第03講 圓中的切線方程、切點弦方程及圓系方程（高階拓展、競賽適用）（教師版）-2025版高中數(shù)學一輪復習考點幫

Page第03講圓中的切線方程、切點弦方程及圓系方程（高階拓展、競賽適用）（6類核心考點精講精練）1.5年真題考點分布5年考情考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點2024年新Ⅱ卷，第10題,6分圓中切線問題切線長根據(jù)拋物線方程求焦點或準線直線與拋物線交點相關(guān)問題2023年新I卷，第6題,5分圓中切線問題給值求值型問題余弦定理解三角形2022年新I卷，第14題,5分圓的公切線方程判斷圓與圓的位置關(guān)系2021年新I卷，第11題,5分切線長直線與圓的位置關(guān)系求距離的最值2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的選考內(nèi)容，設(shè)題不定，難度中等，分值為5-6分【備考策略】1.熟練掌握圓中切線問題的快速求解2.熟練掌握圓系方程的快速求解【命題預測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的拓展內(nèi)容，需要大家掌握二級結(jié)論來快速解題，需強化練習知識講解一、圓中切線問題已知圓方程為:,若已知切點在圓上,則切線只有一條,其方程是:已知圓方程為:,若已知切點在圓上,則該圓過點的切線方程為;已知圓方程為圓:.(1)過圓上的點的切線方程為.(2)過圓外一點作圓的兩條切線,則切點弦方程為.4.過圓外一點引圓(標準方程,一般方程)的切線長度一般方程(標準方程)二、常見的圓系方程1、同心圓圓系(1)以為圓心的同心圓圓系方程:;(2)與圓同心圓的圓系方程為:;2、過線圓交點的圓系過直線與圓交點的圓系方程為:;3、過兩圓交點的圓系過兩圓交點的圓系方程為,此圓系不含)(1)特別地,當時,上述方程為一次方程,兩圓相交時,表示公共弦方程;兩圓相切時,表示公切線方程.(2)為了避免利用上述圓系方程時討論圓過,可等價轉(zhuǎn)化為過圓和兩圓公共弦所在直線交點的圓系方程:考點一、過圓上一點的切線問題1．（23-24高二上·四川成都·階段練習）過點作圓的切線l，求切線l的方程【答案】【分析】當直線斜率不存在時，直線方程為：，由圓心到直線的距離等于半徑判斷；當直線的斜率存在時：設(shè)直線方程為，由圓心到直線的距離等于半徑求解.【詳解】當直線斜率不存在時，直線方程為：，圓心到直線的距離為，不成立；當直線的斜率存在時：設(shè)直線方程為，即，圓心到直線的距離等于半徑為：，解得，所以直線方程為：，即.故答案為：.2．（23-24高三下·福建·開學考試）過點的直線l與圓相切，則直線l的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，點P在圓C上，由切線性質(zhì)即可得出結(jié)果.【詳解】由點P在圓C上，又由直線的斜率為，可得直線l的斜率為2，則直線l的方程為．故選：B．1．（22-23高二上·上海浦東新·期中）已知圓，則過點的圓的切線方程為.【答案】【分析】根據(jù)切線與過切點的半徑垂直即可求解.【詳解】點在圓上,圓心為，，所以切線的斜率，則過點的圓的切線方程為,即.故答案為：.2．（11-12高二上·浙江杭州·期中）圓在點處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】容易知道點為切點，圓心，設(shè)切線斜率為k，從而，由此即可得解.【詳解】將圓的方程化為標準方程得，∵點在圓上，∴點P為切點．從而圓心與點P的連線應(yīng)與切線垂直．又∵圓心為，設(shè)切線斜率為k，∴，解得．∴切線方程為．故選：D.考點二、過圓外一點的切線問題1．（23-24高三上·陜西西安·階段練習）過點且與圓：相切的直線方程為【答案】或【分析】首先將圓的方程化為標準式，即可得到圓心坐標與半徑，再分切線的斜率存在與不存在兩種情況討論，分別求出切線方程.【詳解】圓：即，圓心為，半徑，當切線的斜率不存在時，直線恰好與圓相切；當切線的斜率存在時，設(shè)切線為，即，則，解得，所求切線方程為，綜上可得過點與圓相切的直線方程為或.故答案為：或2．（22-23高三上·湖南長沙·階段練習）過點作圓的切線，則切線方程為（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【分析】根據(jù)切線斜率是否存在分類討論，利用圓心到切線距離等于半徑可求結(jié)果．【詳解】由圓心為，半徑為2，斜率存在時，設(shè)切線為，則，可得，所以，即；斜率不存在時，，顯然與圓相切，綜上，切線方程為或．故選：D．3．（2023·全國·模擬預測）已知圓，過點作圓的兩條切線，切點分別為A，B，則的正切值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)出切線方程，然后根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑求出斜率，然后根據(jù)幾何圖形的性質(zhì)得答案.【詳解】由題可得，圓的圓心為，半徑．易知切線的斜率都存在，設(shè)切線的方程為，即，圓心到切線的距離，解得或，如圖，設(shè)點在點下方，，（提示：由圓的性質(zhì)可知）．

