數(shù)學學案：知識導航：平行截割定理

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精1。1相似三角形的進一步認識1。1。1平行截割定理自主整理1.平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在任一條（與這組平行線相交的)直線上截得的線段也____________。2.平行截割定理:兩條直線與一組平行線相交,它們被這組平行線截得的對應線段_________.3。平行于三角形一邊的直線截其他兩邊,截得的三角形與原三角形的對應邊____________。4.三角形的內(nèi)角平分線分對邊成兩段的長度比等于____________。5.經(jīng)過梯形一腰中點而平行于底邊的直線_________另一腰;梯形的中位線平行于兩底,并且等于兩底和的_________.答案：1.相等2。成比例3.成比例4.夾角兩邊長度的比5。平分一半高手筆記1。平行線等分線段定理符號語言:已知l1∥l2∥l3，直線m,n分別與l1、l2、l3交于點A、B、C和A′、B′、C′,如果AB=BC，那么A′B′=B′C′,圖形語言(如圖1。1-1），注意（2)（3）（4)（5)是定理圖形的變形。圖1.1-12.平行線等分線段定理的推論平行線等分線段定理的推論有兩個，其中一個是經(jīng)過三角形一邊的中點，與另一邊平行的直線必平分第三邊；另一個是經(jīng)過梯形一腰的中點，與底邊平行的直線必平分另一腰.這兩個推論的證明如下：推論1：如圖1.1—2(1），在△ACC′中，AB=BC，BB′∥CC′交AC′于B′點，求證：B′是AC′的中點.證明：如圖1.1-2(2），過A作BB′與CC′的平行線,∵a∥b∥c,AB=BC，∴由平行線等分線段定理,有AB′=B′C′,即B′是AC′的中點。圖1。1—2推論2：如圖1.1-3，已知在梯形ACC′A′中，AA′∥CC′，AB=BC，BB′∥CC′.求證：B′是A′C′的中點。證明：∵梯形ACC′A′中AA′∥CC′,BB′∥CC′,∴AA′∥BB′∥CC′。又∵AB=BC,∴由平行線等分線段定理，有A′B′=B′C′,即B′是A′C′的中點。圖1。1—33。平行截割定理（1）定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例。圖1。1-4（2）符號語言表示：如圖1。1-4所示，a∥b∥c,則.(3）定理的證明：若是有理數(shù),則將AB、BC分成相等的線段,把問題轉(zhuǎn)化為平行線等分線段，達到證明的目的，再推廣到整個實數(shù)范圍，其完整的推廣過程還需到高等數(shù)學中實現(xiàn)。(4）定理的條件：與平行線等分線段定理相同,它需要a、b、c互相平行,構(gòu)成一組平行線，m與n可以平行，也可以相交，但它們必須與已知的平行線a、b、c相交，即被平行線a、b、c所截。平行線的條數(shù)還可以更多。（5）定理比例的變式:對于3條平行線截兩條直線的圖形,要注意以下變化(如圖1。1—4）：如果已知a∥b∥c，那么根據(jù)定理就可以得到所有的對應線段都成比例，如等,可以歸納為等,便于記憶.4。平行截割定理的推論圖1。1-5（1）如圖1。1—5，D、E分別為△ABC邊AB、AC上的點，DE∥BC，則AD:AB=AE：AC=DE:BC.(2)如圖1.1-6，AD是△ABC的角平分線，則.圖1.1-6圖1。1—7(3)如圖1。1-7,四邊形ABCD為梯形，AB∥CD,若E為AD的中點且EF∥AB,則F為BC的中點；若EF為梯形ABCD的中位線，則EF=.（4）若一條直線截三角形的兩邊（或其延長線）所得對應線段成比例,則此直線與三角形的第三邊平行.（5)若梯形ABCD中,底AD=a,BC=b,點E、F分別在腰AB，CD上,且EF∥AD，若AE:EB=m:n，則EF=.名師解惑1。平行截割定理與平行線等分線段定理有何區(qū)別與聯(lián)系？怎樣正確使用平行截割定理？剖析:我們學習的平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等。（如圖1.1—8，若l1∥l2∥l3，AB=BC，則DE=EF)圖1。1-8圖1.1-9平行截割定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例.如圖1。1—9,若l1∥l2∥l3，則。比較這兩個定理可知：當截得的對應線段成比例,比值為1時,則有截得的線段相等，即當=1時，則有AB=BC,DE=EF，因此平行截割定理是平行線等分線段定理的擴充，而平行線等分線段定理是平行截割定理的特例。平行線等分線段定理是證明線段相等的依據(jù)，而平行截割定理是證明線段成比例的途徑.