高等數(shù)學(xué)（工科類）課件 第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

新時(shí)代高職數(shù)學(xué)系列教材高等數(shù)學(xué)（工科類）

第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié)微分中值定理與洛必達(dá)法則情景與問(wèn)題

圖3-1

引例2求極限：

而非

圖3-4

啟迪：從以上學(xué)習(xí)中我們了解到，拉格朗日中值定理是羅爾定理的推廣，同時(shí)也是柯西中值定理的特殊情形.羅爾定理是特殊的、靜止的、條件相對(duì)嚴(yán)格的；拉格朗日中值定理著眼在變化的瞬間，是運(yùn)動(dòng)的、相對(duì)的、稍微放寬條件的；柯西中值定理著眼在更為一般的兩個(gè)運(yùn)動(dòng)中，是運(yùn)動(dòng)的、相對(duì)的、更寬條件和具有普遍意義的.通過(guò)不斷的放寬條件，數(shù)學(xué)家們得到了越來(lái)越普遍的真理.這個(gè)過(guò)程不僅是理論上的進(jìn)步，也是馬克思主義哲學(xué)理論中特殊與普遍性原理的體現(xiàn).當(dāng)你看待問(wèn)題的視角更發(fā)展、更寬泛時(shí)，會(huì)獲得更多、更進(jìn)步、更具有普遍意義的結(jié)果.

應(yīng)用與實(shí)踐

第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值情景與問(wèn)題引例12004年7月，北京奧組委宣布將2008年8月8日晚上8點(diǎn)定為北京2008年奧運(yùn)會(huì)倒計(jì)時(shí)鐘的落腳點(diǎn).這意味著北京奧運(yùn)會(huì)的開幕時(shí)間將推遲兩周，奧運(yùn)會(huì)的舉行時(shí)間由原定的7月25日至8月10日推遲至8月8日至24日.你知道其中的原因嗎？分析其實(shí)這和北京地區(qū)的氣溫有關(guān).在氣象災(zāi)害中高溫不算重要問(wèn)題，可是對(duì)于奧運(yùn)會(huì)來(lái)說(shuō)卻成了頭等大事.在高溫的天氣下參賽，容易導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)員脫水，肌肉就會(huì)發(fā)生痙攣，甚全容易出現(xiàn)熱衰竭，這種情況在馬拉松運(yùn)動(dòng)中較為常見.為了保障奧運(yùn)健兒能賽出優(yōu)異成績(jī)，對(duì)北京地區(qū)氣溫的檢測(cè)從申奧成功后就開始了.氣象部門對(duì)北京歷年7月下旬到8月底的溫度進(jìn)行研究發(fā)現(xiàn)，氣溫從7月中旬開始呈現(xiàn)上升的趨勢(shì)，在7月25日前后達(dá)到局部最高溫度后，氣溫呈現(xiàn)出整體下降的特點(diǎn)

怎樣用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫“隨著時(shí)間的增大氣溫逐步升高或逐步降低”這一特征？圖3-5是根據(jù)歷年的7、8月份平均氣溫?cái)M合的北京地區(qū)氣溫曲線.從圖中可以直觀的觀察到在不同的區(qū)間上溫度的變化呈現(xiàn)出單調(diào)性的特點(diǎn)，25日之前，氣溫隨時(shí)間單調(diào)遞增，25日之后，氣溫隨時(shí)間單調(diào)遞減，25日則是氣溫達(dá)到極大值的時(shí)刻.

我們已經(jīng)會(huì)用初等數(shù)學(xué)的方法研究一些函數(shù)的單調(diào)性.但這些方法對(duì)于復(fù)雜變化的函數(shù)而言討論單調(diào)性會(huì)非常困難.其實(shí)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有著密切的聯(lián)系，見圖3-6.我們將學(xué)習(xí)通過(guò)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)符號(hào)來(lái)判斷其單調(diào)性.