另法：由題可得，圓的圓心為，半徑．易知直線是圓的一條切線，不妨設(shè)切點為，則．又（提示：圓的切線的性質(zhì)），．故選：A．1．（24-25高三上·山東濰坊·開學考試）已知圓，則過點的圓的切線方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】首先說明點在圓外，再設(shè)點斜式方程，利用圓心到直線距離等于半徑得到方程，解出即可.【詳解】將代入圓方程得，則該點在圓外，，即，則其圓心為，半徑為1，當切線斜率不存在時，此時直線方程為，顯然不合題意，故舍去，則設(shè)切線方程為：，即，則有，解得，此時切線方程為.故選：C.2．（22-23高二上·湖南岳陽·期中）經(jīng)過向圓作切線，切線方程為（

）A．B．C．或D．或【答案】C【分析】根據(jù)切線的斜率是否存在進行分類討論，結(jié)合點到直線的距離公式求得正確答案.【詳解】（1）當切線的斜率不存在時，直線是圓的切線；（2）當切線斜率存在時，設(shè)切線方程為，由到切線距離為得，此時切線方程為即.故選：C3．（2024高三·全國·專題練習）設(shè)過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解法1：如圖，由題意確定圓心坐標和半徑，求出，由二倍角的余弦公式求出即可求解；解法2：如圖，由題意確定圓心坐標和半徑，利用余弦定理求出即可求解；解法3：易知切線斜率存在，利用點到直線的距離公式和斜率的定義求出，進而求出即可.【詳解】解法1：如圖，圓，即，則圓心，半徑，過點作圓的切線，切點為，連接.因為，則，得，則，即為鈍角，且為銳角，所以.故選：A.解法2：如圖，圓，即，則圓心，半徑，過點作圓的切線，切點為，連接.因為，則，因為，且，則，即，解得，即為鈍角，且為銳角，則.故選：A.解法3：圓，即，則圓心，半徑，若切線斜率不存在，則切線方程為，則圓心到切點的距離，不合題意；若切線斜率存在，則設(shè)切線方程為，即，則圓心到切線的距離，解得，所以，又為銳角，由解得.故選：A.考點三、切點弦方程1．（2024高三·全國·專題練習）已知圓外一點，過點作圓的兩條切線，切點分別為和，則直線的方程為.【答案】【分析】由二級結(jié)論：若點在圓外，過點引圓的兩條切線，切點為，則切點弦(兩切點的連線段)所在直線的方程為（圓的方程為），代入即可的直線的方程.【詳解】由題意，切點弦所在直線的方程為:，化簡得：.故答案為：.2．（2024·浙江·模擬預測）過點作圓：的兩條切線，切點分別為，，則原點到直線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先求解四邊形的外接圓的方程，再求解直線的方程，即可求解點到直線的距離.【詳解】由圖可知，，，則四點共圓，圓的直徑是，點，，，的中點坐標為，所以四邊形的外接圓的方程為，即，圓，兩式相減得直線的方程，則原點到直線的距離.故選：A1．（2023·全國·模擬預測）已知圓：，點，若直線分別切圓于兩點，則直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】方法一：利用直線，得出，在中，利用幾何關(guān)系求出及，進而可求出點到直線MN的距離，再利用點到直線的距離公式即可求出結(jié)果；方法二：利用直線為圓和以AC為直徑的圓的公共弦，求出以AC為直徑的圓，即可求出結(jié)果.【詳解】由題意得直線垂直平分線段，又圓：，所以圓心，，又由，得直線AC的斜率，所以直線MN的斜率，可設(shè)直線的方程為，又，在中，，，得到，則點到直線MN的距離，即，解得或，當時，直線MN與圓C相離，不符合題意，所以直線MN的方程為．