在使用平行截割定理時，要特別注意“對應”的問題，如圖1.1—9中的線段AB、BC、AC的對應線段分別是DE、EF、DF.由平行截割定理有。根據(jù)比例的性質(zhì)，還可以得到.為了掌握對應關(guān)系,可根據(jù)對應線段的相對位置特征，把說成是“上比全等于上比全”,把說成是“左比右等于左比右"，使用這種形象化語言，不僅能夠按要求或需要準確地寫出比例式,而且也容易檢查比例式是否正確。2。證明線段相等的問題較常見,而證題的方法隨著所學知識的不斷積累也逐漸增多.那么證明線段相等通常有哪些方法?我們現(xiàn)在學習的平行截割定理及推論能發(fā)揮什么作用？剖析:根據(jù)題設的不同,證明線段相等可以利用全等三角形的對應線段相等;等腰三角形、等腰梯形的兩腰相等；平行四邊形的對邊相等,對角線互相平分；正方形、矩形、等腰梯形的對角線相等；關(guān)于直線成軸對稱或關(guān)于點成中心對稱的線段相等，以及線段的垂直平分線的性質(zhì)定理、角平分線的性質(zhì)定理等等?，F(xiàn)在學了線段成比例的有關(guān)定理，也常用來證兩線段相等，其方法是利用條件中有（或添作）平行線或相似三角形,列出幾組比例式進行比較而得出.3.三角形中位線是三角形中的重要線段,它的性質(zhì)可以為許多問題的證明和求解提供依據(jù)，在幾何中有著舉足輕重的地位，那么如何證明三角形中位線定理呢？圖1。1-10剖析:連結(jié)三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線，這里要明確三角形的中位線和三角形的中線不同(如圖1.1—10）.三角形中位線定理的內(nèi)容是：三角形中位線平行于第三邊，并且等于它的一半.證明:如圖1。1—10，DE是中位線，E是AC的中點，過點D作DE′∥BC,則E′也是AC的中點，所以E與E′重合，DE′與DE重合。所以DE∥BC。同理，過點D作DF∥AC,交BC于F，則BF=FC.因為DE∥FC，DF∥EC,所以四邊形DFCE是平行四邊形.所以DE=FC。又因為FC=BC，所以DE=BC.上述過程中,DE′與DE重合是定理證明的關(guān)鍵一步，本推理過程中應用了同一法思想。該定理的證明，關(guān)鍵在于添加輔助線，如圖1。1—11所示的幾種輔助線代表幾種不同的證法.延長中位線DE延長中位線DE到F，使EF=DE。到F，使EF=DE得ADCF。作CF∥AB與DE的延長線交于點F.圖1。1-11三角形中位線定理是三角形的一個重要性質(zhì)定理，其特點是：同一題設,兩個結(jié)論。一個結(jié)論是表明位置關(guān)系的，另一個結(jié)論是表明數(shù)量關(guān)系的，在應用時不一定同時需要兩個關(guān)系,有時需要平行關(guān)系，有時要求倍分關(guān)系，可由具體情況按需選用.事實上，平行線等分線段定理的推論1：經(jīng)過三角形一邊中點與另一邊平行的直線平分第三邊，即三角形中位線判定定理.4.梯形中位線是梯形中的重要線段，它的性質(zhì)可以為許多問題的證明和求解提供依據(jù)，在幾何中有著舉足輕重的地位，那么如何證明梯形中位線定理呢？梯形中位線定理與三角形中位線定理有什么內(nèi)在聯(lián)系？剖析:梯形中位線的定義是：連結(jié)梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線.這里要強調(diào)梯形中位線是連結(jié)兩腰中點的線段，而不是連結(jié)兩底中點的線段.梯形中位線定理的內(nèi)容是：梯形中位線平行于兩底,并且等于兩底和的一半.該定理的證明關(guān)鍵是如何添加輔助線，把梯形中位線轉(zhuǎn)化成三角形的中位線。分析如下：設法把梯形中位線轉(zhuǎn)化為三角形中位線。圖1.1-12如圖1。1—12，欲使MN成為某一個三角形的中位線,則梯形的一腰一定是三角形的一邊，而三角形的另一邊一定過梯形另一腰的中點.梯形的一個底應在三角形第三邊上，若連結(jié)AN并延長交BC的延長線于E（梯形的這種輔助線也經(jīng)常用到）,就能得到這樣的△ABE.這時只要證明AN=EN,AD=EC，問題就解決了。關(guān)于梯形中位線與三角形中位線的一致性：由梯形中位線公式MN=（BC+AD）可知,當AD退縮為一點時，其長度為零，則公式變?yōu)镸N=BC。這就是三角形中位線公式，這體現(xiàn)了梯形中位線和三角形中位線的聯(lián)系和一致性,反映了其間的辯證關(guān)系。平行線等分線段定理的推論中“過梯形一腰的中點與底平行的直線必平分另一腰”,即梯形中位線.或說成“過梯形一腰中點與底邊平行的直線為梯形的中位線"，利用它可以判定某一線段為梯形中位線。講練互動【例1】如圖1。1—13，已知在△ABC中，D是AC的中點，DE∥BC交AB于點E，EF∥AC交BC于點F。求證:BF=CF.