圖3-5圖3-6

+-+

圖3-9

定理3.7(極值點(diǎn)第一充分條件)設(shè)函數(shù)

在點(diǎn)

的某一去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且在點(diǎn)

連續(xù).則(1)如果在點(diǎn)

的左鄰域內(nèi)有,在點(diǎn)

的右鄰域內(nèi)有,則

是

的極大值點(diǎn)；(2)如果在點(diǎn)

的左鄰域內(nèi)有

，在點(diǎn)

的右鄰域內(nèi)有

，則

是

的極小值點(diǎn)；(3)如果在點(diǎn)

的去心鄰域內(nèi)

恒為正或恒為負(fù)，則

不是

的極值點(diǎn).證明從略.根據(jù)定理3.7,求函數(shù)

的極值點(diǎn)和極值的步驟為：第一步，確定函數(shù)定義域；

第二步，求導(dǎo)數(shù)

第三步，求全部駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；第四步，對(duì)每個(gè)駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，考察

在其左右鄰域的符號(hào)，以便確定該點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，如果是極值點(diǎn)，再根據(jù)定理3.7確定對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是極大值還是極小值；第五步，求出各極值點(diǎn)處的函數(shù)值，就得到

的全部極值.

極大值

極小值例5求函數(shù)的極值.解函數(shù)的定義域?yàn)?，令，得駐點(diǎn)，.

又，因?yàn)?，，所以極大值，極小值.注：時(shí)，在點(diǎn)處不一定取極值，此時(shí)仍用第一充分條件進(jìn)行判斷.例6求函數(shù)的極值.解函數(shù)的定義域?yàn)?，令，得駐點(diǎn).又.因?yàn)椋詷O小值.而，不能用第二充分條件判斷，轉(zhuǎn)用第一充分條件判斷.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí),.因此，，都不是極值.啟迪：人生的軌跡像極了這連綿起伏的函數(shù)曲線.它不是一帆風(fēng)順的，有高峰也有低谷，有喜悅也有哀傷.人生在低谷的好處就是，無(wú)論朝哪個(gè)方向努力，都是向上，要在逆境中勇敢堅(jiān)強(qiáng)，不失斗志.而在頂峰也不能得意忘形，也許你只是處在“極大值”，還有最大值等著你去努力，要在順境中戒驕戒躁，不失清醒.

啟迪：每天為解決最大值與最小值而忙碌的不只是人類，整個(gè)自然世界也是如此.最早指出自然界中到處都潛伏著最大最小問(wèn)題的人是數(shù)學(xué)家費(fèi)馬.設(shè)光傳播通過(guò)兩種物質(zhì)，從上側(cè)物質(zhì)中的A點(diǎn)，傳播到下側(cè)物質(zhì)中的B點(diǎn).光在兩種物質(zhì)中的傳播速度是不一樣的.從A點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)光可以走無(wú)數(shù)條路徑.實(shí)際上光線究竟走哪條路呢？費(fèi)馬的回答是，光所通過(guò)的道路是花費(fèi)時(shí)間最小的道路.這就是早已知道的光的折射定律.費(fèi)馬的“最小時(shí)間原理”,不僅適用于光的折射，而且是有關(guān)光傳播的更普遍的法則.由此看來(lái)，連光都如此珍惜時(shí)間，那么對(duì)于學(xué)習(xí)任務(wù)很多的同學(xué)們來(lái)說(shuō)，就更不應(yīng)該忘記一寸光陰一寸金了.第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第三節(jié)曲線的凹凸性與函數(shù)作圖情景與問(wèn)題引例1古老而美麗的凸曲線——趙州橋

趙州橋(如圖3-12)又名安濟(jì)橋，位于我國(guó)河北趙縣境內(nèi)的洨河上，全橋長(zhǎng)64.4m,凈跨37.02m,為隋代匠師李春設(shè)計(jì)建造.