一題多解

因為分別是圓C的切線，所以，所以點在以AC為直徑的圓上．因為，所以以為直徑的圓的圓心為，半徑為故以為直徑的圓的方程為，又因為圓C：，所以直線MN的方程為，化簡得，故選：B．2．（2024高三·全國·專題練習）已知圓外一點，過點作圓的兩條切線，切點分別為和，則直線的方程為.【答案】【分析】由二級結(jié)論：若點在圓外，過點引圓的兩條切線，切點為，則切點弦(兩切點的連線段)所在直線的方程為：（圓的方程為），代入即可的直線的方程【詳解】由題意，切點弦所在直線的方程為：，化簡得：.故答案為：.考點四、切線長1．（2024·四川攀枝花·三模）由直線上的一點向圓引切線，切點為，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件，求得，由此可知時，PQ取得最小值，由此即可求解.【詳解】由已知有：圓的圓心，半徑為，直線的一般方程為，設(shè)點到圓心的距離為，則有，所以，所以取最小值時，PQ取得最小值，因為直線上點到圓心的距離最小值為圓心到直線的距離，所以，故PQ的最小值為.故選：B2．（2024·全國·模擬預測）已知P為直線上一點，過點P作圓的一條切線，切點為A，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合勾股定理以及點到直線的距離公式求解即可.【詳解】連接，則，而PC的最小值為點C到直線l的距離，所以.故選：A.1．（24-25高三上·陜西·開學考試）由直線上的一點向圓引切線，則切線段的最小值為（

）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】由圓的方程得圓心坐標和半徑，求出圓心到直線的距離，利用切線的性質(zhì)及勾股定理求出切線長的最小值即可.【詳解】由圓的方程，得圓心，半徑，如圖，切線長，當最小時，最小，最小值為圓心到直線的距離，所以切線長的最小值.故選：C.

2．（24-25高三上·湖南衡陽·階段練習）已知圓，過直線上的動點作圓C的一條切線，切點為A，則的最小值為（

）A．2 B．4 C． D．3【答案】C【分析】求出切線長，得出PC最小時，最小，再由點到直線距離公式求解可得.【詳解】連接，則，當PC最小時，最小，又圓的圓心為1,0，半徑為，則，故的最小值為.故選：C.考點五、圓中的公切線問題（含根軸）1．（23-24高三下·山東·開學考試）圓和圓的公切線方程是（

