高等數學（工科類）課件 第三章 導數的應用

新時代高職數學系列教材高等數學（工科類）

第三章導數的應用第一節(jié)微分中值定理與洛必達法則情景與問題

圖3-1

引例2求極限：

而非

圖3-4

啟迪：從以上學習中我們了解到，拉格朗日中值定理是羅爾定理的推廣，同時也是柯西中值定理的特殊情形.羅爾定理是特殊的、靜止的、條件相對嚴格的；拉格朗日中值定理著眼在變化的瞬間，是運動的、相對的、稍微放寬條件的；柯西中值定理著眼在更為一般的兩個運動中，是運動的、相對的、更寬條件和具有普遍意義的.通過不斷的放寬條件，數學家們得到了越來越普遍的真理.這個過程不僅是理論上的進步，也是馬克思主義哲學理論中特殊與普遍性原理的體現.當你看待問題的視角更發(fā)展、更寬泛時，會獲得更多、更進步、更具有普遍意義的結果.

應用與實踐

第三章導數的應用第二節(jié)函數的單調性、極值與最值情景與問題引例12004年7月，北京奧組委宣布將2008年8月8日晚上8點定為北京2008年奧運會倒計時鐘的落腳點.這意味著北京奧運會的開幕時間將推遲兩周，奧運會的舉行時間由原定的7月25日至8月10日推遲至8月8日至24日.你知道其中的原因嗎？分析其實這和北京地區(qū)的氣溫有關.在氣象災害中高溫不算重要問題，可是對于奧運會來說卻成了頭等大事.在高溫的天氣下參賽，容易導致運動員脫水，肌肉就會發(fā)生痙攣，甚全容易出現熱衰竭，這種情況在馬拉松運動中較為常見.為了保障奧運健兒能賽出優(yōu)異成績，對北京地區(qū)氣溫的檢測從申奧成功后就開始了.氣象部門對北京歷年7月下旬到8月底的溫度進行研究發(fā)現，氣溫從7月中旬開始呈現上升的趨勢，在7月25日前后達到局部最高溫度后，氣溫呈現出整體下降的特點

怎樣用數學語言刻畫“隨著時間的增大氣溫逐步升高或逐步降低”這一特征？圖3-5是根據歷年的7、8月份平均氣溫擬合的北京地區(qū)氣溫曲線.從圖中可以直觀的觀察到在不同的區(qū)間上溫度的變化呈現出單調性的特點，25日之前，氣溫隨時間單調遞增，25日之后，氣溫隨時間單調遞減，25日則是氣溫達到極大值的時刻.

我們已經會用初等數學的方法研究一些函數的單調性.但這些方法對于復雜變化的函數而言討論單調性會非常困難.其實函數的單調性與導數的正負有著密切的聯系，見圖3-6.我們將學習通過函數的導數符號來判斷其單調性.

圖3-5圖3-6

+-+

圖3-9

定理3.7(極值點第一充分條件)設函數

在點

的某一去心鄰域內可導，且在點

連續(xù).則(1)如果在點

的左鄰域內有,在點

的右鄰域內有,則

是

的極大值點；(2)如果在點

的左鄰域內有

，在點

的右鄰域內有

，則

是

的極小值點；(3)如果在點

的去心鄰域內

恒為正或恒為負，則

不是

的極值點.證明從略.根據定理3.7,求函數

的極值點和極值的步驟為：第一步，確定函數定義域；

第二步，求導數

第三步，求全部駐點和導數不存在的點；第四步，對每個駐點和導數不存在的點，考察

在其左右鄰域的符號，以便確定該點是否為極值點，如果是極值點，再根據定理3.7確定對應的函數值是極大值還是極小值；第五步，求出各極值點處的函數值，就得到

的全部極值.

極大值

極小值例5求函數的極值.解函數的定義域為.，令，得駐點，.

又，因為，，所以極大值，極小值.注：時，在點處不一定取極值，此時仍用第一充分條件進行判斷.例6求函數的極值.解函數的定義域為.，令，得駐點.又.因為，所以極小值.而，不能用第二充分條件判斷，轉用第一充分條件判斷.當時，；當時,.因此，，都不是極值.啟迪：人生的軌跡像極了這連綿起伏的函數曲線.它不是一帆風順的，有高峰也有低谷，有喜悅也有哀傷.人生在低谷的好處就是，無論朝哪個方向努力，都是向上，要在逆境中勇敢堅強，不失斗志.而在頂峰也不能得意忘形，也許你只是處在“極大值”，還有最大值等著你去努力，要在順境中戒驕戒躁，不失清醒.