圖1.1-13分析:利用平行線等分線段定理證明.證明：過A作AP∥BC,過B作BQ∥AC.已知AP∥BC∥DE且AD=DC，由平行線等分線段定理知AE=EB，又已知BQ∥EF∥AC且AE=EB,由平行線等分線段定理知:BF=FC.故有BF=CF成立.綠色通道利用平行線等分線段定理證明線段相等，關(guān)鍵是找出三條平行的直線l1∥l2∥l3,如果已知條件中只有兩條平行線（如例1中DE∥BC)應再作輔助線（AP)構(gòu)造出三條平行線(AP∥DE∥BC)，方可利用平行線等分線段定理。變式訓練圖1.1—141.如圖1.1—14，在ABCD中，E和F分別是BC和AD邊的中點,BF和DE分別交AC于P、Q兩點。求證：AP=PQ=QC。證明：過A作AK∥BF,過C作CM∥DE。已知AK∥BF∥DE,且F為AD的中點,由平行線等分線段定理得AP=PQ.又已知:CM∥DE∥FB,且E為BC中點，由平行線等分線段定理得：PQ=QC.故AP=PQ=QC.【例2】如圖1。1—15，l1∥l2∥l3，，求證：。分析:利用平行截割定理及合比性質(zhì)證明。圖1.1—15證明：∵l1∥l2∥l3,∴.∴，由合比性質(zhì)：，即.∴.綠色通道本題巧妙地利用了比例的性質(zhì)(合比性質(zhì)）進行了線段比例的轉(zhuǎn)化。變式訓練圖1.1-162.如圖1.1—16，DE∥BC，EF∥DC,求證:AD2=AF·AB。證明：∵DE∥BC，∴(平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所得的對應線段成比例）.∵EF∥DC，∴?！?即AD2=AF·AB。圖1。1-17【例3】如圖1。1-17所示，已知直線FD和△ABC的BC邊交于D，與AC邊交于E，與BA的延長線交于F，且BD=DC,求證：AE·FB=EC·FA。分析:本題只要證=即可。由于與沒有直接聯(lián)系，因此必須尋找過渡比將它們聯(lián)系起來，因此考慮添加平行線進行構(gòu)造。證明：過A作AG∥BC，交DF于G點.∵AG∥BD,∴=。又∵BD=DC，∴=.∵AG∥BD,∴=.∴=，即AE·FB=EC·FA。綠色通道本題還可以過A作AK∥FD,利用==及=。可得：=可證得AE·FB=EC·FA.變式訓練圖1。1—183.如圖1.1-18，四邊形ABCD中，AC、BD交于O，過O作AB的平行線，與AD、BC分別交于E、F，與CD的延長線交于K。求證:KO2=KE·KF.證明：延長CK、BA，設它們交于H，∵KO∥HB,∴=，=.∴=，即.∵KF∥HB，同理可得.∴，即KO2=KE·KF.【例4】如圖1。1—19,在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=a,DC=b,BC=c,OE⊥AB于E,OF⊥BC于F。求：OE、OF的長.圖1。1—19分析：利用平行截割定理及合分比定理求解.解:設OE=x,OF=y,∵AB∥CD，∴,∵OE⊥AB,∴OE∥BC,∴，由合分比定理：，故，即，同理，y=。綠色通道本題巧妙地利用了平行截割定理及合分比定理把兩個比例式與。聯(lián)合在一起得到，進而可求OE的長。變式訓練4.如圖1。1—20，已知AD∥EG∥BC，AD=6，BC=9,，求GF的長.圖1。1—20解:∵AD∥EG∥BC,∴,.∵，∴=,∴=，，∵AD=6，BC=9,∴EF=2,EG=6，∴GF=EG-EF=4。【例5】已知△ABC中，D、E是BC、AC上的點,AD與BE交于G,BD=3DC，如圖1.1-21,若AG=GD，求的值。圖1.1—21分析:由于AG、GD、BG、GE四條線段位于兩條相交直線上，所以應從交點G開始考慮如何利用平行線構(gòu)造基本圖形,因為欲求BG：GE，故過G作AC或BC的平行線都可構(gòu)造基本圖形使已知與未知相聯(lián)系.解：過G點作GF∥AC交DC于F，∵G為AD中點，∴DF=FC，∵BD=3DC,∴，即.∵,∴。綠色通道通過作平行線將比移至兩平行線或移至某一條直線上證明比例線段的方法叫移比法，當已知比和未知比個數(shù)較多時，為了找出這些比的關(guān)系，常用移比法將這些比移至某一條直線上。變式訓練圖1.1-225。若把例5中的條件“AG=GD”改為“=,再求的值,如圖1.1—22。解：過E作EH∥DC交AD于H,∵=，∴?！連D=3DC,∴，即=，∵EH∥BC,∴==.即=.教材鏈接思考：D、E分別為△ABC的邊AB、AC延長線上或其反向延長線上的點，且DE∥BC，這時是否仍有AD:AB=AE:AC=DE:BC成立?圖1。1—23答:仍然成立。（1）若D、E分別在邊AB、AC的延長線上如圖1.123,過點A作直線AP∥BC,過點D作DQ∥AC，由平行截割定理知：AB:AD=AC：AE.由比例的性質(zhì)知AD：AB=AE:AC成立，又