）A． B．或C． D．或【答案】A【分析】先判斷兩個圓的位置關(guān)系，確定公切線的條數(shù)，求解出兩圓的公共點，然后根據(jù)圓心連線與公切線的關(guān)系求解出公切線的方程.【詳解】解：，圓心，半徑，，圓心，半徑，因為，所以兩圓相內(nèi)切，公共切線只有一條，因為圓心連線與切線相互垂直，，所以切線斜率為，由方程組解得，故圓與圓的切點坐標為，故公切線方程為，即．故選：A.2．（23-24高二下·江蘇鹽城·階段練習）（多選）已知直線與圓：和圓：都相切，則直線的方程可能為（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】先明確兩圓位置關(guān)系，從而根據(jù)兩圓位置關(guān)系明確公切線的情況，再根據(jù)公切線特征情況分情況直接計算求解即可.【詳解】由題知，兩圓半徑，所以，故圓、外切，則兩圓有三條公切線，如圖，的中點為兩圓外切切點，當直線過的中點，且與垂直時，因為，所以直線的方程為，即；當直線與平行，且到的距離為時，設(shè)直線的方程為，所以，解得或，所以直線的方程為或．故選：ABC．1．（2024·河北張家口·三模）圓與圓的公切線的方程為．【答案】【分析】先判斷兩圓位置關(guān)系，然后將圓化為一般式，兩式相減可得.【詳解】圓的圓心為1,0，半徑為1，圓的圓心為，半徑為6，因為，所以兩圓內(nèi)切，只有一條公切線，將圓化為一般式得：，，兩式相減得，即，所以圓的公切線的方程為.故答案為：2．（23-24高三下·江蘇鎮(zhèn)江·開學考試）與圓和圓都相切的直線方程是．【答案】【分析】根據(jù)題意，判斷兩圓的位置關(guān)系內(nèi)切，聯(lián)立方程組求得公切線方程.【詳解】設(shè)圓的圓心為，半徑為，則，，設(shè)圓的院系為，半徑為，則，，所以，所以兩圓內(nèi)切.聯(lián)立方程，解得，所以兩圓的公切線方程為.故答案為：.考點六、圓系方程1．（2024高三·全國·專題練習）已知圓系方程（，m為參數(shù)），這些圓的公切線方程為.【答案】【分析】先求圓心的軌跡,再設(shè)切線方程計算即可求出公切線.【詳解】圓心坐標為，所以圓心在直線上，設(shè)圓的切線為，即，所以兩直線間的距離為圓的半徑，，所以直線方程為.故答案為:.2．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）若圓與圓相交，我們把經(jīng)過圓和圓交點的圓稱為圓、圓的圓系方程，其方程可設(shè)為．根據(jù)以上信息，解決如下問題：已知圓與交于兩點，則以為直徑的圓的一般方程為．【答案】【分析】由題意可設(shè)經(jīng)過點，的圓的方程，化簡整理可得圓心為，圓和圓方程相減，求出直線的方程，再把圓心代入直線的方程求出的值即可．【詳解】由題意可設(shè)經(jīng)過點的圓的方程為，整理得，則圓心為．圓①，圓②，由①-②得，，即直線的方程為．因為為直徑，圓心在直線上，所以，解得，故以為直徑的圓的方程為．故答案為：．1．（2023高三·全國·專題練習）（多選）已知圓和圓相交于兩點，下列說法正確的是（

）A．所有過點的圓系的方程可以記為（其中，）B．直線的方程為C．線段的長為D．兩圓有兩條公切線與【答案】CD【分析】根據(jù)圓系方程的條件，可判定A錯誤；利用兩圓相減，求得公共弦的方程，可判定B錯誤；利用圓的弦長公式，求得弦長，可判定C正確；根據(jù)得到為兩圓的公切線，得到關(guān)于兩圓圓心所在直線對稱的直線得到另一條公切線，求得公切線的方程，可判定D正確.【詳解】對于A中，圓系方程（其中，）此時不含圓M，所以A錯誤．對于B選項，聯(lián)立方程組，兩式相減得到直線AB的方程為，所以B錯誤．對于C中，原點O到直線AB的距離為，根據(jù)勾股定理得，所以C正確．對于D中，由圓，可得，可得圓的圓心坐標為，半徑為，又由圓，可得圓心，半徑為，可得直線與兩圓相切，即為兩圓的公切線，則關(guān)于兩圓圓心所在直線對稱的直線即為另一條公切線，由和，可得兩圓心所在直線為，即，聯(lián)立方程組，解得，即交點坐標為，在直線上任取一點，設(shè)點關(guān)于直線對稱點為，可得，解得，即對稱點的坐標為，所求的另一條切線過點，，可得其方程為，故所求切線方程為或，所以D正確.故選：CD.