啟迪：每天為解決最大值與最小值而忙碌的不只是人類，整個自然世界也是如此.最早指出自然界中到處都潛伏著最大最小問題的人是數學家費馬.設光傳播通過兩種物質，從上側物質中的A點，傳播到下側物質中的B點.光在兩種物質中的傳播速度是不一樣的.從A點到達B點光可以走無數條路徑.實際上光線究竟走哪條路呢？費馬的回答是，光所通過的道路是花費時間最小的道路.這就是早已知道的光的折射定律.費馬的“最小時間原理”,不僅適用于光的折射，而且是有關光傳播的更普遍的法則.由此看來，連光都如此珍惜時間，那么對于學習任務很多的同學們來說，就更不應該忘記一寸光陰一寸金了.第三章導數的應用第三節(jié)曲線的凹凸性與函數作圖情景與問題引例1古老而美麗的凸曲線——趙州橋

趙州橋(如圖3-12)又名安濟橋，位于我國河北趙縣境內的洨河上，全橋長64.4m,凈跨37.02m,為隋代匠師李春設計建造.

圖3-12這座古橋在橋梁的設計和建造方面有許多獨到之處，尤其是一眼難忘的美麗凸弧.趙州橋的形狀一改傳統的半圓形設計，為較平坦的凸弧，屬于世界首創(chuàng)，凸弧的拱形設計加大了橋梁的跨度和強度，這不僅更增添了它的造型美，當車或行人經過頂部時，還有利于減輕橋身負荷.

趙州橋創(chuàng)造性設計建筑史上的稀世杰作，它造型優(yōu)美，不但節(jié)省石料，減輕橋重，而且增強了橋體的瀉洪能力，屹立1400余年不倒，成為目前世界上最古老的圓弧石拱橋，1991年被世界土木工程師學會譽為“國際土木工程歷史古跡

圖3-13

抽象推理

+－+凹拐點

凸拐點

凹所以，曲線的凹區(qū)間為

和；凸區(qū)間為；拐點為和.

0

000

降、凹

拐點(0,1)降、凸拐點(2,-7)降、凹極小值-12.5升、凹(3)函數無漸進線(4)補充點(-2,25)、(-1,3.5)、(4,1),用平滑曲線連接這些點，就可以描繪函數的圖形(如圖3-16).

圖3-16

（4）列表如下：補充點：畫出圖形，如圖3-17

圖3-17－

－0+不存在－－0+

+

+降、凸拐點降、凹極小值-3升、凹間斷點降、凹

應用與實踐

圖3-19

數學實驗三：導數的應用MATLAB的fminbnd函數能夠查找單變量函數在指定區(qū)間上的最小值，該函數調用格式如下表：表3-1MATLAB中的求極小值函數函數格式說

明x=fminbnd(f,a,b)求函數f(x)在（a,b）內的極小值[x,y]=fminbnd(f,a,b)返回函數f(x)在（a,b）內的極小值點和極小值

例3

求函數的極值點.>>symsx>>y=x^3+2*x^2-5*x+1;>>dy=diff(y)

>>x=solve(dy)%求出方程dy=0的點（駐點）>>x=double(x)%double(x)用來將x轉化為雙精度數值結果>>fplot(@(x)x.^3+2*x.^2-5.*x+1,[-4,2])%作圖dy=3*x^2+4*x-5x=-19^(1/2)/3-2/3圖3-2019^(1/2)/3-2/3x=-2.11960.7863結合圖3-20可以判斷，x=-2.1196為函數的極大值點，x=0.7863為函數的極小值點.例4

求函數的極值.>>symsx;%定義符號變量>>f=x^3+3*x^2-24*x+10;>>fx=diff(f)%求出f的一階導函數fx>>x0=solve(fx)>>fx2=diff(fx)%求出f的二階導函數fx2>>fx20=subs(fx2,x,x0)%將fx2中的符號變量x替換為駐點x0>>fmax=subs(f,x,x0(1))%若fx20<0,則x0為極大值點；若fx20>0,則x0為極小值點，下同>>fmin=subs(f,x,x0(2))fx=3*x^2+6*x-24x0=-42fx2=6*x+6fx20=-1818fmax=90fmin=-18這里我們利用了教材中“極值點第二充分條件”進行了判斷.在MATLAB中，使用該方法判斷x0是極小值還是極大值時，需要自行根據x0處的fx20值的正負來確定.例5