圖3-12這座古橋在橋梁的設(shè)計(jì)和建造方面有許多獨(dú)到之處，尤其是一眼難忘的美麗凸弧.趙州橋的形狀一改傳統(tǒng)的半圓形設(shè)計(jì)，為較平坦的凸弧，屬于世界首創(chuàng)，凸弧的拱形設(shè)計(jì)加大了橋梁的跨度和強(qiáng)度，這不僅更增添了它的造型美，當(dāng)車或行人經(jīng)過(guò)頂部時(shí)，還有利于減輕橋身負(fù)荷.

趙州橋創(chuàng)造性設(shè)計(jì)建筑史上的稀世杰作，它造型優(yōu)美，不但節(jié)省石料，減輕橋重，而且增強(qiáng)了橋體的瀉洪能力，屹立1400余年不倒，成為目前世界上最古老的圓弧石拱橋，1991年被世界土木工程師學(xué)會(huì)譽(yù)為“國(guó)際土木工程歷史古跡

圖3-13

抽象推理

+－+凹拐點(diǎn)

凸拐點(diǎn)

凹所以，曲線的凹區(qū)間為

和；凸區(qū)間為；拐點(diǎn)為和.

0

000

降、凹

拐點(diǎn)(0,1)降、凸拐點(diǎn)(2,-7)降、凹極小值-12.5升、凹(3)函數(shù)無(wú)漸進(jìn)線(4)補(bǔ)充點(diǎn)(-2,25)、(-1,3.5)、(4,1),用平滑曲線連接這些點(diǎn)，就可以描繪函數(shù)的圖形(如圖3-16).

圖3-16

（4）列表如下：補(bǔ)充點(diǎn)：畫出圖形，如圖3-17

圖3-17－

－0+不存在－－0+

+

+降、凸拐點(diǎn)降、凹極小值-3升、凹間斷點(diǎn)降、凹

應(yīng)用與實(shí)踐

圖3-19

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)三：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用MATLAB的fminbnd函數(shù)能夠查找單變量函數(shù)在指定區(qū)間上的最小值，該函數(shù)調(diào)用格式如下表：表3-1MATLAB中的求極小值函數(shù)函數(shù)格式說(shuō)

明x=fminbnd(f,a,b)求函數(shù)f(x)在（a,b）內(nèi)的極小值[x,y]=fminbnd(f,a,b)返回函數(shù)f(x)在（a,b）內(nèi)的極小值點(diǎn)和極小值

例3

求函數(shù)的極值點(diǎn).>>symsx>>y=x^3+2*x^2-5*x+1;>>dy=diff(y)

>>x=solve(dy)%求出方程dy=0的點(diǎn)（駐點(diǎn)）>>x=double(x)%double(x)用來(lái)將x轉(zhuǎn)化為雙精度數(shù)值結(jié)果>>fplot(@(x)x.^3+2*x.^2-5.*x+1,[-4,2])%作圖dy=3*x^2+4*x-5x=-19^(1/2)/3-2/3圖3-2019^(1/2)/3-2/3x=-2.11960.7863結(jié)合圖3-20可以判斷，x=-2.1196為函數(shù)的極大值點(diǎn)，x=0.7863為函數(shù)的極小值點(diǎn).例4

求函數(shù)的極值.>>symsx;%定義符號(hào)變量>>f=x^3+3*x^2-24*x+10;>>fx=diff(f)%求出f的一階導(dǎo)函數(shù)fx>>x0=solve(fx)>>fx2=diff(fx)%求出f的二階導(dǎo)函數(shù)fx2>>fx20=subs(fx2,x,x0)%將fx2中的符號(hào)變量x替換為駐點(diǎn)x0>>fmax=subs(f,x,x0(1))%若fx20<0,則x0為極大值點(diǎn)；若fx20>0,則x0為極小值點(diǎn)，下同>>fmin=subs(f,x,x0(2))fx=3*x^2+6*x-24x0=-42fx2=6*x+6fx20=-1818fmax=90fmin=-18這里我們利用了教材中“極值點(diǎn)第二充分條件”進(jìn)行了判斷.在MATLAB中，使用該方法判斷x0是極小值還是極大值時(shí)，需要自行根據(jù)x0處的fx20值的正負(fù)來(lái)確定.例5

