B．C． D．5．（23-24高三下·安徽·階段練習(xí)）已知拋物線，過C的焦點F且傾斜角為的直線交C于A，B兩點，線段AB的中點為W，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．46．（23-24高三上·陜西安康·階段練習(xí)）已知拋物線C：的焦點為F，準線為.過拋物線C頂點的直線l與準線交于點M，與拋物線C交于另一點N.若MF=NF，則點N的橫坐標為（

）A． B． C． D．一、單選題1．（23-24高二上·山西太原·期末）在橢圓中，以點為中點的弦所在的直線方程為（

）A． B． C． D．2．（21-22高三上·貴州·階段練習(xí)）已知雙曲線的離心率為2，過點的直線與雙曲線C交于A，B兩點，且點P恰好是弦的中點，則直線的方程為（

）A． B． C． D．3．（21-22高二下·安徽·開學(xué)考試）已知點，是雙曲線上的兩點，線段的中點是，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．4．（23-24高三下·內(nèi)蒙古赤峰·開學(xué)考試）已知直線交拋物線于兩點，且的中點為，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．5．（24-25高三上·貴州·開學(xué)考試）已知直線與橢圓相交于兩點，橢圓的兩個焦點是，，線段的中點為，則的面積為（

）A． B． C． D．二、填空題6．（23-24高二上·寧夏·期中）已知為拋物線上的兩點，且線段AB中點的縱坐標為2，則直線AB的斜率為.7．（2022高三上·全國·專題練習(xí)）已知橢圓：的中心為，為左焦點，為橢圓上頂點，直線與橢圓的另一個交點為，線段AB的中點坐標為，則橢圓的離心率為三、解答題8．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)直線l：y＝x－1與拋物線y2＝4x相交于A，B兩點．求：(1)線段AB的長；(2)AB的中點M的坐標．9．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合，離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)過點作斜率為的直線交橢圓于兩點，求弦中點坐標.10．（2021·湖南·模擬預(yù)測）已知雙曲線的其中一個焦點為，一條漸近線方程為（1）求雙曲線的標準方程；（2）已知傾斜角為的直線與雙曲線交于兩點，且線段的中點的縱坐標為4，求直線的方程.一、單選題1．（2024·吉林白山·一模）不與坐標軸垂直的直線過點，，橢圓上存在兩點關(guān)于對稱，線段的中點的坐標為．若，則的離心率為（

）A． B． C． D．2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點，為坐標原點，以，為鄰邊作平行四邊形，點恰好在上．若線段的中點在直線上，則直線的方程為（

）A． B． C． D．3．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知橢圓，過點作傾斜角為的直線與交于，兩點，當(dāng)為線段的中點時，直線（為坐標原點）的斜率為，則的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線，直線l與雙曲線C交于A，B兩點，O為坐標原點，若點P在直線l上，且直線OP把分成面積相等的兩部分，則下列能作為點P的坐標的是（

）A． B． C． D．三、填空題5．（23-24高三上·山東德州·期末）若直線過拋物線的焦點且與拋物線交于兩點，的中垂線交軸于點，則．6．（2022高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)是橢圓上不關(guān)于坐標軸對稱的兩點，是線段的中點，是坐標原點，若直線與直線的斜率之積為，則橢圓的離心率為.四、解答題7．（2024·貴州黔南·二模）已知拋物線：（）的焦點為，過焦點作直線交拋物線于兩點，為拋物線上的動點，且的最小值為1.(1)拋物線的方程；(2)若直線交拋物線的準線于點，求線段的中點的坐標.8．（2023·廣西南寧·模擬預(yù)測）已知雙曲線()經(jīng)過點，其漸近線方程為．(1)求雙曲線C的方程；(2)過點的直線l與雙曲線C相交于A，B兩點，P能否是線段AB的中點？請說明理由．9．（22-23高二上·貴州貴陽·階段練習(xí)）已知圓，圓，動圓與圓外切并且與圓內(nèi)切，圓心的軌跡為曲線(1)求的方程；(2)是否存在過點的直線交曲線于兩點，使得為中點？若存在，求該直線方程，若不存在，請說明理由．10．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知橢圓，橢圓的右焦點為．(1)求過點且斜率為1的直線被橢圓截得的弦長；(2)判斷點與橢圓的位置關(guān)系，并求以為中點的橢圓的弦所在的直線方程．1．（2020·浙江·高考真題）如圖，已知橢圓，拋物線，點A是橢圓與拋物線的交點，過點A的直線l交橢圓于點B，交拋物線于M（B，M不同于A）．（Ⅰ）若p=116，求拋物線（Ⅱ）若存在不過原點的直線l使M為線段AB的中點，求p的最大值．2．（2018·全國·高考真題）已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點，線段的中點為．（1）證明：；（2）設(shè)為的右焦點，為