求函數的極值.>>symsx;%定義符號變量>>f='3*x^3-9*x^2-27*x-10';>>ezplot(f)%作圖，結果見圖3-21>>ezplot(f,[-2,4])%更改作圖區(qū)域，在極值點附近再次作圖，結果見圖3-22>>[xmin,ymin]=fminbnd(f,1,3)%求f的極小值>>g='-3*x^3+9*x^2+27*x+10';>>[xmax,y]=fminbnd(g,-1,1)%求g的極小值，等同于求f的極大值>>ymax=-yxmin=3.0000ymin=-91.0000xmax=-1.0000y=-5.0000ymax=5.0000需注意的是fminbnd

函數中的

f為函數字符串或函數文件創(chuàng)建的函數，應用fminbnd命令時，需先指定搜索極小值的范圍.利用fminbnd還可以求出函數的極大值點和極大值，需要求極大值點時，應作變換g=-f，求出g的極小值點，則該點即為f的極大值點.

圖3-21圖3-22例6血管系統由動脈、小動脈、微血管和靜脈組成，它將血液從心臟傳輸到各個器官再流回到心臟.血管系統應該使心臟推進血液所需的能量最小，而且當血液阻力減少時所需能量也減少.根據泊肅葉定律，血液阻力為：其中

為血管的長度，

是血管的半徑，

為常數，由血液粘度決定.圖3-23為半徑為

的主血管延伸出一條半徑為

的支血管，二者的夾角為.利用泊肅葉定律可以證明沿路徑ABD,血液總阻力為其中

為圖中所示的長度.利用MATLAB

完成以下內容：(1)證明：當血液阻力最小.(2)當支血管的半徑是粗血管的三分之二時，求兩血管夾角的最優(yōu)值.(精確到最近的度數）>>symsCabthetar1r2>>R=C*((a-b*cot(theta))/r1^4+b*csc(theta)/r2^4);>>dR=diff(R);>>theta0=solve(dR)%確定R的駐點theta0>>dR2=diff(dR);%求出R的二階導函數dR2>>dR20=simplify(subs(dR2,theta,theta0))%求駐點theta0處的二階導，并對結果化簡theta0=-acos(r2^4/r1^4)acos(r2^4/r1^4)dR20=-(C*b*(r1^8-r2^8))/(r1^8*r2^4*((r1^8-r2^8)/r1^8)^(3/2))(C*b*(r1^8-r2^8))/(r1^8*r2^4*((r1^8-r2^8)/r1^8)^(3/2))返回的結果中theta0即為駐點，注意到當theta0為負值時應舍去.定義域內函數有唯一駐點theta0=acos(r2^4/r1^4)，即駐點處的二階導函數為dR20=(C*b*(r1^8-r2^8))/(r1^8*r2^4*((r1^8-r2^8)/r1^8)^(3/2))，由于當支血管的半徑

小于粗血管的半徑即有dR20>0，所以當時，阻力取得極小值，也是函數的最小值.>>acosd((2/3)^4)ans=78.6074表明當細血管的半徑是粗血管的三分之二時，求兩血管夾角的最優(yōu)值大約為79°圖3-23

拓展與提高三：懸鏈線

%繪圖>>clear;clc;

>>x=0:0.01:37.02;>>h=7.05;r=27.7;s=37.02;

>>x=0:0.01:37.02;>>y=4*h/(s^2).*(s*x-x.^2);>>y1=sqrt(r^2-(s/2-x).^2)-r+h;>>plot(x,y,'--',x,y1)

>>legend('y','y1')

%計算函數值差異

>>x=[24681012141618];>>y=4*h/(s^2).*(s*x-x.^2);%懸鏈線函數值>>y1=sqrt(r^2-(s/2-x).^2)-r+h;%趙州橋凸弧函數值>>(y1-y)./y%計算相對誤差ans=0.10470.08380.06120.04220.02710.01560.00740.00230.0001圖3-25