一、單選題1．（23-24高二上·江蘇連云港·期中）圓在點處的切線方程為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用直線與圓的位置關(guān)系計算即可.【詳解】易知該切線斜率存在，不妨設(shè)切線方程，易知圓心，半徑，所以到的距離為，解之得，即切線.故選：A2．（2023高三·全國·專題練習）過點向圓引兩條切線，切點是、，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)圓的切線的特點求出的長，然后得出以為圓心，長為半徑的圓的方程，兩圓的交點就是、，再把兩圓的方程作差即可求出直線的方程.【詳解】把（1）轉(zhuǎn)化為，圓心，半徑，則，，圓的方程為（2），（1）（2），得．故選：B.二、填空題3．（23-24高三上·浙江·階段練習）過圓上點的切線方程為．【答案】【分析】由圓的切線性質(zhì)求出切線斜率，利用點斜式方程即可得.【詳解】由題知，，則切線斜率，所以切線方程為，整理為．故答案為：4．（2023·天津武清·模擬預測）已知點，，經(jīng)過點作圓的切線與軸交于點，則．【答案】【分析】由直線與圓的位置關(guān)系作出切線，求得，即可得解.【詳解】如圖所示，設(shè)圓心為點，則，，則點在圓上，且，由與圓相切可得，所以切線方程為，令，解得，故，所以故答案為：.5．（23-24高三上·湖北·開學考試）已知過點作圓的切線，則切線長為.【答案】【分析】根據(jù)題意，利用圓的切線長公式，即可求解.【詳解】由圓，可得圓心，半徑，設(shè)切點為，因為，可得，所以切線長為.故答案為：.6．（23-24高三上·河北邢臺·期末）已知圓，過作圓的切線，則直線的傾斜角為．【答案】（或?qū)憺椋痉治觥糠治隹芍?，點在圓上，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知，求出直線的斜率，即可得出直線的傾斜角.【詳解】因為，所以，點在圓上，直線的斜率為，由圓的幾何性質(zhì)可知，，則直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，則，則，故.即直線的傾斜角為（或）.故答案為：（或?qū)憺椋?7．（2023·江西·二模）已知圓，圓.請寫出一條與兩圓都相切的直線方程：.【答案】或【分析】由題可知兩圓相交，兩圓有2條公切線，求出切線與兩圓圓心連線的交點，點斜式設(shè)切線方程，利用圓心到切線距離等于半徑，計算即可.【詳解】圓圓心，半徑，圓圓心，半徑，由兩圓相交，所以兩圓有2條公切線，設(shè)切線與兩圓圓心連線的交點為，如圖所示，則，即，所以，解得，所以，設(shè)公切線l︰，所以圓心到切線l的距離，解得，所以公切線方程為，即或.故答案為：或8．（2023·河南·模擬預測）寫出與圓和圓都相切的一條直線的方程.【答案】（或或，寫出一個即可）【分析】根據(jù)題意，得到圓與圓相外切，將兩圓的方程相減，求得其中一條公切線的方程，再由圓與圓的半徑相等，得到外公切線與平行，求得，設(shè)，結(jié)合圓心到直線的距離等于半徑，列出方程，求得的值，即可得到公切線的方程.【詳解】由題意得，圓，可得圓心，半徑為，圓，可得圓心，半徑為，因為，可得，所以圓與圓相外切，將兩圓的方程相減，可得，此方程為圓與圓的公切線，又由圓與圓的半徑相等，故外公切線與直線平行，因為，所以圓C與圓D的外公切線的方程可設(shè)為，即，則，解得或，所以兩條外公切線的方程為或，綜上所述，圓C與圓D公切線的方程為或或.故答案為：或或.