求函數(shù)的極值.>>symsx;%定義符號(hào)變量>>f='3*x^3-9*x^2-27*x-10';>>ezplot(f)%作圖，結(jié)果見圖3-21>>ezplot(f,[-2,4])%更改作圖區(qū)域，在極值點(diǎn)附近再次作圖，結(jié)果見圖3-22>>[xmin,ymin]=fminbnd(f,1,3)%求f的極小值>>g='-3*x^3+9*x^2+27*x+10';>>[xmax,y]=fminbnd(g,-1,1)%求g的極小值，等同于求f的極大值>>ymax=-yxmin=3.0000ymin=-91.0000xmax=-1.0000y=-5.0000ymax=5.0000需注意的是fminbnd

函數(shù)中的

f為函數(shù)字符串或函數(shù)文件創(chuàng)建的函數(shù)，應(yīng)用fminbnd命令時(shí)，需先指定搜索極小值的范圍.利用fminbnd還可以求出函數(shù)的極大值點(diǎn)和極大值，需要求極大值點(diǎn)時(shí)，應(yīng)作變換g=-f，求出g的極小值點(diǎn)，則該點(diǎn)即為f的極大值點(diǎn).

圖3-21圖3-22例6血管系統(tǒng)由動(dòng)脈、小動(dòng)脈、微血管和靜脈組成，它將血液從心臟傳輸?shù)礁鱾€(gè)器官再流回到心臟.血管系統(tǒng)應(yīng)該使心臟推進(jìn)血液所需的能量最小，而且當(dāng)血液阻力減少時(shí)所需能量也減少.根據(jù)泊肅葉定律，血液阻力為：其中

為血管的長(zhǎng)度，

是血管的半徑，

為常數(shù)，由血液粘度決定.圖3-23為半徑為

的主血管延伸出一條半徑為

的支血管，二者的夾角為.利用泊肅葉定律可以證明沿路徑ABD,血液總阻力為其中

為圖中所示的長(zhǎng)度.利用MATLAB

完成以下內(nèi)容：(1)證明：當(dāng)血液阻力最小.(2)當(dāng)支血管的半徑是粗血管的三分之二時(shí)，求兩血管夾角的最優(yōu)值.(精確到最近的度數(shù)）>>symsCabthetar1r2>>R=C*((a-b*cot(theta))/r1^4+b*csc(theta)/r2^4);>>dR=diff(R);>>theta0=solve(dR)%確定R的駐點(diǎn)theta0>>dR2=diff(dR);%求出R的二階導(dǎo)函數(shù)dR2>>dR20=simplify(subs(dR2,theta,theta0))%求駐點(diǎn)theta0處的二階導(dǎo)，并對(duì)結(jié)果化簡(jiǎn)theta0=-acos(r2^4/r1^4)acos(r2^4/r1^4)dR20=-(C*b*(r1^8-r2^8))/(r1^8*r2^4*((r1^8-r2^8)/r1^8)^(3/2))(C*b*(r1^8-r2^8))/(r1^8*r2^4*((r1^8-r2^8)/r1^8)^(3/2))返回的結(jié)果中theta0即為駐點(diǎn)，注意到當(dāng)theta0為負(fù)值時(shí)應(yīng)舍去.定義域內(nèi)函數(shù)有唯一駐點(diǎn)theta0=acos(r2^4/r1^4)，即駐點(diǎn)處的二階導(dǎo)函數(shù)為dR20=(C*b*(r1^8-r2^8))/(r1^8*r2^4*((r1^8-r2^8)/r1^8)^(3/2))，由于當(dāng)支血管的半徑

小于粗血管的半徑即有dR20>0，所以當(dāng)時(shí)，阻力取得極小值，也是函數(shù)的最小值.>>acosd((2/3)^4)ans=78.6074表明當(dāng)細(xì)血管的半徑是粗血管的三分之二時(shí)，求兩血管夾角的最優(yōu)值大約為79°圖3-23

拓展與提高三：懸鏈線

%繪圖>>clear;clc;