從圖3-25看，趙州橋曲線與懸鏈線之間幾乎完全重合.通過計算相對誤差可以量化兩曲線間的差異程度，考慮到對稱性，選取的9個點均位于為趙州橋凸弧的左側.計算結果顯示，趙州橋曲線與懸鏈線函數值的相對誤差非常小.以上結果均表明，趙州橋的弧形曲線與現代科學分析得出的理想曲線極其類似.相較古代常見的半圓形拱橋設計，趙州橋是工程設計上的重大進步.它簡潔美觀、易施工，體現出超高的技術水平與藝術價值，充分展現了中國古代勞動人民的智慧.像這樣的敞肩石拱橋，19世紀中葉才出現在歐洲，法國賽雷橋比中國晚了七百多年，而且已在1809年損毀殆盡。

數學實力往往影響著國家實力，世界強國必然是數學強國.數學對于一個國家的發(fā)展全關重要，發(fā)達國家常常把保持數學領先地位作為他們的戰(zhàn)略需求.17-19世紀英國、法國，后來德國，都是歐洲大國，也是數學強國.17世紀英國牛頓發(fā)明了微積分，用微積分研究了許多力學、大體運動的問題，在數學上這是一場革命，由此英國曾在數學上引領了潮流.法國本來就有良好的數學文化傳統，一直保持數學強國的地位.19世紀德、法爭雄，在數學上的競爭也非常激烈，到了20世紀初德國哥廷根成為世界數學的中心.俄羅斯數學從19世紀開始崛起，到了20世紀前蘇聯時期成為世界數學強國之一.特別是蘇聯于1958年成功發(fā)射了第一顆人造地球衛(wèi)星，震撼了全世界.當時美國總統約翰·肯尼迪決心要在空間技術上趕超蘇聯.他了解到：蘇聯成功發(fā)射衛(wèi)星的原因之一，是蘇聯在與此相關的數學領域處于世界的領先地位.此外，蘇聯重視基礎科學教育(包含數學教育)也是它在基礎科學研究中具有雄厚實力的一個重要原因，于是下令大力發(fā)展數學.第二次世界大戰(zhàn)前美國只是一個新興國家，在數學上還落后于歐洲，但是今天他已經成為唯一的數學超級大國，戰(zhàn)前德國納粹排猶，大批歐洲的猶太裔數學家被迫移居美國，大大增強了美國的數學實力，為美國打勝二戰(zhàn)、提升戰(zhàn)后的經濟實力做出了巨大貢獻.蘇聯發(fā)射第一顆人造地球衛(wèi)星后，美國加強了對數學研究和數學教育的投入，使得本來在科技界、工商界、車事部門等方面就有良好應用數學基礎的美國，迅速成為一個數學強國.閱讀與思考三：數學與國家實力數學的發(fā)展體現了一個國家的綜合實力，在體現一個國家實力的當代科學技術(包含自然科學、社會科學、數據科學、技術科學等)和國民經濟領域，甚至國防與文化教育方面，都離不開數學.國民經濟領域：數學與國民經濟中的很多領域相關.互聯網、計算機軟件、高清晰電視、手機、手提電腦、游戲機、動畫、指紋掃描儀、漢字印刷、監(jiān)測器等在國民經濟中占有相當大的比重，成為世界經濟的重要支柱產業(yè).其中互聯網、計算機核心算法、圖像處理、語音識別、云計算、人工智能、3G等IT業(yè)主要研發(fā)領域都是以數學為基礎的.所以信息產業(yè)可能是雇用數學家最多的產業(yè)之一.這里用到許多不同程度的數學工具，有的還有相當的深度，包括：編碼、小波分析、圖像處理、優(yōu)化技術、隨機分析、統計方法、數值方法、組合數學、圖論等等.

從1995年起，華為就一直在招聘數學相關的博士和專冢，每年都從各大院校招聘一批運籌學、控制論、數理統計、概率論、計算數學的博士，從事分布式計算、密碼學、網絡安全、數據庫、通信協議算法、通訊網絡優(yōu)化等方向的高精尖工作，待遇也明顯高于普通員工，目前50-70萬年新是止常水平.1999年，華為在俄羅斯建立了專門的算法研究所，招聘了數十名全球頂級的數學家，創(chuàng)造性地用非線性數學多維空間逆函數解決了GSM多載波干擾問題，使華為在全球第一個實現了GSM多載波合并，進而實現了2G、3G、LTE的單基站S