9．（22-23高二上·河北邢臺·期末）已知圓的方程為，則過點的圓的切線方程為.【答案】或【分析】若直線斜率存在，設(shè)出直線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑列方程求解,若直線斜率不存在，直接驗證可得答案.【詳解】圓的方程為，即.因為，所以點P在圓外，若直線斜率存在，設(shè)切線的斜率為，則切線方程為，即所以，解得.所以切線方程為，若直線斜率不存在，直線方程為，滿足題意.綜上過點的圓的切線方程為或故答案為：或三、解答題10．（2024高三·全國·專題練習）平面上有兩個圓，它們的方程分別是和，求這兩個圓的內(nèi)公切線方程．【答案】【分析】判斷出兩圓外切，兩圓的方程相減可得答案.【詳解】圓，圓心，半徑，圓，其圓心，半徑，，∴這兩圓外切，∴，可得，∴所求的兩圓內(nèi)公切線的方程為：．一、單選題1．（23-24高三上·廣西百色·階段練習）圓，圓，則兩圓的一條公切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由圓與圓位置關(guān)系的判斷可知兩圓外離，得公切線條數(shù)；根據(jù)兩圓半徑相同可確定兩條公切線過，兩條公切線平行于，假設(shè)公切線方程，利用圓心到直線距離等于半徑可構(gòu)造方程求得公切線.【詳解】由兩圓方程得：圓心，，半徑，兩圓圓心距，，即兩圓外離，公切線共有條；兩圓半徑相同，兩圓兩條公切線經(jīng)過中點，兩條公切線與平行，經(jīng)過中點的公切線斜率顯然存在，可設(shè)為：，，解得：或，即公切線方程為：或；，與平行的公切線方程為，即，，解得：，即公切線方程為或；綜上所述：兩圓的公切線方程為：或或或.故選：C.2．（23-24高二上·江西·階段練習）過點作圓：的切線與軸交于點，過點的直線與，軸及軸圍成一個四邊形，且該四邊形的所有頂點都在圓上，則點到直線的距離為（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)圓的切線性質(zhì)，結(jié)合點到直線距離公式、四邊形的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】化為標準方程為，所以，圓的半徑為，設(shè)：，由直線與圓相切得，解得，：，令得，若，交于點，且，設(shè)原點為，因為，，所以四邊形對角互補，點，，，都在圓上，點為線段的中點，，直線的方程為，到直線的距離為；若，設(shè)與軸交于點，四邊形是等腰梯形，對角互補，點，，，都在圓上，此時點既在線段的垂直平分線上，又在線段的垂直平分線上，所以，此時直線的方程為，到直線的距離為，故選：C.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是利用圓的切線性質(zhì)、四點共圓的性質(zhì).3．（23-24高二上·廣東·期末）在平面直角坐標系中，已知圓，若圓上存在點P，由點P向圓C引一條切線，切點為M，且滿足，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)可求出點P的軌跡方程，根據(jù)點P的軌跡與圓D有交點列出不等式求解.【詳解】設(shè)點P的坐標為，如圖所示：由可知：，而，∴∴，整理得，即.∴點P的軌跡為以點為圓心，為半徑的圓，又∵點P在圓D上，∴所以點P為圓D與圓E的交點，即要想滿足題意，只要讓圓D和圓E有公共點即可，∴兩圓的位置關(guān)系為外切，相交或內(nèi)切，∴，解得.故選：D4．（23-24高三上·廣東·階段練習）已知圓M：，P為x軸上的動點，過點P作圓M的切線切，，切點為A，B，則四邊形面積的最小值為（

）A．2 B． C．2 D．【答案】B【分析】把四邊形面積轉(zhuǎn)化為和的面積的和，而和均為直角三角形且面積相等，進而面積的最小值轉(zhuǎn)化為求最小，由此求得答案.【詳解】圓M的方程可化為，所以x軸與圓M相離.又，且和均為直角三角形，，為圓的半徑，且，所以面積的最小值轉(zhuǎn)化為求最小，當垂直于x軸時，四邊形面積取得最小值，此時，所以四邊形面積最小值為.故選：B.