>>x=0:0.01:37.02;>>h=7.05;r=27.7;s=37.02;

>>x=0:0.01:37.02;>>y=4*h/(s^2).*(s*x-x.^2);>>y1=sqrt(r^2-(s/2-x).^2)-r+h;>>plot(x,y,'--',x,y1)

>>legend('y','y1')

%計(jì)算函數(shù)值差異

>>x=[24681012141618];>>y=4*h/(s^2).*(s*x-x.^2);%懸鏈線函數(shù)值>>y1=sqrt(r^2-(s/2-x).^2)-r+h;%趙州橋凸弧函數(shù)值>>(y1-y)./y%計(jì)算相對(duì)誤差ans=0.10470.08380.06120.04220.02710.01560.00740.00230.0001圖3-25

從圖3-25看，趙州橋曲線與懸鏈線之間幾乎完全重合.通過(guò)計(jì)算相對(duì)誤差可以量化兩曲線間的差異程度，考慮到對(duì)稱性，選取的9個(gè)點(diǎn)均位于為趙州橋凸弧的左側(cè).計(jì)算結(jié)果顯示，趙州橋曲線與懸鏈線函數(shù)值的相對(duì)誤差非常小.以上結(jié)果均表明，趙州橋的弧形曲線與現(xiàn)代科學(xué)分析得出的理想曲線極其類似.相較古代常見的半圓形拱橋設(shè)計(jì)，趙州橋是工程設(shè)計(jì)上的重大進(jìn)步.它簡(jiǎn)潔美觀、易施工，體現(xiàn)出超高的技術(shù)水平與藝術(shù)價(jià)值，充分展現(xiàn)了中國(guó)古代勞動(dòng)人民的智慧.像這樣的敞肩石拱橋，19世紀(jì)中葉才出現(xiàn)在歐洲，法國(guó)賽雷橋比中國(guó)晚了七百多年，而且已在1809年損毀殆盡。

