數(shù)學(xué)學(xué)案：知識(shí)導(dǎo)航平面的基本性質(zhì)與推論

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精1。2點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系1.2.1平面的基本性質(zhì)與推論知識(shí)梳理1.平面的基本性質(zhì)（1）空間點(diǎn)和直線的基本性質(zhì)連結(jié)兩點(diǎn)的線中,線段最短.過(guò)兩點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線。（2）平面的性質(zhì)公理及推論公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。圖1-2—1-1如圖1-2-1-1，A∈l，B∈l，且A∈α,B∈α，任意C∈lC∈α。這時(shí),我們說(shuō)直線在平面內(nèi)或平面經(jīng)過(guò)直線.公理2：經(jīng)過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.可以簡(jiǎn)單地說(shuō)，不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面.公理3:如果不重合的兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)這個(gè)點(diǎn)的公共直線.如圖1—2-1—2，P∈α∩βα∩β=l，且P∈l。圖1—2-1-2如果兩個(gè)平面有一條公共直線，則稱這兩個(gè)平面相交,這條直線叫兩個(gè)平面的交線.2。平面基本性質(zhì)的推論推論1：經(jīng)過(guò)一條直線和直線外一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面。推論2:經(jīng)過(guò)兩條相交直線,有且只有一個(gè)平面.推論3:經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.如果空間中的幾個(gè)點(diǎn)或幾條直線都在同一平面內(nèi),那么我們就說(shuō)它們共面。知識(shí)導(dǎo)學(xué)教材從基本公理出發(fā)，研究點(diǎn)、線、面的基本關(guān)系,以“定義—判定—性質(zhì)”的思路,從局部到整體，用線來(lái)研究面，再用平面的性質(zhì)研究直線的垂直與平行，從而加深對(duì)簡(jiǎn)單幾何體中線與面之間關(guān)系的正確認(rèn)識(shí)。三個(gè)公理和三個(gè)推論是立體幾何的基礎(chǔ)，要在理解的基礎(chǔ)上加以應(yīng)用，有時(shí)需要結(jié)合初中平面幾何的知識(shí)，把知識(shí)綜合起來(lái)解決問(wèn)題。在學(xué)習(xí)這一部分知識(shí)時(shí)還要注意,在平面幾何中成立的定理或命題在立體幾何中需要重新進(jìn)行證明才能使用,有些在平面幾何中的真命題在立體幾何中可能是假命題,要注意加以區(qū)別.疑難突破1.在立體幾何中，怎樣表示平面？剖析：通常畫(huà)平行四邊形來(lái)表示平面(注意通常兩字）。水平平面：通常畫(huà)成銳角成45°,橫邊等于鄰邊的兩倍.非水平平面：畫(huà)成平行四邊形。直立的平面：一組對(duì)邊為鉛垂線的平行四邊形.相交的平面：一定要畫(huà)出交線,遮住部分的線段畫(huà)虛線或不畫(huà)。平面通常用希臘字母α、β、γ表示，如平面α(通常寫(xiě)在一個(gè)銳角內(nèi))；也可以用兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)的字母來(lái)表示,如平面BC.點(diǎn)A在直線l上,記作:A∈l；點(diǎn)A在直線l外，記作Al;直線l在平面α內(nèi)，記作lα。2。平面的3個(gè)性質(zhì)公理和推論及它們的作用.剖析:從集合的角度看，公理1是說(shuō),如果一條直線(點(diǎn)集)中有兩個(gè)元素（點(diǎn))屬于一個(gè)平面(點(diǎn)集)，那么這條直線就是這個(gè)平面的真子集,是證明直線在平面內(nèi)的重要依據(jù)；公理2和三個(gè)推論是確定平面的依據(jù)，可以證明點(diǎn)（或線)共面,也是確定平面?zhèn)€數(shù)的重要依據(jù).需要注意,“有且只有”的含義；公理3是說(shuō),兩個(gè)不重合的平面，只要它們有公共點(diǎn),它們就是相交的位置關(guān)系，交集是一條直線,它為證明若干點(diǎn)共線提供了一條新的途徑,也是證明若干條直線通過(guò)同一點(diǎn)的重要方法.公理1給出了判斷直線在平面內(nèi)的方法,也說(shuō)明了在空間中的每個(gè)平面內(nèi)都存在著各種平面圖形，在每個(gè)平面內(nèi)的問(wèn)題也就是初中學(xué)習(xí)的平面幾何的問(wèn)題.公理2及三個(gè)推論說(shuō)明了怎樣的條件可以確定一個(gè)平面，從而使我們知道在什么條件下可以畫(huà)出確定的平面，什么條件下兩個(gè)平面重合，這些都是研究空間圖形時(shí)首先需要明確的.公理3說(shuō)明了兩個(gè)相交平面的特征，對(duì)我們確定或畫(huà)出兩個(gè)平面的交線具有重要的指導(dǎo)作用。在應(yīng)用上，公理1的主要作用是判定直線在平面內(nèi);公理2主要用于證明平面的確定和平面重合;公理3的作用是證明兩個(gè)平面相交、三點(diǎn)共線和點(diǎn)在直線上等.證明三線共點(diǎn)問(wèn)題常用公理2及推論來(lái)確定平面,再用公理3證該點(diǎn)在交線上；證明點(diǎn)、線共面等問(wèn)題常利用公理2或推論確定一個(gè)平面,再利用公理1或公理3證明其他元素在這個(gè)平面上或者先說(shuō)明一些元素在一個(gè)平面內(nèi)，其余元素在另一個(gè)平面內(nèi)，之后證明這兩個(gè)平面重合（同一法).3.直線和平面的位置關(guān)系.剖析:直線與平面的位置關(guān)系有且只有三種:（1)直線在平面內(nèi)——有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，如圖1—2—1—3（1);圖1-2-1-3(2）直線與平面相交—-有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，如圖1—2—1-3（2);(3）直線與平面平行—-沒(méi)有公共點(diǎn),如圖1—2—1—3（3）。要理解直線與平面的位置關(guān)系，可以結(jié)合實(shí)際圖形,例如棱錐、