5．（23-24高三上·浙江·開學考試）過圓上一點作圓的兩條切線，切點為，當最大時，直線的斜率為（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】由題意確定當三點線時，最大，進而得到即可得解.【詳解】，當最大時，也即取最大，因為，在直角三角形中，當最短時，最大，又，當且僅當三點線時最小，此時，，所以直線的斜率為.故選：.二、多選題6．（2023·全國·模擬預測）已知圓C：，P是直線l:上的一個動點，過點P作圓C的切線PA，PB，切點分別是A，B，則下列說法中正確的是（

）A．圓C上恰有一個點到直線l的距離為 B．切線長PA的最小值為1C．的最小值為 D．直線AB恒過定點【答案】BCD【分析】用點到直線的距離可判斷A，由圓的切線長可判斷B，用面積法可判斷C，兩圓聯(lián)立得直線方程，可判斷D.【詳解】如圖，由圓C：，可知圓心，半徑．對于A，圓心到直線l：的距離為，則圓上任意一點到直線l的距離的取值范圍為．而，所以圓C上有兩個點到直線l的距離為．故A錯誤．對于B，由圓的性質(zhì)可得切線長，所以當最小時，最?。蔅正確．對于C，四邊形ACBP的面積，，而，故．故C正確．對于D，設(shè)，因為PA，PB為過點P的圓C的切線，所以點A，B在以PC為直徑的圓D上．圓D上任意一點滿足，則以PC為直徑的圓為，即，與圓C：聯(lián)立，兩式相減得直線AB的方程為．由得即直線AB恒過定點．故D正確．故選：BCD.

7．（2023·廣西·模擬預測）已知圓：，點為直線：上一動點，點在圓上，以下四個命題表述正確的是（

）A．直線與圓相離B．圓上有2個點到直線的距離等于1C．過點向圓引一條切線，其中為切點，則的最小值為D．過點向圓引兩條切線、，、為切點，則直線經(jīng)過點【答案】ABD【分析】A、B應(yīng)用點線距離公式求圓心到直線的距離，結(jié)合圓的半徑，判斷直線與圓的位置及點到直線的距離等于1的個數(shù)；C由圓切線性質(zhì)求最小切線長；D設(shè)點Px0,y0，寫出以為直徑的圓，結(jié)合已知圓求公共弦的方程為，進而求定點即可判斷.【詳解】A：圓：的圓心，半徑，圓心到直線的距離，所以直線與圓相離．正確；B：圓心到直線的距離，所以，則圓上有2個點到直線的距離等于1，正確；C：由切線的性質(zhì)知，為直角三角形，，當且僅當與直線垂直時等號成立，所以的最小值為，錯誤；D：設(shè)點Px0,y0，，，所以四點，，，共圓，以為直徑，圓心為，半徑，圓的方程為，又圓：，兩圓相減得，所以直線的方程為，因為點Px0,y0所以，整理得，由，得，所以直線過定點，正確．故選：ABD