數(shù)學(xué)實(shí)力往往影響著國(guó)家實(shí)力，世界強(qiáng)國(guó)必然是數(shù)學(xué)強(qiáng)國(guó).數(shù)學(xué)對(duì)于一個(gè)國(guó)家的發(fā)展全關(guān)重要，發(fā)達(dá)國(guó)家常常把保持?jǐn)?shù)學(xué)領(lǐng)先地位作為他們的戰(zhàn)略需求.17-19世紀(jì)英國(guó)、法國(guó)，后來(lái)德國(guó)，都是歐洲大國(guó)，也是數(shù)學(xué)強(qiáng)國(guó).17世紀(jì)英國(guó)牛頓發(fā)明了微積分，用微積分研究了許多力學(xué)、大體運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，在數(shù)學(xué)上這是一場(chǎng)革命，由此英國(guó)曾在數(shù)學(xué)上引領(lǐng)了潮流.法國(guó)本來(lái)就有良好的數(shù)學(xué)文化傳統(tǒng)，一直保持?jǐn)?shù)學(xué)強(qiáng)國(guó)的地位.19世紀(jì)德、法爭(zhēng)雄，在數(shù)學(xué)上的競(jìng)爭(zhēng)也非常激烈，到了20世紀(jì)初德國(guó)哥廷根成為世界數(shù)學(xué)的中心.俄羅斯數(shù)學(xué)從19世紀(jì)開始崛起，到了20世紀(jì)前蘇聯(lián)時(shí)期成為世界數(shù)學(xué)強(qiáng)國(guó)之一.特別是蘇聯(lián)于1958年成功發(fā)射了第一顆人造地球衛(wèi)星，震撼了全世界.當(dāng)時(shí)美國(guó)總統(tǒng)約翰·肯尼迪決心要在空間技術(shù)上趕超蘇聯(lián).他了解到：蘇聯(lián)成功發(fā)射衛(wèi)星的原因之一，是蘇聯(lián)在與此相關(guān)的數(shù)學(xué)領(lǐng)域處于世界的領(lǐng)先地位.此外，蘇聯(lián)重視基礎(chǔ)科學(xué)教育(包含數(shù)學(xué)教育)也是它在基礎(chǔ)科學(xué)研究中具有雄厚實(shí)力的一個(gè)重要原因，于是下令大力發(fā)展數(shù)學(xué).第二次世界大戰(zhàn)前美國(guó)只是一個(gè)新興國(guó)家，在數(shù)學(xué)上還落后于歐洲，但是今天他已經(jīng)成為唯一的數(shù)學(xué)超級(jí)大國(guó)，戰(zhàn)前德國(guó)納粹排猶，大批歐洲的猶太裔數(shù)學(xué)家被迫移居美國(guó)，大大增強(qiáng)了美國(guó)的數(shù)學(xué)實(shí)力，為美國(guó)打勝二戰(zhàn)、提升戰(zhàn)后的經(jīng)濟(jì)實(shí)力做出了巨大貢獻(xiàn).蘇聯(lián)發(fā)射第一顆人造地球衛(wèi)星后，美國(guó)加強(qiáng)了對(duì)數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)教育的投入，使得本來(lái)在科技界、工商界、車事部門等方面就有良好應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的美國(guó)，迅速成為一個(gè)數(shù)學(xué)強(qiáng)國(guó).閱讀與思考三：數(shù)學(xué)與國(guó)家實(shí)力數(shù)學(xué)的發(fā)展體現(xiàn)了一個(gè)國(guó)家的綜合實(shí)力，在體現(xiàn)一個(gè)國(guó)家實(shí)力的當(dāng)代科學(xué)技術(shù)(包含自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)、數(shù)據(jù)科學(xué)、技術(shù)科學(xué)等)和國(guó)民經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域，甚至國(guó)防與文化教育方面，都離不開數(shù)學(xué).國(guó)民經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域：數(shù)學(xué)與國(guó)民經(jīng)濟(jì)中的很多領(lǐng)域相關(guān).互聯(lián)網(wǎng)、計(jì)算機(jī)軟件、高清晰電視、手機(jī)、手提電腦、游戲機(jī)、動(dòng)畫、指紋掃描儀、漢字印刷、監(jiān)測(cè)器等在國(guó)民經(jīng)濟(jì)中占有相當(dāng)大的比重，成為世界經(jīng)濟(jì)的重要支柱產(chǎn)業(yè).其中互聯(lián)網(wǎng)、計(jì)算機(jī)核心算法、圖像處理、語(yǔ)音識(shí)別、云計(jì)算、人工智能、3G等IT業(yè)主要研發(fā)領(lǐng)域都是以數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)的.所以信息產(chǎn)業(yè)可能是雇用數(shù)學(xué)家最多的產(chǎn)業(yè)之一.這里用到許多不同程度的數(shù)學(xué)工具，有的還有相當(dāng)?shù)纳疃?，包括：編碼、小波分析、圖像處理、優(yōu)化技術(shù)、隨機(jī)分析、統(tǒng)計(jì)方法、數(shù)值方法、組合數(shù)學(xué)、圖論等等.

從1995年起，華為就一直在招聘數(shù)學(xué)相關(guān)的博士和專冢，每年都從各大院校招聘一批運(yùn)籌學(xué)、控制論、數(shù)理統(tǒng)計(jì)、概率論、計(jì)算數(shù)學(xué)的博士，從事分布式計(jì)算、密碼學(xué)、網(wǎng)絡(luò)安全、數(shù)據(jù)庫(kù)、通信協(xié)議算法、通訊網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化等方向的高精尖工作，待遇也明顯高于普通員工，目前50-70萬(wàn)年新是止常水平.1999年，華為在俄羅斯建立了專門的算法研究所，招聘了數(shù)十名全球頂級(jí)的數(shù)學(xué)家，創(chuàng)造性地用非線性數(shù)學(xué)多維空間逆函數(shù)解決了GSM多載波干擾問(wèn)題，使華為在全球第一個(gè)實(shí)現(xiàn)了GSM多載波合并，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)了2G、3G、LTE的單基站S