數(shù)學(xué)學(xué)案：知識導(dǎo)航：球的性質(zhì)（第二課時）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1.3.1球的性質(zhì)（第二課時）自主整理1。若平面α與球O相切,切點為M，則平面α內(nèi)經(jīng)過M的直線都與球O___________，平面α內(nèi)不經(jīng)過M的直線都與球O_____________。2。從球外一點可以引球的__________條切線，所有的切點組成球的一個___________.3.球外一點向球引的切線長相等。4。圓柱面與球相切，切點組成球的____________，該大圓所在平面與圓柱的軸____________。5。圓錐面與球相切,切點組成一個球的__________，該小圓所在的平面與圓錐的軸_________.高手筆記1.如何判定直線與球的位置關(guān)系？答：設(shè)球心O到直線l的距離為d，球的半徑為R，則①若d>R，則直線與球相離；②若d=R，則直線與球相切；③若d〈R，則直線與球相交.2。過球面上一點M,如何作出球的切線？切線有多少條？答：只需連結(jié)OM(即球的半徑),然后過M點作直線l⊥OM即可得直線l與球相切。這樣的切線l有無數(shù)條，它們的集合恰好是過M點球的切面。3。球與圓柱面相切和球與圓錐面相切有什么相同點和不同點呢?答：不同點：球與圓柱面相切，切點組成大圓，球與圓錐面相切，切點組成小圓.相同點：切點都組成一個圓，且該圓都與圓柱面或圓錐面的軸垂直。名師解惑1.過球外一點引球的切線，則切線長如何求?剖析：設(shè)球心O到球外一點P的距離為d，球的半徑為R，則切線長PT=.2。若球與圓柱面相切，對于圓柱面上任意一點P，點P所在的母線l′與球切于點C′，則PC′是球的一條切線,若從P向球任引一條切線PT，切點為T,則PT與PC′有什么關(guān)系？剖析:PT=PC′.3。若球與圓錐面相切,則從圓錐面上任取一點B,過B點的圓錐的母線VB與球切于S,過B作球的切線BT，切點為T，則這條切線有什么性質(zhì)?剖析：這樣的切線BT能作無數(shù)條，但BS是所有從B引出的球O的切線中唯一的在圓錐面上的切線，且有BT=BS。講練互動【例1】求證：若平面α與球O相切，切點為M，則平面α內(nèi)經(jīng)過M的直線都與球O相切，平面α內(nèi)不經(jīng)過M的直線都與球O相離。圖1.3-11分析：要證明直線與球面相切,只須證明d=R;要證明直線與球面相離，只須證明d>R。證明：如圖1.3—11，因為平面α與球O相切于點M，所以O(shè)M⊥平面α.設(shè)平面α內(nèi)的直線a經(jīng)過M,則OM⊥直線a，即OM是點O與直線a的距離。所以直線a與球相切.而對于平面上不過M的直線b，作出O與直線b的距離ON,由于ON>OM,故b與球O相離.綠色通道本題除了利用d與R的大小關(guān)系來判斷直線與球的位置這個方法之外，也可以利用直線與球面的交點的個數(shù)來判斷直線與球的位置關(guān)系；具體方法如下：由于平面α與球O只有唯一公共點M,平面α內(nèi)的點除M外都在球O外，故直線a上的點除M在球上外，其余的點都在球外,即直線與球只有唯一公共點，故直線與球相切。而平面α內(nèi)不過M的直線上所有的點都在球O外,故直線與球O相離.變試訓(xùn)練1。求證：當(dāng)直線l與球O相離時，經(jīng)過l可以作一個平面與球O相切。證明:過O作OA⊥l，垂足為A，設(shè)l與O點確定的平面為α，過OA與α垂直的平面設(shè)為β，過A點在β內(nèi)作球的切線AB,切點為B，則l與AB確定的平面γ即與球相切，下面證明這一點：因為l⊥AO且l⊥AB，故l⊥平面β，又∵lγ，∴β⊥γ，過O作平面γ的垂線,垂足一定在β與γ的交線AB上，由上面的作法知,垂足為B且B在球面上，故球心到平面γ的距離d=OB=R。即d=R,故平面γ與球O相切。（如圖所示）【例2】求證:圓柱面與球相切，切點組成球的大圓，該大圓所在的平面與圓柱的軸垂直.分析：利用圓柱面與球的形成過程證明.圖1.3-12證明:如圖1。3-12，如果取一個半圓O，并過與半圓直徑AB垂直的半徑OC外端作半圓的切線l。這時，半圓與直線l繞AB旋轉(zhuǎn)就分別得一個球和一個圓柱,直線l不論旋轉(zhuǎn)到什么位置都與球相切，而且過切點的球半徑始終與軸AB垂直，從而所有的切點都在過球心O且與軸AB垂直的平面上,即切點組成了球的大圓，且該大圓所在的平面與圓柱的軸垂直.這時圓柱面與球相切.綠色通道本題的證明方法是利用平面內(nèi)的直線與半圓相切，然后通過旋轉(zhuǎn)，把平面內(nèi)的相切推廣到空間中的相切關(guān)系。變試訓(xùn)練2.求證:圓錐面與球相切，切點組成一個球的小圓，該小圓所在平面與圓錐的軸垂直.證明:如圖所示，如果取一個半圓O，并過與半圓直徑不垂直的半徑OP外端作半圓的切線l′,這時，半圓與直線l′繞半圓直徑所在直線l旋轉(zhuǎn)就分別得一個球和一個圓錐面，直繞l′不論旋轉(zhuǎn)到什么位置都與球相切，過P點作l的垂面π′，設(shè)平面π′與l的交點為Q,則PQ⊥l，