三、填空題8．（23-24高三上·湖南衡陽·階段練習）寫出與圓和圓都相切的一條直線的方程.【答案】或或（答案不唯一）【分析】根據(jù)兩圓方程可得兩圓相離，且關(guān)于原點對稱，兩圓半徑相等，所以有過原點的兩條公切線和與平行的兩條公切線，利用點到直線距離即可求出結(jié)果.【詳解】由題設(shè)知，圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，所以，即兩圓外離，故共有4條公切線；又易知關(guān)于原點對稱，且兩圓半徑相等，則有過原點的兩條公切線和與平行的兩條公切線.設(shè)過原點的公切線為，則，即，解得或，所以公切線為或；設(shè)與平行的公切線為，且M，N與公切線距離都為1，則，即，所以公切線為.故答案為：或或9．（23-24高二上·河北石家莊·階段練習）過點P向圓作切線，切點為A，過點P向圓作切線，切點為B，若，則動點P的軌跡方程為【答案】【分析】求出圓的圓心坐標及半徑，再利用切線的性質(zhì)結(jié)合已知求解即得.【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，設(shè)點，因為分別切圓，圓于點，且，于是，則，整理得，所以動點P的軌跡方程為.故答案為：10．（23-24高三上·重慶沙坪壩·階段練習）已知圓，過直線上一動點P作圓C的兩條切線，切點分別為A，B，則的最小值為．【答案】【分析】首先利用圖形，解決向量的運算，再利用PC的最小值，即可求解.【詳解】如圖，連結(jié)，，，和交于點，，因為，所以,設(shè)，易知其在0,+∞為增函數(shù)，則PC的最小值為圓心到直線的距離，所以的最小值為，那么的最小值為.故答案為：1．（2024·全國·高考真題）（多選）拋物線C：的準線為l，P為C上的動點，過P作的一條切線，Q為切點，過P作l的垂線，垂足為B，則（

）A．l與相切B．當P，A，B三點共線時，C．當時，D．滿足的點有且僅有2個【答案】ABD【分析】A選項，拋物線準線為，根據(jù)圓心到準線的距離來判斷；B選項，三點共線時，先求出的坐標，進而得出切線長；C選項，根據(jù)先算出的坐標，然后驗證是否成立；D選項，根據(jù)拋物線的定義，，于是問題轉(zhuǎn)化成的點的存在性問題，此時考察的中垂線和拋物線的交點個數(shù)即可，亦可直接設(shè)點坐標進行求解.【詳解】A選項，拋物線的準線為，的圓心到直線的距離顯然是，等于圓的半徑，故準線和相切，A選項正確；B選項，三點共線時，即，則的縱坐標，由，得到，故，此時切線長，B選項正確；C選項，當時，，此時，故或，當時，，，，不滿足；當時，，，，不滿足；于是不成立，C選項錯誤；D選項，方法一：利用拋物線定義轉(zhuǎn)化根據(jù)拋物線的定義，，這里，于是時點的存在性問題轉(zhuǎn)化成時點的存在性問題，，中點，中垂線的斜率為，于是的中垂線方程為：，與拋物線聯(lián)立可得，，即的中垂線和拋物線有兩個交點，即存在兩個點，使得，D選項正確.方法二：（設(shè)點直接求解）設(shè)，由可得，又，又，根據(jù)兩點間的距離公式，，整理得，，則關(guān)于的方程有兩個解，即存在兩個這樣的點，D選項正確.故選：ABD2．（2023·全國·高考真題）過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】方法一：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長，結(jié)合倍角公式運算求解；方法二：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長，結(jié)合余弦定理運算求解；方法三：根據(jù)切線結(jié)合點到直線的距離公式可得，利用韋達定理結(jié)合夾角公式運算求解.【詳解】方法一：因為，即，可得圓心，半徑，過點作圓C的切線，切點為，因為，則，可得，則，，即為鈍角，所以；法二：圓的圓心，半徑，過點作圓C的切線，切點為，連接，可得，則，因為且，則，即，解得，即為鈍角，則，且為銳角，所以；方法三：圓的圓心，半徑，若切線斜率不存在，則切線方程為x=0，則圓心到切點的距離，不合題意；若切線斜率存在，設(shè)切線方程為，即